Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Переход к классике

Переход к классике в теории эффекта Капицы-Дирака в

пределе сильного поля

Ефремов М.А. (efremov@ran.gpi.ru)

Институт общей физики РАН

Рассмотрено рассеяние электронов на стоячей световой волне в пределе

сильного поля. Показано, что угловая функция распределения электронов после

рассеяния близка к соответствующей классической функции распределения.

I. Введение

Рассеяние электронов на стоячей световой волны, известное как эффект Капицы-Дирака [1], исследуется достаточно давно как теоретически [2-4], так и экспериментально [5] - [11]. Общая постановка задачи об эффекте Капицы-Дирака иллюстрируется на Рис. 1. Обычно предполагается, что стоячая световая волна образуется двумя одинаковыми, бегущими навстречу друг другу (вдоль и против оси z) волнами, с волновыми векторами к и -к. Векторы начального, po, и конечного, p. импульса электрона лежат в плоскости xz и составляют с осью 0x углы а и а', соответственно. Разность между конечным а' и начальным а углами скольжения электрона есть угол рассеяния в = а' - а.

С квантовой точки зрения эффект Капицы-Дирака представляет собой вынужденное комптоновское рассеяние, которое состоит в поглощении фотона (и,к) из одной волны и излучении фотона (и,-к) другой волны. При этом, очевидно,

А


Рис. 1: Схема рассеяния электрона в эффекте Капицы-Дирака.



энергия электрона не меняется, а импульс меняется на 2 k. В работе [1] была дана наглядная интерпретация рассеяния электрона на стоячей волне, согласно которой этот процесс рассматривается как дифракция де-бройлевской волны электрона на периодической структуре стоячей световой волны с периодом А/2 (где А = 2пг/со -длина волны поля излучения), образованной плоскостями равных фаз стоячей волны (Рис. 1). Следующее из законов сохранения энергии и импульса значение начального угла скольжения электрона а, при котором возможно индуцированное комптоновское рассеяние, интерпретируется как угол Вульфа-Брэгга:

авг = arcsin(AdB/А) = arcsin( k/p0) ~ hk/p0 , (1)

а условие а = ±аВг - как условие Вульфа-Брэгга. Предполагается, что движение электрона является нерелятивистским, v, v0 <:< г: а частота света сс - малой, Тьсо <:< тг2, где m - масса электрона.

Основным параметром, разделяющим области слабого и сильного поля в эффекте Капицы-Дирака, является произведение U0t , где т - длительность взаимодействия, а U0 = 2ne2I/(тсо2г) - амплитуда пондеромоторного потенциала электрона с зарядом в, I - интенсивность каждой из двух бегущих световых волн, формирующих стоячую волну. Если начальное состояние падающего электрона имеет вид плоской волны, то в слабых полях, U0t < 1, реализуется брэгговский режим рассеяния, который характеризуется острой зависимостью эффективности рассеяния от направления начального импульса электрона p0. иначе, от угла скольжения а (Рис. 1). При увеличении силы поля, U0t / > 1, наступает дифракционный режим рассеяния, в котором зависимость картины рассеяния от направления начального импульса p0 (см. Рис. 1) ослабевает и первоначально мононаправленный пучок электронов разбивается на веер , симметричный относительно первоначального направления p0 [2, 12]. Импульс рассеянного электрона в n-ой компоненте веера направлен под углом 2паВг (где п = 0, ±1, ±2...) по отношению к p0.

Помимо традиционной квантовой постановки задачи о рассеянии на стоячей световой волне электронной плоской волны, в работах [13, 14] в приближении слабого поля были также рассмотрены квантовая задача о рассеянии волновых пакетов и полностью классическая задача, в которой движение электронов определялось уравнением Ньютона. Сопоставление классического и квантового описания эффекта Капицы-Дирака в сильном поле будет дано в настоящей работе. Будет показано, что в большой степени в пределе сильного поля результаты квантового и классического



рассмотрения сближаются даже если начальное состояние электрона имеет вид плоской волны. Следует отметить, что область сильного поля в теории эффекта Капицы-Дирака рассматривалась и ранее [2]. Однако, сделанные при этом дополнительные приближения таковы, что результаты работы [2] не могут быть использованы, например, для вычисления ненулевого среднего угла рассеяния. В настоящей работе дан уточненный вывод функции распределения рассеянных электронов в пределе сильного поля, что позволяет в полном объеме проанализировать соотношение классических и квантовых результатов.

II. Постановка задачи и основные уравнения

Исходным пунктом при постановки задачи является Гамильтониан электрона в классическом поле стоячей световой волны

H = 21~ (p - £ A(r,t)) 2 , (2)

где A(r, t) - векторный потенциал поля стоячей волны

A(r, t) = - - Eo(t) [sin(cut - kz) + sin(cut + kz)]. (3)

Здесь E0(t) - слабо зависящая (по сравнению с оптическим периодом 2-тг/и) от времени t

Будем полагать далее, что все характерные времена процесса рассеяния электрона намного превышают период осцилляции светового поля 2п/ш. Это предположение позволяет использовать приближенный Гамильтониан [2, 3, 12, 13], усредненный по быстрым осцилляциям светового поля

H = - p2 + 2Uo(t) cos(2kz). (4)

Второе слагаемое в уравнении (4), 2U0 (t)cos(2kz), есть хорошо известный

Uo(t) = 4mu2 Eo2(t). №)

Пусть для простоты, взаимодействие поля стоячей волны с электроном включается

Uo(t)

Uo , 0 < t < т

Uo(t) =

0 , t > т,



где величина т - длительность взаимодействия.

Поскольку начальное состояние электрона, заданное в виде плоской волны exp{ip0 r/h}, является полностью делокализованным в координатном пространстве, наиболее удобным аппаратом для решения задачи будет введение нормировочного объема Г. Тогда решение уравнения Шредингера Ф(г,£) с Гамильтонианом (4) может быть разложено в ряд (или интеграл) по плоским волнам

*(r,t) = 7f Е C(p,t)e*p{h (pr - £ *)}

Волновая функция (7) нормирована на единицу, J drФ(г, t) 2 = 1, если амплитуды вероятности C(p, t) сами удовлетворяют условия нормировки

Е 1 C(p,t) 2=т^/dp 1 C(p,t) 2=1- (8)

Одной из общих и важных характеристик процесса рассеяния является функция распределения рассеянных электронов F(9) по углу рассеяния 9. Эта функция может быть непосредственно измерена в эксперименте как количество электронов F(9) (19,

углов d9. В рамках рассматриваемой модели рассеяния плоской волны (в качестве начального состояния электрона) число электронов, имеющих импульс в интервале [p, p + dp], непосредственно выражается через коэффициенты разложения C(p, t) волновой функции Ф(г, t) по плоским волнам (7)

dw V 2

dp = iw (p,t) 1 (9)

Ввиду того, что при малых значениях импульса, \pz - p0z = <С p0, можно

приближенно полагать Apz p0 9 и dpz ~ p0d9, плотность вероятности (9) можно

F(9) = J dp±dptd = (0&J dp± C(p±Pz = P0z + P0 9,t = т) 2 (10)

где p± = {px,py} - компоненты импульса, лежащие в перпендикулярной к волновому вектору к плоскости; p0z = p0 а, а углы а и 9 далее предполагаются малыми: 9 1.

F(9) d9F(9) = 1 F(9)

себе полную информацию о свойствах процесса рассеяния. В частности, с помощью



функции F(в) легко вычисляется среднее значение любой функции угла в, включая средний угол рассеяния 9 и средний квадрат угла рассеяния в2

в = [ 9F (0)dB в2 = [ 92F (0)dB. (11)

III. Решение уравнения Шрёдингера

Отличительной особенностью усредненного Гамильтониана H (4), описывающего динамику рассеяния электрона, является его периодичность от координате z. По аналогии, например, с введением блоховских функция в периодическом поле кристалла, представим решение уравнения Шрёдингера с Гамильтонианом (4) в виде разложения в ряд Фурье

1 (i/ p2

Ф(г, t) = -= exp j h I po r - 2m £j j an(t) exp [ 2ink(z - v0zt) ], (12

где n = 0, ±1, ±2,..; voz = Pozfm.

Тогда зависящие от времени коэффициенты an (t) разложения (12) удовлетворяют бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, непосредственно следующей из уравнения Шрёдингера

i%- aJt) = 2-n2an + Uo(t) {exp(2ikvozt) a-n-i + exp(-2ikvozt) an+i} (13)

dt m

с начальным условием an(t = 0) = 5n>0. Коэффициенты an(t) разложения (12) связаны с амплитудами C(p, t) разложения (7) простым соотношением

C(p, t) = exp ( h 2m 0 t j Y an(t) exp(-2inkvozt) 5Pt

po+2nhk.

(14)

С учетом соотношения (14) между коэффициентами двух эквивалентных разложений (7) и (12) волновой функции электрона, угловая функция распределения F (в) (10) электронов после рассеяния может быть также выражена через коэффициенты разложения an(t) в момент выключения взаимодействия т, an(t = т), следующим образом

F(в) = I an 2 5(9 - 2паы). (15)

При вычислении функции распределения F(в) (15) символы Кронекера 5p,p в правой части уравнения (14) заменены на 5-функции Дирака с помощью соотношения вида

5p, po+2nhk = (2= 5(p - po - 2nhk). (16)



Уравнения (14)-(15) проявляет физический смысл разложения (12): это есть разложение волновой функции электрона Ф(г, t) по брэгговским максимумам, причем величина an(t = т)2 есть вероятность найти электрон к моменту времени т в пучке, отклоненном от первоначального направления p0 на угол 9n = 2naBr, т.е. в n-ом дифракционном брэгговском максимуме.

Точное решение системы дифференциальных уравнений (13) является достаточно сложной задачей. Поэтому, необходимо сформулировать определенные предположения и приближения. Для этого рассмотрим, какими основными параметрами характеризуется система уравнений (13). Очевидно, что к числу таких параметров относится амплитуда пондеромоторного потенциала Г0. энергия отдачи электрона er = h2k2/2m и время взаимодействия т. Число дифракционных максимумов, в

т

порядку величины равно Щт/Н. В условиях слабого поля, \]0т/Уь < 1, вероятность рассеяния электрона не мала только для первого дифракционного максимума (и = ±1). В этом случае, методом решения системы (13) является метод теории возмущений по слабому пондеромоторному потенциалу U0 cos(2kz). Для решения задачи в области более сильных полей, где и0т/Я > 1, необходимо сформулировать другое приближение.

Очевидно, что максимальный номер дифракционного максимума, в который вообще может отклониться электрон при рассеянии на неоднородном пондеромоторном потенциале с амплитудой U0, есть umax ~ (U0/er)1/2. Поэтому, если за время взаимодействия т количество дифракционных максимумов и0т/Я не превышает umax, и0т/Я < umax, то влияние слагаемого пропорциопального и2, erи2, в уравнениях (13) является слабым, ern2 ~ (u/umax)2U0 <<С U0. Отсюда следует, что при не слишком больших значениях и, и < umax, слагаемoe erи2 не превосходит величину второго слагаемого в правой части уравнения (13), ос U0. Это позволяет использовать теорию возмущений для решения системы уравнений (13) не по пондеромоторному

о U0

отдачи) электрона, ос erи2. Нетрудно убедиться, что квадрат модуля коэффициента разложения (12) an(t = т)2 в этом случае имеет вид


(17)


где u = kv0zт = kv0та Jn - функция Бесселя с индексом и, и = 0, ±1, ±2,...



Первое слагаемое в формуле (17) соответствует результату работы [2]. В настоящей теории в an 2 дополнительно учтено слагаемое первого порядка по егт/К <С 1. Как будет показано ниже, это необходимо сделать, поскольку без учета этого слагаемого угловая функция распределения F(9) является симметричной по 9, и средний угол рассеяния 9 (11) обращается в ноль, 9 ~ aBrY+=-oo nJ2n(r\) = 0- Однако, результаты работы [2] позволяют оценить порядок максимального угла рассеяния электрона 9тах, 9тах 2neffaBr - 2aBr(U0t/К) = 2и0кт/р0, где neff ~ U0t/К 1 - эффективное количество перерассеянных фотонов. В работе [2] отмечалось также, что это выражение для 9max не зависит от константы Планка К и в этом смысле является классическим.

Параметр теории возмущений, приводящий к разложению (17) нетрудно оценить, учитывая, что характерные значения п определяются аргументом функций Бесселя, neff ~ и0т/К 1 . Тогда слагаемое пропорциональное n2 в системе уравнений (13) мало по сравнению со вторым слагаемым ос Uc, если (и0т/К)2ег = (U0Tk)2/m < U0 или U0T2k2/m < 1, иными словами, при 1 < U0t/К < (егт/К)~1. Отметим, что это ограничение сверху на величину пондеромоторного потенциала U0 впервые было получено в работе [2] и совпадает с условием применимости метода итераций для классического уравнения Ньютона [13].

IV. Угловая функция распределения электронов после рассеяния

Средний угол рассеяния (11) 9, рассчитанный с помощью функции распределения (17), полностью определяется вторым слагаемым в правой части уравнения (17) и равен

-т\, х , ,2 . (и0кт\2 Г d sin2 u\

9(a) = I an 2 2паы = Л 1 kuc dUUUi~UF~ \ ( 9)

n=-°° u=kvo та

Отметим, что средний угол рассеяния 9(а) (19) не зависит от постоянной Планка К и совпадает с классическим выражением для среднего угла рассеяния, вычисленного в случае мгновенного включения взаимодействия [13].

F(9)

(15) несет в себе значительную информацию о свойствах процесса рассеяния. Так,

92 F(9)

\J92 - (9)2, и определяемый первым слагаемым в правой части уравнения (17), (nf)-,



равен

92(а)

Е

n=-oo

(2uавr )2

1 (UQкт\2 Г sin2 u

u=kvora

1 92

2 9m J

(20)

классической функции распределения [13].

Из уравнений (19) и (20) следует, что квантовая угловая функция распределения F(9)

моментами - это средний угол рассеяния 9 (19) и средний квадрат угла угла рассеяния 92

в моментах более высокого порядка (начиная с 93 и т.д.).

Покажем, что квантовая угловая функция распределения электронов после рассеяния в среднем совпадает с классической функцией распределения. Для этого учтем, что характерный номер иегт брэгговского максимума (17), в который рассеиваются электроны является большим, иед- ~ > 1. В этом случае квадрат

функции Бесселя </П(п) (17) как функция индекса и при больших значения аргумента П (18), п 1 но ПРИ этом и < г], может быть приближенно представлен в виде [15]

2 Л г-2-2 (и\ тг1 1

и

иarccos -

п

(21)

Vn2 - и2 I \п) Ч п^п2 - и2

и п и < п

значениям аргумента косинуса. Используя приближенное выражение (21) для </П(п)э вероятность рассеяния электронов в и-ый дифракционный максимум an2 (17) можно записать в виде

ап\ =

п\[г\2

и

er т

Я

+ Ч- и*- In

sin2 u

и


4 /er т

Я

d sin2 u du u2

и

erт \ / U0т\ d sin u Я / \ Я / du u2

(n2 - и2)3/2

2 \ -1/2

(22)

Вероятность рассеяния электронов в и-ый дифракционный максимум а. определяемая уравнением (17) или уравнением (22), изображена на Рис. 2 сплошной и пунктирной кривой, соответственно.



Возникновение сингулярных функций, 6(9 - 2naBr), в уравнении (15) для угловой

F(9)

интегрирования по координате ziic тем, что начальное состояние падающего электрона - плоская волна. Реально, размер области интегрирования ограничен, например, длинной лазерного фокуса L или тем, что электрон представляет собой, вообще говоря, волновой пакет конечного размера Ат. В результате, 6-функции в правой части уравнения (15), 6(9 - 2naBr), заменяются на гладкие функции (например, гауссовской формы) конечной, но малой ширины А9, равной по порядку величины либо XdB/L, либо XdB/Ат0

угла aBr (1), А9 <С aBr, то квантовая угловая функция распределения F(9) (15) разбивается на отдельные неперекрывающиеся пички (23), локализованные около значений угла рассеяния 9 = 2naBr, а амплитуда каждого пика описывается an 2 n

ом дифракционном максимуме. В противоположном случае, А9 > aBr, различные

F(9)

F(9)

вычисленная численно при ц = 25 и А9 = 2aBr с использованием замены (23), изображена сплошной кривой на Рис. 3 вместе с классической функцией распределения Fd(9) = (1/n)(92m - (9 - 9)2)-1/2 [13], пунктирная кривая.

Таким образом, при переходе в область сильных полей, 1 < U0t/К < (erт/К)-1, когда вероятность рассеяния электрона в различные дифракционные максимумы являются величинами одного порядка, квантовая функция распределения электронов F(9) (15) в области 9 - 9 < 9m близка к классическому распределению Fci(9). При

F(9)

прежнему абсолютно квантовой. Отметим, что это же явление имеет место и при рассеянии атомов на стоячей световой волне в условиях точного резонанса [16].

Следовательно, в эффекте Капицы-Дирака сильное поле стоячей световой волны способствует сближению результатов классического описания и квантово-механического подхода, в котором начальное состояние электрона описывается в виде плоской волны.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность М.В. Федорову за


(23)




Рис. 2: Вероятность рассеяния в п-ый дифракционный максимум \an\2 как п

(17), пунктирная - (22).

постановку задачи, рецензирование статьи и

aF (0)


Рис. 3: Классическая Fci (в) (пунктир) и квантовая F(в) (15), (17) (сплошная линия) угловые функции распределения.

постоянный интерес к работе.

[1] P.L. Kapitza and Р.А.М. Dirac, Proc. Phil. Soc, 29, 297 (1933) [2] М.Н. Федоров, ЖЭТФ, 52, 1434 (1967) [3] L.S. Bartell, J. Appl. Phys., 38, 1561 (1967)

[4] H. Ezawa, H. Namaizawa, J. Phys. Soc. Japan, 25, 1200 (1968); 26, 458 (1969) [5] L.S. Bartell, H.B. Tompson, R.R. Roskos, Phys. Rev. Lett., 14, 851 (1965); Phys. Rev., 166, 1494 (1968)

[6] H. Schwarz, H.A. Tourtellote, W.W. Gaertner, Phys. Lett., 19, 202 (1965)

[7] H. Schwarz, Zs. Phys., 204, 276 (1967)

[8] Y. Takeda, I. Matsui, J. Phys. Soc. Japan, 25, 1202 (1968)

[9] P.H. Backsbaum, D.W. Schumacher, and M. Bashkansky, Phys. Rev. Lett., 61, 1182 (1988) [10] D.L. Freimund, K. Aflatooni, and H. Batelaan, Nature (London), 413, 142 (2001) [11] D.L. Freimund and H. Batelaan, Phys. Rev. Lett., 89, 283602 (2002) [12] V.G. Minogin, M.V. Fedorov, and V.S. Letokhov, Opt. Cornrnun., 140, 250 (1997) [13] M.A. Ефремов, М.Н. Федоров, ЖЭТФ, 116, 870 (1999) [14] M.A. Efremov and M.V. Fedorov, J. Phys. B, 33, 4535 (2000)

[15] Ф. Олвер, Асимптотика и специальные функции, Издательство Наука , Москва, 1990 [16] А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович, В.П. Яковлев, Письма в ЖЭТФ, 31, 542 (1980)



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.