U min = ln

d2 (d + О I, Umax = lnf(d + I (14)

Граничные условия (2) при этом имеют вид:

= 0 (15)

ф u = u ф0 дГ

u u min д u

Уравнение Пуассона-Больцмана (3) с граничными условиями (14), (15) решалось методом итераций Гаусса-Ньютона с использованием пакета программ MATLAB.

Характер изменения потенциала в координатах Кассини и в декартовых координатах иллюстрирует рис. 7.

Для расчета заряда и силы взаимодействия пылинок рассматривались трехмерные координаты, образованные вращением плоских координат (13) вокруг оси x. В этих координатах вычислялась сила взаимодействия пылинок по формуле (8). Энергия взаимодействия пылинок вычислялась по формуле

f (x)dx + const. (16)

Обычно константа подбиралась так, чтобы в минимуме энергия U(d) равнялась нулю min(U(d)) = 0.

и = и

5. Результаты расчетов 5.1. Дебаевская молекула в облаке зарядов одного знака (8 = 0)

одинаково заряженных частиц, находящихся в фокусах овала. Во-вторых, область решения уравнения в этих координатах становится прямоугольной. В-третьих, плотность овалов экспоненциально сгущается к поверхности пылинок. Это позволяет использовать равномерную сетку даже при больших расстояниях между частицами малых размеров.

О методе решения. Не останавливаясь на деталях, приведем основные сведения о методе решения. Координатами Кассини особенно удобно пользоваться в ситуации, когда радиус пылинок r0 много меньше как дебаевского радиуса r0 << 1, так и радиуса дебаевского атома r0 << a0. Тогда, рассматривая область достаточно больших расстояний между частицами d > 5r0, можно считать малые пылинки овалами Кассини близкими к окружностям. На малом овале удобно задать значение потенциала ф0. В то же время, облако зарядов, охватывающее пылинки, при d < 5a0 описывается эллипсообразным овалом. На этом овале удобно задать нулевое значение поля.

Поверхность пылинки и внешняя поверхность, соответствующая границе дебаевской молекулы (где поле обращается в нуль), описывается в координатах (13) константами:

(4r0 Л . (4a0

Выбор параметров расчетов. Расчеты проводились для таких параметров ф0, r0, a0, которые при d >> a0 соответствуют уединенному дебаевскому атому. Для этого сначала решалась сферически симметричная задача, в которой значения поля и потенциала в точке r = a0 полагались равными нулю. Из решения этой задачи определялся потенциал ф0 на частице заданного радиуса r0. Затем с этими значениями ф0, r0, a0 решалась двуцентровая задача для d =10a0. Результаты решения для сферически симметричной и для двуцентровой задачи совпадали с высокой точностью. В дальнейшей серии расчетов переходили к меньшим значениям d.

В серии расчетов, представленных на рис. 8, мы ориентировались на параметры плазмы работы [3], и положили a0 = 0.755. Как показали расчеты, наиболее интересна область сравнительно больших расстояний d ~ 2a0 . Полагая, что при d ~ 2r0 облако электронов вблизи поверхности пылинок поляризуется слабо, и для удобства вычислений мы взяли радиус частицы r0 = 0.1 в пять раз больше, чем в эксперименте. Соответственно, потенциал ф0 =1.16, взятый из решения одно-центровой задачи для r0 = 0.1, имеет значение существенно меньшее потенциала на поверхности пылинки малого радиуса (ф0 = 6.5 при r0 = 0.0223). Иначе говоря, небольшой заряженный проводящий шарик был заменен проводящим шариком большего размера с зарядом, частично компенсированным зарядами электронного облака. Как показали расчеты, глубокие электронные оболочки действительно поляризуются слабо и такая замена оправдана (см. ниже).

Зависимость силы взаимодействия пылинок от расстояния. Для определения зависимости силы взаимодействия пылинок от расстояния между ними d проводились серии расчетов с заданными значениями ф0, r0, a0. При этом заряд частицы z0 также оказывается функцией d. Поэтому проводились дополнительные расчеты со значениями ф0 или a0 измененными таким образом, чтобы заряд частицы z0 не зависел от d.

Расчеты показали, что при малых расстояниях между частицами d ~ r0 имеет место отталкивание. Это не согласуется с результатами численных расчетов [8,9], в которых при d ~ r0, имело место притяжение. По-видимому, в расчетах [8,9] была высокой отмечавшаяся выше погрешность вычисления производной потенциала вблизи поверхности пылинки. К этой погрешности очень чувствительна результирующая сила. В действительности, ввиду того, что близкие к поверхности пылинки зарядовые оболочки поляризуются слабо, на близких расстояниях отталкивание зарядов преобладает над поляризационным притяжением.

Большой интерес представляет равновесное расстояние между пылинками d = d0, на котором происходит смена знака проекции силы. В расчетах, представленных на рис. 8

имеем d0 * 1.3, что несколько меньше среднего расстояния между пылинками 2a0 = 1.5. Положение точки d0 слабо зависит от того, какие величины (ф0, a0 или z0, a0) сохранялись в расчетах при изменении d. Изменение a0 (при постоянных значениях z0, ф0) влияет на значение d0 более существенно. По-видимому, удержание постоянного заряда z0 = const за счет изменения потенциала частицы ф0 = ф0(с1) больше соответствует физике взаимодействия заряженных пылинок.

В связи с тем, что при d >> a0 задачу нельзя считать бинарной, мы приводим результаты расчетов лишь для сравнительно небольших значений d < 4a0. При удалении частиц на расстояния d > 2a0 становится существенным отталкивание от других частиц, окружающих две рассматриваемых частицы (см. рис. 1).

Зная силу притяжения пылинок F(2a0) на среднем межчастичном расстоянии 2a0, можно оценить электростатическое давление сжимающее газ пылинок

Pe * F(2a0>#/3 = (T 2/8ne2)-N/3-f(2a0) (17)

и поверхностное натяжение пылевой жидкости

Oe * F-Npm = (Np1/372/8ne2)-f(2a0).

Сравнивая электростатическое давление на пылинки с газокинетическим давлением пылинок и газокинетическим давлением свободных электронов имеем: Pe/NpT = (T/8ne2Np1/3)-f(2a0); Pe/NbT = (T/8ne2Ne)-Np2/3-f(2a0).

В условиях экспериментов [3]: f(2a0) * 0.2; Pe = 9.7 10-7 f(2a0) Тор * 2-10 7-Тор; oe = 3.5 109 Д2ao) Н/м * 740-1°Н/м; PjNpT* 20; Pe/NbT* 0.04.

Следует, впрочем, отметить, что сравнение электростатического давления на пылинки с газодинамическим электронным давлением не позволяет сделать каких-либо существенных выводов, поскольку электроны не свободны, а находятся в электрическом поле пылинок. В то же время можно предположить, что газ дебаевских атомов в смеси с нейтральным газом, должен проявлять в условиях экспериментов [3] тенденцию к сжатию. Такого рода ситуация рассмотрена в [27-29]. Рассмотрение вопросов влияния взаимодействия дебаевских атомов на газодинамические свойства пылевой плазмы выходит за рамки данной работы.

Зависимость от размера дебаевского атома. Было проведено несколько серий расчетов для различных значений a0 (см. рис. 9). Расчеты показали, что притяжение имеет место лишь при a0 < 1. Уже при a0 > 1.12 точка смены знака силы удаляется на большое расстояние d0 > 4a0.

Условие a0 = ap/rD < 1 можно переписать для размерных величин в виде:

Л^о > = ЛК*- (18)

Электростатические силы сжатия обращаются в нуль, когда d0 = 2a0, т.е. при a0 = 1. Соответственно условие a0 = 1 или Ne = Necr является условием равновесия газа дебаевских атомов.

При этом условие большого заряда частицы zp > 1/3 может быть переписано для заряда пылинки в единицах электронного заряда следующим образом:

10 3

В условиях эксперимента имеем Necr = 4.4-10 см , Zecr = 460. Эти величины

10 3

порядка измеренных в экспериментах [3]: Ne0 2.5-10 см , Zp 500.

Ввиду того, что на основании рассмотрения двух дебаевских атомов нельзя определить глубину потенциальной ямы без учета воздействия других частиц, силу взаимодействия дебаевских атомов будем характеризовать крутизной в точке пересечения с осью абсцисс:

Через величину E, выражается частота колебаний пылинок вокруг положения равновесия: со = 1/2-со0, где со0 = vT/ap, vT = (2T/mp)1/2 - тепловая скорость пылинок, mp - их масса. В условиях экспериментов [3] имеем mp ~ 2 10-12 г, vT ~ 0.5 см/с, ap ~ 1.4-10-3 см . Отсюда следует со0 = 357с-1 частота колебаний, 2к/со0 = 18 мс - период колебаний. Из рис. 9 видно, что наиболее сильная связь имеет место при 0.5 < a0 < 1. В этих условиях газ дебаевских атомов должен стремиться к сжатию (ср. [29]).

Для пылинок малого радиуса меньше и размер дебаевского атома. Например, максимальное значение радиуса дебаевского атома a0max - a0(z0 - да), как функция г0 может

0.3 10/3

быть аппроксимирована выражением: a0max = 3- r0 , или r0 = (a0max/3) при r0 < 0.02 [25]. Поэтому радиус пылинки должен быть не слишком большим и не слишком маленьким. При

-3 -2 -2

0.5 < a0max< 1 имеем условие 2.5-10 < r0 < 2.6-10 . В экспериментах [3] r0 = 2.23-10 , и это условие выполняется.

О влиянии размера пылинки. Как указано выше, в расчетах небольшой заряженный проводящий шарик заменяется проводящим шариком большего размера с зарядом, частично компенсированным свободными зарядами оболочки дебаевского атома. Возникает естественный вопрос, насколько такая замена адекватна. Для этого была проведено несколько серий расчетов с разными значениями r0 и, соответственно, ф0. При

радиусах пылинки, малых по сравнению с радиусом дебаевского атома a0 различие результатов расчетов невелико. Например, в случае a0 = 0.755 (см. рис. 10) при изменении радиуса пылинки в диапазоне r0 = 0.1-Ю.2 (и выборе значения ф0 соответствующего данному значению r0) отличия в положении точки смены притяжения отталкиванием d0 = 1.28 имеют разброс менее 2%, что соответствует имеющейся точности расчета.

Существенное влияние размеров пылинки имеет место при r0 > 0.3a0. При r0 > 0.4 поляризационное притяжение настолько уменьшается, что точка смены знака силы становится больше среднего межчастичного расстояния d0 > 2a0. Из этого можно заключить, что существенный вклад в поляризационные силы вносят заряды, находящиеся на расстоянии r * 0.3a0 от центра пылинки, а не только периферия дебаевского атома r * a0. Иначе говоря, сила притяжения формируется за счет поляризации большинства электронов зарядовой оболочки. В связи с этим сложно надеяться на вычисление сил притяжения с помощью каких либо приближенных методов.

5.2. Дебаевская молекула в облаке заряда обоих знаков (8 0)

Зависимость силы взаимодействия пылинок от расстояния. В случае двух дебаевских атомов, находящихся в почти квазинейтральной плазме (1 - 8 << 1), расстояние между ними можно брать сколь угодно большим (см. рис. 1б). Однако для того, чтобы

взаимодействие можно было считать бинарным, необходимо выполнить условие Np >> 2a0rD. Напомним, что радиус дебаевского атома при 1 - 8 << 1 может существенно превышать дебаевский радиус: a0>1 (см. выше и [25]).

Как и в случае 8 = 0, для определения зависимости силы взаимодействия пылинок от расстояния d проводились серии расчетов с заданными значениями ф0, r0, a0 для дебаевского атома. При этом проводились дополнительные расчеты со значениями ф0 или a0 измененными таким образом, чтобы заряд частиц z0 не зависел от d. Как и в случае 8 = 0, мы выбирали r0 больше радиуса кора атома, моделируя пылинку проводящим шариком большего размера с зарядом, частично компенсированным свободными зарядами оболочки дебаевского атома. Тем самым поляризацией кора пренебрегалось.

В результатах, представленных на рис. 11, величина a0 для разных значений 8 (см. Табл. 1) выбиралась соответствующей предельно большому заряду для радиуса пылинки, соответствующего экспериментам [3]: r0 = rp/rD = 2.23-10-2. Это осуществлялось пристрелкой: при выборе значения a0 больше того, которое представлено в таблице 1, заряд

частицы становится бесконечно большим: z(r0)-oo. Полученные зависимости z(r), ф(г) использовались для определения z0 = z(r0), ф0 = ф(г0), при r0 = 0.1.

При 1 - 8 << 1 в рассмотренном диапазоне параметров притяжение пылинок обнаружить не удалось. Оно возникает лишь в тех случаях, когда заметную долю положительного заряда плазмы несут пылинки (при 8 < 0.7, см. рис. 11). При этом, чем меньше доля зарядов плазмы, тем больше максимальная сила притяжения и глубина потенциальной ямы.

Ослабление сил притяжения с ростом 8 имеет простое объяснение. Как следует из приведенных выше расчетов для 8 = 0, силы притяжения возникают за счет того, что электроны скапливаются вблизи оси x между центрами пылинок и обеспечивают притяжение к центру дебаевской молекулы. Это притяжение превышает силу отталкивания зарядов пылинок, экранированную внутренними слоями электронных оболочек дебаевских атомов. При 1 - 8 << 1 эффект экранировки заряда пылинки внутренними слоями электронных оболочек остается прежним. Однако притяжение к центру молекулы существенно ослабевает из-за того, что в этой области концентрируются не только электроны, но и положительные заряды, отталкивающие пылинки.

В случае малых значений заряда плазмы 8 << 1 глубина потенциальной ямы довольно велика, порядка нескольких температур. Однако следует помнить, что бинарное рассмотрение ограничено величиной порядка диаметра дебаевского атома 2a0.

Об аналитических подходах. Изложенный выше вывод об отсутствии притяжения при 1 - 8 << 1 не согласуется с данными недавних приближенных аналитических рассмотрений [12,13] (см. рис. 11). Из результатов этих работ следует, что при 8 = 1 в области r > (312+1)/212 = 1.93 при рассмотрении линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана имеет место притяжение пылинок.

Этот результат вызывает удивление. Дело в том, что в линейном приближении [12,13] воздействие точечных зарядов (находящихся в точках r1 и r2) на плазму считается независимым, так что значение потенциала в точке r определяется суммой экранированных потенциалов точечных зарядов:

ф (r) = Ф(г-п|) + Ф(г-Г2), O(x) = (zp21/2/x)-exp(-x/21/2), r2-n = d.

Согласно простым соображениям, изложенным выше в п. 3.2, в отсутствие перестройки зарядовой оболочки одной пылинки под воздействием другой пылинки для одноименно заряженных пылинок не могут иметь место силы притяжения. В линейном приближении [12,13] должно быть:

f(d) = - zp-t(x)/axx =d = Zp2-((21/2 + d)/d2)-exp(-d/21/2) > 0, (19)

что соответствует отталкиванию.

Неточность результатов [12,13], по-видимому, связана со следующим обстоятельством. К силе (19), действующей непосредственно на пылинку, в работах [12,13] прибавлена сила притяжения, действующая на электронную оболочку пылинки со стороны второй пылинки. Такое приближение было бы оправданным, если бы зарядовые оболочки пылинок были бы жестко связаны с зарядами пылинок какими-то другими силами. Однако таких сторонних жестких сил в рассматриваемой задаче нет. Наличие вычисленной в работах [12,13] силы притяжения электронной оболочки одного заряда к другому заряду говорит лишь о том, что данная конфигурация зарядовой оболочки не является равновесной, и сила притяжения к другому заряду должна приводить к поляризации зарядовой оболочки, которая в работах [12,13] не учтена. Нет никаких оснований складывать эту поляризующую силу с силой, действующей непосредственно на пылинку.

Здесь уместна аналогия с поляризационными силами притяжения атомов, существенными на больших расстояниях между ядрами по сравнению с размерами электронных оболочек. Как известно, для сферически симметричных атомов поляризационное взаимодействие в первом порядке теории возмущений не имеет места. Оно возникает лишь во втором порядке теории возмущений, когда учитывается поляризация электронной оболочки одного атома зарядами другого атома. Обычный атом отличается от дебаевского атома лишь тем, что в нем электроны оболочки двигаются по квантовым, а не классическим законам. Природа же возникновения поляризационных сил у обычного атома и дебаевского атома одинакова.

6. Заключение

Подведем итоги проведенного рассмотрения.

1. Дебаевский атом имеет структуру: кор и электронную оболочку. При больших зарядах пылинки область электронного облака высокой плотности (кор) существенно экранирует большой заряд пылинки вблизи ее поверхности. В связи с этим, рассматривая взаимодействие дебаевских атомов, нельзя приписывать пылинке неэкранированное значение заряда. Заряд пылинки экранированной кором имеет универсальное значение, определяемое расстоянием между пылинками. Он экранируется электронной оболочкой дебаевского атома.

2. Силы притяжения обусловлены поляризацией зарядовых оболочек дебевских атомов. В отсутствие поляризации отсутствует и притяжение. Сила притяжения

формируется за счет поляризации большей части электронов зарядовой оболочки. Поляризация кора несущественна.

3. Силы притяжения пылинок возникают на сравнительно большом расстоянии, примерно равном среднему расстоянию между пылинками. При этом дебаевский радиус должен быть примерно равен половине среднего расстояния между пылинками.

4. Притяжение имеет место, если заряды одного из знаков сосредоточены преимущественно на пылинках. Если пылинки несут малую долю заряда одного из знаков, на всех расстояниях имеет место отталкивание пылинок.

5. При некотором соотношении между плотностью электронов и плотностью пылинок имеет место равновесие дебаевской жидкости : электростатические силы взаимодействия пылинок обращаются в нуль.

Ввиду того, что силы притяжения возникают на больших расстояниях, корректно решить задачу о формировании пылевых жидкостей и кристаллов можно лишь, учитывая многочастичное взаимодействие пылинок. Однако на основании представленных здесь результатов можно сделать два важных вывода о критериях проявления коллективных явлений:

а) в случае термоэлектронной плазмы плотность электронов должна быть такой, чтобы дебаевский радиус примерно равнялся половине среднего расстояния между пылинками;

б) в плазме газового разряда и в ядерно-возбуждаемой плазме, кроме того, свойства источника ионизации и плотность пылинок должны быть согласованы так, чтобы основной (обычно отрицательный) заряд несли пылинки.

Авторы признательны А.Н. Ткачеву за обсуждение результатов данной работы и работ [12,13], а также Ю.И. Сыцько за обсуждения вычислительных аспектов задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. В.Е.Фортов, И.Т.Якубов. Неидеальная плазма. М.: Энергоатомиздат. 1994.

2. Н.Н.Цытович. УФН. -1997. - 167, №1. -С. 57-99.

3. В.Е. Фортов, А.П. Нефедов, О.Ф. Петров, А.А. Самарян, А.В. Чернышев. ЖЭТФ., -1997. - Т.111, №2. -С. 467-477.

4. В.Е. Фортов, В.С. Филинов, А.П. Нефедов, О.Ф. Петров, А.А. Самарян, А.М. Липаев. ЖЭТФ., -1997. -Т.111, №3. -С. 889-902.

5. Фортов В.Е., Владимиров В.И., Депутатова Л.В., Молотков В.И., Нефедов А.П., Рыков В. А., Торчинский В.М., Худяков А.В. ДАН, т. 336, № 2, с. 184-187 1999

6. А.П. Нефедов, О.Ф. Петров, В.Е. Фортов. УФН, 167 №11 1997 с.1215-1226 1997

7. Ткачев А.Н., Яковленко С.И. ЖТФ, Т. 69, № 1, с. 53-57, 1999.

8. Яковленко С.И. О взаимодействии заряженных пылинок. Дебаевская квазимолекула. Письма в ЖТФ, Т. 25, № 16, с. 83-89, 1999

9. Яковленко С.И. Дебаевская квазимолекула. Краткие сообщения по физике ФИАН № 9,

с.3-9, 1999

10. Derjagin В., Landau L. Acta Physicochimica U.R.S.S. v. XIV, No 6, p. 633, 1941

11. Яковленко С.И. Сила взаимодействия заряженных плоскостей в облаке электронов и в

плазме. Письма в ЖТФ, Т. 27, № 9, с. 83-93, 2001

12. Д.Н. Герасимов, О.А. Синкевич. Теплофизика высоких температур. Т. 37, № 6, с. 853857, 1999

13. Ivanov A.S. Physics Letters A 290, 304-308, 2001

14. A.M. Larsen, D.G. Grier. Nature (London) 385, 230, 1997

15. D.G. Grier. Nature (London) 393, 621, 1998

16. W.R. Bowen, A.O. Sharif. Nature (London) 393, 663, 1998

17. J.C. New. Phys. Rev. Lett. 82, No 5, 1072-1074, 1999

18. M. Tokuyama. Phys. Rev. 59, No 3, R2250-R2253, 1999

19. Гундиенков В.А., Яковленко С.И. Краткие сообщения по физике ФИАН № 12, с.3, 2001; Письма в ЖТФ, Т. 28, № 10, с. 46-56, 2001

20. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю.В. Прохорова. М. Научн. Изд. Большая российская энциклопедия , 1995

21. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике. М: Наука, 1964

22. Ткачев А.Н., Яковленко С.И. О формировании заряда макрочастиц в классической кулновской плазме. Письма в ЖТФ, 25, № 1, с. 52-55, 1999

23. Яковленко С.И. Термоэлектронные облака и заряд пылинок. Письма в ЖТФ, Т. 26, № 16, с. 47-55, 1999

24. Яковленко С.И. Рекомбинация ионов на пылинках в плазме плотного газа, возбуждаемого жестким ионизатором. Письма в ЖТФ, Т. 26, № 26, с. 38-46, 2000

25. Яковленко С.И. Краткие сообщения по физике ФИАН № 1, с.3, 2002

26. E.G. Gibson. Phys. Rev., 1966, V. 9, No 12, 2389-2399

27. С.А. Майоров, А.Н. Ткачев, С.И. Яковленко. Усп. физич. наук. Т. 164, № 3. С. 298307, 1994.

28. S.A. Mayorov, A.N. Tkachev, S.I. Yakovlenko. Physica Scripta V. 51. P. 498-516, 1995

29. С.И. Яковленко. Изв. ВУЗов, Физика. - 1995. - Т.38, № 4. - С. 3. (in Russian, for English translation see: Russian Physics J. 1995 38(4), 329-335)