Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Вихри

1 2 3 4 5

Для того, чтобы иметь возможность описывать усиление или ослабление вихря в ходе эволюции, введем в качестве одной из его интегральных характеристик полную энстрофию:

£ = / u2(r)dV (4.1)

Полная энстрофия £ может служить в качестве меры интенсивности вихря.1 Важно помнить, что £ зависит от времени т, а также от направления начального импульса Лэмба fi. Заметим, что если в задаче учитывается конечная вязкость и, то £ зависит также и от числа Рейнольдса Re, которое в нашей задаче следовало бы определить, как Re = Vt82/v. Поскольку мы в этой работе ограничиваемся невязким случаем, будем полагать Re = оо. Эффекты конечной вязкости, кстати весьма существенные для проблемы усиления вихря, будут описаны в следующей работе и частично уже описаны в [22].

Итак, £ = C(r,fi). Мы можем выразить интеграл через фурье-переменные:

£ = (2тг)3 У w(k)2d3fc, (4.2)

или, в сферических координатах в k-пространстве с к = к (cos /3 cos ф, sin /3, cos /3 sin ф) в виде:

k2dk j cos [3 d[3 /

/О J-w/2 JO

Для начального гауссовского вихря имеем

/ оо Г /2 Г2

£ = (2тг)3 / k2dk cos р dp dф\ш(k)\2. (4.3)

Jo J-n/2 Jo

шг(к) = -р(г(к), (г(к)=(г(Р,ф;т) exp(-Q2£2), (4.4)

где Q2 = к2 + k2 + (k2 - кгт)2, p = (kf + Щ)1/2 = к cos p.

Интегрируя в Q-пространстве (вместо интегрирования по переменным к-пространства), где Q = Q (cos (30 cos ф, sin (30, cos (30 sin ф), р0 = arctan(tan Р - rcos ф)) получим

£ = 7з / Q4exp(-Q252)(iQ/ d,p0cos3p0 с1ф£(т,р0,Ф), (4.5)

(lit)6 Jo J-w/2 Jo

л 2 л л л

или £ = С\ + £2 + £з, где С = Ci + Cl + Сз; а А означает вклад с2 соответственно.

Компоненты (т,/Зо,ф) заданы выражениями (2,28)-(2,31). Для мы имеем

£2 = (1 + tan2/3) + [tan р0 (/хх cos ф + Цз sin </>) - /х2]2. (4.6) Введем приведенную полную энстрофию:

£(т, т) = £(г, /л)/£(т = 0, \[л\), (4.7)

1 Заметим, что на первый взгляд кажется более естественным выбрать в качестве меры интенсивности вихря его полную энергию £. Однако, попытка ввести ее разумное определение, типа £ = /[(U + и)2 - U2] dV, наталкивается на ту же трудность, с которой мы столкнулись при попытке введения импульса Лэмба. Действительно, поскольку J (U u) dV расходится (напомним, что u ~ г-3 при больших г), то признать такое определения энергии вихря корректным нельзя. Легко также понять, что аналогичное введение полной энстрофии С лишено подобных трудностей, поскольку J и) dV = 0.



4000

3000

2000

1000


Рис, 7: Коэффициенты 1ц в зависимости от т. Точечные пинии соответствуют асимптотическим выражениям (4.12).

есть полная энстрофия при т = 0.

Подчеркнем, что приведенная энстрофия С действительно не зависит от абсолютной величины начального импульса Лэмба а зависит только от его направления m = (л/\(л\} Следовательно, мы можем без ограничения общности полагать \ц\ = 1, и считать, что m = ц.

Окончательно, получаем для приведенной полной энстрофии

Величины £ij, входящие в (4.9) есть

3 гж12 гж г

1 = - / dfio cos р0 / йф \ sin2/30 со82ф + о 1

2irJo

cos2/3(

COS2/?

0 2

ф[1 + (Ро-Р)ЫпРо}2},

£l2 = £21

3 Г/2,

2irJo

dPo cos Po / йф j cos Po sin p0 cos ф

COS2/30 8Ш2ф

cos2/3 созф

(Po -P)[l + (Po - P) tan А,]}, 4з = £23 = 4i = £32 = 0,

£22 = w~ f dp0 cos/30 / # {cos2/30 + Wh (Po - P)2 tan2)},

/тг .In In l гпяан J

cos2/30

2ttJo

3 гж/2 fw (

£33 = - I dp0 cos Po / dф sin2/30 sin2> +

cos2/30 2 cos

2irJo J0 T T cos2/3

Зависимость величин £y от времени показана на рисунке 7.

COS2/?

0[-1 + (А) -/3) tan/30tan2]2},

(4.9)

4.10а

4.106 4.10с 4.Ш 4.10е

4-2. Усиление (ослабление) вихря и связь с проблемой гидродинамической устойчивости

При т > 1 получаем из (4.10)

~ т2 + т (niij In т + riy),

f4.ll)

1 Напомним, что это утверждение справедливо только в линейной теории!



97Г2 + 32 23

1и = и 0.41954, шп = 0, пи = -- и -2.5555, (4.12а)

288 9

5 97г2 + 2

112 = - и 0.55556, mi2 = 0, щ2 =--- ~ -2.8289, (4.126)

9 36

9тт2 - 40 10 ,

I22 =---~ 1.35629, т22 = -- и -3.3333, п22 и 2.9, 4.12с

36 3

Z33 = и 0.92529, т33 = -у и -5.5556, п33 и 12.8. (4.12d)

Для приведенной энстрофии мы имеем при т 1

£(т) и а(ц)т2, а{р) = 1ц ц\ +2112 цгц2+ 122 ц\+ 1Ш ц\. (4.13)

Теперь мы имеем возможность проследить характер эволюции энстрофии при больших временах.

Анализируя коэффициент а(р) мы легко можем найти ориентацию вектора /л, соответствующую тем начальным вихрям, которые окажутся на больших временах наиболее усилившимися. Фиксируя \fj,\ = 1, получаем, что а максимально при ц = (cos а^, sin а^, 0), где

7Г 1 2 I

аоо = - + - arctanf--¥-) и 65.07° (4.14)

и равно

а = (W = [(1и + Z22) + n-22)2 + 4lf2] и 1.6146. (4.15)

Заметим также, что ориентации наименее усилившихся на больших временах вихрей соответствует угол ~ 155.07° с amjn и 0.1613, то есть энстрофия вихрей, начальный угол ориентации ИЛ которых направлен вдоль этого направления, будет на порядок меньше максимальной.

Далее снова полагаем /л3 = 0. В этом случае достаточно описывать ориентацию начального вихря единственным углом наклона его импульса Лэмба а: Ц\ = cos а, \±2 = sin а, ц3 = 0. Иными словами, угол а - это угол между положительным направлением оси х и направлением начального импульса Лэмба /л.

Для произвольного момента т максимальное (по углам ориентации начального ИЛ а) усиление энстрофии

0СМ)пшх = §[(iito +Ыт)) + (1п(т)-122(т)Г + 4112(тГ}. (4.16)

Оно соответствует ориентации /л такой, что /л = (cos а(т), sin а(т), 0), где

/ ч тг 1 / 2£12(т) \ ,Л

aH = i + -arctan(<n(r) y2(T)). (4.17)

Численный расчет показывает, что а (г) растет монотонно от ск(0) = 45° до а(оо) = = 65.07° (см. рисунок 8).

Рисунок 9 показывает приведенную энстрофию (отложена вдоль радиальной координаты) как функцию угла наклона а (угловая координата) для четырех значений т: т = 0; 0.5; 1.0 и 5.0.



I-,-,-,-,-,-,-,-, т

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Рис, 8: Угол а(т) наклона вектора импульса Лэмба, для которого достигается максимальное усиление энстрофии к данному моменту времени т.

Любопытно отметить, что при больших т из (2,28) - (2,31) и (4,11) следует что интенсивность вихревого движения в х и z направлениях существенно больше, чем в у направлении, А ~ £з > А, или

А ~ £3 = 0{т2С2)- (4.18)

Это означает, что практически вся энстрофия сосредоточена только в горизонтальных направлениях вихревого движения Этот факт интуитивно согласуется с результатами численных расчетов изоповерхностей плотности энстрофии (см. § 3, а также §5), которые показывают, что плоскость локализации слабого вихря в невязкой жидкости вихря асимптотически становится горизонтальной. (Как мы уже отмечали, случай сильных вихрей в вязкой жидкости будет рассмотрен в отдельной работе.)

Таким образом, в невязком случае для всех возможных углов ориентации начального вихря мы имеем степенное (£ ~ т2) нарастание полной энстрофии вихря.

Мы можем рассматривать такое асимптотическое нарастание энстрофии как проявление неустойчивости - начальный вихрь начинает неограниченно (по крайней мере, в линейной теории) усиливаться.

В этом факте степенного усиления энстрофии нет ничего неожиданного. Он просто является отражением другого известного факта, состоящего в том, что невязкое течение Ку-этта неустойчиво относительно нарастания трехмерных волновых возмущений, и эта неустойчивость как раз и является степенной, или, как ее еще называют, алгебраической [24]. Напомним, что трехмерными возмущениями в теории гидродинамической устойчивости плоско-параллельных сдвиговых течений с U = (U(y), 0, 0) принято называть возмущения типа ~ h(y) exp(kix + k3z) с k3 ф 0. Напомним также, что относительно двумерных волновых возмущений (fc3 = 0) течение Куэтта устойчиво вообще (то есть нет не только экспоненциальной неустойчивости, но даже алгебраической).1

Но локализованный вихрь представляет из себя волновой пакет, составленный из трехмерных волновых возмущений. Поэтому мы и получили здесь степенной рост полной энстрофии вихря.

Из проведенного сопоставления с теорией гидродинамической устойчивости сразу также

1Последнее обстоятельство в совокупности с известной теоремой Сквайра [25] (утверждающей, что если есть устойчивость относительно двумерных возмущений, то относительно трехмерных она есть и подавно), долгие годы приводило к парадоксу, состоящему в противоречии между экспериментальным фактом наличия турбулентности в течении Куэтта и отсутствием неустойчивости в теории (см. подробнее об этом в великолепном обзоре Хеннингсона и др. [26]). Этот парадокс как раз и был разрешен открытием степенной неустойчивости (ш\(т,k) ~ ojz(t,к) ~ т, W2(t, к) ~ 1) трехмерных возмущений, вызванной так называемым lift-up эффектом [27], который не был учтен при доказательстве теоремы Сквайра [25].




Рис, 9: Приведенная энстрофия (радиальная координата) как функция угла наклона начального импульса Лэмба а (угловая координата) для четырех значений т: т = 0; 0.5; 1.0 и 5.0.

следует и факт невозможности экспоненциального роста вихря в рамках модели, где в качестве фонового течения выступает течение Куэтта.1

Именно в этом и заключалось основное противоречие теории [13,14] с известными фактами классической теории гидродинамической устойчивости, о котором мы упоминали во Введении.

Заметим также, что учет конечной вязкости тем более не может привести к экспоненциальному росту вихря. Наоборот, наличие вязкости приводит к тому, что вихрь на некоторой стадии своей эволюции может остановить свой рост, а далее начать диссипировать (рассасываться). Действительно, аналитические и численные расчеты, результаты которых будут приведены в части 2, показывают справедливость этого утверждения. Более того, достаточно большая вязкость (достаточно маленькое число Рейнольдса) с неизбежностью приводит к конечности времени жизни слабого вихря. Однако, если вязкость не слишком велика, а начальная амплитуда вихря не слишком мала, нелинейность может вступить в игру еще до того, как вихрь начнет затухать. Этот вопрос требует дополнительного (разумеется, численного) исследования.

Интересно отметить, что, как это следует из (2.11), учет вязкости совершенно не влияет на динамику модифицированного импульса Лэмба р, так же, как и в [12,13] она не влияла на динамику импульса Лэмба ядра р1. Несложно понять, что этот факт вовсе не противоречит тому, что на динамику полной энстрофии вязкость влияние оказывает.

1 Точно то же утверждение относится и к эволюции локализованного вихря на фоне течения Тейлора-Куэтта (круговое течение вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами). Здесь также не может быть экспоненциального нарастания вихря в той области параметров (т.е. угловых скоростей вращения цилиндров, их радиусов и числа Рейнольдса), при которых линейная теория гидродинамической устойчивости предсказывает устойчивость. В настоящее время нами построено точное решение, описывающее развитие слабого вихря в круговом течении, которое будет представлено в следующей нашей работе.




Рис, 10: Контуры приведенной энстрофии С(т;а) = const на плоскости т - а. Незакрашенные области соответствуют ослаблению вихря, С < 1. Кривая на рисунке показывает угол а, для которого к данному моменту времени т достигается максимальное усиление вихря (см. рис. 8).

На рисунке 10 показаны изолинии £(т; а) для невязкого случая. Закрашенные области плоскости (т, а) соответствуют £(т; а) > 1, то есть усилению вихря, а незакрашенные области соответствуют £(т; а) < 1, то есть ослаблению вихря. Хорошо видно, что для некоторых углов ориентации начального вихря усиление начинается с самого начала, с т = 0, в то время, как для других рост начинается спустя некоторое время после начала эволюции.

4-3. Усиление энстрофии и идея Теодорсена о преимущественном, образовании 45 -

градусных вихрей

Еще полвека назад Теодорсен [28] высказал гипотезу, объясняющую, почему в экспериментах преобладает именно 45-градусное направление ориентации подковообразных вихрей (horseshoe vortices), то есть вихрей, плоскость которых наклонена под 45° к направлению базового течения.

Поскольку наиболее четко идея Теодорсена представлена не в самой работе [28], а в более поздней работе [4], будем следовать изложению [4], адаптировав его к нашему случаю линеаризованной задачи и фонового течения с dU/dy = -О = const.

Воспользуемся базовым уравнением теории (1.3а), отбрасывая в нем нелинейные (подчеркнутые) члены. Умножая это уравнение скалярно на ш, получим уравнение описывающее динамику энстрофии жидкой частицы:

-(fw2) = -Пш!ш2 + п(ш^1 +р(шАш), (4.19)

где d/dt = д/dt + (UV) - лагранжева производная по времени. Правая часть (4.19), за исключением вязкого члена, представляет из себя не что иное, как след от линеаризации так называемого члена натяжений (stretching term) wfwj duj/dxj, где верхний индекс t означает полное (нелинеаризованное) значение физической величины, ш' = fl + ш. u* = U + u.

Анализируя первое слагаемое в правой части, легко понять, что оно максимально, когда двумерный вектор (uu) (при фиксированной его абсолютной величине) направлен под



углом 135° к положительному направлению оси х, что соответствует углу 45°, отсчитываемому от направления средней скорости U в верхнем полупространстве у > 0. (Напомним, что положительным значениям О соответствует dll/dy < 0).

На основании этого бесспорного факта Теодорсен пришел к заключению, что и концентрация вихря (его энстрофия) будет максимальна в плоскости ориентированной под углом 45° к течению, что как раз и соответствует экспериментам.

Гипотеза Теодорсена за прошедшие полвека неоднократно подвергалась критике с различных точек зрения. Здесь мы хотим обсудить только два аспекта, опираясь на только что полученные (на основе точного решения) результаты об эволюции полной энстрофии, на результаты расчетов трехмерного поля завихренности, приведенные в § 3, а также на результаты расчетов наклона плоскости локализации вихря, которые будут описаны чуть ниже, в

Первый аспект состоит в том, что вывод о наибольшей скорости нарастания 45-градусных вихрей сделан, строго говоря, на анализе структуры только одного из членов в правой части (4.19). Наш анализ показывает, однако, что второй член, О (ш du/dz), представляющий собой другую часть члена натяжений , ответственную за искажение поля скорости течения, вызванное вихрем, и действительно исчезающий при интегрировании по полному объему вихря в начальный момент времени, со временем становится существенно отличным от нуля и может конкурировать с первым.

Таким образом, несомненно верное утверждение о роли stretching term, высказанное Тео-дорсеном, относится, строго говоря, только к начальным моментам времени, т С 1, когда искажением поля скорости течения еще можно пренебречь. Какие же из начальных вихрей окажутся наиболее усилившимися за достаточно большое время, в ходе которого направление скорости может тоже существенно измениться, из приведенных рассуждений становится уже совсем неясно.

И второй аспект, связанный, разумеется, с первым, состоит в том, что теперь, с учетом изменения ориентации поля скорости (фактически, не учитываемого в рассуждениях Теодорсена) становится совершенно неочевидным, что затравочный вихрь с 45-градусной ориентацией, который в начальный момент усиливался быстрее всех остальных, не изменит ориентацию своей плоскости в ходе эволюции.

Из результатов § 4.2 (напомним, что они относятся к невязкому случаю), наиболее наглядно проиллюстрированных на рисунках 8 - 10, следует, что при малых т, действительно, самыми сильными являются 45-градусные вихри. Их интенсивность, мерой которой служит полная энстрофии вихря, максимальна. Однако, при больших временах наиболее сильно оказываются выросшими уже совсем другие вихри, те, у которых в начальный момент плоскость локализации была сильнее прижата к направлению течения). В пределе т !Э> 1 самыми сильными оказываются вихри, которые вначале были наклонены вовсе не под 45°, а под 25°.

Следует отметить, что в этом пункте, если отвлечься от не слишком большой разницы предсказанных углов максимального усиления, гипотеза Теодорсена оказалась достаточно правдоподобной.

Оказывается, что в данном аспекте учет вязкости также работает в пользу этой гипотезы. При конечном числе Рейнольдса, Re = Vt82/и, разница между углом максимального усиления и углом 45°, предсказанным Теодорсеном, становится еще меньше. Легче всего это можно понять из выражения для полной энстрофии при малых т, полученного с учетом вязкости (подробности его вывода опускаем):


(4.20)



Из (4,20) следует, что в начальные моменты действительно самыми сильными являются 45, или, что то же самое, 225-градусные вихри. А вихри, плоскость которых наклонена под 135° наоборот, самые слабые (они даже слабее чем начальный вихрь, т.е. £ < 1). Оказывается, что при достаточно большой вязкости усиливаются углы, только очень близкие к 45°, а при Re = Rea = 20, усиливается вообще только единственное направление, 45°. (Расчеты эволюции полной энстрофии с учетом конечной вязкости показывают, что с течением времени начнут усиливаться и вихри других направлений, соседних с 45°, (ср. с рис. 10 для невязкого случая), однако углы максимального усиления остаются близки к 45° в течение всей эволюции вплоть до начала диссипации вихря.)

Гораздо менее благополучно обстоит дело со вторым пунктом, касающимся угла наклона плоскости локализации вихря. Если мы проследим за эволюцией угла наклона плоскости локализации энстрофии (плоскости вихря), то мы обнаружим, что при больших временах этот угол стремится к пулю (т.е. плоскость вихря стремится стать горизонтальной), а вовсе не к 45°. Напомним, что такой результат следует из линейной невязкой теории на основе анализа точного решения для эволюции вихря. Это утверждение проиллюстрировано на рисунке 6, и также расчетами эволюции этого угла, выполненными на основе тензора распределения энстрофии (TED), которые будут представлены в §5.

5. Тензор распределения энстрофии и геометрия вихря

Мы можем часто избежать громоздкого описания вихря с помощью задания его полного векторного поля, если сможем ввести некую интегральную характеристику вихря, которая, хотя и не будет, разумеется, отражать полной мере всей векторной структуры вихря, однако, позволит хотя бы грубо описывать его основные геометрические параметры.

С этой целью воспользуемся аналогией с теми подходами, которые используются в электростатике для описания распределения электрического заряда. Это принято делать с помощью так называемых мультипольных моментов.

Введем понятие тензора распределения энстрофии, TED, которое по сути дела есть обычный квадруполъный момент распределения энстрофии.1

Итак, определим этот тензор следующим образом (см., например, [29]):

Тц = j dVu)2(r) XiXj. (5.1)

Как любой симметричный тензор он может быть приведен к главным осям, х[.; где он имеет диагональный вид:

Ах 0 0

Т'= 0 А2 0 , (5.2)

0 0 А3

Здесь Xi - собственные значения матрицы Ту, т.е. решения характеристического уравнения

Det \\Tij - XSijW = 0. (5.3)

Тогда направление одной их главных осей, которое соответствует наименьшему из этих трех значений А, является направлением, которое следует отождествить с нормалью к плоскости вихря. А сам вихрь вытянут вдоль направления, которое соответствует наибольшему значению А.

1Легко понять, что из свойств симметрии, описанных в § 3, следует, что в линейной задаче с гауссовским вихрем вектор дипольного момента просто равен нулю. Однако, в нелинейной задаче (см. [22]) это уже не так.




Можно также ввести понятие размеров вихря а, вдоль соответствующих главных осей х\

(5.4)

/ \ V JWw2(r)

Назовем наибольшую ось а, наименьшую - Ь, а третья ось пусть будет с. Чтобы почувствовать смысл и понять свойства TED, вычислим его сперва для нашего начального гауссовского вихря. Мы получаем

Тц = К (2 5ц - iM/ij) = Ktij, где К = 1/(4у/2 7г3/253). Когда тензор

(5.5)

/4 + 2 (/4 + /4) -in/12

li\ + 2 Guf + /x2)

-ЦФз -№3 i4 + 2 (A + t4)

приведен к главным осям, он может быть представлен в одном из трех видов

0 2ц2 0 0

(5.6)

\±1 о о 0 2/j,2 0 0 0 2ц2

2/j,2 0 0 /л2 0 0 2ц2

, или /

0 2/j,2 0 0 0 \i2

(5.7)

в зависимости от того, какая их главных осей х[, х'2 или х'3 выбрана вдоль направления вектора /л. Здесь ц2 = \fi\2.

Мы видим, что направление вдоль ц действительно соответствует наименьшему из трех значений А, т.е. /j2, а в плоскости, которая нормальна к этому направлению, собственные значения равны друг другу и равны 2/i2. Отношение размеров вдоль /лив плоскости, перпендикулярной (л равно 1 : у/2.

Таким образом, TED довольно содержательно характеризует распределение энстрофии, для которого у нас есть наглядное визуальное представление из рисунка 1.

Далее снова ограничим изложение случаем симметричного (относительно плоскости z = 0) вихря, /л3 = 0. В этом случае легко понять, что ось х3 (ось z) остается одной из главных осей в течение всей эволюции, a TED имеет более простой вид

(5.8)

В этом случае тензор приводится к главным осям простым поворотом плоскости {xi,x2) вокруг оси х3(= х'3) на угол Ф

2 С

tan2Ф = ---, (5.9)

А

с

С

в

и имеет в этих осях диагональный вид

А' 0 0 0 В' о 0 0 D



Пусть ось х[ совпадает с самой короткой главной осью. Тогда в новых осях получаем

\{A+B-J{A-B)2+AC2} 0 0

l[A+B+J(A-B)2+4C2} 0

0 0 D

(5.10)

и угол между положительным направлением оси х и направлением нормали к плоскости вихря (т.е. осью х'(= i)),1

Ф = ajctan( 2С> ) + Iя (1 + g); s = sign(A- В). (5.11)

Теперь, пользуясь введенным понятием TED, мы можем с помощью него рассчитать геометрические характеристики вихря и сравнить их с результатами, которые следуют из расчетов трехмерного поля завихренности по точным формулам (3.7).

Результаты расчетов параметров вихря, полученные на основе TED, для четырех начальных направлений вектора /л, а = 0°, 45°, 90°, 135° (где /л = (cosa, sino;,0)) показаны на рисунках 11 и 12.

Видно, что при достаточно больших т нормаль к плоскости вихря почти вертикальна,

Ф 7г/2-1/т. (5.12)

Длинная ось вихря, а, растет линейно, а ос т. и ориентирована почти вдоль течения, а короткая ось, Ь, уменьшается, Ь ос 1/у/т. Третья ось, с ориентирована вдоль х3 и растет очень медленно, логарифмически (или даже стремится к постоянному значению, если /ii = 0, см. рисунок 11 (с)), с ос уД nr. Объем вихря, V = abc, тоже растет по закону V ос л/т In т. (Исключением являются случаи /х2 = 0, т.е. а = 0 и а = 7г, когда рост становится очень медленным - Ь ос т-1\/шт и V ос In т.)

С целью оценить эффективность описания геометрии вихря с помощью тензора, результаты, касающиеся геометрии вихря, полученные с помощью TED, сравнивались с результатами, следующими из расчетов полного поля завихренности по точным формулам (3.7).

Было показано [30] хорошее согласие геометрии вихря, следующее из TED, с фактической формой изоповерхностей.2

Таким образом, можно констатировать, что TED является довольно удобной и надежной интегральной характеристикой для описания динамики вихря. Разумеется, векторную структуру вихря он описать не способен, однако, с его помощью можно получать достаточно много информации о вихре.

Заметим, что асимптотическая ориентация вихря, получающаяся из расчетов с помощью TED (или с помощью полного решения (3.7)), находится в качественном согласии с его ориентацией, которая следует из описания с помощью ЛМИЛ (см. §2.2.3), а именно, плоскость вихря становится почти горизонтальной.

1 Замечание. Соотношение (5.11) определяет угол Ф только в интервале < Ф < Зтт/4. Если мы хотим

удовлетворить следующим требованиям - (а) - чтобы при т = 0 положительное направление оси х'г совпадало с направлением вектора ц, т.е. Ф(т = 0) = а и (Ь) - чтобы функция Ф(т) была непрерывной функцией т, -мы должны добавлять в правую часть (5.11) при некоторых значениях т либо 7г, либо даже 2-к (см. рисунок 12).

2Детальное сравнение геометрических характеристик вихря, полученных из расчетов с помощью тензора, и их реальных характеристик, рассчитанных на основе полного поля завихренности, с учетом эффектов конечной вязкости и нелинейности, проведено В. Супоницкой и будет представлено в ее работе с соавторами.





1 2 3 4 5
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.