Построение функции принадлежности нечеткого множества и оценка его вероятностных характеристик

Шопин А.Г. ( andr@sms-samara.ru ) Научно - внедренческая фирма Сенсоры, модули, Системы , г. Самара

Введение

На сегодняшний день существуют несколько способов описания неточности и неопределенности наших знаний об окружающем мире. Если рассмотреть историю развития науки в XX веке, то станет очевидно, что среди них лидирует теория вероятности (ТВ). Накопленный ею арсенал так велик и опыт его использования так обширен, что складывается впечатление, что ТВ достаточно для описания всех проблем неопределенности. В частности, в метрологии именно оценки погрешности и доверительные интервалы, полученные с помощью ТВ, считаются истиной , оценки, полученные другими методами будут неправомочными, пока не будет доказана их связь с вероятностными. С другой стороны, за время интенсивного использования ТВ было выявлено несколько недостатков вероятностного подхода, из которых отметим два:

сложность определения распределений априорных и условных вероятностей;

невыполнение на практике свойства аддитивности, связанное с неаддитивностью мер человеческого мышления [1].

В качестве альтернативы ТВ была разработана теория возможностей [5, 6], базирующаяся на понятии нечеткого множества.

Нечеткое подмножество X множества U характеризуется функцией возможности (принадлежности) /лх : U - [0,1], которая ставит в соответствие каждому элементу u е U число /iX (u) из интервала [0, 1], характеризующее степень принадлежности элемента u подмножеству X. При этом 0 и 1 представляют собой соответственно низшую и высшую степень принадлежности элемента определенному подмножеству.

Над нечеткими множествами определяются операции объединения, пересечения и отрицания. Если X и Y два нечетких множества с функциями принадлежности соответственно /лх (xx) и /iY (x), то

1. Z = XI Y == juZ (x) = min(/X (x), /iY (x))

2. Z = X Y Y == /iZ (x) = max(/iX (x), /iY (x))

3. Z = X => цг(х) = 1 -/их(х)

При работе с нечеткими множествами возникает проблема построения функции принадлежности для некоторого нечеткого множества, которая заключается в том, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена непосредственно средствами теории [1].

Существует две группы методов построения функции принадлежности - прямые и косвенные [1, 2, 3]. В прямых методах эксперт явно задает правила определения функции принадлежности (формулой, таблицей, примером). В косвенных методах функция принадлежности выбирается так, чтобы удовлетворять некоторым заранее сформулированным условиям. Экспертная информация является исходной информацией для дальнейшей обработки. Для каждой группы методов возможно построение функции возможности как на основе мнения одного эксперта, так и на основе мнений нескольких экспертов. Стоит отметить, что мнение эксперта не всегда является субъективным, эксперт может руководствоваться некими строгими критериями (хотя сам выбор критериев также субъективен).

В данной статье мы предлагаем вероятностные критерий достоверности и метод построения функции принадлежности. Мы также показываем, что предлагаемый метод в сочетании с известными методами теории возможности позволяет получить оценку для вероятности, совпадающую с оценкой, получаемой методами ТВ. Отдельно рассматривается вопрос устаревания информации и оценка вероятностных характеристик этого процесса методами теории возможности.

Рассмотрим следующую цепочку операций, схематически представленную на Рисунке 1:

По известным плотностям вероятности случайных величин строятся функции принадлежности соответствующих нечетких величин.

Находятся значения некоторых функций от полученных нечетких и исходных (случайных) величин.

Сравниваются результаты, и оценивается плотность распределения вероятности полученной случайной величины с помощью распределения возможности нечеткой величины.

Рисунок 1. Связь вероятности и возможности. Если при этом будет установлена связь между возможностью и вероятностью, можно будет расширить теорию возможности мощными и признанными (что в некоторых случаях играет чрезвычайно важную роль) методами теории вероятности.

Построение функции принадлежности

Итак, для работы с нечеткими множествами необходимо построить функцию принадлежности.

Пусть для рассматриваемой случайной величины Xp, характеризующейся

плотностью вероятности pX (x), соответствующая ей нечеткая величина обозначается Xм,

а ее функция возможности juX (x).

Введем обозначение того, что величина A характеризуется функцией aA (x): A ~ aA

Используя данное обозначение, можно записать, что X ~ pX и XM ~ /jx . Несмотря

на то, что нечеткие и вероятностные величины имеют несколько разную природу, понятия плотности вероятности и функции принадлежности сравнимы [П1].

Пусть для случайной величины Xp нам известна плотность распределения

вероятности: Xp ~ pX (x). Она может быть задана априори или получена статистически.

Построим для данной случайной величины функцию принадлежности следующим образом:

(px У

где max(px ) = maxpx (x)).

Эта функция отвечает интуитивным представлениям о том, что достоверность более вероятного события выше, чем достоверность менее вероятного события. Кроме того, построенная функция обладает следующими свойствами:

х

minC x (x)) 0

max( x (x)) = 1

Построенная нами функция является функцией принадлежности нормального нечеткого множества [4, 9]. Несмотря на то, что такой метод определения функции принадлежности является допустимым с точки зрения теории возможностей, было бы неплохо получить аналогичный результат другим способом, например, воспользовавшись методом экспертных оценок.

Для этого поставим мысленный эксперимент.

Пусть при изучении некоторой случайной величины была построена гистограмма распределения вероятности, представленная на рисунке 2.

Рисунок 2. Гистограмма распределения случайной величины Здесь Ni - количество точек, принадлежащих интервалу [xi-1, xi ];

N = Ni - количество точек, образующих гистограмму.

Nmax = max(Ni) - количество точек, принадлежащих интервалу [xi-1, xi ].

Пусть известно, что данное распределение имеет плотность вероятности px (х),

тогда при росте количества точек, образующих гистограмму, величина -- будет

( \ N

стремиться к px (xi). Можно показать, что при этом отношение --,-г будет

max(Ni)

Px (x,)

стремиться к

Пусть у нас есть M экспертов, будем предъявлять им каждую частоту в гистограмме и задавать им вопрос: можно ли считать достоверным, что случайная переменная примет значение, характеризующиеся такой частотой в гистограмме. От эксперта ожидается

однозначный (булевый) ответ. В результате для каждой частоты гистограммы и для каждого эксперта можно получить функцию достоверности у (m, Nt):

y(m,Nt): NxN -{0,1} у (m, Nt) принимает значение 1, если с точки зрения m-ого эксперта (m е [0,M -1]) значение, характеризующиеся частотой N\ является достоверным, 0 - если недостоверным.

Пусть m-ый эксперт (m е [0,M -1]) считает, что значение с частотой Ni достоверно,

N > m (2)

N M

Таким образом, получен набор мнений экспертов, различающихся степенью пессимистичности.

Определим функцию принадлежности для x е [xf; xi+1) как

Vn,m (x) = - (3)

Преобразуем (3) воспользовавшись критерием (2):

Можно показать, что при росте числа экспертов и количества точек гистограммы функция juNM (x)(4) стремится к функции/их(x) = ~pX~r~), совпадающей с формулой (1).

Линейная функция одной переменной

Рассмотрим теперь некоторые преобразования нечетких величин и взаимосвязь между их функциями принадлежности и плотностями вероятности, которые можно было бы получить методами теории вероятности.

Сначала рассмотрим линейное преобразование

z = f (x ) = ax + c a Ф 0

f (x): R ->R

Пусть задана случайная величина X p (Xp ~ px ) и соответствующая ей нечеткая

величина X/ (X/ ~ /x). Найдем нечеткую величину Z = f (хA)~ /z

x:f(x >z \ a

где (x )= Px (x)

max(px )

Теперь определим функцию распределения случайной величины Z = f (XP )~ pZ .

a v a J

Сравнивая (5) и (6) получим, что

pz (z) = A pX I I = A max(px )/x I ] = A max(px К(z) (7)

a v a J a v a J a

Линейная функция двух переменных

Рассмотрим преобразование

z = f (x, y ) = ax + by a, b Ф 0

f (x,y): ЛxR -R

Рассмотрим функцию, обратную к f (x, y) по аргументу y, обозначим ее g(x, z).

, z - ax

y = g (x, z): , b

Пусть заданы две случайные величины X и Yp (X ~ px, Yp ~ pY) и две соответствующие им нечеткие величины X/ и Y (X ~ /x, YA ~ /Y). Найдем нечеткую величину Z = f (X Yp)~ /z Воспользуемся принципом обобщения [4]:

Г sup (min(/x (x Ay (y))) ame 3 (x, y): f(x y) = z

/z (z )=<jx, y:f (x, y )= z (8)

Для сокращения выкладок приведем их только для тех z, для которых пара (x, y), такая что f (x, y) = z, существует. Преобразуем (8) следующим образом:

(z )= sup (min(/x (x) Ay (y ))) = sup(min(/x (x) Ay (((x, z)№ (9)

x,y:f(x,y )=z x

где Мх (x ) = -Jb&L, м, (y) = JhL

max(px ) max(pY )

Теперь определим функцию распределения случайной величины Zp = f (XP, YP )~ pz, которая для независимых случайных величин и монотонной всюду

дифференцируемой функции g (x, z) может быть вычислена следующим образом[7]: P[zl < z < z 2) = fjGO (j)dxdy = j J*I (x, z ) ,ox (x) ft (g (*, z ))dxdz

PZ (Z) = j gZ (x, Z)pX (x)pY (g(x Z)))X О0)

В случае линейной функции g (x, z) =-получим

Чтобы сравнить полученную плотность вероятности (11) с функцией принадлежности (9), проведем следующие предварительные выкладки:

pX (Х )pY (g (x, z )) = [Jax(px )Ux (X)] [Jax(pY К (g (X z))] =

= max(px )max(pY )jUx (x)My (g(x, z)) = (12)

= maxpx )max(pY )max(jUx (x), p (g (x, z )))min( x (x), Py (x)) В силу неотрицательности функции принадлежности, имеем:

Заметим, что

min(px (x). PY (g(x z))) up(min(px (x). PY (g(x z)))) = PZ (z)

Тогда для (12) получим оценку:

px (x)pY (((x, z)) max(px )max(pY ) pz (z)(px (x) + PY (g(( z))) (13)

С помощью (13) получим оценку сверху для интеграла (11):

= Ц Jx(x)r (e(*,z))dx < щ Jmax )тах() /fcfz)(*) + (g(x,z)))dx Jmax ( )тах (/у) (x)dx + щ Jmax )тах (/у ) (g(*,

max (/у) тах(/)

= /<г(г)

тах() + max(/?Y)

Таким образом, для случая линейной функции двух переменных, плотность вероятности можно оценить с помощью функции принадлежности, имея информацию о максимумах плотностей вероятности исходных величин.

(z /max( pX ) + max ( Py)

(15)

Устаревание информации

Будем называть устареванием информации изменение значения некого наблюдаемого параметра системы через некоторое время после фиксации его состояния. Пусть в момент времени t известно значение параметра Xt. Оно может быть описано

вероятностными методами, тогда мы будем обозначать его Xp ~ pXt, или как нечеткое

множество, которое будем обозначать Xм ~ /лХ{. Необходимо узнать значение параметра

в момент времени t + т, которое будем обозначать Xt+T.

Рассмотрим случай, когда процесс изменения параметра можно описать винеровским законом. Тогда изменения параметра будут удовлетворять нормальному законуL(xtp+T -Xtp)= N(0,<72т). Будем называть а 2 коэффициентом устаревания

В работе [8] было рассмотрено изменение функции принадлежности в результате устаревания, выражающееся следующей зависимостью:

(16)

Если функция принадлежности получается на основе плотности вероятности, то

Из теории вероятности известно, что плотность вероятности px+ может быть рассчитана по формуле:

(x-У )

\pXt (x) 2Л dx

(18)

\l2na2z

Сравним плотность вероятности (18) с функцией принадлежности (16). Отметим, что при устаревании функция принадлежности устаревшей величины превышает функцию принадлежности исходной величины:

(x-У )2

px++T(y ) = sup Mxt (x)e 2°2т Mxt (y)

В силу того, что max Px (x) = 1 > 0 из (16) следует неравенство:

Перепишем формулу (18), воспользовавшись условием (19):

(19)

dx =

V27 I/-W

= max (/ (j)

max )./ (л>

dx =

(20)

Задача оценки pxt (y) сводится к оценке отношения интеграла от функции

pXt (x) 2стТ к максимуму этой функции:

(y) = max(pxt )pxt+t (yУU

(x-y )2

1 ((2т)=1 I

2сг2т

2псг т

(x- y )

(21)

sup px (x) e 2ff2

В общем случае можно поставить задачу оценки интеграла вида

f (x)g(x - y) dx = k f f (x + y)g(x)

I(y) = Л J-

1 dx = к f- l

osup f (x )g (x-y) -Lsup f (x+y )g (x У

для функций f (x) и g (x), удовлетворяющих следующим ограничениям:

g (x )> 0 0 < f (x)< 1

к j g (x )dx = 1

Проведенные исследования показали, что существует достаточно много классов

Для некоторых классов функций были получены более строгие оценки, которые будут приведены ниже.

Наряду с этим, существуют функции, некоторые значения которых не удовлетворяют условию (24) для определенных времен устаревания. Пример такой функции приведен в следующем параграфе.

Будем рассматривать функции, удовлетворяющие (24). Прежде чем применить к нечеткому множеству оператор устаревания, проверим, удовлетворяет ли класс распределений вероятности, породивший нечеткое множество, условию (24). И если удовлетворяет, то будет корректной следующая оценка плотности вероятности:

Построение функций, для которых не применима оценка плотности вероятности

Построим функцию, для которой не выполняется условие (24) и, как следствие, не применима оценка (25).

Пусть изменения параметра удовлетворяют нормальному закону с показателем и2. Будем рассматривать устаревание за период времени т .

Рассмотрим выражение (21):

получим функцию /лх (x) такую, что при заданном значении максимума подынтегральной

функции значение интеграла было бы максимальным. Будем искать /лх (x) среди

множества неубывающих функций. Пусть для фиксированного y :

функций, для которых выражение (21) удовлетворяют условию:

(24)

(25)

I (у,2т)