Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Уравнения эйлера

1 2

УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА В МЕТОДЕ ГРУППОВЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Косарев Р. Н. (ruslan kosarev@yahoo.com)

Санкт-Петербургский Государственный Университет, Отдел Теоретической Физики

Аннотация

Волновая функция основного состояния многоэлектронной системы рассматривается в приближении антисимметризованного произведения сильно ортогональных групповых функций. С точки зрения функционального анализа исследуется ограничение сильной ортогональности. Рассмотрены экстремальные задачи с ограничениями нормировки и сильной ортогональности для функционала полной энергии системы и функционала эффективной энергии. Описан формализм применения метода Лагранжа к экстремальным задачам с ограничениями на примере этих задач. По методу Лагранжа получены уравнения Эйлера для групповых функций.

1 Введение.

В предыдущей статье [1] мы сформулировали две экстремальные задачи с ограничениями. Первая из них это задача для функционала полной энергии системы

E (Ф1, Ф2,..., Ф9) -> min , (1.1)

#о(Фг) = 0 i = 1, 2,...,q, (1.2)

д(Ф\ Фк ) = 0 i,k =1, 2,...,q, i>k. (1.3) Вторая - задача для функционала эффективной энергии

Eff (Ф*) min , (2.1)

до(Фг) = 0 , (2.2)

д(Ф\ Фк ) = 0 k = 1, 2,...,q, k = i. (2.3)

В настоящей статье мы рассмотрим метод множителей Лагранжа (в регулярном случае) в применении к этим задачам.



Специфика задачи (1) такова, что случай q = N существенно отличается от случая q < N. В первом случае, волновая функция аппроксимируется антисимметризованным произведением спин-орбиталей и уравнения Эйлера для спин-орбиталей можно получить, используя метод множителей Лагранжа. В настоящее время, эти уравнения известны как уравнения Хартри-Фока. Что касается последнего случая, то в этой статье мы покажем, что задача (1) имеет следующую особенность: метод множителей Лагранжа (в регулярном случае) можно применить

q = N q < N

Попытки применить метод множителей Лагранжа к задаче (1) в общем случае имели место в работах [2, 3]. К сожалению, автор этих работ не совсем корректно применил данный метод к поставленной задаче и, в результате, им были получены неверные уравнения для групповых функций (см. параграф 5.1).

2 Основные определения.

В нашем изложении метода множителей Лагранжа мы будем опираться на книги [5, 6], в которых изложена теория экстремальных задач для функционалов, заданных в вещественных линейных пространствах. Поскольку в настоящей статье мы будем иметь дело с функционалами заданными в комплексных линейных пространствах, то сначала мы обобщим необходимые нам результаты из [5, 6].

2.1 Дифференцирование в комплексных линейных пространствах. Введем обозначения: Ш - поле вещественных чисел и SR - вещественное линейное пространство, C - поле комплексных чисел н S комплексное линейное пространство. Линейное пространство, не важно над каким полем Ш или C, будем обозначать S.

Отображение A : S - S будем называть Ш-линейным оператором, если

1. A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 для всех x1,x2 : S .

2. A(ax) = aAx для всех x : S н a £ Ш .

Пусть S ii S - нормированные пространства. Рассмотрим отображение I : S - S. Отображение I будем называть Ш-дифференцируемъьм в точке x, если существует такой непрерывный Ш-линейный оператор A : S - S, что

I(x + 8x) - I(x) = A5x + o(8x) , (3)

где

lim = 0 . (4)

Оператор A будем называть сильной Ш-проьзводной отображения I в точке x и обозначать I(x). Оператор I(x) зависит от x как от параметра. Выражение I(x)5x будем называть сильным Ш-

I x I

назовем регулярным в точке .г. если для всех y £ S существует такое 5x, что

I(x)8x = y . (5)

x I(x) = 0 I

дифференциал I(x)5x более подробно .



1) Дифференциал отображения I : S S можно представить в виде

I(x)8x = I1(x)8x + I2(x)8x* , (6)

где Ix) и I2(x) - линейные операторы S - Sc, зависящие от x как от параметра.

2) Дифференциал отображения I : S - SR также можно представить в виде (6), но в данном случае I1(x) и I2(x) суть линейные операторы S - Sc, вде SC - комплексификация SR (см. параграф 5.2).

I1 (x) I2(x)

I =Ii(x) Л =I2(x). (т)

Можно показать, что для отображения I : S - SR уравнен не I(x) = 0 эквивалентно каждому из ниже следующих уравнений в отдельности

dI dI = 0

dx <9x*

2.2 Метод множителей Лагранжа. Пусть S н SR - банаховы пространства, в которых заданы функционал f : S - R и отображение G : S - SR. Для экстремальной задачи

/ (x) -> min G(x) = 0

имеет место следующая теорема.

и отображение G непрерывно Ш-дифференцируемы, в точке x и, кроме того, отображение G xx

существует такой непрерывный линейный функционал Л : SR - Ш, что точка x является стационарной точкой функционала

L = / + Л о G. (10)

Функционал L называется функцией Лагранжа задачи (9), а функционал Л - множителем Лагранжа. В свою очередь уравнение

L(x) = 0

называется уравнением Эйлера (или Эйлера-Лагранжа) задачи (9). В настоящей статье любое уравнение эквивалентное уравнению (11) мы также будем называть уравнением Эйлера.

В дальнейшем, все функционалы и отображения, с которыми мы будем иметь дело, явля-Ш

ствительно для нас является существенным, так это требование регулярности отображения, задающего ограничение.



3 Регулярность отображений.

В этом разделе мы исследуем свойства функционала go и отображения g с точки зрения функционального анализа.

3.1 Функционал g0 : Нг - Ш. По определению [1] функционал go есть

goj) = (ФгФг) - 1 . (12)

Напишем выражение для дифференциала функционала go в точке Фг

gO(Фг)бФг = (бФг|Фг) + (ФгбФг) . (13)

Понятно, что если Фг = 0, то для всех а £ Ш существует такое бФг, что

(бФг|Фг) + (ФгбФг) = а . (14)

Это означает, что функционал gO регулярен во всех точках Фг, кроме Фг = 0.

3.2 Отображение g : 7H © Hk - Hik. По определению [1] отображение g есть

Фк) = j[Фг*(Хг)]Жг1=ж[Фк(Xk)]Xkl=xdx . (15)

Введем обозначения, пусть Хг1 обозначает набор координат Xj, из которого исключена координата .г:. Далее, мы будем считать, что gj, Фк) есть функция переменных Хгд и Хк1, Мы

ство, которое мы обозначили 7i%k.

Напишем выражение для дифференциала отображения g в точке (Фг, Фк)

(Фг, Фк)(бФг, бФк) = gj, Фк) + g(Фj, бФк) . (16)

Для того чтобы выяснить является ли отображение g регулярным в точке (Фг, Фк), необходимо исследовать уравнение

gj, Фк)+ g(Фг,бФk) = Ф , (17)

где Ф £ 7i%k. Если мы покажем, что уравнение (17) имеет решения для всех Ф £ Н.гк, то тем самым мы покажем, что отображение g регулярно в точке (Фг, Фк) и, наоборот, если мы приведем в пример такое Ф £ Нгк, при котором уравнение (17) не имеет решений, то тем самым мы

g (Фг, Фк)

групповые функции накладывается ограничение сильной ортогональности, поэтому мы будем

Фг Фк

Ниже мы рассмотрим уравнение (17) для трех различных случаев. При этом, одно-электронные групповые функции (спин-орбитали) мы будем обозначать символом р.

1) Ni = 1 Nk = 1. В этом случае, g(p1,p2) есть комплексное число и множество значений g

Пгк = C

(18)



Легко показать, что если (р^ р2) = (0, 0), то для всех а £ С существует такая точка (5р1, 5р2), что

g(6pi,pi)+ g(pi,5p2) = ci. (19)

Таким образом, справедлива лемма.

Лемма 1. Пусть Ni = 1 и Nk = 1, тогда отображение g регулярно во всех точках (р1,р2), кроме ((pi,(p2) = (0, 0).

2) Ni = 1 Nk > 1. В этом случае, g((p, Фк) есть квадратично интегрируемая антисимметричная функция переменных Хк;1, то есть множество значений отображения g можно поместить в гильбертово пространство HNk -1

Пгк = Пмк-1 . (20)

Рассмотрим уравнение (17). Умножим левую часть этого уравнения на р*(хк2) и проинтегрируем по переменной хк2. После несложных вычислений получаем, что если g((p, Фк) = 0, то для всех (8(р, 5Фк)

jg,)р*(хк2)(1хк2 + jg(6(p, Фк)*(жк2)бЬк2 = 0 . (21)

Первое слагаемое равно нулю, так как 5Фк - антисимметричная функция, второе слагаемое равно нулю, так как Фк сильно ортогональна к р. В тоже время существует такая функция Ф. что

Ф(Хк,1)р*(хк2)Хк2 = 0 , (22)

например

Ф(ХМ) = Asym Д рп (хкп) , (23)

где рп £ H-lvl р2 = р. Сравнивая (21) и (22), мы видим, что уравнение (17) не может иметь решений для функции Ф в виде (23). Это означает, что отображение g не является регулярным в тех точках (р, Фк), в которых g(p, Фк) = 0. Аналогично можно рассмотреть случай Ni > 1 и N = 1.

3) Ni > 1 Nk > 1. В этом случае Фк) есть антисимметричная функция переменных Xi;1 и отдельно Хк;1, Также, gi, Фк) является квадратично интегрируемой функцией, тогда

Кк = Hn-1 ®HNk-1 . (24)

Умножим левую часть уравнения (17) на p(xi2) и р*(хк2) и проинтегрируем по переменным xi2 и хк2 (здееь р и р - натуральные епин-орбитали функций Фк и Ф;. соответственно). Получаем, что если Фк) = 0, то для всех (8Фi, 8Фк)



j g(84>\ Фк)p(xi2)*(xk2)dxi2dxk2 + j д(Ф^,Фк)p(xi2)p*(xk2)dxi2dxk2 = 0 . (25)

Здесь оба слагаемых равны нулю, так как функция Фк сильно ортогональна к p, а функция Ф; сильно ортогональна к р (см. теорему о сильной ортогональности [1]). В тоже время существует такая функция Ф, что

j Ф(Xi,l\Xk,l)p(xi2)p*(xk2)dxi2dxk2 = 0 , (26)

например

Ni Nk

Ф(ХМ\ХМ) = (Asym Д *n(xin)) (Asym Д iPn(xkn)) , (27)

n=2 n=2

где pn,pn £ Hi, p2 = p и p2 = p. Сравнивая (25) и (26), мы видим, что уравнение (17) не может иметь решений для функции Ф в виде (27). В таком случае, отображение g не является регулярным в тех точках (Фг, Ф1е), в которых д(Ф\ Фk) = 0.

Таким образом, доказана лемма.

Лемма 2. Пусть Ni > 1 и/ил и Nk > 1, тогда отображ епие g не является регулярным в тех точках (Ф\ Ф'г), в которых д(Фг, Ф1) = 0

4 Уравнения Эйлера. Метод множителей Лагранжа.

4.1 Уравнения Эйлера в случае q = N (уравнения Хартри-Фока). В этом случае

i 2 N

Ф(Х) = vNi Asym <pi(xi) (28)

и функционал полной энергии системы определен в пространстве

H® = Hi 0Hi 0---0Hi . (29)

4-v-

Пусть ф = (pi,p2,... ,pN) обозначает элемент этого пространства. Чтобы применить теорему 1 к задаче (1) необходимо построить отображение G со следующими свойствами: во-первых, ограничение G((p) = 0 должно быть эквивалентно ограничениям (1.2) и (1.3) и, во-вторых,

1) Отображение Gi : H® - RN

Gi() = (ai,a2,..., aN) , ai = (pi\pi) - 1 Ограничение Gi() = 0 эквивалентно ограничениям (1.2).



2) В задаче (1) кроме N ограничений (1.2), имеются также K = N(N - 1)/2 ограничений (1.3). Построим отображение G2 : H® - Ск

G2() = (121,131,132,... (n-1)) , аik = (р^рк) . (31)

Ограничение G2(p) = 0 эквивалентно ограничениям (1.3).

3) Отображение G : H® - RN х Ск

G(p) = (G1(p),G2(p)) . (32)

Множество RN х Ск мы будем рассматривать как вещественное гильбертово пространство

G(p) = 0 эквивалентно ограничениям задачи (1) и, во-вторых, если G(p) = 0, то система уравнений

G1(p)Sp = х

(33)

G2(p)Sp = y

разрешима для всех х £ RN и y £ Ск. Последнее означает, что отображение G регулярно во p G(p) = 0

задаче (1) применить эту теорему.

Напишем функцию Лагранжа задачи (1)

L(p) = E(p) - <eG1(p)> - (V(p)) - (V(p))* , (34)

где с £ RN и A £ Ск - множители Лагранжа

, £2,...,£n } , A = {A21, Лзl, Лз2,..., An (n-1)} . (35)

Более подробно функционал (34) можно записать в виде

L(p) = E(p) - Y £i((рiIрi) - - Yl (Лik(рilрk) + Л*к(рiрк . (36)

i=1 i,k=1(i>k)

Набор {Aik}i>k удобно дополнить до набора {Aik}i=k таким образом, чтобы Л*к = Aki. Тогда функционал (36) можно представить в виде

L(p) = E(p) - Y£i((PiPi) - 1) - Y Лik(PiPk) . (37)

i=1 i,k=1(i=k)

Если p является точкой локального минимума в задаче (1), то существуют такие числа £i £ R и £ С (Л*к = Л^), при которых p является стационарной точкой функционала (37), что означает следующее

d-*Sp* = Y Hff рi - - Y Лik= 0 для всех Sp , (38)

p i=1 k=1(k=i)



где - эффективный гамильтониан [1]

Kf = h + £ (Jfc - Kfc) . (39)

k=1(k=i)

Принимая во внимание, что (Ji - Ki)pi = 0, из (38) получаем систему уравнений Хартри-Фока,

k=1(k=i)

где F - оператор Фока [4]

F = h + £(jfc - . (41)

fc=i

Известно, что оператор Фока инвариантен относительно унитарного преобразования спин-орбиталей р1; Ц>2, , <fN

где {uik} - элементы унитарной матрицы и. и всегда существует такая унитарная матрица и. что спин-орбитали р1, р2,..., fiN будут удовлетворять каноническим уравнениям Хартри-Фока

F & = £i tpi . (43)

4.2 Уравнения Эйлера в случае q < N. Как мы показали в параграфе 3.2, свойства отображения g в случае Ni > 1 и/ил и Nk > 1 существенно отличаются о т случая Ni 1 н Nk = 1 (см. леммы 1 и 2). Вследствие этого, к задаче (1) в случае q < N мы не можем применить метод множителей Лагранжа по аналогии с тем как это было сделано в случае q = N. Поэтому, в этом параграфе вместо задачи (1) мы рассмотрим задачу (2). Рассмотрим следующие отображения.

1) Отображение G2 : Hi - Si

G2(*i) = (Ф1,Ф^ь Фт,Фq) , Фk = Фk) . (44)

Si G2

жения g то первому аргументу на множестве Si можно ввести линейную структуру

1 G21) + 2 G2(Ф2) = G2( 1 Ф1 + 2 Ф2) , (45)

где а1,а2 £ С. Более того можно показать, что множество Si образует комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением

q г~

2(Ф02(Ф0> = £ Ф k Фk dXiAdXk>1 , (46)

k=1(k=i)

где Фk = g(Фi, Фk) и Фk = g(Фi, Фk). В итоге отметим, что ограничение G2(Фi) = 0 эквивалентно ограничениям (2.3)



2) Отображение G : Нг - R х Sг

Фг) = (до(Фг)(Фг)) . (47)

Как и множество RN х CK в предыдущем параграфе, мы будем рассматривать множество R х Sг как вещественное гильбертово пространство (см. параграф 5.3). Отображение G обладает следующими свойствами: во-первых, ограничение = 0 эквивалентно ограничениям задачи (2) и, во-вторых, если = 0, то система уравнений

д0 (Фг) £Фг = а

разрешима для всех а £ R и Ф £ Sг. Последнее означает, что отображение G регулярно во всех точках Фг, в которых = 0.

задаче (2) применить эту теорему.

Напишем функцию Лагранжа задачи (2)

ДФ*) = Eff (Ф) - E до(Ф) - (A*IGOT) - (A*(Ф1)) , (49)

где Eг £ R и A £ Sг - множители Лагранжа

A = {Агь ..., Аг(г-1), Аг(г+1),..., Агд} , Агк = д(Фк, Фг) . (50)

Более подробно функционал (49) можно записать в виде

ДФг) = Eff(Фг) - Ег((ФгФг)- 1) - (Дгк(Фг)+Л*к(Фг)) , (51)

к=1(к=г)

где Eг - вещественное чиело и Лгк - функционал вида

Лгк(Фг) = j Агк(Хг,1Хк,1)д(Фг, Ф^ХгДбХкД . (52)

Интегрирование в выражении (52) следует понимать в следующем смысле.

1. Если Хг = 1 и Хк = 1, то Агк и д(Фг, Фк) суть просто комплексные числа и интегрирование не производится.

2. Если Хг Mi Хк > 1, то интегрирование производится только по Хк;1 и, аналогично, для случая Хг > Mi Хк = 1.

3. Если Хг > 1 и Хк > 1, то интегрирование производится по переменным Хг>1 и Хк1,

Теперь напишем функционал (51) в симметризованном виде

ДФг) = Eff(Фг) - Ег((ФгФг) - 1) - Y ((ФгФк) + (Фкг)) , (53)

к=1(к=г)



Фк = Asym У Агк(Хг,1Хк,1)[Фк(Хк)]xfcl=xi! <*ХМ . (54)

ное число Eг и чнкио фуикции Агк вида (50), при которых Фг является стационарной точкой функционала (53), то есть

HffФг - EгФг - Y Фк/ = 0 для всех £Фг . (55)

к=1(к=г)

Ф

н .Фг = ЕгФг + y Фк. (56)

к=1(к=г)

Аналогично, мы можем написать уравнение Эйлера для всех функций набора Ф1, Ф2,..., Ф>. В итоге, мы получим систему из q уравнений.

Агк

ется в том, что с их помощью учитываются ограничения (2.3). В уравнениях Хартри-Фока (40) множители Лагранжа связаны соотношением

А!к = Акг . (57)

В общем случае при q < N мы не можем сказать что-либо определенного о том, как связаны

Агк Акг

тельного исследования.

Рассмотрим случай N = 1 и N = 1. В этом случае Агк и Акг суть просто комплексные Фг Фк Фг Фк

Hff Фг = ЕгФг + Агк Фк + Y1 ФП

п 1

га=1(га=г,к)

(58)

HffФк = EкФк + АкгФг + Y1 .

га=1(га=г,к)

Введем оператор

Н^ + С^к - К^ . (59)

Принимая во внимание, что (Лг - Кг)Фг = 0 и (Лк - Кк)Фк = 0, получим

HeffФг = НФг , Фк = НФк . (60)

Из (58) и (60) следует

Агк = (ФкНФг) , Акг = (ФгНФк) . (61)

Оператор Н эрмитов, поэтому множители Лагранжа Агк и Акг при = 1 и N. = 1 связаны соотношением (57).





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.