Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Вихри

1 2 3 4 5


Рис, 11: Временная зависимость параметров вихря. Оси а, Ь, с и объем V для начальных значений угла наклона а: (а) - а = 0°, (6) - 45°, (е) - 90°, (d) - 135° и (е) - угол наклона Ф как функция т для этих 4 начальных значений.


Рис. 12: Эволюция угла наклона короткой оси х'г (т.е. нормали к плоскости вихря, ее положительное направление совпадает при т = 0 с направлением вектора ц, т.е. Ф = а) для 8 начальных значений а -0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° and 315°. Радиальная координата - сдвинутое время, (1 + т), а угловая координата - угол наклона Ф. Цифры вблизи окружностей означают время т.



Однако при не слишком больших т, утлы наклона плоскости, получаемые с помощью этих двух (или даже трех) разных описаний, сильно отличаются. Это еще раз подтверждает высказанный в § 2 тезис о непригодности импульса Лэмба в качестве интегральной характеристики вихря в данной задаче.

Результаты, касающееся геометрии вихря, полученные в этом параграфе, в отличие от результатов, касающихся эволюции полной энстрофии, описанных в §4, оказываются практически нечувствительными к учету конечной вязкости. Однако, они зависят от уровня нелинейности. Это будет показано в работе В. Супоницкой и др.

6. Обсуждение

Как уже отмечалось во Введении, побудительным мотивом данного исследования был анализ теоретической модели, предложенной в [13] для объяснения механизма эволюции локализованных вихрей, наблюдаемых в турбулентных пограничных слоях. Ключевым местом данной модели является разделение полного поля завихренности на концентрированную завихренность с вихревыми линиями, замкнутыми в области, непосредственно окружающей начальное вихревое возмущение, и поле завихренности, связанное с вихревыми хвостами , образующимися в процессе эволюции начального вихревого возмущения. Следует отметить, что возможность такого разделения математически строго не обосновывается, а принимается в [13] и последующих работах [14-16], как физически оправданная гипотеза. Критерием правильности данного подхода служит соответствие результатов теоретического анализа результатам экспериментов. В частности, предсказания, полученные на основе модели [13,14] для вращающегося течения Куэтта, подтверждены в эксперименте [12].

В данной работе гипотеза о возможности разделения завихренности проверяется путем построения полного поля завихренности в произвольный момент времени для малого по амплитуде локализованного начального возмущения. Задача об эволюции слабого локализованного возмущения решается точно для внешнего потока с линейным профилем скорости. При этом аналитическое решение выписывается в Фурье-пространстве, а соответствующее поле завихренности в координатном пространстве получается путем сведения трехмерного обратного преобразования Фурье к двойному интегралу и последующему использованию численной процедуры. Для упрощения последующего анализа поля завихренности в качестве начального вихревого возмущения выбран гауссовский вихрь (2.25), задающий простейший локализованный вихрь, имеющий структуру вихревого диполя.

Показано, что в соответствии с результатами классической теории устойчивости (см. например, [31]), амплитуда завихренности растет не быстрее, чем по степенному закону. Данный результат противоречит полученному в [13, 14] экспоненциальному росту импульса Лэмба для специальным образом выделяемого ядра вихревого возмущения. Последнее могло бы объясняться тем, что генерация новой завихренности в процессе эволюции вихревого возмущения может приводить к быстрому нарастанию массы вихревого ядра . Именно это явление и наблюдается при визуализации вихревых структур в турбулентных пограничных слоях. В частности, наблюдается стремительный рост (в смысле геометрического роста) шпилькообразных вихрей, которые представляют из себя локализованные вихревые диполи.

Чтобы проанализировать данную возможность, мы вводим понятие модифицированного импульса Лэмба (МИЛ), определяемого как интеграл от дипольного момента завихренности по объему бесконечного шара. Данное определение формально совпадает с определением



импульса Лэмба, используемым в [13,14], но, в отличие от последнего, определено для полного поля завихренности. При этом мы, используя только свойство локализованности возмущения и не накладывая ограничений на его амплитуду, показываем, что если МИЛ существует в начальный момент времени, то он существует и в любой последующий момент времени и не зависит от выбора системы координат.

Анализ поведения МИЛ на больших временах t > I/O показывает, что при всех ориента-циях начального гауссовского вихря, МИЛ растет не быстрее, чем линейно со временем.

Этот результат позволяет непосредственным образом проверить гипотезу [13] о возможности выделения ядра вихревого возмущения. Действительно, предположим, что такое разделение возможно, то есть ш = ш1 + шП, где ш1 описывает вихревое ядро , а ш11 описывает вихревое облако , включающее в себя все хвосты полного поля завихренности. Для каждого поля завихренности можно в соответствии с выражением (2.4) определить его модифицированный импульс Лэмба, так что р = pJ + pJJ. При этом, как и в [13, 14], р1 является настоящим импульсом Лэмба. Соответственно, уравнение (2.11), описывающее динамику МИЛ полного поля завихренности, разбивается на два уравнения

(Щ г 7 dUi х 7 dUj

=-*р*-ц(6Л)

dPi1 i-ndUi x-ndUj ,. rT(i)/m , т(2)

dt 2 J dxj 2 J dxi Roo

Заметим, что по условию разбиения хвосты полного поля завихренности дают вклад только в динамику pJJ.

Из уравнения (6.1) следует экспоненциальный рост р1. Из того, что сумма pJ + pJJ растет не быстрее, чем по степенному закону, следует что и pJJ растет экспоненциально быстро. При этом заметим, что члены в уравнении (6.2), описывающие вклад хвостов завихренности в динамику pJJ, растут также не быстрее, чем по степенному закону. Таким образом, основной вклад в динамику МИЛ для поля ш11 дает область, непосредственно окружающая вихревое ядро и, следовательно, предположение о возможности выделения вихревого ядра несостоятельно.

С другой стороны импульс Лэмба, определенный для полного поля завихренности, не может являться адекватной характеристикой эволюции локализованного вихря. Формальная причина - это тот факт, что объемный интеграл, входящий в определение импульса Лэмба не сходится абсолютно, и его значение зависит от формы области интегрирования при устремлении ее размеров к бесконечности. В данной работе это иллюстрируется сравнением асимптотических значений импульса Лэмба для двух случаев, когда объем интегрирования представляет из себя сферу один раз в эйлеровых, а в другой раз - в лагранжевых координатах.

Суммируя все попытки описания эволюции локализованного вихря во внешнем сдвиговом потоке, можно констатировать, что использование моментов поля завихренности в данной задаче неправомочно. Следует заметить также, что использование более высоких моментов завихренности порождает еще большие проблемы, так как в этом случае нет не только абсолютной сходимости, но и просто сходимости подынтегральных выражений.

Для того, чтобы иметь возможность описывать усиление или ослабление вихря и изменение его геометрических характеристик в ходе эволюции, мы проанализировали эволюцию полной энстрофии вихря (4.1) и тензора распределения энстрофии (5.1). Заметим, что использование таких характеристик вихря не позволяет расширить анализ, включив в него и сильно нелинейный случай так как они не являются инвариантами самоиндуцированного движения.

lim [jfCR) + jf\R) + jf\R)}. (6.2)

Т.-¥00 l j



Вместе с тем, они позволяют описать эволюцию амплитуды завихренности и основные геометрические характеристики вихря с помощью всего нескольких независимых параметров, В принципе, переход с волнового языка , принятого в классической теории устойчивости, где каждая мода характеризуется такими естественными параметрами как волновое число, амплитуда и фаза волны, на корпускулярный язык , более соответствующий природе локализованных возмущений, требует и выработки подходящих терминов для описания эволюции вихря,

В частности, эффективность описания вихря на основе тензора распределения энстрофии (TED) может быть продемонстрирована путем сравнения визуальных картинок изоповерх-ностей плотности энстрофии u?(r)2 = const, построенных на основе точного решения для полного поля завихренности, с тем, что следует из описания с помощью TED для углов наклона плоскости вихря и его размеров. Таким образом, TED является надежной альтернативной (импульсу Лэмба) интегральной характеристикой, дающей возможность наглядного представления его эволюции взамен громоздкого описания с помощью полного поля завихренности.

Анализ проведенный на основе TED показывает, что на больших временах плоскость вихря становится почти горизонтальной . Таким образом, теоретическое предсказание, полученное на основе точного решения задачи об эволюции слабого локализованного вихря противоречит известным экспериментальным фактам, полученным с помощью визуализации шпилькообразных вихрей, развивающихся в турбулентных пограничных слоях [4], или искусственно синтезируемых в ламинарных пограничных слоях [32,33].

Более того, как показано в § 3, свойства симметрии базовых уравнений в линейном случае в принципе не позволяют образование шпилькообразных вихрей. Поэтому (численное) исследование нелинейной стадии эволюции локализованного вихря становится настоятельно необходимым. Предварительные результаты численных расчетов с сильными вихрями подтверждают возникновение шпилек на определенной стадии эволюции вихря [22]. Альтернативным источником разрушения свойств симметрии линеаризированных уравнений является учет кривизны течения в области образования шпилькообразных вихрей. В этом случае следует включить дополнительные (квадратичные) члены в описание профиля внешнего потока.

Авторы выражают глубокую благодарность В. Супоницкой (Технион, Хайфа) за предоставленную возможность ознакомления с результатами пока не опубликованных численных расчетов по нелинейной эволюции вихря и ряд полезных замечаний, д-ру С. М. Чурилову (ИСЗФ, Иркутск) и академику РАН А. М. Фридману (Институт Астрономии РАН, Москва) за интерес к работе и полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kline S. J., Reynolds W. С, Schroub F. A. and Runstadler R W. The structure of turbulent boundary layers , J. Fluid Mech., 30, 741-773 (1967).

2. Bakewell H. P. and Lumley J. L. Viscous sublayer and adjacent region in turbulent pipe flow , Phys. Fluids, 10, 1880-1889 (1967).

3. Smith C. R. and Schwartz S. P. Observation of streamwise rotation in the near-wall region of a turbulent boundary layer , Phys. Fluids, 26, 641-652 (1983).

4. Head M. R. and Bandyopadhyay P. New aspect of turbulent boundary-layers structure , J. Fluid Mech., 107, 297-338 (1981).

5. Robinson S. K. Coherent motions in the turbulent boundary layer , Ann. Rev. Fluid Mech., 23, 601-639 (1991).

6. Smith C. R. and Walker J. D. A. Turbulent wall-layer vortices , Fluid mechanics and its applications, 30, 235-290 (1995).



7. Benney D. J. and Gustavsson L. Н. A new mechanism for linear and nonlinear hydrodynamic instability , Studies in Appl. Math., 64, 185-209 (1981).

8. Butler К. M. and Farrell B. F. Three-dimensional optimal perturbations in viscous shear flow , Phys. Fluids, A 4, 1637-1650 (1992).

9. Reddy S. C. and Hanningson D. S. Energy growth in viscous channels flows , J. Fluid Mech., 252, 209-238 (1993).

10. Reshotko E. and Tumin A. Spatial theory of optimal disturbances in a circular flow , Phys. Fluids, 13, No 4, 991-996 (2001).

11. Asai M. and Nishioka M. Boundary-layer transition triggered by hairpin eddies at subcritical Reynolds numbers, J. Fluid Mech., 297, 101-122 (1995).

12. Malkiel E., Levinski V. and Cohen J. The evolution of a localized vortex disturbance in external shear flows. Part 2. Comparison with experiments in rotating shear flows , J. Fluid Mech., 379, 351-380 (1999).

13. Levinski V. On the dynamics of a three-dimensional disturbance in the external shear flow , Preprint of Institute of Limnology, Irkutsk, 19 pp., 1991.

14. Levinski V. and Cohen J. The evolution of a localized vortex disturbance in external shear flows. Part 1. Theoretical considerations and preliminary experimental results , J. Fluid Mech., 289 159-177 (1995).

15. Levinski V., Rapoport I. and Cohen J. A new criterion of non-linear instability for localized vortex disturbance in shear flows of weakly conducting liquids , Phys. Fluids, 9(6), 1847-1849 (1997).

16. Levinski V. The evolution of a localized vortex in stably stratified shear flows , Proceedings of the 5th International Symposium on stratified flows, 91-96. Vancouver, Canada, 10-13 July, 2000.

17. Drazin P. G. and Reid W. H. Hydrodynamic Stability , Cambridge U.P., 1981.

18. Batchelor G. K. An introduction to Fluid Dynamics , Cambridge U.P., 1967.

19. Kelvin Lord (W. Thomson). Stability of fluid motion: rectilinear motion of viscous fluid between two parallel plates , Phil. Mag. 24,(5), 188-196 (1887).

20. Criminale W. D. and Drazin P. G. The evolution of linearized perturbations of parallel flows , Stud. Appl. Math., 83, 123-157 (1990).

21. Craik A. D. D. and Criminale W. O. Evolution of wavelike disturbances in shear flows: a class of exact solutions of Navier-Stokes equations , Proc. R. Soc. Lond. A 406, 13-26 (1986).

22. Suponitsky V., Cohen J, Bar-Yoseph P. Z. and Shukhman I. Numerical and theoretical investigation of the evolution of a localized vortex disturbance in uniform shear flow , Thesises of the 33-rd Fluid Dynamics Conference, Florida, June 23-26, 2003.

23. Градштейн И. С. и Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений , Москва, Наука, 1971.

24. Ellingsen Т. and Palm Е. Stability of linear flow , Phys. Fluids, 18, 487-488 (1975).

25. Squire H. B. On the stability for three-dimensional disturbances of viscous fluid between parallel walls , Proc. Roy. Soc. London Ser. A 142, 621-628 (1933).

26. Henningson D. S., Gustavsson L. H. and Breuer K. S. Localized disturbances in parallel shear flows , Appl. Sci. Research, 53, 51-97 (1994).

27. Landahl M. T. Wave breakdown and turbulence , J. Fluid Mech., 28 735-756 (1975).

28. Theodorsen T. Mechanism of turbulence , Proc. 2nd Midwestern Conf. on Fluid Mech. Ohio State University (1952).

29. Левич В. Г. Курс теоретической физики , т. 1, стр. 67, Москва, Наука, 1969.

30. Suponitsky V. Private communcation (2002).

31. Дикий А. Л. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы , Ленинград, Гидрометеоиздат, 1976.

32. Acalar М. S. and Smith С. R. A study of hairpin vortices in a laminar boundary layer. Part 1. Hairpin vortices generated by a hemisphere protuberance , J. Fluid Mech., 175, 1-41 (1987).

33. Acalar M. S. and Smith C. R. A study of hairpin vortices in a laminar boundary layer. Part 2. Hairpin vortices generated by fluid injection , J. Fluid Mech., 175, 43-83 (1987).



Независимость МИЛ от выбора начала отсчета

В этом пункте мы покажем, что определение модифицированного импульса Лэмба, введенное в § 2, является достаточно хорошим, в том смысле, что эта характеристика, в принципе, могла бы служить заменой введенного в [13,14] импульса Лэмба ядра р7.1 По крайней мере, МИЛ обладает одним необходимым свойством - его значение не зависит выбора начала отсчета (т.е. от выбора положения центра сферы, фигурирующей в его определении)

р= Vim j rxw(r)dV. (Al)

Мы хотим показать что если

(г) существует по крайней мере одно начало отсчета, (совпадающее с центром сферы) для которого предел (А1) существует, и если

(it) w(r) убывает достаточно быстро, так что объемный интеграл от ш(т) существует в обычном смысле, и если

(ш) этот интеграл равен нулю, т.е.

j w(r)dV = 0. (А2)

то предел (А1) существует при произвольном выборе начала отсчета и его значение не зависит от этого выбора.

Доказательство. Пусть новое начало отсчета О' сдвинуто относительно старого О на вектор а: О'О. Тогда г' = г + а. Пусть новое значение МИЛ будет

р'= lim rxu}(r)dV, или р'= lim / (г + а) х w(r) dV. (A3)

j£-£-OG J R-tOO J

i .....к r a...../,

Покажем, что p = p. Имеем

p - p = I Jim j J (t + a) x ш(т) dV - j г x ш (г) dV j.

Ввиду условия (A2) г+а|<я г|<я

р' - р = lim j г х w(r) dV- j г x w(r) dV j = Jim jrx w(r) dV - j r x w(r) dF j (A4) г+а|<я г|<я r>i d2

Области Di и Z?2 показаны на рисунке 13. Уже отсюда можно увидеть, что предел интегралов по заштрихо-


Рис. 13: К доказательству независимости МИЛ от выбора начала отсчета, ванным областям равен нулю. Действительно, пусть для больших г

--Is+iJ- Г?>°

1Однако, напомним, как мы уже показали в §2, что эта модификация импульса Лэмба (или, скажем, его суррогат ) в отличие от настоящего импульса Лэмба, никак не связана с истинной дипольной структурой вихря, и по его динамике фактически невозможно ничего сказать об истинной динамике вихря.

Приложение А. Свойства модифицированного импульса Лэмба



dV ~ aR2F(9, ip) do, xj = Rnj, где n(9, ф) вектор нормали к сфере радиуса R в точке (9, ip), do = sm9 d9dip и F(9, (f) - некоторый фактор, зависящий от углов. Следовательно,

Мы можем прийти к этому результату более формально. Подставим в первом интеграле в (А4) г = г' - а. Тогда

р'- р = lim J (т'- а) х ш(т'- a) dV - Jrxu>(r)dV~

\T\<R г .....К

= jim j / rxw(r~o)dV-- / rxw(r)dF (А5)

r<R r<R

Фактически, интегрирование в (А5) производится только по областям где г > а. Следовательно, мы можем разложить в (А5) по малому параметру a/R. Имеем р' - р = - lim J г х [(aV) w(r)] dV, или

(р'-р) = - lim / €ijkXjmp- dV = -\ lim j i е^кхк(щщ) dS - f eijkajUJk dv\.

r<R r=R r<R

Объемный интеграл исчезает в силу (А2). Для поверхностного интеграла имеем

(Р' -P)i = -\ lim / €ijk(njR) шк(щщ) R2 do ~ lim -J-= 0.

Я-s-oo J Я-s-oo it

г=Я

Итак, мы показали, что МИЛ (если он существует!) не зависит от выбора начала отсчета (центра сферы). Поскольку мы уже показали в §2 ,что в нашей задаче МИЛ действительно существует, то только что приведенное доказательство о независимости его от выбора начала отсчета, придает ему разумный физический смысл.

Связь МИЛ с Фурье образом завихренности

В случае, когда завихренность спадает настолько быстро, что существует обычный ИЛ, мы легко можем выразить его через фурье-образ завихренности:

р = - (2тг)3 [Vk х w(k)]

где операция Vjj-X означает взятие ротора в к- пространстве.

Покажем, что в случае МИЛ эта связь может быть модифицирована следующим образом:

р= HmJ(27r)3<Vkxu,(k)), (А6)

где угловые скобки ( ) означают усреднение по углам в fc-пространстве. То есть, имеет место равенство

fR г

р = lim р(Д) = lim / 4тгг2 dr (г х w(r)) = lim - (2тг)3 (V х w(k)), (А7)

R-т'Оо R-tQo J q h-r 0 2t

угловые скобки (г x из) означают усреднение по углам в координатном пространстве.

Итак, мы хотим показать, что если предел p(R) при R -> оо существует, то также существует и предел (Vjj. х w(k)) при к -> 0, и эти пределы связаны соотношением (А6). И наоборот если предел в h-пространстве существует, то также существует и МИЛ.

Имеем

w(k) = (2тг)-3 [ Jkr w(r) dV + J e-ikTuj(r) dvj.

r<R г>Я

Для kR <C 1 мы можем разложить экспоненту в первом интеграле. Во втором интеграле подставим вместо из (г) его асимптотическое выражение

.,г!4>(0,у>) , Г?\в,у) ,



Получим для к <С 1/Д:

(к) (2тг) 3{ Ju(r)dV-iJ(k-r)u(r)dV+ J

(5),

r<R

r<R

r>R

Для Vk x и}(к) находим

Укх (к). = еу/- = -2 (27г

т;(г) dV +

r<R

r>R

r>R

(4) (5)

fe , fe

(A8)

+ + , где 7s) (0, у,) = I eijt nj r\s) (9, <p).

Здесь то = I r x o?(r), для больших r = Равенство (A8) может быть записано как

Vk х w(k) и гр(Л) - .

Разложим ехр(гкг) по сферическим функциям (см.[23], (8.511.4), стр. 987):

doe-ikr [7(4)(в,у) + 0(1/г) .

,-ikr

-(-i)n(2n+l)Jn+1/2(fcr) [F (cos0)F (cose)+2

(n - m)\ (n + m)!

г=1 4

P (cos 9)P (cos в) cos т(ф) ,

где в и ф - сферические углы в k-пространстве: 0<6<7г, 0<<<27г (напомним, что в = /3 + т/2).

Интегрирование по углам в к-пространстве оставляет в сумме только один член с ш = 0 и п = 0. В результате мы получаем для усреднения в к- пространстве при к <С 1/Д

2% 87гг

(Vkxo,(k)) - р(Д)-

(2тт)3 rv (2тг)3 ./R V 2kr

Jl/2\kr)

{i(A)(olV))+-{i(b)(olV))+-

IR V r

Устремим к к нулю (при фиксированном Л). Мы имеем для первого радиального интеграла

r°° d

It dr /7Г

2Jl/2(fcr)T =

*;Я

sinz

*;Я

При (kR) -+ 0

sin 2;

dz &ln(l/kR) + 0(l),

а для второго радиального интеграла имеем

Ji/2(kr) = к

dz и 1/R.

Итак, для kR <С 1

(Vk х W(k))

- tS{ ((4)) + 0(D] + <7(5)) (1/Л)}.

*я 1 (2тг)3 (2 Пусть теперь существует предел lim р(Д). Тогда из (А9) следует, что (j1-4) = 0, и

Я->оо

р = lim р(Л) = lim - (2т)3 (Vk х w(k)),

Я-s-oo к->0 I

(А10)

Пусть теперь, наоборот, существует предел lim (Vk xw(k)). Мы хотим доказать, что в этом случае предел lim р(Л) также существует, и имеет место соотношение (А10). Предположим, что lim р(Д) не существует.

Я-s-oo Я-s-oo

Тогда это означает, что (j) ф 0. Но в этом случае мы можем найти приближенное выражение для р(Л) при больших Л. Благодаря логарифмической расходимости радиальной части интеграла имеем, исходя из определения р(Л):

р(Д) и4тг{7(4))1пД + С>(1). (АН)



Подстановка (АН) в (А9) дает

(Vk х (k)>o (7(4)) In(l/fc) + <Э{1).

Это соотношение противоречит предположению о том, что предел lim{V]s х о>(к)) существует. Значит, /-у(4)\ = о, Ит р(Л) существует и равенство (А10) действительно имеет место.

Связь МИЛ с полем скорости на больших расстояниях

Следует понимать, что МИЛ не обладает свойствами истинного импульса Лэмба. Для нас здесь самым существенным является тот факт, что он не отражает дипольную структуру вихря и поэтому, вопреки первоначальным надеждам, возлагавшимся на него, не может адекватно описывать геометрию вихря (см. Резюме в конце § 2.)

Этот факт находит свое выражение, в частности, в связи между ИЛ и полем скорости на больших расстояниях. Для случая истинного ИЛ мы имеем известное соотношение

1 О X Г 1

u = V х Л. Л = .,--h 0(r 3). или и=- -

р Зг(г-р)

Главный вклад в поле скорости, Uo = 0(г ), является потенциальным, т.е.

V х ii0 = 0, или ii0 = V#, где # = 1>Г + О (г 3).

В случае же, когда ИЛ в обычном смысле не существует, но существует МИЛ, поле скорости уже не может быть выражено в представленном выше виде. Поле скоростей в этом случае не является потенциальным. Для нас наиболее интересен случай, когда на больших расстояниях завихренность ведет себя как г-4:

=г14)(0,у) , г?\ом

Мы можем показать, что условие существования МИЛ,

ецкп,Г*> do = 0 (А12)

означает, что поле скорости на больших расстояниях по-прежнему u ~ С(г 3), однако теперь оно включает также и непотенциальную компоненту того же порядка.

Важно подчеркнуть, что в случае, когда МИЛ существует т.е. условие (А12) выполнено, поле скоростей тем не менее не включает логарифмических вкладов типа ~ In г/г3. (Но такие вклады обязательно присутствуют, когда условие (А12) не выполнено и МИЛ не существует.)

Заметим еще, что если завихренность спадает еще более медленно, чем г-4, скажем, как г4п, ц > 0, то непотенциальная составляющая поля скорости оказывается даже более сильной, чем потенциальная:

N р

где и означает непотенциальныи и потенциальный вклад в и.

Приложение В. Вычисление компонент TED

В Фурье-представлении TED имеет вид

Используя представление (2.27) для u>i(k), т.е.

с* (к) =г(2тгГ3Кг(к), Сг(к) = Ш^ехрН2),



запишем тензор в виде

Гу=(2 J к,--дк- (Ш)

Обозначим (п = р(п и перейдем от переменных к к переменным Q: Q = (Qi,Q2,Qz), Qi = ki, Q2 = к2 - кгт, Qz = kz, так что д/дк\ = д/dQi - rd/dQ2, д/дк2 = d/dQ2, д/дк3 = d/dQ3. Получаем

А = т2а1-2та2 + а3, В = аг, С = -та1+а2, I) = сц. (ВЗ)

ГД6 1 [* 4ГдСг\* 1 [ дСгдСг

Используя явный вид £j (2.28)-(2.31) и выполняя интегрирование по Q, найдем:

ai = у cos Ро Фо J # Е (т cos2 A sin20 (f - 3 sin Д) cos р0 Cm + г2 J, (В4)

j j Гк/2 г-ж 3

2 = 27з у cosPodP0 J #cos30sin0cos42 (cos20cosCiUj + sinocos0Cijj, (B5)

4io Г/2 (2)- .0

аз = /n лч I cosPodPo / d<f>f cos4/30cos2 q - 3cos2/30cosфQuj + uf), (B6)

где

4/0 / T/2

i=l 3

cos /Зо (i/3o / d$ {j- cos4/3q sin2 (f - 3 cos2/3q sin ф Qw-i + wf j. (B7)

щ = к(,г, у{ = 12({, wi = h(,i, I0 = Jo Q2e-Q s /2dQ = 5-\

д д д д д

lx = cos 0 - sin Ро cos /Зо cos ф ----sin ф--, l2 = cos2/3o тттт, h = sin ф - sin Ро cos Ро sin 0 -- + cos ф--,

дРо оф дРо оРо оф

Случаи т = 0 и т 1

С целью контроля численных расчетов, представленных на рисунках 11 и 12, рассмотрим аналитические результаты для т = 0иг> 1. Из (5.10) и (ВЗ) мы имеем

Ах = \[A+B{AB)2+W2} = aiCVai,

и объем вихря

у2 А1А2А3 а4{ага3 - а22)

[£(т)Р [£(г)]3

Случай т = 0. Для т = 0 имеем начальные значения:

д 2тг1о 1 . . 2Д , 1

А1 - ,., >ч - . /.. А2 - A3 - iA. L -

(2тг)3 4л/2тг3/2(53 л/27г3/2(55

а оси, объем и начальный наклон равны

/> = у/А,/£= = у^./Г = V ,* = ,-. F = a6c=f<53, Ф(0) = а.

Случай т > 1. При больших т мы имеем следующее соотношение между различными Q:

Ii=0{t), 6 = 0(1), Сз = 0(т).





1 2 3 4 5
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.