Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Анизотропия

Анизотропия, плеохроизм дипольно-запрещенных оптических переходов и влияние на них электрического поля в модели

СЛ/ГАгплоскости .

В. И. Черепанов, Е. Н. Кондратов, А. С. Москвин

Уральский государственный университет им. А. М. Горького, физический ф-т, 620083, Екатеринбург, пр. Ленина, 51.

e-mail: evgeniy.kondr ashov@usu.ru

1 Введение

Тетрагональные двухмерные 2D-cjioh СиОч входят в качестве фрагментов структуры таких высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП), как LaCuOy, La2-xSrxCu04 и др. Поэтому изучение электронных (в том числе экситонных) возбуждений в 2В-модели СиОч представляет большой интерес. Этому вопросу посвящен ряд экспериментальных [1-5] и теоретических работ [6-12].

Элементарная ячейка 2Б-модели С 02 содержит один атом меди и два атома кислорода. В основном состоянии на каждую ячейку приходится одна дырка в состоянии, которое согласно различным теоретическим оценкам содержит 70-80% СиЗйа.2 г/2-состояния. Световое облучение может вызывать перенос дырки в соседнюю ячейку с образованием бездырочного состояния в одной ячейке и двухдырочного синглетного состояния в соседней. Электростатическое взаимодействие связывает эти два состояния, а трансляционная симметрия решетки обуславливает движение такой синглетной пары через кристалл (т.н. экситон с переносом заряда [12]). Впервые экситон с переносом заряда был рассмотрен Оверхаузером [13]. Трансляционное движение экситона не сопровождается током.

Поскольку имеется целый спектр энергий двухдырочных состояний ячейки, то, в зависимости от того, какое из этих состояний образуется после возбуждения, будут возникать различные экситоны с переносом заряда. В силу того, что перенос дырки возможен в одну из четырех соседних ячеек плоскости СиО?, имеем дополнительное вырождение, которое снимается за счет dp-гибридизации и электростатических взаимодействий. Определение типов симметрии экситонных состояний с переносом заряда, возникающих при заданной симметрии двухдырочного состояния Г (Г - неприводимое представление точечной группы симметрии 2Б-решетки с центром на атоме меди) является одной из целей данной работы. Кроме того, необходимо заметить, что возможно существование экситонов, связанных с электронными переходами внутри элементарной ячейки (в противоположность двухячеечным экситонам, рассматриваемым в данной работе), которые по структуре напоминают френкелевские экситоны в кристаллах.

Фотопереходы из основного состояния кристалла в экситонное, как обычно, можно разделить на дипольно-разрешенные и дипольно-запрещенные. Если вероятности первых для 2В-модели зависят от направления поляризации света, то вероятности вторых зависят еще и от направления распространения света. Определение зависимостей вероятностей дипольно-запрещенных переходов от направлений поляризации (плеохроизм) и распространения света (анизотропия) являются второй целью работы. Хотя электроквадрупольные и магнитнодипольные фотопереходы имеют намного меньшую вероятность, чем электродипольные, в ряде случаев они, по-видимому, наблюдались [3, 6]. Кроме того, можно изучать дипольно-запрещенные фотопереходы, используя эффект их усиления ( возгорания ) во внешнем электрическом поле [14-18]. Этот эффект недавно был обнаружен для двух слабых пиков поглощения 1.4 eV и 1.6 eV в ЬаСиО^у [18]. Третья часть настоящей статьи содержит вывод ориентационных (от направления электрического поля) и поляризационных (от направления поляризации световой волны) зависимостей вероятностей возгорающих дипольно-запрещенных экситонных фотопереходов всех типов в 2В-модели слоя СиОч-

Заметим, что найденные здесь зависимости вероятностей оптических переходов от </.£ и £ справедливы не только в модели С 02-плоскости, но и для трехмерного кристалла типа ЬазСиОц в тетрагональной фазе, так как точечная группа кристалла также есть Д^. Поскольку в орторомбической фазе смещения атомов относительно их положений в тетрагональной фазе малы, то упомянутые зависимости приближенно справедливы и в этом случае.



2 Типы симметрии синглетных экситонных состояний с переносом заряда в 2D-модели

Двумерная решетка слоя СиОч имеет группу симметрии Т> х Т, где Т - группа дискретных трансляций tnm = пах + тау, где ах, ау - базисные векторы, a n, m - целые числа. Пример синглетного экситонного состояния с переносом дырки из одной ячейки в другую схематически представлен на рис.1. Дырка переходит из состояния ф^ 1я (R) (например, это может быть Cu3dx2 y2) в соседнюю ячейку с образованием двухдыроч-

ного состояния

(структура последнего состояния в дальнейшем не играет роли) и бездырочного

состояния <j)Alg(R), соответствующего полностью заполненным оболочкам. Волновые функции четырех вырожденных экситонных состояний с переносом дырки из ячейки R в ячейку R + т в нулевом приближении запишем в виде

ехр(М)фА(й)[Хтм(й+7) П ФГ(& + ?)]

относя-

где f = ±ах,±ау, а точками отмечены произведения четверок волновых функций ф^

щихся к остальным конфигурационным сферам ячейки R. Эти произведения для каждой сферы остаются инвариантными при преобразованиях кристалла под действием элементов д точечной группы Т> с центром в произвольном узле R и поэтому могут быть опущены при рассмотрении свойств симметрии функций

к

Ф^-(т). Г и М в (1) - неприводимое представление группы Т> с центром в точке R Рассматривая действие преобразования д на функцию (1), находим

т и его строка.

д^м(т) = [Хв(д)Г^{М'м(9)м'(9г

м>

где XBlg - характеры неприводимого представления В\д, а Т> - матрицы неприводимого представления Г группы £>4ft. Поскольку XBlg(g) = ±1, то можно записать

\/Ь1.(Й)

т ?

\/b<.(+;)

о

о

X(R+ax)

Рис. 1: Образование экситона с переносом заряда. Дырка переходит между ионами меди и кислорода. Бездырочное и двухдырочное состояния соседних ячеек связаны и распространяются по решётке. Затушёванный кружок - медь, пустой кружок - кислород. Слева - основное состояние, справа - экситонное состояние.

Для элементов, входящих в точечную группу волнового вектора имеем дк = к ± Ь (где Ь - вектор обратной решетки), то есть в схеме приведенных волновых векторов:

дЧ>км(т) = Хв(д){м'м(9м'(9г)-

Отсюда характеры представления Тех, построенного на базисе (1), равны



Сумма в (4) равна

Г !. для д=Е,1с1 2jf;f=< 2, для д = U2x,U2y, Ш2х,Ш2у т [О, для остальных элементов группы Т>.

Особый интерес представляет центр зоны Бриллюэна к = О, для которого cj:=0 = £W Определив характеры Гех по (4) и раскладывая Гех по неприводимым представлениям группы Т>, находим типы экситонных состояний с к = 0:

Г = А1д, В1д : Гех = А1д + В1д + Еи;

Г = А2д, В2д : Гех = А2д + В2д + Еи; Т = Ед: Тех= А1и + А2и + В1и + В2и + 2Ед; (5)

Г = Aiu, Biu : Гех = Aiu + Biu + Ед;

Г = -42ц, В2и : Гех = А2и + В2и + Ед;

Г = Еи: Гех = А1д + А2д + В1д + В2д + 2Еи.

Нетрудно также, используя формулу (4), провести теоретико-групповую классификацию состояний для любой симметричной точки в зоне Бриллюэна. Кроме того, обычным способом легко определить расщепление уровней при смещении из более симметричной точки в менее симметричную, например, при смещении из центра зоны вдоль оси С2х происходит расщепление уровней: А1д(В1д) -¥ Ai, А2д(В2д) -¥ Bi, Ед -¥ А2 + В2, А1и(В1и) -¥ А2, А2и(В2и) -¥ В2, Еи -¥ Ai + Bi (справа указаны неприводимые представления группы волнового вектора C2v).

Правильные волновые функции экситонных состояний являются линейными комбинациями функций (1)

й(к) = 22сйм^)2ехр(А1я(Шхия+т) п Ф?1я(й+?)] (в)

т м ft т' фт

Коэффициенты С могут быть определены только при диагонализации гамильтониана. В дальнейшем явный вид функций Стм ?(fc) нам не потребуется. В частном случае возбуждения вида bisf, bigi -¥ b\g (1 Aig), Ь\д (1-4is)

с образованием синглета Жанга-Раиса 1 Aig из (5) имеем Тех = Aig + Big + Еи, что совпадает с результатом работы [12], где эти состояния обозначены, соответственно, S + D + (/ . /j). Однако, кроме 1-4is, возможны и другие двухдырочные синглетные состояния комплекса СиОц, в частности, 1А2д, 1Big, 1В2д, 1Ед и др. (см. [18]). Для каждого из них при к = 0 должен существовать набор экситонных энергетических уровней в соответствии с разложениями (5). Согласно, например, расчетам [11], в щель переноса заряда должны попасть экситонные состояния типа Г = A2g,Big,Eu. Кроме того, в экспериментах по измерению энергетических потерь электронов (EELS) в Sr2Cl2Cu02 были обнаружены бестоковые экситоноподобные возбуждения выше щели переноса заряда [4,12].

3 Анизотропия и плеохроизм экситонных фотопереходов

Волновая функция основного состояния системы имеет вид

Ф0 = 1в(Д)[П<1в(Д + г)]..., (7)

т

где точками обозначены произведения функций ф^1я и ф^1я для более далеких от узла R атомов меди. Очевидно, волновая функция Фо под действием д € Т>ы преобразуется по Big. Вероятность оптического перехода из основного в экситонное состояние типа Т(к) определяется

W(0 -+ f (fe)) = а(ш) <Ф^(£)Яед|Фо)2, (8)

м

где а(ш) = (2тт/К)р(со), р(ш) - плотность излучения с частотой перехода со, а Нец в линейном приближении по А есть



Здесь А - векторный потенциал электромагнитного поля, р - оператор импульса j-ro электрона системы. Полагаем:

A(R) = A0exp(iqR)£ (10)

где £ - единичный вектор, указывающий направление поляризации световой волны. Подставляя (6), (9) и (10) в матричный элемент (8), находим

г'фт j

Заметим, что слева и справа находятся многоэлектронные волновые функции, зависящие от координат fj электронов (<j)Alg (R) зависит от разностей (fj - И), (Д + т) - от разностей (fj - (R + т)) и т. д. ). Делая

замену переменных (fj - fj + R), учитывая инвариантность Фд ПРИ трансляции на R, получаем:

(Ф^(й)ЯеД|Ф0) = =е k)R) е е ;

( (0)[Ф^(г) Д ф^(Г)}...\ехр(/)Щ)\Ъ0),

т'фт j

где В = -(еАо)/(тпс). Сумма exp(i(q - k)R) = N6%.- приводит к правилу отбора при фотопереходе: к = q.

Учитывая малость f 1/о для видимой и ПК областей спектра, раскладывая экспоненту в ряд по степеням q и сохраняя лишь члены до первого порядка малости включительно, находим

<(о)[Ф^(70п^<1я()] -1() + *Е^()(1)Фо>,

где Р = 2jPj- Проводя обычные преобразования (см. напр. [20-21]),

получаем:

(Ф^(й)ЯеД|Ф0) = -i-BSx

(miaVa + iqQa+qXMao), (12)

а а/3 а

где Т> = e2jfj - электродипольный момент, Qa0 = - (е/2)£]. Tjarj0 - электроквадрупольный момент, Л4 = 5 Лч-магнитный момент системы. При выводе (12) мы учли, что матричный элемент не зависит от

выбора нулевого узла 0, то есть можно заменить 0-+йи ввести суммирование (1/N) Х]д-Ввиду малости q -С (1/а) заменим 5.~ на 5.Q. Из (8) и (12) тогда получаем:

W(0 -+ Г(0)) = 7М El(°)lE + *Е + I> х С]а,МаФ^)2, (13)

М а а/3 а

где 7(ш) = а(а;)а;2(Л2/с2). Хотя, вообще говоря, Ф^.(д) неаналитична в точке q = 0, ее можно разложить в ряд по q при заданном направлении q. При этом, сумма в (13), как легко доказать, не зависит от направления стремления q к нулю.

А. Электродипольные переходы

Поскольку Т>,х, Т>у преобразуются по Еи, a T>z - по Л2и, то электродипольные переходы (ЭД) из основного состояния (типа В±д) возможны лишь в состояния Г = Еи или P>2U- Из (13), сохраняя лишь ЭД - вклад, находим

W(0 -+ Я„(0)) = 7ИС2(С2 + ф; W(0 -+ b2u(0)) = 7МС?£, (14)

где

Ci = (b2u(0)Z>*blff), С2 = \(Eu(0)\\V\\Blg)\.



4 Влияние внешнего электрического поля на дипольно-запрещенные фотопереходы

ЭД-переходы из основного состояния типа В\д в четные экситонные состояния Г(0) = Гг(0) запрещены. Однако, во внешнем электрическом поле £ к экситонному ф^ (0) и основному состоянию ф^1я примешиваются нечетные состояния ф^,(0). В первом приближении теории возмущений имеем

фм = фгл|(о)+ £ (гим'КД1,м)фГ(о);

,т, хъв^ j. \ (TuM\e£R\0Blg) Гц

где

А(Ти;Тд) = Ет (0)-Егя(0), 6(ТХ1;0) = ЕГа(0)-Е0,

Вводя неприводимые компоненты QAl<> = Qzz, QAlg = Qxx + Qyy, QBl<> = Qxx - Qyy, QB2g = Qxy, QE*°2 = (Qzz,Qyz), MA = Mz, Mf° = (Mx,My), находим:

2qaQa0 = \qxUQA>1° + QBlg)+

+l%UQAls -QBl°) + 4zizQAl° + Ыу + ЧуШВ2в + (4xiz + gzXx)Qfs + + gzXy)Q2s-

Также имеем:

x $<*Ma = (qy£z - 4ziy)Mx° + Ых - qr£z)MB° + Ыу - Qy£x)MJ2.

Применяя теорему Вигнера-Эккарта-Костера и используя таблицы коэффициентов Клебша-Гордана для группы Dihi нетрудно получить:

w(o -+ А1д(о)) = у(и)ых - %С,)2; w(o -+ А2д(о)) = )с1Ыу + Ш2;

W(0 -+ В1д(0)) = 7М|+ Я„€ ) + 0;</:i:fJ:

w(o -+ в2д(о)) = 1)(?Ыу - %С.)2; (15)

W(0 -+ Ед(0)) = {CUiqz + qztxf + (%C, +

+ (j)2cio2[fe6 - Qzixf + Ыг. - Qziy?}},

где С\х = Cg + Сд. Константы С| и Сю2 содержат только магнитнодипольный вклад (MD), остальные константы С\ - только электроквадрупольный (EQ). Явные выражения для этих констант мы здесь не выписываем. При вычислении W(0 -t Ед(0)) мы пренебрегли смешанным EQ - MD-вкладом.

Выведенные формулы описывают ориентационные (от направления q) и поляризационные (от направления £) зависимости вероятностей дипольно-запрещенных фотопереходов всех типов Eo(Big) -t Ef(0). Из (15) видим, что разные типы переходов имеют разные ориентационные и поляризационные зависимости. Поэтому выведенные формулы могут быть использованы в спектроскопических исследованиях для идентификации переходов.



EF<-

Матричный элемент ЭД-перехода (в первом порядке по £) равен:

(Фм£Р|Фо) = -е(ФмД|Фо) =

(Ггм|£Д|Гим')(Гим'ей0В1г) (ГвМ|Й|ГиМ')<ГиМ'Й|0В1в>

е

ГцМ, А(Г„;Гв) <*(Ги;0)

Для вероятностей ЭД-переходов

W(0 -+ Гд(0)) = 7(w) е <ФмФ

file 12 О

М

используя теорему Вигнера-Эккарта-Костера, находим:

W(0 -+ А1д(0)) = ф)!(А1д)(£х^ - £yiyf

W(0 -+ А2д(0)) = l(u>)-Jl(A2g)(£x£y + £у£ху

W(0 -+ Blg(0)) = 7(с)е4[(С. + Ш + К{В1д)Ш2, (16)

W(0 -+ В2д(0)) = l{uJ)e-Jl(B2g)(£x - £yixf,

где

W(0 -> Ед(0)) = 7Me4[J62£2(C2 + ф + Wx + + WzUSxb + Ш],

= 1 ( + *= 1.2.3,4; i

F(Yg;Eu) = (Tg\\R\\Eu)(Eu\\R\\0Bls),

K(Blg) = Y,F(Big;B2u)[- 1 1 1

Взц LA(B2u;Bls) p2u;0)J

F(Blg;B2u) = (Blg\\R\\B2u)(B2u\\R\\0Blg).

Выражения для параметров J@, J-j и Jg не приводим ввиду их громоздкости. В табл. 1 представлены результаты для некоторых частных конфигураций £ и £. Заметим, что при расчете W(0 -¥ Ед(0)) прене-брегалось расщеплением уровня Ед(0) в электрическом поле (т. е. определялась суммарная интенсивность компонент расщепления).

Вероятности переходов в Табл. 1 согласуются с правилами отбора, установленными в [18], но в [18] не учитывался переход в экситонное состояние типа А2д. Авторы [18], ссылаясь на теоретические расчеты считали, что переход в состояние А2д не попадает в щель переноса заряда и поэтому не может быть наблюдаем. Однако, разные теоретические расчеты приводят к разным результатам. Например, в [11] расчет в рамках шестизонной модели Хаббарда показывает, что нижайшим экситонным состоянием ниже края полосы переноса заряда должно быть как раз состояние А2д. Поэтому исключать из рассмотрения переход 0 -¥ *42ff(0) не следует.

В работе [18] методом электроотражения для Ъа2СиО^+у (у = 0.016) авторы обнаружили возгорание в электрическом поле двух пиков поглощения: 1.4 eV (при £ ± С4) и 1.6 eV (при £Ci). Эти пики авторы однозначно идентифицировали с переходами В\д В2д и В\д Ед, соответственно. Однако, первая из этих идентификаций не является однозначной, т. к. при £\\х, (или £ж) разрешены два типа переходов: Big -t В2д и Big -t А2д.

Для того, чтобы различить эти два перехода мы предлагаем провести эксперимент, направляя электрическое поле £ вдоль биссектрисы между осями х и у, а плоскость поляризации вращать вокруг оси z (луч



Таблица 1: Вероятности дипольно-запрещённых фотопереходов Ео(В\д) Ег (0), индуцируемых электрическим полем £ (Ф = (1/2)7(о;)е4). Малые EQ- и AfD-вклады, не зависящие от поля £ опущены.

£х

W(Alg) = ФХ{£* W(Blg) = Ф Jf£2

W(A2g) = Ф./.;Г' W(B2g) = Ф Jf £2

ЩД,) = 2Ф^Г2

W(A2g) = \>j:i£ W(Bb9) = Ф Jf £2

1Т(Л1г) = Ф^2£2

= <2

W(Eg) = 2<]>Jf£

£z

W(Eg) = 2$Jl£2

JT) = 2Ф^2£2

W(Blg) = 2Ф J\£2

света при этом должен быть перпендикулярен плоскостям Си02). Если через ф обозначить угол между £ и £, то из (16) находим:

W(0 -+ А2д(0)) = 7HJ£2Co 2(); W(0 -+ В2д(0)) = 7(w)j££2Sm2(0),

т. е. получаем различные поляризационные зависимости для А2д и В2д.

Оценим величину электрического поля, необходимую для полного возгорания дипольно-запрещенного оптического перехода. Например, приравнивая W(0 -¥ А2д) в (16) к в W(0 -¥ Еи) (14), получаем получаем .Ц(А2д)£2 к, С2. Полагая приближенно J2 ~ (R)2 / А(Еи, А2д) и С2 ~ e(R), где (R) - средний радиус экситона, который можно положить равным расстоянию между ближайшими Си и 0:{R) ~ 3.8А. Энергетический интервал между четным А2д и ближайшим нечетным состоянием типа Еи, согласно расчетам [11] А(Еи; А2д) к, O.leV. Таким образом, находим £ ~ \/2А(Еи; A2g/(e(R)) к, 2.6 106V/cm. Именно такие поля использовались в [18] для наблюдения эффекта возгорания .

5 Заключение

Проведен симметрийный анализ синглетных экситонных состояний двухмерного кристалла Си02 с переносом дырки от одной элементарной ячейки к ближайшим соседним ячейкам с образованием в них двухдыроч-ных состояний. Предложен теоретико-групповой способ определения экситонных синглетов для произвольного волнового вектора к. Способ может быть использован для качественной проверки расчетов положения и дисперсии энергетических зон экситонов с переносом заряда в 2.0-модели. Выведенные формулы для зависимостей вероятностей дипольно-запрещенных фотопереходов в экситонные состояния разной симметрии от направления распространения и поляризации световой волны могут быть использованы для однозначной идентификации этих переходов.

Теоретически рассмотрено влияние внешнего электрического поля на дипольно-запрещенные фотопереходы и определены ориентационные и поляризационные зависимости возгорающих переходов всех типов в 2£>-модели. Эти зависимости различны для разных типов перехода. Показано, что идентификация возгорающего пика поглощения 1.4eV в Ьа2СиО± с переходом В\д В2д, сделанная в [18], не является однозначной. Предложен способ видоизменения эксперимента, позволяющий отличить переход В±д -t В2д от В1д А2д.

Хотя настоящая работа посвящена экситонам с переносом заряда, полученные в пунктах 3 и 4 поляризационные и ориентационные зависимости вероятностей переходов носят более общий характер, так как обусловлены только симметрией экситонных состояний. В частности, эти зависимости справедливы для одноячеечных экситонов типа френкелевских.

Использование выведенных формул при интерпретации спектроскопических данных в Ьа2СиО^ и других соединениях, содержащих плоские слои Си02, позволит более полно и точно идентифицировать экситонные возбуждения.



Список литературы

[з; [4;

[в; [г

[8 [9

[ю; [п

[12 [13 [14

[15 [16

[17;

[18 [19

J. P. Falck, A. Levy, М. A. Kastner, R. J. Birgeneau. Phys. Rev. Lett. , 69, 7, 1109 (1992).

J. D. Perkins, J. M. Graybeal, M. A. Kastner, R. J. Birgenau, J. P. Falck, M. Greven. Phys. Rev. Lett. 71, 10, 1621 (1993).

R. Liu, D. Salamon, M. V. Klein, S. L. Cooper, W. C. Lee, S-W. Cheong, D. M. Ginsberg. Phys. Rev. Lett. 71, 22, 3709(1993).

Y. Y. Wang, F. C. Zhang, V. P. Dravid, К. K. Ng, M. V. Klein, S. E. Schnatterly, L. L. Miller, Phys. Rev. Lett. , 77, 1809, (1996).

J. Fink, R. Neudert, H. C. Schmelz, T. Boeske, O. Knauff, S. Haffner, M. Knupfer, M. S. Golden, G. Krabbes, H. Eisaki, S. Ushida, Physica В 237-238, 93, (1997).

F. C. Zhang, Т. M. Rice. Phys. Rev, B37, 3759 (1988).

С. -X. Chen, H. -B. Schuettler, A. J. Fedro. Phys. Rev. B41, 4, 2581(1990)

J. Wagner, W. Hanke, D. Scalpino. Phys. Rev. B43, 13, 10517(1991)

V. I. Belinicher, A. L. Chernyshev, L. V. Popovich. Phys. Rev. B50, 18, 13768(1994)

C. Vermeulen, W. Barford. cond. -mat. /9502096, 23 Feb. (1995)

M. E. Simon, A. A. Aligia, C. D. Batista, E. R. Gagliano, F. Lema. Phys. Rev. B54, 6, R3780(1996) F. C. Zhang, К. K. Ng, cond-mat/9804072, 6 Apr 1998.

A. W. Overhauser. Phys. Rev. 101, 1702(1956)

B. ii. Черепанов. ФТТ, 3, в. 7, 2183, (1961).

B. И. Черепанов, В. В. Дружинин, Ю. А. Каргаполов, А. Е. Никифоров. ФТТ, 3, 2987, (1961); Sov. Phys. Sol. St. 3, 2179(1962).

C. А. Москаленко, А. И. Бобрышева. ФТТ, 4, в. 8, 1994, (1962).

Е. Ф. Гросс, Б. П. Захарченя, Л. М. Капская. ФТТ, 3, в. 3, 972, (1961).

J. L. Deiss, A. Daunois, S. Nikitine. Sol. State Comm. 8, 521(1970). J. L. Deiss, A. Daunois. Surface Science. 37, 804(1973)

J. P. Falck, J. D. Perkins. Phys. Rev. B49, 6246(1994)

H. Eskes, L. H. Tieng, G. A. Sawatzky. Phys. Rev. B41, 1, 288(1990)

Д. II. Блохинцев. Основы квантовой механики. Наука. М. (1983). с 405.

А. Г. Жилич, В. И. Черепанов, Ю. А. Каргаполов. ФТТ, 3, 1812, (1961).



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.