Дифракция цилиндрической электромагнитной волны на круговой бесконечнолистной спирали с одной точкой

контакта

В.С. Булдырев, А.П. Танченко (jultan@mail.ru)

отдел Математической и Вычислительной физики НИИФ Санкт-Петербургского Государственного Университета

Аннотация

В последние время большой интерес вызывают задачи дифракции на телах с обобщенными импедансными граничными условиями (ОБИГУ), содержащими, помимо самого поля и его нормальной производной, касательные производные поля высокого порядка. В двухмерных задачах, в точках разрыва коэффициентов ОБИГУ для единственности решения задачи дифракции должны быть поставлены дополнительные условия, называемые контактными условиями (КУ). В первой части работы решена плоская задача дифракции цилиндрической волны на круговой бесконечной спирали, расположенной на бесконечнолистной римановой поверхности логарифмического типа. На круговой спирали ставятся ОБИГУ, содержащие касательные к спирали производные второго порядка с разрывными коэффициентами. В точке разрыва коэффициентов ОБИГУ выполняются контактные условия. Во второй части работы найдена асимптотика полученного решения.

1. Решение задачи дифракции на спирали с одной точкой контакта

Рис. 1 Круговая спираль

Рассмотрим плоскую задачу дифракции. На круговую спираль r = a > 0, -сс<ср<+сс (r, p - полярные координаты), расположенную на римановой поверхности логарифмического типа, падает цилиндрическая волна, порожденная точечным источником, расположенным в точке r = r0 >a, p = p0 (\ p \<П2). Функция

и(r,p), описывающая падающее и рассеянное волновое поле, удовлетворяет:

1) во внешности спирали r >a , -оо<р<+оо уравнению Гельмгольца

(А + k 2 )u (r,p) =---°- 8(p-pQ),

где к > 0 - волновое число, r0, р0 цилиндрической волны;

полярные координаты источника

2) на спирали ОБИГУ, содержащее касательные производные (производные по углу р ) второго порядка

1 ди к dr

r = a

РХ д2

(ka)2 др2

Р< 0,

1 ди к дr

Р2 д2 М

Р > 0,

(kay дpz

где а}, Pj, j = 1,2 - постоянные комплексные числа, причем, в общем случае,

3) в точке контакта C (r = a, р = 0) условию (Мейкснера) конечности энергии в окрестности C и контактным условиям [4]: функции и и Pjpp непрерывны в точке C

[и] = 0,

д

где [f ] ее lim f (a,р) - lim f (a,p) - скачок функции f (r,p) в точке контакта;

p +0 p - -0

4) принципу предельного поглощения (зависимость от времени задается множителем e-m).

1.2 Решение задачи

Построим решение поставленной задачи в кольце a < r < r0. Функцию и(r,p) представим суммою двух слагаемых

и (r, p) = и (1)(r, p) + v(r, p),

где

-о

?(kr) - r1( ) Hz(kr)

(1) i( p - p0) z H (1)(krA )e 0 dz, z0

J h\(z)q(z)e1(pzdz = J (r1(z(z)-hj(z)jtfHe 0 dz, cp> 0, (7)

-oo -0o

где

h\ (z) = ln H(i)(ka) + а . + (ka)-2 Д. z2 , J z J J

ln Hz(.)(ka) - логарифмическая производная

i +00 и(1\кг) .

8 -о H (1)(ka) z

Н^р(р) , H(p) - функции Ханкеля первого и второго рода,

ln Н (2) (far) + а, + (ka)-2 Д z 2 r (z) =-z-1-1-

1 ln Н(1) (ka) + а + (ka)-2 Д z2

и q(z) - неизвестная функция. Если r >Г0, то в выражении для w1(r,) r и r0 нужно поменять местами. В дальнейшем будем считать, что r < r0.

Первое слагаемое u m(r,(p) в равенстве (5) является функцией Грина для круговой спирали логарифмического типа, на которой выполнено ОБИГУ (2) с постоянными коэффициентами а1 и Д на всей спирали (см. [3]). Второе слагаемое

v(r,cp), очевидно, удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и принципу предельного поглощения, функция q(z) должна быть определена так, чтобы выполнялись ОБИГУ (2), (3) и контактные условия (4).

Функция u (r,cp), определенная равенством (5), удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1) и принципу предельного поглощения. Используя асимптотические

представления функций Ханкеля H(p), H\p) [1] можно показать, что для того

чтобы в точке контакта функция v(r,ф) была бы непрерывной, достаточно

потребовать, чтобы для искомой функции q( z) выполнялась оценка q(z) = O(z ),

z - 00 .

Граничные условия (2), (3) приводят к парным интегральным уравнениям для функции q(z)

J z)q(z)e1(pz dz = 0, cp< 0, (6)

ln Hka) = -

функции Ханкеля Н^\ка).

Интегралы в левых частях равенств (6) и (7) за счет роста множителей hj (z)

при z ±оо являются расходящимися в обычном смысле. Расходящиеся интегралы в этих равенствах следует понимать в смысле обобщенного преобразования Фурье [5].

Для выполнения равенства (6) достаточно потребовать, чтобы функция

была аналитической в нижней полуплоскости вплоть до вещественной оси и возрастала при z оо не быстрее некоторой степени z . Для выполнения равенства

(7) достаточно потребовать, чтобы функция

была аналитической в верхней полуплоскости вплоть до вещественной оси и возрастала при z оо не быстрее некоторой степени z .

Исключая из равенств (8) и (9) функцию q( z), приходим к неоднородной задаче Римана: найти функцию H+ (z), аналитическую в верхней полуплоскости и функцию H (z), аналитическую в нижней полуплоскости, для которых на вещественной оси выполняется равенство

H (z)= h1(z)q(z)

где

h( z ) H + ( z ) - h2( z ) H ( z )

Im z = 0,

(10)

Факторизуем функции h1 (z), J = 1,2, т.е. представим функции h1 (z) в виде

произведений двух множителей hj(z), аналитичных соответственно в верхней и нижней полуплоскости

h1 (z) = h++ (z)h- (z), J = 1,2.

Функции

h1(z) = ln H(ka) + a+ (ka)-2 Д. z2, J = 1,2 Jz J J

имеют на комплексной плоскости z бесконечное количество полюсов первого порядка {±v}°0= 1, совпадающих с нулями функции Ханкеля H(ka) и по два простых

корня ±zj (рис.2).

Выделим у функции h (z) множитель, соответствующий корням ±z и

множитель (ka) 2Д

h\(z) = (ka) 2 Д.ф. (z) z2 - z2

J = 1,2.

Функции ф (z), оставшиеся после такого выделения, аналитичны на всей комплексной плоскости за исключением полюсов первого порядка {±vn }°=1 и стремятся на бесконечности к единице. Представим Ьф. (z) с помощью формулы Коши контурным интегралом

ln ф. ( z ) =

1пфф( z)

z - z

J = 1,2,

здесь Г - произвольный замкнутый контур, охватывающий точку z . Расширяя этот контур, придем к формуле

h(z) = h;+(z)h:(z), J = 1,2, (11)

где

h1( z)

-(z ±z .)exp ka J

lnфJ.( z)

(12)

контуры Г± охватывают полюса {±vn }n = 1 (см. рис 2). Интегралы в правых частях равенств (3) могут быть вычислены по вычетам.

Формулы (11) и (12) дают искомое представление функций h1 (z) в виде

Рис. 2 Особенности функции hj (z)

произведения функций h+ (z) - аналитичных в верхней полуплоскости и функций

h- (z) - аналитичных в нижней полуплоскости. При этом для функций h±(z),

очевидно, имеет место оценка h± (z) = O(z), z - oo.

Используя равенство (11), можно переписать (10) следующим образом

h2+ ( z)

h- ( z )

H(z)

4ld(z) z 0 e 0 , Im z = 0. (13)

h~ (z) nka h- (z)h+ (z) (ka)

Введем кусочно-аналитическую функцию у/(z), аналитическую в верхней Imz > 0 и нижней Im z < 0 полуплоскостях

2 +- d(z) Hg(Ve-im°0 dz

n2ka -ао \ (z)h+ (z) Hzi) (ka) z

Значение функции (z) в верхней (нижней) полуплоскости обозначим у/+ (z) (у/- (z)). При Im z = 0 функция у/+ (z) определяется интегралом по контуру обходящему полюс подынтегральной функции z = z снизу, функция у/ (z) определяется интегралом по

контуру обходящему полюс подынтегральной функции сверху. В силу свойств интеграла типа Коши [6], функции у/± (z) являются ограниченными функциями на

бесконечности. В силу формулы Сохоцкого при переходе через вещественную ось

имеет место скачок

¥+ (z ) -¥- (z )

4id(z) Hzi)(kr0) -%z

Imz=0.

nkah- (z)h+ (z) Hz!)(ka)

Равенство (14) позволяет переписать соотношение (13) в виде

h+ (z) h~ (z)

H (z)-у (z) = -H-(z)-V (z), Imz = 0.

h+ (z) ++ h- (z)

(14)

(15)

Согласно теореме об аналитическом продолжении через контур левая и правая части равенства (15) задают единую функцию H(z), аналитическую на все комплексной плоскости z

H + (z)-у (z),Imz > 0 h+ ( z ) + +

H (z) H

h2-(z)

L h- (z )

Выясним поведение функции H (z) на бесконечности. Для обеспечения непрерывности функции v(r,ср) мы потребовали выполнения оценки q(z) = O(z ),

z - да. Отсюда следует, что H±(z) = 0(1), z - да. Из оценки h~. (z) = 0(z), z - да,

следует, что H(z) = 0(1), z - да. Отсюда, по теореме Лиувилля: H(z) - тождественно равна константе H (z) = c.

Таким образом, на основании равенств (5) и (8), приходим к следующему выражению для полного волнового поля u (r ,р)

а

* (kr) - r1(z) ifc Hz(kr)

H(ka) z

(1) i(p-p0) z

+c- J

Hz(1)(kr)

dz + - J

8 -да h+ (z)h (z) Hzi}(ka) 8 -да h+ (z)h (z) Hzi}(ka)

(16)

Как нетрудно установить, используя оценки поведения подынтегральных функций, первое слагаемое в этой формуле - бесконечно дифференцируемая функция в точке контакта C, второе слагаемое имеет непрерывную производную по р в точке контакта, а третье слагаемое имеет разрывы всех производных по р в этой

1.3 Контактное условие

Определим константу c, входящую в формулу (16), используя контактное условие (4). Как было уже отмечено, производная по р от первого и второго слагаемого в решении (16) - непрерывные функции в точке контакта C. Подставив решение (16) в контактное условие (4), получим значение константы c

где

(в-в Н++

J z (1 - r1(z)

H (2)(ka ) H (1)(krA )e z z 0

-а

-да h+ (z)h- (z)

-dz,

I ±

+а

P - ±0 -да z )h2( z )

(17)

При вычислении интегралов I ± переходить к пределу под знаком интеграла нельзя, так как получающиеся при этом интегралы будут расходиться. Преобразуем интегралы в формуле (17) так, чтобы предельный переход под знаком интеграла был

бы возможен. Продеформируем в равенстве (17) для I+ контур интегрирования -

вещественную ось в контур Г , огибающий нули функции Ханкеля H(1)(ka),

расположенные в верхней полуплоскости, а в равенстве для I- в контур Г ,

огибающий нули функции Ханкеля Н^\ка), расположенные в нижней полуплоскости (рис. 2). При деформации вещественной оси в контур Г+ будет пересечен простой

полюс z2 функции -1-, и поэтому

h- (z)

I + = 2ni-2--+ lim J-Z- e7(zz.

h+ (z2)h- (z2) ( -+0Г+ h+ (z)h- (z)

Второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в силу того, что подынтегральная функция не имеет особенностей внутри контура интегрирования. В результате для I + получим

I + = 2пп-

h+ (z2)h2 (z2)

Аналогично, деформируя вещественную ось в контур Г , можно выполнить предельный переход (?- -0 в интеграле I-

h+ (-z!)h- (-z1)

2. Исследование решения задачи дифракции на спирали с одной

точкой контакта

Построенное в предыдущем пункте точное решение u(r,ф) задачи дифракции на спирали с одной точкой контакта будет нами исследовано в освещенной области

. . a a

\(t)-(pn\< arccos--+ arccos

0 rr

в предположении ka ? 1 (к - волновое число, a - радиус спирали). Как было уже отмечено, первое слагаемое u (1)(r,p) в равенстве (16) является функцией Грина для круговой спирали, на которой выполнено ОБИГУ (2) с постоянными коэффициентами а1 и в на всей спирали. Построение асимптотики функции u(1)(r,() по методу

перевала проведено в работе [2]. В освещенной области имеет место, следующее асимптотическое представление

,(1)

J 4 eikR

1 + O

\ ka J

+ r (ka sin 3) -1=--j=-

1 2у12ж V kaJ

1 + O f±

\ ka

(18) расстояние

здесь R - расстояние от точки источника Q до точки наблюдения M, /,

от точки источника Q до точки падения P на спираль, /1 - расстояние от точки

падения P до точки наблюдения M, 3 - угол падения, J - геометрическая расходимость отраженных лучей в точке наблюдения M .

Первое слагаемое в (18), очевидно, дает падающую цилиндрическую волну, а второе - отраженное волну с коэффициентом отражения (ka sin3).

Найдем асимптотику второго слагаемого в (16)

(c)( ) i epz Hzi)(kr) d *Л J(r,(p) = c- J ---(--dz.

8 -да h+ (z)h- (z) Hka)

Пользуясь асимптотикой Дебая функции Ханкеля [1], представим подынтегральную функцию интеграла u(c)(r,p) в области, ограниченной на плоскости Z = -г нулями

функции Hz(1)(ka), H(2)(ka) в виде

(2)/

где

ePz Hz>(kr) = f {C)eikaS (Z)

h1+(z)h2-(z)Hz(1)(ka)

1 + O (±

V ka

S (Z) = Jp2-Z2-yl 1 -Z2 + c( arccos Z - arccos Z\ + pC,

f (Z)

h+ (kaZ)h- (kaZ)\

1 -Z2

p2 - Z2 P a P(0 a

Рис. 3 Волна соскальзывания

Вычисление асимптотики слагаемого u(c)(r,p) производится различным образом в зависимости от значения угла р.

1) Пусть р|<arccos- (точка наблюдения M принадлежит области Q ,

распололоженной правее касательной к спирали в точке контакта C, (рис. 3). В этом случае фазовая функция S(Z) имеет одну вещественную перевальную точку

Zc =-sinSc (Sc - угол между нормалью к спирали в точке контакта и прямой,

соединяющей точку контакта и точку наблюдения). Деформируя вещественную ось в перевальный контур, проходящий через точку перевала Zc и пользуясь известными

формулами метода перевала, получим следующее асимптотическое представление

для функции uv J(r,p)

где

(c) e c

In kac

i (kl + 3n c 4

1 + O f±

\ ka

(19)

cos3

( c)

24 h+ (-ka sin3 )h- (-ka sin3 ) 1 4 c 2 v c

lc - расстояние от точки контакта до точки наблюдения.

Формула (19) имеет наглядный физический смысл: в области Qc функция u

описывает цилиндрическую волну с коэффициентом возбуждения rc , которую

излучает точка контакта.

2) Пусть \ (\>arccosр (точка наблюдения находится в зоне тени ,

относительно источника, помещенного в точку контакта). В этом случае перевальных точек у фазовой функции S (Z) нет, и интеграл u(c) может быть представлен суммой вычетов в полюсах подынтегральной функции, которые совпадают с нулями z = v ,

j = 1,2,..., функции H(1)(ka) и с нулями функции P(z) = h+ (z)h-(z). Вклады от нулей

функции P(z) соответствуют поверхностным волнам, распространяющимся в окрестности круговой спирали. Будем считать, что мнимые части корней функции P(z) велики и поверхностные волны экспоненциально затухают при удалении точки наблюдения от спирали. В дальнейшем мы будем пренебрегать поверхностными

волнами. Ряд вычетов в нулях функции H\ka) экспоненциально сходится за счет

роста Imvj при увеличении j. Ограничимся вычислением вычетов с малыми

номерами, расположенными в окрестности единицы. Разлогая вычеты в точках z = vj по степеням v j -1 и удерживая в разложении предэкспоненциального множителя один член, а в разложении фазовой функции два члена, получим

( ka )

A1 3J

ka J

1 i (k (I +a)+ 5

T Г

1+ O

(ka)

(20)

где

kac

s~ 8V2 P(1)v (r1)

ls - длина луча, соскальзывающего с дуги спирали по касательной и приходящего в

точку наблюдения, a - длина дуги спирали между точкой контакта и точкой соскальзывания (точка касания соскальзывающего луча), v(t) - функция Эйри,

экспоненциально убывающая при t - +00, т1 =-2,33... - первый корень функции Эйри

множитель e

Множители, входящие в формулу (20) имеют следующий физический смысл:

l +a\

означает, что возмущение приходит в область Qs кратчайшим