Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Особенности явлений

Особенности явлений электронного переноса в анизотропных

монокристаллах и пленках*

Поляков Н. Н., Филиппов В. В. (wwfilippow@pochtamt.ru )

Липецкий государственный педагогический университет

1. Введение

В настоящее время в электронике все большее применение находят перспективные полупроводниковые соединения, в кристаллах которых из-за сложности строения решеток наблюдается анизотропия различных физических свойств [1, 2]. В ряде случаев наблюдается анизотропия физических свойств и у атомарных полупроводников, стимулированная давлением или влиянием внешнего поля. В связи с этим разработка методов исследования характеристик анизотропных полупроводников становится все более актуальной.

Общие вопросы кинетической теории явлений электронного переноса в анизотропных полупроводниках рассмотрены в работе [3]. В данной работе представлены общефизические соотношения между величинами, необходимыми для научной интерпретации экспериментальных данных. В то же время для практических исследований экспериментатору и инженеру требуются теоретически обоснованные и надежные методы измерений характеристик анизотропных полупроводников, гарантирующие достоверные результаты. В частности, тензор проводимости не определяется на практике прямым путем. Непосредственно измеряемыми величинами являются полные сопротивления, которые связаны с компонентами тензора электропроводимости множителями, содержащими размеры образца. При измерениях кинетических коэффициентов анизотропных материалов необходимо учитывать ряд факторов: конечные размеры и форму образцов, угол ориентации кристаллографических направлений относительно границ образцов, расположение и размеры токовых контактов и др. Проблема здесь, в первую очередь, заключается в сложном характере распределений электрического поля и тока в анизотропных образцах.

В данной работе путем решения соответствующих краевых задач проведен теоретический анализ распределения потенциала и плотности тока в ограниченных анизотропных полупроводниках. На основе этого предсказаны вихревые токи анизотропии, поперечное напряжение анизотропии и концентрация линий тока в анизотропных кристаллах и пленках. Результаты, полученные при решении краевых задач, не зависят от электропроводимости материала и являются электродинамическими по своему характеру.

*По материалам доклада на Международной конференции по физике электронных материалов



2. Теоретический расчет распределения потенциала

В рассмотренном нами случае монокристалл вырезан так, что главные оси тензора электропроводимости составляет произвольный угол 0 с границами образца, токовые контакты 1, 2 расположены на противоположных боковых гранях (рис. 1). Будем считать, что толщина образца d значительно меньше его длины а и ширины b (образец является тонким), а контакты 1, 2 изготовлены на периметре образца по всей его толщине. Таким образом, рассматриваем двумерную задачу. Кроме того, принимаем, что ширина контактов удовлетворяет требованию 2с а, b, т. е. контакты являются точечными и их шунтирующим влиянием на распределение потенциала можно пренебречь.


Рис.1. Схема расположения контактов на анизотропном образце прямоугольной формы.

В данном случае симметричный тензор удельной электропроводности имеет вид

w xx w xy (о yx о yy %

а его компоненты определяются равенствами [4]:

о xx =о1 cos 0 + о2 sin 0,

оyy = о2 cos 0 + о1 sin 0,

оxy =оyx = 0.5 °2 ) sin20

(1) (2)

(3) (4)

Здесь о1 и о2 - главные компоненты тензора электропроводимости кристалла.

При пропускании через анизотропный образец постоянного тока плотность электрического тока j связана с потенциалом (p(xy) в двумерной модели следующим равенством [5]

дф д x

дф д y

дф д y

дф д x

В относительно слабых внешних электрических полях при отсутствии источников и стоков электрических зарядов полагаем

(Калуга, октябрь 2002 г.)



div j = 0 .

Отсюда следует уравнение для потенциала электрического поля в образце

д2 ф д2 ф д2 ф

о xx -- + а yy-- + 2а xy-

д x2 УУ д y2 ~луд x д y Граничные условия для потенциала должны удовлетворять требованию, чтобы нормальная составляющая плотности тока была равна нулю всюду на поверхности образца, кроме точек под токовыми электродами:

0,y е[0; ЪХ2-c) vj(Ъи + c ; Ъ]

дф д x

+ о

дф д у.

x=0, a

дф д у

2 cd

+ а xy

дф д x

у=0,ъ

Уравнение (7) с граничными условиями (8)-(9) в виде наклонной производной составляет задачу, решение которой представляет известные математические трудности [6, 7]. Нами разработан способ решения задач такого типа с применением комплексных рядов Фурье [8].

Опуская громоздкую процедуру решения, запишем окончательное выражение для действительной части комплексного потенциала, имеющей смысл потенциала электрического поля в образце:

1 (аxyy-ayyx) 21 vfsin(anc)

bd a2.

bd 00

I sinaa n

a2 c sh(Y2an a)

[ch(y2 an x) cos(an (y- у1 (x- a cos(an Ъ2 )- ch(y2 an (x- a cos(an (y- у1 x)) cos(an Ъ1)] г ,(10)

y1 =a xy/ a xx ; Y 2 =a 0 / a xx ; a 0 =Va1 a2 ; a n =П п/Ъ

Достоинством полученного решения является возможность вариации параметров образца и анизотропии.

3. Компьютерное моделирование линий тока и эквипотенциалей электрического поля

Для более полного отражения электродинамических свойств анизотропных полупроводников построим распределение эквипотенциалей и линий тока на поверхности анизотропной пленки. Для этого, согласно (5), рассчитаем компоненты вектора плотности тока:

./ ч I 21 j sin (a n c) 1

jx (x,y) =-+- > 6-4 П -?-г X

M MJ-t I a nc sh(Y2a n a)



- 21 y1 Ysin (a nc) 1 х

bd 1 anC sh(Y2ana)

х [sh(Y2an x) cos(an (y- Y1 (x- a cos(an b2 )+ sh(Y2an (x- a cos(an (y- Y1 x)) cos(an b1 )] } .(13)

Согласно полученным выражениям нетрудно показать, что

V,j] = rot./ * 0; [v,E] = rotE=0. (14)

Отсюда следует, что в образце существует вихревая компонента вектора плотности тока j , в

то время как электрическое поле E является потенциальным, безвихревым. Данную вихревую составляющую имеет смысл назвать вихревыми токами анизотропии (ВТА). Как показывает расчет, вихревые токи анизотропии могут возникать в анизотропных материалах, где электропроводимость является тензором. Это позволяет представить ВТА как дополнительную составляющую плотности тока, возникающую в анизотропном образце по сравнению изотропным.

Таким образом, построенная нами модель характеризует вихревую составляющую не только качественно, но и количественно. Вихревой ток имеет наибольшее значение в местах сгущений линий тока. Именно в этих областях вихревые токи анизотропии оказывают наиболее значительное влияние на распределение электрического поля в образце.

Наличие аналитических выражений для потенциала, плотности тока и вихревых токов позволяет моделировать электрическое поле в образцах с помощью ЭВМ. Такое моделирование дает возможность более глубоко исследовать структуру электрического тока в анизотропных кристаллах и пленках. В качестве примера на рис. 2-4 представлены отдельные частные случаи распределения электрического поля и вихревой токовой составляющей при определенных параметрах анизотропии электропроводимости. Здесь показаны эквипотенциали электрического поля (пунктир) и линии тока (сплошные линии) в образцах, а также рассмотрены модели ВТА в анизотропных образцах. Все результаты вычислений выполнены по формулам (10)-(13), обработаны и представлены в виде моделей на ЭВМ с помощью пакета MathCAD 2001 [9]. Для удобства сравнения на рис. 2-4 представлены модели в тонких образцах со следующими геометрическими параметрами: a/b=1.5, 2c=b/20, bx=b2=b/2.

Первоначально, для сравнения, рассмотрим распределение электрического поля в изотроп-

х tsh(y2an x) cos(an (y- y1 (x- a))) cos(an b2 )+ sh(y2an (x- a)) cos(an (y- y1 x)) cos(an b1)] j ,(12)

jy (x,y ) = YJ (a nC) ( 1 ) х

n=1

х [ch(Y2an x) sin(an (y- Y1 (x- a cos(an b2 )- ch(Y2an (x- a sin(an (y- Y1 x)) cos(an b1 )]




Рис. 2. Модель электрического поля и тока проводимости в тонком изотропном прямоугольном образце.

Видно, что электрическое поле в данном случае имеет распределение, симметричное относительно линии контактов 1, 2. Наибольшее значение плотность электрического тока имеет в при-контактных областях, в средней же части образца поле практически равномерное, вихревые токи во всей области образца отсутствуют.

Рассмотрим теперь распределение электрического потенциала и токовых линий в анизотропном образце при 0=0.


а) b)

Рис. 3. Модели электрического поля, тока проводимости (а) и вихревых токов анизотропии (b) в тонком анизотропном прямоугольном образце при ai/a2=5, 0=0.

Как показывает проведенное моделирование (рис. 3), наличие ВТА существенно меняет распределение электрического поля в анизотропном образце по сравнению с изотропным. Действие ВТА приводит к увеличению концентрации линий тока проводимости в окрестности прямой, соединяющей контакты, так как в данной области вихревая и безвихревая токовые составляющие совпадают по направлению. В приповерхностных частях образца они направлены противоположно друг другу, что вызывает ослабление электрического тока в соответствующих областях образца. Как показывает расчет, степень увеличения или уменьшения электрического тока в различных

ном образце с соответствующими геометрическими параметрами. Модель распределения эквипо-тенциалей и токовых линий в изотропном образце представлена на рис. 2.




а) b)

Рис. 4. Модели электрического поля, тока проводимости (а) и вихревых токов анизотропии (b) в тонком анизотропном прямоугольном образце при о1/о2=5, 0=п/6.

Проведенное моделирование распределений потенциала и плотности тока показывает, что происходит выталкивание тока из объема на поверхность образца при условии, когда внешнее электрическое поле, создаваемое в кристалле электродами, не совпадает с главными осями тензора электропроводимости. Это может быть обусловлено либо асимметрией граничных условий, либо обработкой граней образца под углом к кристаллографическим осям кристалла. И в том, и в другом случаях наблюдается сгущение линий тока на поверхности образцов вследствие взаимодействия ВТА с их границами. Как видно из модели электрического тока в анизотропном образце (рис. 4), действие ВТА приводит к существенному вытеснению линий электрического тока к боковым граням y=0, b по сравнению с изотропным образцом, обладающим теми же геометрическими параметрами. Как показывает моделирование, плотность тока на гранях y=0, b анизотропных образцов значительно превышает плотность тока в изотропных материалах при тех же параметрах образцов. Результаты полученного нами решения для потенциала и плотности электрического тока позволяют количественно вычислить степень этого превышения и проанализировать полученные экспериментальные данные. Данное распределение тока проводимости и ВТА приводит к вышеупомянутому поперечному квазигальваноанизотропному эффекту: возникновению поперечного квазихолловского поля в направлении оси 0y.

Данное явление неравномерного распределения линий тока можно назвать концентрацией линий вектора плотности тока в ограниченных анизотропных средах. Оно объясняет экспериментально наблюдаемый факт, когда в ограниченном полупроводниковом кристалле с собственной проводимостью в условиях сильного поперечного выноса значительная часть носителей тока со-

областях анизотропного образца по сравнению с изотропным с аналогичными геометрическими параметрами определяется параметром о1/о2.

Для анализа взаимодействия ВТА с границами образца рассмотрим случай, когда главные оси проводимости направлены под некоторым углом 00 к границам образца (рис. 4).



I -CC yy a I

---+ ; -

<3i - <с2 bd л1<51 - а2 d

Qs =г J Ch(a n \2 a)- COs(a n Y1 a) sin2 (a nc). (16)

C Ъ JlA... an - Sh(any2 a)

В работе [10] рассмотрен пинч-эффект в электронно-дырочной плазме ограниченных анизотропных полупроводников при условии сильного поперечного выноса, когда значительная часть носителей тока собирается в малой области кристалла. В нашем случае данное явление рассматривается с позиций макроскопической электродинамики, что позволяет определять топологию образования плазменных каналов в кристаллах в сильных внешних полях, а также областей стимулированной анизотропии проводимости в случае эффекта Сасаки-Шибуи [11, 12].

4. Поперечное напряжение анизотропии

Полученное распределение потенциала (10) позволяет получать значение напряжения между различными точками в анизотропных образцах, измерение которого используется при исследованиях материалов электронной техники. В частности, из (10) непосредственно определяется разность потенциалов U0 между симметричными точками на противоположных гранях y=0, Ъ (например, между точками 3 и 4 на рис. 1):

I -а xy I / \

U0 =Ф3 -Ф4 =ГТ = о-7(С71- а2 )-sin20 . (17)

а2 d 2C.JC.2 d

Так как вследствие малой площади контактов в постановке задачи не учитывается их шунтирующее влияние, то поперечная квазихолловская разность потенциалов (17) не зависит от координаты x и геометрических размеров образца, а определяется лишь параметром анизотропии среды аху/а02. Полученное значение квазихолловской разности потенциалов (17) согласуется с экспериментальными данными работы [13].

Как указывалось выше, расчет компонент jx, jy вектора плотности тока показал вытеснение линий плотности тока на поверхность образца, что приводит к возникновению поперечной квази-холловской разности потенциалов U0. Это явление в определенной степени аналогично эффекту

бирается в малых областях кристалла, что приводит к пинч-эффекту, вызванному анизотропией проводимости [10].

Концентрация линий тока и вихревые токи анизотропии оказывают существенное влияние на сопротивление образца в продольном и в поперечном направлениях. На основании полученного распределения потенциала (10) можно найти падение напряжения U12 между электродами как разность средних значений потенциалов на контактных поверхностях. При симметричном расположении контактов (Ъ\=Ъ2=Ъ/2) имеем:



Холла в изотропном образце. Действительно, э.д.с. Холла возникает в изотропном образце потому, что во внешнем магнитном поле электропроводимость изотропного материала становится тензором. Однако, не смотря на это формальное сходство, поперечное напряжение U0 и э.д.с. Холла имеют различный физический смысл. Э.д.с. Холла возникает в ограниченных образцах в результате разделения зарядов под действием силы, действующей на носители заряда со стороны внешнего магнитного поля. Поперечное напряжение U0 возникает в анизотропных пленках и кристаллах вследствие более сложного по сравнению с изотропными материалами распределения электрического потенциала и плотности тока.

Разность потенциалов U0 целесообразно назвать поперечным напряжением анизотропии (ПНА), поскольку, согласно (17), это напряжение обусловлено отличной от нуля компонентой oxy тензора электропроводимости. Величина oxy , в свою очередь, определяется углом наклона 0 кристаллографических направлений по отношению к граням y=0, b .

Существенно отметить два важных свойства ПНА, которые характерны для рассматриваемого случая образов конечных размеров.

Во-первых, величина ПНА не зависит от x, т. е. одинакова между любыми симметрично расположенными точками на гранях y=0, b по всей длине образца. Возникновение не зависящего от x поперечного квазихолловского электрического поля напряженностью U0/b, перпендикулярного внешнему полю, становится возможным благодаря существованию в области образца замкнутых вихревых токов анизотропии (ВТА) (рис. 4). Взаимодействие ВТА с границами образца приводит к возникновению на гранях y=0, b дополнительных поверхностных токов, которые выравнивают величину U0 по длине образца.

Вторая особенность ПНА заключается в том, что его величина U0 не зависит от геометрических размеров образца a и b, а определяется лишь соотношением oxy/a02 и толщиной образца. Это объясняется тем, что распределение линий плотности тока в анизотропном образце можно представить как суперпозицию распределения тока в изотропном образце и ВТА. В изотропном образце при пропускании электрического тока по схеме рис. 1 при b1=b2=b/2 картина распределения плотности тока симметрична относительно линии контактов и ВТА отсутствуют. В анизотропных материалах эта симметрия нарушается и степень искажения этой симметрии определяется отношением проводимостей о1/о2, а также углом наклона 0 кристаллографических направлений к граням образца. Соответственно этими величинами и определяется степень нарушения симметрии распределения потенциала на гранях y=0, b относительно линии контактов, что приводит к возникновению ПНА.

На основании отмеченных свойств следует одно из возможных практических применений ВТА - определение ориентации кристаллографических направлений анизотропных пленок и монокристаллов относительно границ образцов. Величина ПНА может дать полезные сведения о



свойствах пленок и кристаллов при их механических деформациях, а также при исследованиях стимулированной анизотропии.

5. Экспериментальная проверка

Экспериментальная проверка полученного распределения потенциала (10) была проведена на монокристаллах диарсенида кадмия CdAs2, полученных методом направленной кристаллизации. На рис. 1 плоскости x0y соответствует кристаллографическая плоскость (100), <Ci и <с2 являются электропроводимостями по направлениям кристалла [001] и [010] соответственно. Эти величины были измерены заранее на специально изготовленных образцах, вырезанных вдоль указанных направлений монокристалла (<с1=26-102Ом-1-м-1; <с2=9-102Ом-1-м-1). Для опытного получения распределения потенциала был вырезан образец размерами: a=8.4 мм; Ъ=4 мм; d=1 мм; токовые контакты располагались на оси симметрии (Ъ1=Ъ2=Ъ/2), электродами для них служили впаянные оловянные контакты размером 2c=0.4 мм. Величина угла 0=300 , что позволяло вычислить компоненты тензора электропроводимости данного образца по известным формулам преобразования координат (2)-(4). Из выражения (10) получено распределение потенциала ф(х) на гранях y=0, Ъ, которое и было проверено экспериментально. На ЭВМ для данного образца строился график зависимости ф(х) на гранях y=0, Ъ . Затем при помощи подвижного вольфрамового зонда и высокоом-ного вольтметра измерялось это же распределение потенциала. Относительная погрешность измерений потенциала не превышала 5%. Было получено совпадение теоретического распределения потенциала с экспериментальными данными в пределах погрешности измерений.

6. Заключение

Проведенное моделирование показывает, что в анизотропных проводящих средах протекание электрического тока носит значительно более сложный характер, чем в изотропных. Возникновение вихревой составляющей тока существенно меняет распределение потенциала и плотности тока в анизотропных кристаллах и пленках. Теоретически показано, что изменение распределения плотности тока в анизотропных образцах под действием вихревой токовой составляющей приводит к появлению ряда дополнительных разностей потенциалов между различными точками образца, измерения которых можно использовать для исследования свойств анизотропных полупроводников. Кроме того, вихревые токи анизотропии могут расширить функциональные возможности анизотропных кристаллов и пленок в электронике.

В заключение авторы выражают благодарность научному сотруднику ИОНХ РАН профессору Маренкину С. Ф. за предоставление опытных образцов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кутасов В.А., Лукьянова Л.П., Константинов П.П. Влияние анизотропии поверхностной посто-



янной энергии на термоэлектрическую эффективность твердых растворов n-Bi2(Te,Se,S)3. ФТТ - 1999. Т.44, №2. - С. 187-192

2. Suk Myung-Jin, Choi Gil-Heyun, Moon In-Hyung. Determination of microstructural anisotropy in

Sb-InSb eutectic by electrical resistivity measurement. J. Mater. Sci. - 1996. - T.31, №6. - С. 16631668.

3. Баранский П.И., Буда И.С., Даховский И.В., Коломиец В.В. Электрические и гальваномагнит-

ные явления в анизотропных полупроводниках. - Киев: Наукова думка, 1977. - 270 с.

4. Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. - М.:

Мир, 1967. - 380 с.

5. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 620 с.

6. Крутицкая Н.Ч., Крутицкий П.А. Об электрическом токе в замагниченной полупроводниковой

пластине с заземленными боковыми стенками. Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1994. - Т. 34, №1. - С. 88-109

7. Басс Ф.Г., Бочков В.С., Гуревич Ю.Г. Электроны и фононы в ограниченных полупроводниках.

- М. Наука, 1984. - 288 с.

8. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т.1, 2. - М.: Мир, 1985. - 660 с.

9. Дьяконов В. MathCAD 2001: учебный курс. - СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

10. Бойко Н. Н., Романов В.А. Электрические и фотоэлектрические явления в полупроводниках с

анизотропной проводимостью (обзор) ФТП. - 1977. - Т. 11, №5. - С. 817-835.

11. Богданов Е. В., Кустова Т. Г. Стимулированная электрическим полем анизотропия проводимо-

сти в узкощелевых полупроводниках висмут-сурьма. Вестник МГУ. Серия 3. - 1992. - Т. 33,

№11. - С. 91-95

12. Богданов Е.В. Эффект Сасаки-Шибуи в многодоменных узкощелевых полупроводниках вис-

мут-сурьма. ФТП. - 1991. - Т. 25-№11. - С. 2028-2033.

13. Битюцкая Л. А., Бормонтов Е. Н., Регель А. Н., Сыноров В. Ф. Гальвано-анизотропные эффекты в

дифосфиде цинка. ФТП. - 1981. - Т. 15, №10. - С. 2043-2045



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.