Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » К решению обратной кериляции

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ СТАТИЧЕСКОЙ

Ахтямов А.М. (AkhtyamovAM@mail.ru) Башкирский государственный университет

1. Введение. Работа посвящена решению обратной статической задачи диагностирования закрепления стержня постоянного сечения по прогибам в нескольких точках.

Суть задачи состоит в следующем: Пусть закрепление стержня на обоих концах неизвестно (концыстержня недоступныдля визуального осмотра). Известна длина стержня и интенсивность распределенной нагрузки q. Известнытакже прогибы стержня в нескольких его точках. Требуется определить вид и параметрызакрепле-ния стержня на обоих его концах.

В настоящей статье показана однозначная разрешимость обратной задачи. Най-деныметодыточного и приближенного решения этой задачи, которые поясненына простейшем примере.

2. Математическая постановка обратной задачи в случае стержня постоянного сечения. Дифференциальное уравнение упругой линии стержня постоянного сечения имеет вид

d4 y(z) = q (1)

dz4 EJX ()

где q = qy - интенсивность распределенной нагрузки, E - модуль упругости Юнга, а Jx - момент инерции поперечного сечения относительно оси изгиба. Краевые условия

Ui{y) = J2aij (LJy)z=o = о,

Ui(y) = E bi3 (Lj y)z=! = 0,

1, 2,

3, 4

(2) (3)

для уравнения ( ??) относятся к значениям: прогиба

Li y = y(z),

угла поворота

изгибающего момента

и перерезывающей силы

L2 y

dy(z)

L3 y = Mx(z ) = EJx

d2y(z) dz2

L4 y = Qy (z) = EJx

d3y(z) dz3



Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов aij форм Ui(y) и U2(y), через A, а матрицу, составленную из коэффициентов bij форм U3(y) и U4(y), через B:

A :=

an ai4

a2i a22 a23 a24

bii bi2 bi3 bi4

b2i b22 b23 b24

В работе [?] приведеныразличные случаи закрепления стержня. Ниже они пере-численыдля закрепления стержня на левом конце. Выписанытакже их соответствующие матрицы A :

1 0 0 0 II

1) жесткое защемление:

2) свободное опирание:

3) свободный конец:

4) плавающая заделка:

0100

5) пять различных видов упругого закрепления:

ci 0 0

0100

0 0 10

0 0 1

-С2 1

-c2 10

Таким образом, имеем 9 видов краевых условий на левом конце и 9 - на правом. Количество их возможных комбинаций 92 = 81.

Поэтому обратная задача состоит в следующем: правильно распознать одну из 81 комбинации краевых условий и в случае упругого закрепления найти соответствующие коэффициенты ci и c2.

Заметим, что речь не может идти о восстановлении всех коэффициентов aij и bj, поскольку, например, краевые условия

y(0) = 0,y(0)

и

4 y(0) = 0, 5 y(0)

эквивалентны, а их соответствующие коэффициенты aij различны.

Для однозначного решения обратной задачи общее представление краевых условий в общем виде (??)-(??) является неэффективным. Более удобным оказывается уточненное представление.

Заметим, что во всех девяти случаях закрепления стержня на левом конце матрица A имеет вид

ai 00a4 0 a2 a3 0

где \ai \ + \a4\ = 0 и \a2 \ + \a3\ =0.

Случаи различных видов закрепления стержня на правом конце такие же как и на левом конце. Единственное различие состоит в том, что знаки перед коэффициентами



0\ и c2 в матрицах A и B имеют противоположные знаки. Поэтому матрица B может быть записана в виде

Ъг 0 0 Ь4 0 Ъ2 Ъз 0

где bi + Ъ4 = 0 и Ъ21 + Ъз = 0.

Эти представления позволяют записать краевые условия (??)-(??) в более простой уточненной форме:

Ui{y) = {ai Li y + й4 L4 y)z=Q = °, (4)

U2(y) = (a2 L2 y + a3 L3 y)z=0 = 0, (5)

из(у) = (Ъ1 Li y + Ъ4 L4 y)z=i = 0, (6)

4(у) = (Ъ2 L2 y + Ъз L3 y)z=i = 0, (7)

где ai + 41 = 0, 21 + з| = 0, Ы + Ъ41 = 0 и Ъ21 + Ъз = 0.

Однако, и эта форма записи имеет неоднозначное представление. Для того, чтобы можно было говорить об однозначности нахождения краевых условий и их коэффициентов введем понятие канонических краевых условий и канонических коэффициентов.

Коэффициент с большим индексом в паре коэффициентов любого из уравнений (??)-(??) будем называть вторым, а коэффициент с меньшим индексом - первым. Так, в паре коэффициентов ai, a4 из уравнения (??) первым коэффициентом является ai, а вторым - a4. В уравнении (??) первым коэффициентом является Ъ2, а вторым -

Каноническими краевыми условиями будем называть такие краевые условия (??)-(??), которые удовлетворяют следующим двум требованиям: 1) второй коэффициент каждого из краевых условий равен единице или нулю; 2) если второй коэффициент равен нулю, то первый коэффициент равен 1.

Канонические краевые условия представляют собой некоторую нормировку краевых условий (??)-(??). Все эквивалентные краевые условия имеют единственное каноническое представление.

Коэффициенты канонических краевых условий будем называть каноническими коэффициентами. Заметим, что все перечисленные выше реальные физические краевые условия являются каноническими.

Обратная статическая задача сводится к распознанию именно таких канонических краевых условий и канонических коэффициентов.

В этих новых терминах поставленная обратная задача формулируется следующим образом: требуется восстановить канонические коэффициенты ai и Ъг (i = 1, 2, 3, 4) краевых условий (??)-(??) задачи (??), (??)-(??), если известны значения прогибов y(zk) в четырех точках zk (k =1, 2, 3, 4).

3. Метод нахождения канонических краевых условий. Далее для простоты изложения будем считать, что Jx и qy являются постоянными.

Решение обратной задачи будет проведено в два этапа. На первом этапе по прогибам стержня в четырех точках будет найдена функция прогиба. На втором - по функции прогиба будут восстановлены неизвестные канонические краевые условия.

1. Найдем функцию прогиба y(z).



Функция прогиба стержня y(z) должна удовлетворять уравнению

d y(z) q (8)

Общим решением неоднородного уравнения ( ??) является функция

y(z) = Ci + C<2 z + C3 Z2 + C4 3! + EL . 4 , (9)

где Ci (i =1, 2, 3, 4) - произвольные константы.

Если известныпрогибы y(zk) в четырех различных точках

0 <zi <z2 <z3 <z4 < 1,

то функция прогиба y(z) однозначно определяется из (??). Действительно, из (??) следует

Ci + C2 zk + C3 z2 + C4 I = y(zk) - EL . I,k = 1, 2, 3, 4. (10)

Определитель системычетырех уравнений (??) от четырех неизвестных Ci (i = 1, 2, 3, 4) при различных отличен от нуля. Поэтому система четырех уравнений (??) имеет единственое решение, подставив которое в (??), получим функцию прогиба y( z) .

2. Найдем неизвестные краевые условия по функции прогиба y(z).

Подставим найденную функцию y(z) в краевые условия (??)-(??). Получим четыре уравнения. Каждое уравнение представляет собой уравнение от двух неизвестных коэффициентов. Из (??)-(??) следует, что они должныбыть связанысоотношения-ми:

ai/a4 = - (L4 y/Li y)z=0 ,

a2/a3 = - (L3 y/L2 y)z=0 , (12)

bi/b4 = - (L4 y/Li y)z=i, (13)

b2/b3 = - (L3 y/L2 y)z=i. (14)

Приведем алгоритм определения канонических коэффициентов краевых условий по системе (??)-(??).

Поскольку на концах стержня прогиб Li y и перерезывающие силы L4 y не обращаются в нуль одновременно, а также не обращаются в нуль одновременно угол поворота L2 y и изгибающий момент L3 y, то оба коэффициента ai или bi из каждого уравнения не могут быть одновременно равняться нулю. То есть случай, когда правая часть одного из равенств равна 0/0 невозможен.

Однако, случай когда знаменатель в правой части какого-либо из равенств (??)-( ?? ) обращается в нуль не исключается. В этом случае считаем, что коэффицент в знаменателе левой части соответствующего равенства (второй коэффициент) равен нулю, а коэффициент в числителе (первый коэффициент) следует принять за единицу.

Если правая часть одного из равенств (??)-(??) равна нулю, то считаем, что коэффициент, стоящий в числителе левой части этого равенства (первый коэффициент), равен нулю, а коэффициент в знаменателе (второй коэффициент) равен единице.



Если же правая часть равенства отлична от нуля и бесконечности, то реализуется один из видов упругого закрепления. Полагаем, что коффициент в знаменателе левой части (второй коэффициент) равенства равен единице, а коэффициент в числителе (первый коэффициент) равен правой части соответствующего равенства.

Из приведенных выше рассуждений следует, что канонические краевые условия и канонические коэффициентынаходятся однозначно.

4. Пример решения обратной задачи по точным значениям прогибов. В

рассматриваемом примере будем полагать, что = 1.

Пример 1. Пусть прогибыв точках zi = 1/5,Z2 = 2/5,

равны

zз = 3/5,z4 = 4/5

y(1/5) = 157431770000,y(2/5) = 7771590000, y(3/5) = 9761590000,y(4/5) = 314331770000.

(15)

(16)

(Значения прогибов выбраны соотвествующими упругому защемлению на левом конце 100 y(0)+y (0) = 0, y(0) = 0 и упругой опоре на правом конце -20 y(1)+y (1) = 0,

у (1) = 0.)

Решим обратную задачу для уравнения y(4) = 1 по значениям прогибов (??), предполагая, что краевые условия неизвестны.

Подставим значения (??) и соответствующие прогибы(??) в систему (??). Получим решение:

Ci = 31/4720,C2 = 0,Сз = 37/472,C4 = -155/1416. Подставив найденные константы (??)в(??), получим функцию прогиба

31 37

Li y = y(z ) = 4720 + 472 z2

155 з 1 4

- +--z

1416 z +24 z

(17)

(18)

Поскольку L2 y = y(z) = 37z/236 - 155 z2/472 + z76,

L:i y = y (z) = 37/236 - 155 z/236 + z2/2, то система (??)-(??) имеет вид:

L4 y = y (z ) = z - 155/236,

ai a4

100,

a2 аз

ai = Ъl =

100,

-20,

ж, a2 =1,

Ъ2 =0,

= -20,

aз = 0,

Ъз =1,

a4 =1,

Ъ4 =1.

Искомые краевые условия соответствуют упругому защемлению на левом конце и упругой опоре на правом конце:

100 y(0)+ у ,(0) = 0, - 20 y(1)+ у ,(1) = 0,

у' (0) = 0, У (1) = 0-



Полученные краевые условия в точности совпадают с теми, по которым были вы-бранысоответствующие прогибы.

5. Пример решения обратной задачи по приближенным значениям прогибов. Как и в предыдущем примере считаем, что EL- = 1.

Пример 2. Пусть найденные прогибы в точках

zi = 1/5,z2 = 2/5,z3 = 3/5,

z4 =4/5

(19) (20)

y(1/5) = 0.00889435,y(2/5) = 0.01317119, y(3/5) = 0.01654407,y(4/5) = 0.01775876.

(Приближенные значения совпадают с прогибами из примера 1 с точностью до 10-8.)

Решим обратную задачу для уравнения y(4) = 1 по этим приближенным значениям прогибов (??).

Подставим значения (??) и соответствующие прогибы(??) в систему (??), найдем неизвестные константы Ci, C2, C3 и C4. Подставив найденные константы в (??), получим функцию прогиба

Li y = y(z) = 0.006567780000 + 0.125 10 6 z

+ .07838958333 z2 - 0.1094631250 z3 + z4/24.

Поскольку

L2 y = 0.125 10-6 + 0.1567791667z - 0.3283893750 z2 + z3/6, L3 y = y (z) = 0.1567791667 - 0.6567787500 z + z2/2, L4 y = y (z) = z - 0.6567787500,

(21)

то система

Поэтому

имеет вид:

100.0001142, -20.00003788,

-0.1254233334 107, = 0.8429392740 10-4.

a2 = -0.1254233334 107, a4 =1, b2 = 0.8429392740 10-4,

b4 =1.

100.0001142,

a3 =1,

bi = -20.00003788,

b3 =1,

Искомые краевые условия имеют вид:

100.0001142 y(0)+ y ;(0) = 0,

-0.1254233334 107 y(0) + y (0) = 0,

-20.00003788 y(1) + y ;(1) = 0, 0.8429392740 10-4 y(1) + y (1) = 0.



Получившиеся канонические коэффициентысовпадают каноническими коэффициентами из примера 1 с точностью до 10 з.

Таким образом, точность вычисления коэффициентов краевых условий уменьшается на пять порядков по сравнению с точностью вычисления значений прогибов. Это же подтверждают и другие вычисления. Точность вычислений канонических коэффициентов может значительно ухудшаться по сравнению с точностью вычислений значений прогибов стержня. Поэтому значения прогибов следует вычислять как можно точнее.

6. Заключение. Рассмотренная задача может быть отнесена к задачам технической диагностики (см., например, [?]). Однако, ранее в такой постановке она не ставилась. Наиболее близки ей по постановке задачи акустической диагностики закреплений (см. [?, ?]. Найденный метод решения можно распространить для решения обратных статических задач для более сложных случаев прогиба стержня, а также для случаев прогибов пластин и оболочек. Следует лишь заменить соответствующие дифференциальные выражения согласно подобающих этим в случаях формулам (см., например, [?]-[?]).

Автор выражает признательность М. А. Ильгамову за постановку задачи и полезные обсуждения. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и ФЦП Интеграция .

Список литературы

[1] Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Бир-гера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 1. 831 с.

[2] Биргер И.А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

[3] Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру Математическое моделирование. T. 12. № 3, 2000. С. 6.

[4] Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. C. 290-298.

[5] Тимошенко С. П. Пластиныи оболочки. М., Л.: ОГИЗ. 1948. 460 с.

[6] Ильгамов M. A. Введение в нелинейную гидроупругость. - М.: Наука, 1991. 200 с.

[7] Ilgamov M. A. Static Problems of Hydroelasticity. - Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1998. 208 p.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.