Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Iannual

1 2 3 4

IAnnual Moscow Workshop Physics of Nonideal Plasmas I (Moscow, 3-4 December 2002) I

Взаимодействия заряженных пылинок в облаках термодинамически равновесных зарядов

Гундиенков В.А., Яковленко С.И. (syakov@kapella.gpi.ru ) Институт Общей Физики РАН 1. Введение

Рассмотрение плазмы, в которой существенную роль играют заряженные частицы микронных размеров (так называемой пылевой плазмы) представляет интерес как фундаментального, так и прикладного характера (см. литературу в [1,2]). Особый интерес связан с наблюдением в пылевой плазме коллективных эффектов, обусловленных ее неидеальностью [3-6]. Часто свойства неидеальной плазмы рассматривают в так называемом однокомпонентном приближении. При этом один из зарядов как бы размазывается однородно по пространству, а поляризационные эффекты учитываются в некоторых случаях в виде поправок.

Физика процессов в пылевой плазме, по-видимому, принципиально иная. Объектом исследования должны быть в первую очередь пылинки, окруженные облаками зарядов с массами много меньшими массы пылинки. Заряженная пылинка, окруженная облаком зарядов противоположного знака, является аналогом атома в кинетике газов. Вообще говоря, у такого пылевого атома зарядовая оболочка может быть термодинамически неравновесна. Однако мы здесь будем рассматривать ситуацию, когда заряды в оболочке распределены по Больцману. Такой пылевой атом естественно называть дебаевским атомом [7] в отличие от томас-фермиевского атома, в котором зарядовой оболочкой является вырожденный электронный газ. Аналогично можно ввести понятие дебаевской молекулы [8,9] и дебаевского кристалла. Свойства таких дебаевских систем математически задаются распределением Больцмана и уравнением Пуассона, т.е. уравнением Пуассона-Больцмана.

Согласно целому ряду экспериментов (см., например, [3-6]) пылинки микронных размеров в термоэмиссионной плазме, плазме газового разряда и ядерно-возбуждаемой плазме могут образовывать пространственные структуры. В связи с этим естественно предположить наличие сил притяжения, обусловленных поляризацией зарядовых оболочек



дебаевских атомов. Однако достаточно убедительных теоретических результатов, демонстрирующих наличие притяжения дебаевских атомов, пока нет. Точное решение уравнения Пуассона-Больцмана показывает, что для заряженных плоскостей, как в облаке электронов, так и в плазме всегда имеет место отталкивание, а не притяжение [10,11]. Численные расчеты силы взаимодействия дебаевских атомов [8,9] до недавнего времени были не вполне надежны, как и результаты приближенного аналитического рассмотрения [12,13].

Проблема взаимодействия пылинок в пылевой плазме близка к проблеме взаимодействия коллоидных частиц в электролитах. Само понятие дебаевского радиуса пришло в плазму из теории электролитов. Однако, несмотря на то, что физика коллоидных частиц в электролитах исследуется давно [10], вопрос о возникновении сил притяжения и там пока не вполне выяснен (по крайней мере, для случая, когда диаметр коллоидной частицы меньше дебаевского радиуса см. например, [14-18]).

Ниже предпринята попытка достаточно надежно продемонстрировать, что поляризационные силы притяжения дебаевских атомов имеют место, и, выявить условия, когда возникает притяжение. В методическом плане данная работа существенно отличается от других работ, посвященных рассмотрению взаимодействия заряженных пылинок в плазме и в электролитах.

Во-первых, в отличие от целого ряда работ (см., например, [10,12-18]) мы рассматриваем ситуацию, когда суммарный заряд пылинок не пренебрежимо мал по сравнению с суммарным зарядом частиц плазмы (одного знака), окружающей пылинки. Более того, нами показано (предварительные результаты см. в [19]), что притяжение оказывается наиболее существенным в противоположном предельном случае, т.е. когда почти весь заряд одного из знаков сосредоточен на пылинках, и зарядовые облака, соответственно, состоят из зарядов одного (противоположного) знака.

Во-вторых, в рассмотрении свойств дебаевской молекулы, мы существенно опираемся на тот факт, что дебаевский атом имеет определенную структуру. В частности, даже если радиус пылинки много меньше дебаевского радиуса, ее заряд, как правило, не может быть рассмотрен в приближении дельта-функции.

В третьих, мы вычисляем непосредственно результирующую силу, действующую на пылинку со стороны другой пылинки и зарядовой оболочки, а не потенциальную энергию системы. Зависимость энергии взаимодействия пылинок от расстояния между ними определяется интегрированием этой силы. При этом решение уравнения Пуассона-Больцмана осуществляется в не очень распространенной системе координат, основанной на



овалах Кассини [20,21]. Это позволяет с большой точностью вычислять напряженность поля вблизи поверхности малой пылинки и надежно определить силу, действующую на пылинку.

2. Постановка задачи

Уравнение Пуассона-Больцмана. Ниже мы для конкретности будем рассматривать термоэмиссионную плазму, и говорить о положительно заряженных пылинках и об электронной оболочке зарядов. Однако основные результаты справедливы также для пылевой плазмы электрических разрядов и плазмы, ионизуемой внешним источником жесткого излучения, когда пылинки заряжены отрицательно, а зарядовые оболочки состоят преимущественно из положительных ионов.

Пусть электронный газ, окружающий заряженные частицы, формируется за счет эмиссии электронов из пылинок, имеющих достаточно высокую температуру T. Кроме того, пылинки находятся в частично ионизованном газе. Для нахождения распределения по пространству потенциала ф, напряженности поля -Уф и плотности заряда р = e(N - Ne ) следует решить уравнение Пуассона У (-Уф) = 4пр. В этом уравнении плотности ионов N электронов Ne определяется распределением Больцмана N = Nг0exp(-eф/7), Ne = Ne0exp(eф/T), где Ni0, Ne0 - плотности ионов и электронов в тех точках, где потенциал равен нулю; У - гамильтонов векторный оператор.

Итак, уравнение Пуассона-Больцмана имеет вид:

Аф = 47re(Ne0expH/7) - N)exp(-/7)), (1)

где А = У2 - оператор Лапласа; температура частиц и плазмы считается одинаковой.

Безразмерные величины. Будем измерять длину в единицах дебаевского радиуса

2 1/2

rD=(T/4ne Ne0) , соответствующего плотности электронов в тех точках, где потенциал

равен нулю. Ведем безразмерные величины - потенциал ф, напряженность поля E и плотность электронов ne - с помощью соотношений:

ф = фe/T; E = -Уф-erT; ne = rD3Ne = nD-expfo), (2)

где nD = rD3Ne0.

Ниже мы при оценках, как правило, будем ориентироваться, на условия

10 3

экспериментов [3], в которых Ne0=2.5-10 см , T=0.146 эВ =1700К, для характерных величин имеем: rD= 18 мкм, T/e = 0.146 В, T/erD = 80 В/см. При среднем радиусе пылинки rp = 0.4 мкм (r0 = rp/rD = 2.23-10-2) и ее заряде Zpe =500e имеем напряженность поля на поверхности частицы Zpe/r02 = 4.5-104 В/см (£0 = £(r0)=550).



Для безразмерных величин, уравнение (1) сводится к следующему уравнению для безразмерного потенциала ф:

Аф = exp((p)-5exp(-q>), VE = - (exp(cp)- 5exp(-q>)), E = - Vcp. (3)

Здесь 8 = Ni0/Ne0 - параметр, характеризующий дополнительную ионизацию газа. В силу квазинейтральности плазмы: 0 < 8< 1.

Граничные условия. Одиночную заряженную пылинку, окруженную облаком более легких зарядов, находящихся в термодинамическом равновесии, следуя [7], будем называть дебаевским атомом, а две или несколько пылинок - дебаевской молекулой [8,9]. Рассмотрение дебаевского атома и дебаевской молекулы с формальной точки зрения отличается лишь геометрией задачи. При рассмотрении дебаевского атома, ориентируясь на сферически симметричное электронное облако, можно обойтись решением одномерного уравнения Пуассона. При рассмотрении же двухатомной дебаевской молекулы можно считать задачу симметричной относительно оси z, соединяющей ядра (пылинки). Тогда достаточно рассмотреть двумерное уравнение (3) в плоскости координат x, y. При этом существенное усложнение задачи при переходе к рассмотрению дебаевской молекулы связано с выбором граничных условий.

В реальной физической задаче задан заряд пылинок Zpe и их радиус rp (о формировании заряда пылинки см. [22-24]). Следовательно, одним из граничных условий является условие на напряженность поля на поверхности пылинок S:

E0 = - Vps. (4)

При этом заряд частицы определяется выражением:

Здесь zp безразмерный заряд частицы, он связан с зарядом частицы в единицах электронного заряда Zp выражением Zp = 4n-zp-nD; площадь поверхности измеряется в

квадратах дебаевского радиуса.

Вторым граничным условием должно быть задание поверхности S на которой поле равно нулю

Vp s= 0. (6)

Нулевое значение электрического поля на границе следует из квазинейтральности рассматриваемой системы зарядов. Поверхность Sзадает границу рассматриваемой дебаевской системы.



F = Н^Ф)2sds*, f = JЕ2dsz (8)

8П S S

Здесь dsz- проекция элемента поверхности ds на ось z; сила F связана с безразмерной силой f выражением F = (T 2/8ne2)-f; электрическое давление направлено наружу поверхности пылинок.

3. Некоторые свойства дебаевских атомов

3.1. Дебаевский атом

Уравнение Пуассона-Больцмана. Свойства дебаевской молекулы во многом определяются свойствами дебаевских атомов, образующих эту молекулу. В частности, при большом расстоянии между пылинками дебаевская молекула должна распадаться на два независимых дебаевских атома. Этот факт будет использован ниже. Поэтому прежде, чем приступать к вычислению силы взаимодействия, рассмотрим некоторые свойства дебаевских атомов (см. также [25]).

В одномерном (т. е. плоском, цилиндрически симметричном или сферически симметричном) случае уравнение (3) принимает вид:

1 d Сrkd\ = еХр(ф) §.ехр(-ф), ф = 0 Е(r) - Ф

kdT { ) = 6ХР(Ф) 0 ф r=a0 = ~ dr

0 . (9)

Здесь k = 0,1,2 соответственно для плоского, цилиндрически симметричного и сферически симметричного случаев; в зависимости от геометрии r = 0 соответствует началу плоского слоя, центру цилиндра или центру сферы. При этом одно из граничных условий задает границу дебаевского атома r = a0, на которой поле равно нулю.

Основная цель рассмотрения дебаевской молекулы состоит в том, чтобы найти зависимость результирующей электростатической силы, воздействующей на пылинки, от расстояния d между ними. В этом случае удобнее исходить из других граничных условий [8,9]. На поверхности пылинок задается не поле, а постоянный потенциал

cps = ф0 = const. (7)

Из решения уравнения Пуассона-Больцмана находится напряженность поля E0 на поверхности пылинки. Результирующая сила, определяется с помощью интеграла от электростатического давления по поверхности пылинки. Для того чтобы получить нужное значение заряда zp (5), надо соответствующим образом изменить значение потенциала ф0.

В рассматриваемом случае сила взаимодействия пылинок направлена вдоль оси z и определяется выражением:



Ниже будет рассмотрен сферически симметричный случай к = 2, моделирующий дебаевский атом и плоский случай, позволяющий рассмотреть изменение потенциала вблизи поверхности пылинки [6-8]. В сферически симметричном случае удобной характеристикой дебаевского атома является безразмерный заряд, содержащийся внутри сферы радиуса r, он определяется выражением: z(r) = r2E(r) .

Дебаевский атом в облаке заряда одного знака. Случай 8 = 0, когда зарядовые оболочки состоят из частиц одного знака, соответствует, например, термоэмиссионной плазме [3] или такой ионизации газа, когда заряд одного из знаков полностью сосредоточился на пылинках (см., например, [24]). Величину a0 мы выберем равной

половине среднего расстояния между пылинками a0 = ap = (Np~ /2rD), где Np - плотность

пылинок (см. рис. 1). Величина Np /2 на 24% меньше радиуса Вигнера-Зейца: rWZ =

(4 Np/3)-1/3.

Будем рассматривать наиболее интересную ситуацию, когда радиус пылинки rp много меньше расстояния между пылинками r0 = rp/rD << a0. В экспериментах [3] Np = 5-107 см , соответственно, ap = 0.755, при этом условия малости радиуса пылинки выполняются:

aprD/rp = a0/r0 = 34.

Результаты рассмотрения уравнения (9) для сферически симметричного случая (к = 2) показывают [26,25], что при не очень большом заряде zp = Zpe2/rDT < a03/3 малой частицы r0 << a0 распределение заряда, поля и потенциала вокруг пылинки определяется выражениями:

z(r) = (a03/3)-[1 - (r/a0)3], E(r) = z(r)/r2, p(r) = (a03/3)-[a0/r - 3/2 + (r/2a0)2]. (10)

При большом заряде zp > a03/3 вдали от поверхности пылинки (при r0 - 3r02/a03 > r > a0) по-прежнему справедливы выражения (10). Отличие от этих выражений имеет место вблизи поверхности (r < r0 - 3r02/a03), где происходит резкое падение z(r), E(r) и p(r) (см. рис. 2, а также [25]). Иначе говоря, при большом заряде пылинки дебаевский атом имеет некоторый кор из зарядовой оболочки вблизи поверхности пылинки. Заряд пылинки вместе с кором равен zcor = a03/3. Экранировка этого оставшегося заряда имеет место на большом расстоянии r, близком к a0.

Условие большого заряда частицы zp = Zpe2/rDT > zcor может быть переписано для заряда пылинки, измеренного в единицах электронного заряда: Zp > Zcor = ( Ne0)/(6Np). Согласно измерениям [3] заряд пылинок велик:

Zp = 500 > Zcor = 262, zp = 0.273 > Zcor = 0.143.



Однако из расчетов следует (см. рис. 2), что при измеренных в [3] значениях плотности и температуры электронов для данного радиуса пылинок их заряд в состоянии теплового равновесия должен иметь значение Zp = 286 (zp = 0.156) меньшее измеренного Zp 500. Следовательно, либо измерения параметров плазмы существенно неточны, либо заряд пылинок в условиях экспериментов [3] неравновесен (см. также [24]).

Дебаевский атом в плазме. В случае 8 Ф 0, когда зарядовые облака состоят из частиц обоих знаков, радиус дебаевского атома по-прежнему определяется как расстояние r = a0, на котором заряд пылинки полностью компенсируется свободными зарядами плазмы (E(a0)= 0). Как и в случае 8 = 0, радиус дебаевского атома равен половине среднего

-1/3

расстояния между пылинками a0 = ap = (Np /2rD). При 8 = 1, может рассматриваться, одна изолированная пылинка в бесконечном объеме плазмы. При 8 - 1 радиус дебаевского атома стремится к бесконечности: a0 - oo. Дело в том, что конечный заряд частицы z0 может полностью компенсироваться квазинейтральной плазмой только при ее бесконечных размерах. Если 8 < 1, радиус дебаевского атома конечен.

Электронный и ионный безразмерный заряды, содержащиеся в зарядовой оболочке, определяются выражениями:

z0e = jexp(cp(r))r2dr , z0i = 8Jexp(- cp(r))r2dr, Z0 = Z0e - Z0,. (11)

Величина 81 = z0i/z0e дает отношение свободного заряда ионов в дебаевском атоме к заряду электронов. Вообще говоря, величина 81 должна быть сложной функцией параметров 8, a0 и ф0. Однако, в тех случаях, когда основной вклад в интегрирование (11) вносит область малых значений потенциала ф(г) << 1, можно приближенно положить 81 8.

Зависимости z0e, z0i, и 81 от 8 иллюстрирует рис. 3. В результатах, представленных на рис. 3, величина a0 для разных значений 8 выбиралась максимально большой для радиуса пылинки, соответствующего экспериментам [3]: r0 = rp/rD = 2.23-10-2. Это осуществлялось пристрелкой: при выборе значения a0 больше того, которое представлено на рис. 3, заряд частицы становится бесконечно большим: z(r0)-oo. Полученные зависимости z(r), ф(г) использовались для определения z0 = z(r0), ф0 = ф(г0), при r0 = 0.1 (см. также рис. 4).

Видно, что с ростом 8 за счет увеличения объема дебаевского атома растет число как положительных, так и отрицательных зарядов в его оболочке (см. рис. 3). В то же время, число некомпенсированных зарядов z0 = z0e - z0i практически не меняется с изменением 8. В рассмотренной области параметров 81 8.



Как и в случае 8 = 0, при заданном значении r0 величина a0 не может быть сколь угодно большой при сколь угодно большом значении заряда частицы z0. При большом значении E0 = z0/r02 на расстоянии (r - r0) ~ 1/E0 от поверхности частицы зависимости z(r), E(r), p(r) испытывают резкое падение, обусловленное экранировкой зарядами противоположного знака (см. рис. 4). При этом величина a0 ограничена некоторым предельным значением a0max = a0(E0 - оо). Это предельное значение логарифмически растет при 8 1: a0max~ %ln(1/(1-8)) + У2, при 0.9 < 8 < 0.999 [25].

В связи с тем, что дебаевский атом имеет кор, экранирующий заряд пылинки, рассматривая взаимодействие дебаевских атомов, нельзя придавать пылинке неэкранированное значение заряда.

3.2. О характере взаимодействии пылинок

О взаимодействии неполяризованных частиц. Если представить себе ситуацию, при которой оболочки дебаевских атомов, находящихся на расстоянии d, не взаимодействуют друг с другом, то между пылинками силы притяжения возникнуть не могут. Будут иметь место только силы отталкивания. Действительно, для неполяризованных оболочек сила взаимодействия выражается в виде:

fd) = Zeff(d)zp/d2.

Здесь zeff(d) = E(d)-d 2 - суммарный заряд, находящийся внутри сферы радиуса d вокруг пылинки (некомпенсированная часть заряда пылинки). В силу квазинейтральности дебаевского атома zeff(r) > 0, при r > r0. Заряды одного знака отталкиваются: zeff(d)zp > 0.

Для того чтобы возникли силы притяжения, необходима перестройка (поляризация) зарядовых оболочек. При этом на оси дебаевской молекулы должно возрасти число зарядов, притягивающих пылинки к центру молекулы.

О взаимодействии заряженных плоскостей. Уравнение Пуассона-Больцмана (4) в плоском случае к = 0 допускает решение в квадратурах. Это позволяет рассмотреть силу взаимодействия плоскостей и определить требования к точности решения уравнения Пуассона-Больцмана вблизи поверхности пылинки.

Рассмотрение показывает, что электростатическое взаимодействие между плоскостями, как окруженными облаком зарядов одного знака, так и плоскостями, помешенными в плазму, приводит к расталкиванию этих плоскостей [10,11]. Для иллюстрации рассмотрим случай 8 = 0, позволяющий получить простые аналитические выражения, которые понадобятся для оценки требований к точности расчета значений поля и потенциала вблизи поверхности пылинки.



Рассмотрим электростатическое давление на заряженную проводящую плоскость, находящуюся между двумя проводящими плоскостями (левой и правой) с такой же плотностью зарядов. При необходимости одну из плоскостей можно удалить на бесконечное расстояние.

Интегрирование уравнения Пуассона-Больцмана для плоского случая дает [11]:

ф(х) = ln(E2 + E12), E(x) = £rtg[(a0 - x)E1/2)]. Величины E1 = exp(фl/2) и ф] связаны с a0 соотношением:

a0 = (2/E1)-arctg(E0/E1). Здесь x - расстояние до рассматриваемой плоскости, которая для простоты считается бесконечно тонкой; ф1- значение потенциала в точке a0, где напряженность поля равна нулю. При равной плотности зарядов на плоскостях a0 равно половине расстояния между плоскостями.

Хотя потенциал слева и справа на проводящей плоскости одинаков, ф(-0) = ф(0) = ф0, напряженность поля на поверхности рассматриваемой плоскости слева E(-0) = E01 и справа E(0) = E02 отличаются. При этом возникает электростатическое давление на плоскость:

p = (E022 - E012).

Величина a0 является монотонно падающей функцией E1. Соответственно, если, например, расстояние до левой плоскости 2a01 больше расстояния до правой плоскости 2a02, то E01 > E02 и p < 0. Иначе говоря, результирующая сила давления направлена в сторону наиболее удаленной плоскости. В частности, при удалении одной из плоскостей на бесконечное расстояние оставшиеся две плоскости будут расталкиваться.

Таким образом, притяжение пылинок может возникнуть лишь в неплоской геометрии.

О точности вычисления потенциала вблизи поверхности. При численном интегрировании уравнения Пуассона-Больцмана значение напряженности поля определяется в точках сетки, на которой строится разностная схема. Определяемое приближенно значение E0 соответствует значению поля на расстоянии от поверхности пылинки порядка шага сетки. Рассмотрим, к какой погрешности определяемого давления приводит неточность в определении положения значения E0. Относительная погрешность давления, определяемого по точкам, отстоящим от плоскости на расстояния x и - x, в плоской геометрии дается выражением:



Как видно из рис. 5, если потенциал плоскости не мал ф0 >> 1, даже на небольших расстояниях x ~ 0.01 величина Ap/p составляет десятки процентов, в то время как разность потенциалов слева и справа ф(-х) - ф(х) практически равна нулю. Иначе говоря, при численном интегрировании требуется очень высокая точность в определении производной от потенциала вблизи поверхности частицы, что требует очень мелкого шага сетки вблизи поверхности.

В то же время, для точного нахождения величины силы, действующей на частицу, метод решения уравнения Пуассона-Больцмана должен обеспечивать максимальную точность именно в области вблизи поверхности пылинок. При этом основной интерес представляют расстояния между пылинками намного превышающие их диаметр. В обычных системах координат трудно добиться достаточной точности в вычислении силы, действующей на малые пылинки.

4. Метод решения двуцентровой задачи

Координаты Кассини. Мы использовали ортогональные координаты, построенные на основе известного овала Кассини [20,21] для некоторого его частного случая.

Связь переменных u, v, задающих точку на овале Кассини с декартовыми координатами в квадранте х>0, y>0 определяется следующими выражениями:

x(u, v) = -dJA/exp(2u) + 2 exp(u) - cos(v) +1 + exp(u) - cos(v) +1, (13a)

y(u, v) = 2dj2flexp(2u) + 2 exp(u) - cos(v) +1 - exp(u) - cos(v) -1. (136)

Для всей плоскости z, y координатная сетка получается зеркальным отражением относительно осей z и y; d - расстояние между фокусами овалов, расположенными в точках (-d/2,0), (d/2,0). Переменная да >и>-да является некоторым аналогом радиальной переменной. При u<0 кривая представляет собой два независимых овала, при u=0 координатная линия - лемниската Бернулли т.е. овал с бесконечно узкой талией . При 0.65 >u>0 - имеет место овал с талией, а при u>0.65 овал имеет эллипсообразную форму. Переменная n>v>0 аналогична углу в полярных координатах. При v= 0 точка лежит на луче (d/2,oo), по оси абсцисс; при v = п геометрическое место точек приближается к углу, образуемому отрезком (0, d/2) по оси абсцисс и лучом (0, да) по оси ординат. Характер координатных линий иллюстрирует рис. 6.

Использование координат (13) дает следующие важные преимущества. Во-первых, семейство овалов Кассини качественно соответствует картине эквипотенциалей для двух





1 2 3 4
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.