Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Об учёте нелинейности

Об учёте нелинейности объёмной деформации в деформационной теории пластичности

Агахи К.А. fKamilla@imec.msu.ru ), Кузнецов В.Н., Шестериков С.А.

Институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

В работе рассмотрены варианты деформационной теории пластичности для изотропной и транстропной сред, учитывающие нелинейное поведение объёмной деформации.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований (грант № 00-01-00564)

Как известно, в теории малых упругопластических деформаций [1] механические свойства материала полностью задаются одной материальной функцией cu = Ф (еи) , которая определяется из опыта на кручение

тонкостенного цилиндрического образца и двумя константами - модулями сдвига G и объёмного сжатия K.

Основные уравнения обычно записываются в виде:

stJ= 2G (1 -а>( eu)) etJ (1)

с = K6 (2)

s.. = с - c8 ,e = s - -68

J J J J J 3 J

Пусть <ju = Ф (еи) - экспериментально определённая зависимость между квадратичными инвариантами девиаторов stJ и et . Тогда функция нелинейности а>(eu), без обычно принимаемого условия несжимаемости v = 0,5, определится следующим образом:

+ 2Geu -Ф(eu)

<°(eu )

2Ge


°2u = SJSJ = 1I3°J8J , el = ejej ,6 = SJ8J

Здесь Gii ,Si - тензоры напряжений и деформаций, s tJ, etJ - соответствующие

У У У У

девиаторы, Gu, eu - их квадратичные инварианты (интенсивности), С -среднее напряжение, 6 - относительное изменение объёма, es - предел упругости материала, v - коэффициент Пуассона.



В этой модели функция Пуассона р, равная модулю отношения

поперечной деформации цилиндрического образца,

е22 к продольной sn в опыте на растяжение

может быть выражена аналитически через введенную выше функцию а( ви). Действительно, в случае одноосного растяжения, когда с11 ф 0, а остальные компоненты с tJ = 0, из (1) и (2) имеем, в частности

сг22 = 2G (1 -а) e22 + Кв = 0

или

2G (1 -а)

S11 + S22 + S33

+ К (£ц +S22 +S33 ) = 0

причём, в этом опыте, очевидно, s22 =s33 =-<psn. После простых преобразований получаем, что р является дробно-линейной функцией а :

3Л + 2ца

<р--

6 (Л + ц) - 2/л

с

(4),

где, как известно

и

К = Л + 2/3ц G = ц

Очевидно, что в пределах упругости а = 0 р = v = Л/2(Л + ц) = const.

Таким образом, если функция а( ви) найдена из опыта, то функция р

полностью определена согласно выражению (4); в то же время эта зависимость может быть построена по формуле (3) непосредственно из эксперимента, как модуль отношения измеренных в опыте на одноосное растяжение деформаций £22 и sxx, причём еи и s22 являются функциями

параметра нагружения сг11. Это отношение можно представить как функцию

интенсивности деформаций соотношением:

которая

в

этом случае определяется

S11 + S22 + S33

S11 + S22 + S33

S11 + S22 + S33

(5),

причём sn и£22 = s33 измерены в опыте как функции напряжения

играющего роль параметра нагружения. Сопоставляя (5) и (3) получаем, экспериментальную зависимость

Р = Р(еи ) (6Х

е

и

и



которая может быть сопоставлена с теоретической зависимостью (4). При этом совпадение гарантируется только в точке s11 = es на границе упругой

области и при s11 >> es, (когда s11 ; 10%), и <р; 0,5. В области

упругопластических деформаций такое совпадение или близость известны для стали, дюраля и обычно не проверяются для классических сплавов. В то же время близость экспериментально найденной функции Пуассона <р (3) и функции (5), существующей в теории не гарантирована для других материалов (порошковых, армированных и т.д.), изотропных и в среднем однородных.

В случае, если эти зависимости существенно различаются, естественным представляется исправить положение путём введения второй функции нелинейности, учитывающей нелинейность зависимости относительного изменения объёма 6 от среднего напряжения с. Подчеркнём, что линейность этой зависимости является упрощающей гипотезой, экспериментальное обоснование которой для большинства материалов авторам неизвестно.

Будем считать, что соотношение (2) обобщено следующим образом:

с = K6[1 -со0(6)],са < 1

\= 0,6 < 6* (7Х

2> 0,6 > 6*

6* играет роль предела пропорциональности для объёмной деформации [2]. Очевидно, что функция со (6) учитывает нелинейность изменения объёма

(вообще говоря, слабую, но существенную во многих случаях).

Эта функция с0 (6) может быть определена путём сравнения функции

Пуассона < найденной экспериментально и полученной аналитически из

уравнений модели, учитывающей нелинейное изменение объёма. Действительно, аналогично тому, как (4) определялось из (1) и (2), мы можем определить его из соотношений (1) и (7): = 3Л + 2jia(eu) - (6) 1 6 (Л + juj- 2jia(eu)- 6 Ксоо (6) Приравнивая <р1 из (8) экспериментально определённой функции <р, формула (3), найдём функцию с 0 (6). Это устраняет погрешность теории, связанную с ошибкой в определении функции Пуассона < , а так же косвенно определяет зависимость с = а(6).

Продолжая рассматривать одноосное растяжение (сжатие), мы можем сравнивать величину функции с и с 0 при значениях их аргументов,

соответствующих величине s11.

Так как с < 1, с0 < 1, то знаменатель в формуле (8) положителен.



Пусть ао << а, тогда 2ца( еи)- Као (в)> 0

В этом случае функция Пуассона р возрастает и стремится к величине 0,5,

что естественно ожидать.

Пусть теперь ао и а одного порядка. Обозначим

1/3( 2ца( еи)-Ка0 (в)) = A.

Тогда, если A > 0, то р возрастает, если A < 0, то р может как возрастать,

так и убывать.

Таким образом устанавливается, что в теории малых упругопластических деформаций при нелинейном изменении объёма возможны самые различные варианты изменения отношения Пуассона -возрастание, убывание, немонотонное изменение. Это обстоятельство позволяет в ряде случаев применять модель (1), (7) к расчёту деталей из пористых материалов с учётом их сильной нелинейной сжимаемости.

Теперь, когда суть дела ясна из анализа изотропного случая, рассмотрим этот же вопрос для случая модели ортотропной упругопластической среды, введённой в работе [2]:

<?у = cijki£ki - Vki®(е)-а°а(е)-ХгРо(в)

а(е) > 0,е > 1 \ю0(в)>0,6 >в*

где ci]kl - тензор упругих постоянных, Л1]Ы,Л°Ы - материальные тензоры: первый

описывает анизотропное распределение предела упругости в частице среды, второй - влияние типа напряжённого состояния с учётом анизотропии, 3Л = Л1]Шд]дк1, в - экспериментальная константа

Эта модель представляет собой обобщение на случай ортотропных материалов теории малых упругопластических деформаций, причём она содержит две функции нелинейности а и ао, аналогично (1), (7).

Остановимся на важном случае трансверсальной изотропии. Пусть имеется цилиндрический образец, ось которого параллельна оси симметрии трансверсальной изотропии, которую обозначим X3. Введём матричные

обозначения:

Х1111 - XП, , Х1122 - Х12--- Х2323 - Х44--- Х1212 - Х66 , Su - - S4-, - j S12 - S6



Пусть соо (в) = 0. Тогда в условиях одноосного растяжения образца в направлении оси X3 имеем:

е1 = -(pX3s3, s2 =-<Р23£3, где <рхг = \sjS3, причём = и, аналогично изотропному случаю,

= С13-(а13 + </S3g) .

13 С11 + С12 -(а11 +а12 )®(е)

(В изотропном случае c11 = Л + 2 ;..., c12 = Л,...,ап = 4/3 ,...,а12 = -2/3 ). Если а0 (в) ф 0, имеем:

С13 - (а13 + а0 /S3 )< (е) - - ®о (в)

Список литературы

1. Ильюшин А.А. Пластичность (основы общей математической теории). Наука, М., 1963, 316 с.

2. Кузнецов В.Н., Агахи К.А. Построение материальных функций и численный метод решения краевых задач пластичности с учётом влияния гидростатического давления. Изв. АН Аз.ССР, сер. физ.-тех. и матем. наук, 1976, № 5, с. 130 - 135.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.