Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Вихри

1 2 3 4 5


Рис, 1: Поверхность постоянной энстрофии w(0,r)2 = const начального гауссовского вихря. Сз = А*2 cos ф - Hi tan р0 - т sin ф cos ф {ц± sin ф - ц3 cos ф) - tan Р sin ф Q. (2.30)

и

Q = (А) - /3) tan </> [tan р0 (pi cos ф + Цз sin </>) - /х2]. (2.31)

Входящие в (2.29)-(2.31) сферические утлы Р (в k-пространстве) и р0 (в Q-пространстве) связаны соотношением

Р = Р (т; /?0, Ф) = arctan (tan/?0 + тcos ф). (2.32)

Расчет эволюции модифицированного импульса Лэмба локализованного возмущения

Как уже обсуждалось во Введении, целью данного исследования был, в частности, расчет динамики импульса Лэмба локализованного вихря во внешнем сдвиговом течении без использования процедуры разделения завихренности, использованной в [13-16]. Построенное в п. 2.2.1. общее решение уравнений динамики завихренности для произвольных начальных условий (2.22) и введенное в п. 2.1 определение модифицированного импульса Лэмба (МИЛ) (2.4) позволяют вычислить МИЛ вихря в произвольный момент времени.

Для иллюстративных целей будем пользоваться моделью гауссовского вихря (2.25), введенной выше1. Начальный вихрь показан на рисунке 1. Рисунок изображает изоповерхность энстрофии O72(0,r) = const, представляющую из себя поверхность тора. Заметим, что для данной модели размер ядра вихревого возмущения задается значением параметра 5, а плоскость вихря и вихревые линии, представляющие собой концентрические окружности, нормальны к направлению начального импульса Лэмба ц.

Подстановка выражений (2,27)-(2,31) для компонент завихренности в выражение (2.6) для МИЛ дает:

р1(т) = Щ(г)1- (2-33)

Здесь

Пц = 1 + (sin2 tan Д, (р0 -р)) = 1+ 1-1г, (2.34)

Й12 = (С9-А))) = /2, (2.35)

1 XCOS0 1

1Напомним, что теория [13,14] нечувствительна не только к амплитуде вихревого возмущения, но и к его форме. Поэтому начальное возмущение может быть выбрано достаточно произвольно. Выбор его в форме гауссовского вихря (2.25) существенно оптимизирует вычисления и позволяет представлять окончательные выражения в наиболее компактной форме. (Аналитические выражения для поля завихренности, полученные авторами для других форм начального вихря имеют совершенно необозримый вид.)




(2.36)

А> = А> (т; /3, ф) = arctan (tan /3 - т cos ф).

(2.37)

В развернутом виде имеем

Pi(t) = Hi + il*ih(t) + \/i2I2(t), p2(t) = n2 + \niQt, p3(t) = Цз ~ \i*3h(t), (2.38)

где безразмерное время т мы снова заменили на Ш.

Несложно получить асимптотические выражения для h и 12 при малых (t <С 1/0) и больших (t > 1/0) временах:

h(t) = \Q\t-3 + 0(l/\Q\t), 12{т) = 3[ln(fit)- 0.6] + 0{\/\Q\t), 0t>l. (2.40) При малых t имеем из (2.38) и (2.39):

Как и следовало ожидать, динамика МИЛ при малых временах определяется первыми двумя членами в эволюционном уравнении (2.11), в полном согласии с теорией [13,14]. Это вызвано тем,что начальный вихрь (2.25) хорошо локализован, поэтому вклад + j(2) + j(3); связанный с наличием (на первом этапе эволюции еще очень слабых) хвостов завихренности на периферии вихря, ш ~ г-4, исчезающе мал.

Однако при больших временах ситуация меняется радикальным образом. Хвосты завихренности становятся уже вполне весомыми и начинают оказывать существенное влияние на динамику импульса Лэмба.

Это, в частности, приводит к тому, что, согласно (2.40), при больших t импульс Лэмба растет степенным образом, а вовсе не экспоненциально, как это следовало из [13,14].

Тот факт, что как сама завихренность (включая, разумеется, и ее образующиеся в ходе эволюции хвосты ) так и МИЛ растут не быстрее, чем степенным образом, позволяет строго доказать невозможность разбиения завихренности на две различных компоненты, одна из которых соответствует области локализованного возмущения ( ядру ), а другая - хвостам , таким образом, чтобы импульс Лэмба, вычисленный только по компоненте завихренности, соответствующей ядру, нарастал бы экспоненциально.

Но как раз предположение о возможности такого разбиения и лежало в основе подхода, предложенного в [13,14]!

Это означает, что подход [13,14] не является корректным, несмотря на ряд блестящих совпадений следующих из него предсказаний с экспериментом. Следовательно, задача о построении адекватной теории, описывающей динамику локализованных вихрей в сдвиговых течениях вновь становится актуальной.

Тем не менее, весьма любопытно отметить, что угол Ф наклона вектора МИЛ к положительному направлению оси х стремится со временем к 45°, точно также, как и импульс Лэмба р1, построенный по завихренности ядра ш1 в [13,14].

Действительно, при \Vt\t > 1 имеем из (2.38) с помощью (2.40)

hit) = !(Ш)2 + е>((Ш)3), i2{t) = ш + е>((Ш)3), ot<i,

(2.39)

и

Pi ~ IH + ЫШ), Р2 ~ А*2 + Рз = Из

(2.41)

\tH + \tn \Q\t + \ti2 [ln(0t) - 0.6],

(2.42)




Рис, 2: Эволюция Ji(t) и 1г(т) и угла наклона Ф модифицированного импульса Лэмба для вертикально ориентированого (i = 1, 2 = 0) симметричного (з = 0) гауссовского вихря.

Ш =1-12 + (2.43)

P3(t) = §/4 - а*3 \ti\t, (2.44)

так что для вихрей, симметричных относительно плоскости z = 0 (/х3 = 0) получаем:

tan Ф = р2(t)/рг(t) -> 1. (2.45)

На рисунке 2 показана эволюция величин Ii(r) и /2(г), а также угла наклона Ф для случая 1Л = (1,0,0).

Однако, несмотря на неплохое согласие между ориентацией плоскости вихря, наблюдаемой в экспериментах, и его ориентацией, следующей из описания вихря с помощью МИЛ, вовсе не следует, что МИЛ является более приемлемой характеристикой для описания эволюции локализованных вихрей, которое призвано заменить неудачное описание с помощью импульса Лэмба ядра р1, предлагавшееся ранее в [12-16].

Ниже мы покажем, что возможно предложить и иные способы модификации импульса Лэмба, которые также будут свободны от трудностей, связанных со сходимостью соответствующего интеграла на больших расстояниях, как и только что рассмотренный МИЛ, однако, они приведут к совершенно другому сценарию эволюции геометрии вихря.

Фактически, это будет означать, что импульс Лэмба вообще не является адекватной характеристикой для описания эволюции локализованных вихрей. По крайней мере, для выбранной здесь (равно как и в предшествующих работах [12-16]!) постановки задачи о развитии начального локализованного вихревого возмущения на фоне течения с линейным профилем скорости.

2.2.3. Эволюция лагранжева импульса Лэмба локализованного возмущения

В этом разделе мы введем концепцию импульса Лэмба выбранной ( закрашенной ) группы жидких частиц и исследуем его эволюцию.



Рис, 3: Деформация начального шарика в эллипсоид из-за сдвига скорости (сечение z = 0). Показан момент времени т = 4.

Обозначим начальное положение жидкой частицы, находящейся в момент времени т в точке с координатами г = (xi,x2,x3), как r0: г (т = 0) = г0. Пусть компоненты вектора г0 будут si, s2 and S3: r0 = (s\,S2,sz). Тогда

xi = si - s2t, x2 = s2, x3 = s3, (2.46)

Выберем группу частиц, которые в начальный момент времени заключены внутри сферы радиуса R и мысленно закрасим ее:

го = у/si + 4 + 4 < R- (2-47)

Будем следить за этой окрашенной группой и вычислять ее импульс Лэмба. В следующие моменты времени, при т Ф 0 окрашенный шарик трансформируется в эллипсоид

(xi + х2т)2 + х22+х23< В2.1

Таким образом импульс Лэмба закрашенной группы частиц есть

Pi(R,r) = \eijk j XjUJk(r,T)dV, (2.48)

где интегрирование идет по объему эллипсоида. Устремляя далее Д -> оо и возвращаясь к интегрированию по объему начального шарика (т.е. к интегрированию в переменных г0), получим выражение для лагранжева модифицированного импульса Лэмба (ЛМИЛ):

Pi(R,r) = \eijk lim / Xj(r0)ujk(ro;T)dVo (2.49)

R->oo J

\r0\<R

где a}j(r0;r) = u(r(r0, г); т), и Xj(r0) определено выражением (2.46).

Можно показать, что ЛМИЛ р может быть получен из соотношения, связывающего предел lim Pi(R) с пределом усредненного ротора завихренности в Q-пространстве при Q - 0

R->оо

1Легко рассчитать параметры этого эллипсоида. Угол наклона фе большой оси эллипса к положительному направлению оси х равен tan фе = (\/т2 +4 - т), а квадраты большой и малой полуосей равны соответственно а2 = R2 1 + т2 + \tsJt2 + 4 и б2 = R2 1 + т2 - \tsJt2 + 4 . Полуось вдоль оси z не изменяется: с = R. Очевидно, что масса эллипсоида равна массе начального шарика: (47г/3) аЬс = (47г/3)Д3. При больших т а к, т, Ь к, 1/т, фе к, 1/т, т.е., эллипс сильно вытянут вдоль оси х и ориентирован почти горизонтально.



(аналогично МИЛ (2.6)):

где

р = -(2тг)3 HmVkXuKk))1

I гж/2 г2ж

>о = / dp0cosp0 I #1

27Г Jo Jo

(2.50)

(2.51)

Здесь Q = (Qi,Q2,Qs), Qi = h, Q2 = h - far, Q3 = k3, так что д/dki = д/dQi -

rd/dQ2, д/дк2 = d/dQ2, д/дк3 = d/dQ3.

Подставляя в (2.50) выражения для компонент завихренности (2.27)-(2.31), найдем для

компонент ЛМИЛ:

где

Пц = 1 + 1 ~J-2

П

12 -

п21 п22 =

sin ф tan р0 (р0 - Р) (1 + т cos ф sin р0 cos р0) I ~~ @) (1 + cossin/30cos/3o))n,

\ сопф

П13 = П2з = П31 = Пз2 = 0, \т + т {sin2sin2/30 tanр (pQ - р)

о

А х cos ф

sin р0 cos /?0 tan р (р0 - р)

П

2 - Пц + т

sin2) . 2

sin ро (ро - р))

2 х cos ф v 1 о При т ;§> 1 можно найти асимптотические выражения для П^:

(2.52)

(2.53)

(2.54) (2.55)

(2.56) (2.57)

т + 2, II,

б

т + 1пт-0.414,

б

1 т2 + т - \ In г, П22 ~ - т2 + т In т + 0.026 т, П33 и - т In г + 0.64 т.

(2.58)

Величины ftjfc показаны на рисунке 4. Видно, что для больших т, т > 40 компоненты ЛМИЛ равны

r(/xi + /x2), Р2 ~ трх и -т2 ( ! +/х2), р3 и -\т\пт ц3.

(2.59)

Мы теперь можем легко вычислить угол наклона Ф вектора р = (pi,p2,p3) в (ху) - плоско-с-ти для различных углов ориентации начального импульса Лэмба а (напомним, что р(0) = ц):

tan*(

р2(т) ft21/X! + П22Ц2

Pi (г) Пц/xi + Ul2/i2 На рисунке 5 показана эволюция Ф(т) для восьми ориентации ц: ап = (п

(2.60) 1)45°. Мы

Подчеркнем, что в (2.50) усреднение идет по поверхности сферы в Q-пространстве, но в к-пространстве это соответствует усреднению по поверхности эллипсоида Q2 = const = к\ + (к2 - к\т)2 + к2, размер которого (пропорциональный Q) затем устремляется к нулю. Напомним, что наш предыдущий способ модификации импульса Лэмба, МИЛ (т.е. интеграл по объему шара в обычном г-пространстве) и в к-пространстве соответствовал усреднению по сфере к2 = const = к\ + к\ + к\ (см. (2.6)). Таким образом два различных способа предельного перехода в реальном пространстве генерируют две различные процедуры усреднения в k-пространстве (см. сноску на стр. 5).




Рис, 4: Величины IIд. как функции т. Линии из точек соответствуют асимптотическому представлению (2.58)


4 8 12 16 20

Рис, 5: Эволюция угла наклона Ф вектора р. Цифры около кривых указывают начальную ориентацию.

видим, что при больших временах двумерный вектор р = (рьРг) направлен вертикально. Вихри, направления начального импульса Лэмба которых, лежат на рисунке 5 в заштрихованной области направлены при больших т вниз, а в незаштрихованной области - вверх.

Интересно отметить, что в течение достаточно длительного временного интервала 2 < т < 6 угол наклона приблизительно равен 45° or 225° (в зависимости от начального угла наклона а).

Заметим также, что случай р2 = -А*ъ или а = 135°, 315°, является специальным. В этом случае рост компонент более медленный и угол наклона приблизительно равен 45° или 225° в течение более длительного времени 5 < т < 10.

Резюме. Таким образом, мы видим, что два разных способа модификации импульса Лэмба, МИЛ и ЛМИЛ, приводят к двум совершенно разным результатам относительно их ориентации, которая устанавливается в результате эволюции: 45° для МИЛ и 90° для ЛМИЛ. Напомним, что с ориентацией вектора импульса Лэмба р мы интуитивно связывали ориентацию плоскости вихря, полагая, что, как и в обычной дипольной структуре (как, например,



в магнитостатике, если иметь в виду аналогию и - Н, ш j, р - га, где Н - магнитное поле, j - плотность электрического тока, а га = J(r х j) dF - магнитный дипольный момент) эта плоскость просто должна быть нормальна к направлению импульса Лэмба [13,14] точно так же как плоскость колечка с током перпендикулярна дипольному магнитному моменту.

Однако, теперь становится ясно, что импульс Лэмба в данной задаче просто не может адекватно описывать распределение завихренности. Выбирая различным способом форму области интегрирования, мы можем получать для одного и того же распределения завихренности не только произвольную зависимость его импульса Лэмба от времени, но и произвольный наклон плоскости развивающегося вихря.

Поэтому с неизбежностью возникает задача о расчете полного завихренности. Эта задача является довольно сложной численной задачей, которая в настоящее время решается,1 однако, в линейном приближении она нами фактически уже решена в разделе 2.2.1. Достаточно теперь провести обратное фурье-преобразование и посчитать поле завихренности в обычном координатном пространстве. Этому посвящен §3.

3. Вычисление полного поля завихренности в координатном

пространстве

Имеем

d3ku>i(k) ехр(г'кг),

где

Wi(k)

(2*)

Р0(к), 0(k)=0(A;r) exp(-QM2),

(3.1) (3.2)

а величины Q заданы выражениями (2.28)-(2.31).

Наиболее компактный способ вычисления интеграла (3.1) состоит в переходе от интегрирования в к- пространстве к интегрированию в Q-пространстве (т.е. в пространстве начальных волновых чисел).

Для этого напомним, что

где

kr = feii + к2х2 + к3х3 = Q г0.

г0 = (xi + х2т,х2,х3), Q = (h,k2 - hr,k3),

(3.3)

(3.4)

где г0 - начальное положение жидкой частицы, которая в момент времени т находится в точке г. Мы можем также ввести сферические координаты го, во и (fo точки г0:

х2 V (#i + х2т)2 + х3

xi + х2т)2 + х2 + х3, cos0o = -, sm0o = -

sm о

cos о

Xi + Х2Т

(xi + х2т)2 + х2 у (xi + х2т)2 + X2

Введем также угол О0 между векторами Q and г0:

(3.5)

cos ©о = cos 0О sin /Зо + sin в0 cos /30 cos(> - <р0). 1 Предварительные результаты этих расчетов изложены в тезисах конференции AIAA [22].

(3.6)



В этих обозначениях мы получаем (интегрируя по Q) окончательное выражения для о;,(г; т)

1 /-т/2

Wi(r0; т) = ui(r0, в0, ф0; т) =--- / cos2/30 d/3Q

2ж11%/п , ч/г0 cos 9(/3 rgcos2вo / r2cos2Oc

(3.7)

хйфСг(р\,ф;т){--5-)(---р-J expv §2

и в Q угол /3 должен быть выражен через (3q\

/3 = /3(/30,ф;т) = arctan(tan/30 + тсо$ф), (3.8)

Приведем также (опуская подробности вывода) выражение для поля завихренности для случая, когда вязкость не равна нулю. Имеем

2 гж/2

(г0; т) = uji (г0, 90, ф0; т) =--- \ cos2/30 dfio

7T°/Z Jo

[2жйф , /r0cose0w3 r2COS2O0N / r2cos2Oc

X/o ?(/3o;r)(-p-)(g- D2 )exp(-

(3.7a)

где

Г 4т .. 1/2

£> = П(/Зо,ф;т) = #jl + - [l+rcos/3osm/3ocos(/>+ r2 cos2/30 cos2>] , (3.9) а число Рейнольдса Re определено следующим образом:

Re = (3.10)

Используя (3.7), можно убедиться, что на больших г| действительно, как это следует из анализа исходных уравнений (1.3), ш ~ г-4. Более того, завихренность имеет на больших расстояниях такую угловую структуру, которая обеспечивает существование МИЛ (см. также Приложение А):

Гг(т-,е,<р) ,

,r) = ,v;;>+o(r-B),

где

j> do €цкщГк(т; 9, (р) = 0, rij = Xj/r, do = sin 9 d9 dep.

Последнее соотношение как раз и означает, что предел интеграла (2.4), определяющий МИЛ, действительно существует. (Заметим, что такая проверка одновременно является одним из возможных тестов правильности выражений (3.7).)

Несмотря на то, что выражение (3.7) является максимально компактным, оно все еще остается весьма трудным для анализа, поскольку включает двойные интегралы. Поэтому дальнейший анализ мы вынуждены выполнять численно.

13аметим, что интеграл по Q может вычислен с помощью весьма полезной формулы из книги [23] (3.952(5), стр. 509)

бар2 - а3

Г 2 2 I

/ х3 sin(aa:) е~р х dx = л/тг -Jo

ехр(а2/4р2).



т=0 т=1 т=2 т=3


-1 -0.5 0 0.5 1

Рис. 6: Линейная эволюция гаусовского вихря: (а), (6) - горизонтального и (с) - вертикального. Показаны изоповерхности абсолютной величины завихренности ш{т;т) = 0.7wmax (т) = const, где шт&х(т) - максимальное (по объему) значение модуля завихренности в момент времени т.

Заметим, что применимость линейной теории ограничена условием u?max <С где имеется ввиду максимальное значение абсолютной величины завихренности в вихре. Это, в частности, означает, что данное условие должно быть выполнено и для начального вихря, т.е.

wmax=w(r = 5/V2) = J = 0.154<O, или < 6.49 Ш4. (3.11)

С целью исследования линейной эволюции вихря мы численно рассчитали эволюцию поля завихренности по формуле (3.7). Результаты представлены на рисунке 6 в виде трехмерных изоповерхностей абсолютной величины завихренности для фиксированных моментов времени т (или, что то же самое, изоповерхностей плотности энстрофии L):

Ь(т; г) = const, L(t; г) = \ш{т\ г)2.

Здесь и везде далее в этой работе мы ограничиваемся случаем симметричных начальных вихрей, Цз = 0. При этом, как несложно понять, вихрь остается симметричным относительно плоскости z = 0 и в течение всей последующей эволюции. В частности, для плотности энстрофии имеем L(r; х, у, z) = L(r; х, у, -z).

Из рисунка 6 видно, что с течением времени начальный тор, соответствующий гауссовско-му вихрю, начинает поворачиваться, деформироваться, и в конце концов превращается в две симметричных сосиски . лежащие практически в горизонтальной плоскости и вытянутые вдоль течения.1

1 Заметим, что только на этом рисунке мы с целью более привычного восприятия ориентации плоскости вихря приняли = dUjdy > 0.



Эти сосиски могли бы, в принципе, служить прообразом ног шпильки. Однако, можно показать, что в рамках линейной теории сосиски превратиться в шпильку с помощью образования перемычки (так называемой головы шпильки) вблизи только одного из концов пары ног, не могут. Оказывается, это запрещено свойствами симметрии базовых уравнений!

Действительно, из линеаризованного уравнения (1,3а) и уравнения (1.3Ь) следует, что если

u(t = 0;г) = -u>(t = 0; -г) and u(t = 0; г) = u(t = 0; -г), (3.10)

т.е. если все компоненты начальной завихренности меняют знак при отражении координат г - -г, а все компоненты начальной скорости не меняют своих значений при замене г - -г, то это свойство симметрии сохраняется в течение всей (линейной) эволюции:

ш(р, г) = - ш(Р, - г) и u(t; г) = u(t; - г). (3.11)

Подчеркнем, что гауссовский начальный вихрь как раз и обладает упомянутыми свойствами симметрии (3.11).

Следовательно, для плотности энстрофии L(t; г) начального гауссовского вихря в произвольный момент времени t

L(t;x,y,z) = L(t;-x,-y,-z). (3.12)

В случае симметричного вихря, ц3 = 0 мы имеем дополнительную z-симметрию: L(t; -х, -у, -z) = L(t; -х, -у, z). Следовательно, мы получаем

L(t;x,y,z) = L(t;-x,-y,z). (3.13)

Это означает, что текущее распределение энстрофии должно быть инвариантным относительно одновременной замены х - -х, у - -у даже при одном, и том, же z. В частности, мы имеем прямо между ногами , т.е. в плоскости z = 0

L(t;x,y,0) = L(t;-x,-y,0). (3.14)

Но отсюда следует, что мы не можем получить шпильку в ходе линейной эволюции, так как шпилькообразное распределение энстрофии не обладает свойством симметрии (3.14)!

Однако, ситуация радикально меняется если мы включаем в рассмотрение нелинейные члены в уравнении (1.3). Легко видеть, что нелинейные члены (подчеркнутые в (1.3)) полностью разрушают свойства симметрии линейного уравнения (1.3) и следовательно, запрет на шпильку в нелинейной теории снимается!

Поэтому (численное) исследование нелинейной стадии эволюции локализованного вихря становится настоятельно необходимым. Предварительные результаты численных расчетов с сильными вихрями подтверждают возникновение шпилек на определенной стадии эволюции вихря [22].

4. Полная энстрофия локализованного вихря как мера его интенсивности. Исследование характера усиления (ослабления) вихря в зависимости от его начальной ориентации

4-1. Вычисление полной энстрофии локализованного вихря в невязкой жидкости





1 2 3 4 5
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.