Решение общей линейной задачи теплопроводности для двухслойной среды с учетом неидеального теплового

контакта между слоями

Жекамухова И. М. ( Jekamuhova@mail.ru )

Кабардино-Балкарский государственный университет

Двухслойные задачи теплопроводности часто встречаются в различных областях знаний. При этом большой интерес представляет случай, когда между контактирующими слоями имеется тонкий слой какого-либо материала, теплофизические свойства которого существенно отличаются от теплофизических свойств контактирующихся сред. Этот тонкий слой создает термическое сопротивление. Примером такого слоя является растительный покров, который находится под толщей снега. В системе снег-почва этот покров оказывает существенное влияние на тепловой режим как в снеге, так и в почве под снегом. Влияние растительного покрова при этом проявляется по-разному. 1) Между снегом и почвой возникает воздушная прослойка, которая удерживается твердым каркасом , образованным растительным покровом. Наличие воздушной прослойки существенно уменьшает теплообмен между снегом и почвой. 2) Стебли и листья растений обладают повышенной гигроскопичностью, следовательно, они интенсивно поглощают влагу. Поглощение влаги растительностью сопровождается выделением скрытой теплоты адсорбции. 3) При длительном удержании снежного покрова может происходить химическое разложение травяного покрова под снегом, при котором поглощается или выделяется тепло.

Другим примером задач рассматриваемого типа является взаимодействие лазерного излучения с двухслойной системой покрытие-основа, когда между контактирующимися слоями имеется термическое сопротивление. Как показано в [1], для описания начальной стадии процесса лазерного легирования, при которой температура подложки остается ниже температуры ее плавления, может быть использована нестационарная теплофизическая модель нагрева двухслойной системы нестационарным тепловым потоком q(t). При этом уравнения такой модели имеют вид:

д t д x2

X, £ШМ = -q(t), (1)

X, ЁШЦЬЯ X 2 Mi 1 [T2(h t) - T1(h t)l

д x д x R

д T2(h2,t)

Ti(x,0) = 0.

Здесь T - температура; p - плотность; c - теплоемкость; X - коэффициент теплопроводности; R - термическое сопротивление; x - координата; t - время; индекс 1 относится к материалу покрытия, индекс 2 - к материалу подложки; h1 - толщина покрытия; h2 - общая толщина покрытия и подложки.

В [1] задача (1) решается численно методом конечных разностей, а в [2] доказана корректность этой задачи и дан алгоритм ее решения.

В данной работе рассматривается в самой общей постановке аналитическое решение задачи теплопроводности для двухслойных сред при наличии термического сопротивления между контактирующими средами.

На рисунке показана схема двухслойной среды, разделенной тонкой прослойкой плохо проводящего материала толщины h, а также указано направление оси x.

Рис. Схема двухслойной среды.

Рассматривая двухслойную среду как однослойную, в которой коэффициент

температуропроводности

является функцией координаты x, уравнение

теплопроводности можно записать в виде:

дT д

д t д x I

0 < x <

(x ) =

JX1, X 2,

0 < x < h1 h1 < x < h.2

Начальные и граничные условия в общем случае имеют вид:

*1dTi( = R [T2(hi,t) Ti(hi,t) ]. (6)

д x R

Задача (2) - (6) определяет эволюцию температурных полей в слоях I и II. Задача (i) получается как частный случай рассматриваемой нами задачи, если положить =

Ф2) = 0, Q(t) = 0, ai = a2 = 0, vi(t) = -4i(t), V2(t) = 0.

Поскольку граничные условия (4) являются неоднородными, то задачу (2) - (6) нужно преобразовать в другую задачу с однородными граничными условиями. Для этого представим функцию T(x,t) в виде суммы двух функций

T(x,t) = U(x,t) + W(x,t),

где U(x,t) - новая неизвестная функция, а W(x,t) подбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (4). Функцию W(x,t) будем искать в виде:

W( t) fWi(x,t) = Ai(t)x + Bi(t)x2, 0 < x < hi,

W(x,t) = <j

W2(x,t) = A2(t)x + B2(t)x2, hi < x < h2.

Удовлетворяя функцию W(x,t) граничным условиям (4), найдем:

T( 0) 1ф1(x) 0 <x < h1 (3)

T(x,0) = 1 () h h (3)

1ф2 (xh h1 < x < h2.

1T(0,t) = V1(t)

dT(h2 a 2T(h2,t) = V 2(t)

где ai и a2 - постоянные; Vi(t) и v2(t) - заданные функции времени, а ф1(х) и ф2(х) -заданные функции координаты x.

Сформулируем теперь условия на границе раздела сред. Пусть Q(t) - количество тепла, которое выделяется на контактной поверхности с единичной площади в единицу времени. Тогда будем иметь

h д Tl(hi,t) + A2 д T2(hi,t) = Q(t). (5)

д x д x

Далее, принимая во внимание, что между слоями I и II имеется скачок температуры, обусловленный наличием плохо проводящего тонкого слоя, можем записать

A1(t) V1(t),

B1(t) - [b1V1(t) - b 2V 2(t) + b3Q(t) J

A2(t)

[c1V1(t) - C2V2(t) + C3Q(t) ],

B2(t) - - [ d1 V1(t) + d2 V 2(t) - d3Q(t) ],

где

A h1 (1 + a 2h2)

2XiR

1 + a 2h2 (2-a 2h2)

2 X1h1

Xl (1 + a 2h2) X1

X1R h1

h2 (2-a )

h2 a h1 2 h1

X 2 2 X1

2 X1 h1 2 X1

. 1 + a

d2 1

X 2 2 X1

X2 X1

2 X1

2 X1R

X2L 2X1

h22-2h2

1 + a2h2 f 2X1R

Функция U(x,t) удовлетворяет уравнению

д U д t

(x )

д U д x

+ f(x,t):

где

f(x,t) =

f1(x,t), f2(x,t),

0 < x < h1 h1 < x < h2

f1(x,t) [b1 v1(t) - b2 v 2(t) + b3Q(t) ]-&(t)x

1 [b1 &(t) - b2 &2(t) + b3t) ]x:

f2 (x, t) - [d1 vtf) + d2 V 2 (t) - d3Q(t)] +

+ A [=1 &(t) - c2 &2(t) + c3&t)]x-A [d1 &(t) + d2 &2(t) - d3<&(t)]x2. AA

Точка над величинами означает дифференцирование по t.

Начальные условия принимают вид:

U(X,0):

Ф100,

92(x).

0 < x < I11 li1 < x <

где

Ф1) = Фl(x) -V1(0)x + - [b1 V1(0) - b2 v 2(0) + b3Q(0) ]x:

Ф2 (x) = Ф2) - - [ c1 V1 (0) - c2 v2(0) + c3Q(0) ] x

- [d1 V1(0) + d2 v 2(0) - d3Q(0) ]x2,

а граничные условия становятся однородными

д U1(0,t)

д U2(h2,t)

-a1U1(0,t) = 0, -a 2U2(h2,t) = 0.

Условия на границе раздела сред принимают вид:

, д U1(hbt) д U2(h1,t)

д x д x

= 1 [U2(hbt) - U1(hbt)J

д x R

(10)

Таким образом, нахождение функции U(x,t) свелось к решению неоднородного уравнения (7) с однородными граничными условиями (9). Однородность граничных условий позволяет решать задачу (7) - (10) методом разложения в ряд по собственным функциям, для чего необходимо построить фундаментальную систему собственных функций. Эта система функций получается как решение однородного уравнения

д U = д д t д x

x(x)

д U д x

удовлетворяющее однородным граничным условиям (9). Как показывают расчеты, эта система имеет вид

EL &

Xn(x)

= <

Xin(x) = cos

kn Xi

x + ai

X2n(x):

an cos

x + bnsin

0 < x < hi, hi < x < h2,

где kn - корни характеристического уравнения

X 2 К

X 2 V X1

H2 = h2 - h1 n = 1, 2, 3, ...

Собственные функции Xn(x) обладают свойством ортогональности:

X 2 V X1

j Xn(x)Xm(x) dx

m Ф n m n

где

квадрат нормы:

Xn a12 X1

2 2\

XL sin 2 kn

2kn + nbn

+ bn2

X1 sin2

knh1 + -X2a1-sin2

X1 kn

Л f

h1 +

+ an

X2 sin2

H2 2 \

X1 ,

(h1 + h2 )sin2

X2 cos

(h1 + h2)

(h1 + h2 )sin

Оценки показывают, что

h1+H2

~ 2 2

Решение уравнения (7) будем искать в виде ряда по собственным функциям Xn(x):

XUm(t)Xm(x), 0 < x < h1,

U(x,t) X Un(t) Xn(x)

n 1

n 1

XU2n(t) X2n(x),

I n 1

h1 < x < h.2,

где U1n(t) и U2n(t) - неизвестные функции от t, которые должны быть найдены.

f(x,t) = X Cn(t) Xn(x)

X Cin(t) Xin(x),

где

Cin(t)

C2n(t)

XC2n(t) X2n(x),

I n=i

jfi(x,t) Xin(x)dx,

0 < x < hi, hi < x < h2,

(i2)

(i3)

jf2(x,t) X2n(x)dx.

Cin(t)

Подставляя значения fi(x,t) и f2(x,t) в (i3), получим:

2X1 I0 [bi Vi(t) -b2 V2(t) + b3Q(t) ]-Ii&(t)x -\ [bi&(t)-b2&2(t) + b3t)]

C2n(t)

-2X2J0 [diVi(t) + d2V2(t)-d3Q(t) ] + [ci&(t)-c2V2(t) + c3t) ]-

Ц- [di&(t) + d2&2(t) - d3t) ]

где

I0 = j Xin(x)dx

hi +ai

1 - cos

kn hi

IL = j xX1n(x)dx = - (l + a1h1 )cos 0 Л1

knh1 + X1

h1 +a 2

X1 kn

I2 = j x2Xin(x)dx =2hi-Xicos 0 kn V

hi + .

+2a1h1

fxi V2

Vkn J

knh1 x1 kn

2 2xi

1 - k7

2 2x1

1 - К

hi +

hL + 2a

VknJ

J0 = j X2n(x)dx

Г2- an isin1l

h2 -sin

h2 - cos

Разложим также f(x,t) в ряд по собственным функциям Xn(x):

J1 jxX2n(x)dx

X2 kn

cos.

h2 - cos

+ h2 sin

h2 - h1 sin

kn h1

J2 j x2X2n(x)dx 0

Х2fh2cos &

h2 - h1cos

- 2X21 sinE

kn h

X 2 ,

2 - 2X2

1 - kn

(14)

Подставляя (11) и (12) в (7), получим систему уравнений относительно U1(t) и U2(t):

U1n(t) + knUm(t) Cm(t)

U2n(t) + knU2n(t) C2n(t) Чтобы найти начальные условия, которым должны удовлетворять U1n(t) и U2n(t), разложим функцию U(x,0), определяемую равенствами (8), в ряд Фурье по собственным функциям Xn(x):

U(x,0) Н

lP1nX1n(x),

а

XP 2nX2n(x), I n 1

0 < x < h1, h1 < x < h2,

(15)

где

J91(x)X1n(x)dx

J91(x)Xm(x)dx -T1V1(0) --A [b1V1(0)-b2V2(0) + b3Q(0) ]

P 2n

J92(x)X2n(x)dx

I h1

J92(x)X2n(x)dx - -A-[dV1(0) - c2V2(0) + c3Q(0)]x - 22[d1V1(0) + d2V2(0) - d3Q(0)]

С другой стороны, из (11) имеем:

а

XU1n(0)X1n(x),

U(x,0) X Un(0)Xn(x)

а

XU2n(0)X2n(x),

I n 1

0 < x < h1, h1 < x < h2.

(16)

Uin(t) = e - knt U2n(t) = e - knt

j Cin(T)ekn x dx + pin

j C2n(x)ekn x dx + p 2

Решение задачи (2) - (6) теперь можем записать в виде:

Tl(x,t) = Wi(x,t) +X e-knt

а

T2(x,t) = W2(x,t) +X e-knt

j Cin(x)ekn x dx + pin

j C2n(x)ekn x dx + p 2n

Xin(x), 0 < x < hi,

Xin(x), hi < x < h2.

(18)

Полученные решения легко обобщаются на случай, когда в средах I и II происходит поглощение тепла. При этом уравнение теплопроводности записывается в

д T = д д t д x

x (x)~

-Y (x)T,

где

Y(x):

Y 2,

0 < x < hi, hi < x < h2,

Y1 и y2 - коэффициенты поглощения тепла, которые считаются постоянными.

В этом случае перед суммами решения (18) появляются соответственно множители

e Ylt и e Y2t, а все остальное сохраняется без изменения.

Приведенные выше решения заменой коэффициентов теплопроводности и температуропроводности на коэффициенты диффузии автоматически переносятся на соответствующую диффузионную задачу при наличии скачка концентрации на границе раздела сред.

Сравнивая равенства (15) и (16), будем иметь:

Uin(0) = Рш; U2n(0) = p 2n (17)

Решения уравнений (14), удовлетворяющие начальным условиям (17), имеют вид:

Литература

1. Углов А. А., Игнатьев М. Б., Смуров И. Ю., Константинов С. Г., Титов В. И. Особенности нагрева системы покрытие-основа при лазерном легировании поверхностей металла. ТВТ. 1991. Т. 29, №3. С. 509-514.

2. Керефов А. А., Шхануков М. Х., Керефова И. Х. Об одной математической модели нагрева системы покрытие-основа. Вестник Кабардино-Балкарского госуниверситета. 1996. Вып. 1. С. 63 - 67.

Обозначения

q - тепловой поток, p - плотность, c - теплоемкость, X - коэффициент теплопроводности, T - температура, x - координата, t - время, R - термическое сопротивление, h1 - толщина покрытия, h2 - суммарная толщина покрытия и подложки, h - толщина прослойки, х -коэффициент температуропроводности, a1, a2 - заданные постоянные, у - коэффициент поглощения.