Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Исследование алгоритма

Исследование алгоритма адаптивной спектрально-марковской комплексной фильтрации сигналов

Ю.П.Иванов, А.Л. Даргевич fdandy@vzliot.ru )

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Работа выполнена при финансовой поддержке в форме гранта Министерства образования

Рассматривается алгоритм комплексной адаптивной спектрально-марковской фильтрации сигналов в условиях априорной непараметрической неопределенности характеристик оцениваемого сигнала и погрешностей измерения. Модель измерения предполагается линейной с некоррелированными сигналом и помехами измерения. В процессе фильтрации обеспечивается оптимально-инвариантная оценка сигнала. Проектирование систем обработки информации часто происходит в условиях значительной априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и помех измерения. Для преодоления неопределенности характеристик сигнала широко применяют свойство инвариантности ошибки оценки от характеристик полезного сигнала комплексных систем обработки информации /1/.

Для преодоления параметрической неопределенности флюктуационных погрешностей измерения обычно применяют адаптивный байесов подход /2/. Существующие на данный момент алгоритмы адаптивной фильтрации при априорной неопределенности являются сложными, имеют ряд серьезных ограничений на область применения и обычно используются в условиях непараметрической априорной определенности информации о сигнале или помехах измерения /3/. Одним из методов, позволяющих преодолеть значительную неопределенность априорной статистической информации как сигнала так и помехи, значительно упростить алгоритмы обработки сигналов и обеспечить требование ко времени адаптации, является предлагаемый алгоритм комплексной адаптивной спектрально-марковской оптимально-инвариантной фильтрации сигналов.



Рассмотрим следующую модель непрерывного измерения сигналов:

Y (() = R X (t) + H (t),

где j = 1,2, R

матрица комплексирования, Y (t)

Y1 (t) Y2 (()

вектор измерений сигна-

ла, H (()

H1 (() H 2 (()

вектор погрешностей измерения, X (t) - произвольный скалярный

случайный процесс.

Предположим, что H1 (() и H 2 (() - квазистационарные случайные непрерывные некоррелированные между собой и с полезным сигналом процессы с математическими ожиданиями M [Hj (()]= 0, j = 1,2, спектральные характеристики которых разнесены

по частоте. H1(t) - случайный процесс, апроксимированный белым шумом, спектральная плотность а2 которого известна. H2 (t) - марковский процесс r -го порядка, корреляционная функция и параметры которого неизвестны. В качестве критерия оптимальности фильтрации сигнала используется средний квадрат ошибки оценки низкочастотной погрешности измерения.

Рассмотрим комплексную обработку сигналов на основе схемы с фильтром разностного сигнала. В рассматриваемом случае оцениваемым случайным процессом является погрешность H2 (t), которая выделяется из разностного сигнала Z (() = H1 (()- H 2 ((), а помехой является погрешность H1 (t). В исследуемом алгоритме спектрально-марковской фильтрации разностный сигнал представляется в виде конечного дискретного спектра относительно выбранного ортогонального базиса при дискретном изменении во времени непрерывного конечного интервала разложения случайного процесса Z ((). Задача фильтра состоит в оптимальной оценке временного ряда спектральных компонент разложения случайного процесса H2 (t). По полученным с выхода фильтра разностного сигнала оценкам спектральных компонент погрешности H2 (t) восстанавливается непрерывная оптимальная оценка погрешности H 2 ((). Подобное разложение на спектральные компоненты вектора разностного сигнала позволяет ускорить обработку на вычислительных машинах, получить непрерывную оценку при использовании дискретной обработки наблюдаемого сигнала, обеспечить одновременно с фильтрацией интерполяцию сигнала и устойчивую



адаптивную обработку сигнала /4/. В связи с тем, что при обработке используется частичная сумма представления случайного процесса в виде дискретного спектра появляется ошибка аппроксимации входного сигнала, увеличивается общая ошибка оценки сигнала. Поэтому встаёт вопрос о выборе базиса ортогонального разложения, обеспечивающего высокую точность аппроксимации при заданном числе компонент разложения. Как известно, наивысшую точность аппроксимации при выбранной размерности спектра к обеспечивает разложение Корунена-Лоэва, но в условиях неизвестной корреляционной функции случайного погрешности измерения H 2 ((), исключается возможность его использования. Поэтому задача выбора базиса заслуживает отдельного рассмотрения. Моделирование показало, что в качестве одного из наиболее подходящих базисов может быть выбран базис Фурье, который отвечает поставленной цели обеспечения высокой точности представления сигнала при заданном числе спектральных компонент для широкого класса случайных процессов /5/.

Оптимально-инвариантная оценка X (t) полезного сигнала X (t) в любой момент времени t для рассматриваемого случая определяется следующим соотношением:

X(t) = Y(t)-H2(t) (2)

В случае спектрально-марковской фильтрации на i-ом, i = 1,2,... интервале разложения (( -T,tt) разностный сигнал и оптимальные адаптивные оценки на i-h, h = 1,...r предыдущих интервалах представляются в виде следующего вектора

C(tt ) = ~ (tt ) H%{) (ti-1 ) - H Г2,0 (t-r ) - ~-1 (t, ) НГ2к-1 (ti-1 ) - Hr2k-1 (t-r l ,

~ J fs (t)-Z (t,-T)dT ~ J fs (г)-Нr 2 (t,-T)dT

где Zs (ti) = -°t-, Нr 2,s (tt) = -t--компоненты спектрально-

Jfs (г)- f: (z)dr Jfs (r)-f; (r)dr

го разложения соответственно процессов Z (t) и Hr 2 (t), к - количество компонент спектрального разложения, f s (t) - базисные функции разложения, T - ширина интервала разложения. Hr 2 (() - интерполяционная оценка зависящая от порядка марковского процесса H2((), s = 0,...,к -1, * - оператор комплексного сопряжения.



A(ti)

следующим образом A m (ti )= KHZLm (ti KzZt,m(ti )

KHZlm (ti) - матрица взаимной корреляции процессов

С (ti )= ~ (ti) Йг (t.-А) # Hri (ti - r A) T , и

H 2 m (ti )= H~2 m (i ) H m ( - A) # #2 m (i - r A)T , где #2 m ( )= --ЮШ-

j fm (T)fm* №

поненты спектрального разложения оцениваемой погрешности H 2 (() в момент времени ti, А = ti - ti-1 - шаг смещения интервала разложения сигнала в i момент времени.

KHZlm - матрица взаимной корреляции компонент спектрального разлажения С1 (ti)

и Cm ).

Оптимальная оценка H2 (( - т) случайного процесса H2 (ti - т) на основе оценок полученных спектральных компонент определяется следующим выражением /5/

#2 (( -Т)=£ H~21 (( ) fs (Т, (3)

где t = ti -т, те[0,T]

Рассмотрим случай, когда вектор компонент спектрального разложения оптимальной оценки погрешности H2 (() в текущий момент времени tt определяется следующим соотношением

H 2 (ti ) = A(ti ) C (ti), (4)

где матрица оптимально-инвариантной комплексной спектрально-марковской фильтрации размерности k x k r имеет следующий вид

f A0,0U (ti ) A0,0U (ti ) A0,1U (ti ) A0,11>r (ti ) A0,k-1U ((i ) A0,k-11>r (ti ) A1,0U (ti ) A1,01,r (ti ) A1,11,1 (ti ) A1,11,r (ti ) A1,k-11,1 (ti ) A1k-11,r (ti )

3 Ak-1,01>1 (ti ) # Ak-1,01r (ti ) Ak-1,11Д (ti ) # Ak-1,11>r (ti ) # Ak-1,k(ti ) # Ak-1,k-11r (ti )y

A, mo p (ti) - элемент матрицы A{ m (ti), который располагается в строке o и в столбце p, l = 0,..., k -1, m = 0,..., k -1 Матрица A{ m (ti) - это матрица, которая определяется



Для рассматриваемого случая можно получить следующие выражения для матриц

4 Ы[Й21 (t, )-2m*(t, )] #

khzi т (t,)

# M [~2, (t,)-Н2: (t, - r- A)] M1(( -r-A)Hm*(()] - M[[~2i(( -r- A)-H2j(( -r-A))

KZZl,m(t )= ~ $ ~ % ~ $ ~

где M [] - оператор математического ожидания,

г 1 tt

M [H qi ) - H J (t, )] = JJ f (Г) - Kq fa)- fj ((p)drdV ,

M[Hqi(( -r A) H(( -r- A)]=JJf(г)Kq(г,p)-fm*(cp)drd(p ,

M) Hfe - r - A)]=JJf(г)- Kq(r,q> + r - A)- f /foW , q = 1,2.

Kq (г,) - корреляционная функция процесса Hq (t).

Таким образом, входной вектор фильтра низких частот формируется по следующему рекуррентному алгоритму:

С fe ) = F (Z fe)) + Q - A(tt)- C (t,-1), (5)

Jf,(г)-Z(t, -г)г

где F (Z fe))

Jfk-1 (г)-Zfe -г)/*

вектор разложения разностного сигнала Z (t1) на

спектральные компоненты в момент времени t, , у которого все нечетные элементы



нулевые, размерность этого вектора 1 x 2 k, Q

матрица прорежи-

вания размерностью r k x k, у которой все четные строки нулевые, а нечетные образуют единичную матрицу.

Матрица адаптивной спектрально-марковской комплексной фильтрации A(ti) в момент времени ti формируется следующим образом

A (ti ) =

A0,0U (ti) A0,01r (ti) A0,1U (ti) A0,11r (ti) A1,01,1 (ti ) A1,01,r (ti ) A1,11,1 (ti ) A1,11,r (ti )

AAk-ю (ti) # A-ufe) A-Un (ti) # AAk-1.nrfe) #

(ti)

A1,k-11,1 (ti )

0,k-11,r(ti )

(ti)

-1,01,1

Ak-1,k-111 (ti ) Ak-1,k-11r (ti )y

где Al>mo p (ti) - элемент матрицы A{m (ti), который располагается в строке o и в столбце p . Матрица A{ m (ti) - это матрица, которая определяется следующим обра-

Al,m (ti )= KHZhm (ti )-KZZ m (ti Г . KHZhn (ti ) и KZZhm (ti ) в м°мент времени t1 определяются

итеративно:

KZZl,m (ti ) = KZZl m (ti-1 ) + -

Z (ti ) H m (ti - r- A)

z, (ti ) z: ) ...

KZZl,m(i-1 )



Ч5ь

0 30

Обь

fг-rAfmHг

]fl(г-r-Af:(г-Adг

0 30 0 30 0 30

Jftг-A-f:Hr-)-A*

г))*-tг-r-Af:tг-r-Adг J/ltг-A.f;tг-r-Adг

rftг-A f*tг-Adг - /ЛИ A-fW--l)I \fltг-Afг-A)dг - г-г-AfV-r-A))

0 30

Jf (г-(г-Н'/Лг-г-A*

f}f(г-(г-1)4/(г-(г-(Яtг-r-A)f:tг-r-A)/!

30 0 30

где S{ m - символ Кронекера.

Значение среднеквадратичного функционала, показывающего качество алгоритма адаптивной спектрально-марковской фильтрации, определяется следующим соотношением

m [e (()2 ] = m [h 2 (t )2 ]- 2 - m [h 2 (t) - H2 (t)] + m [h 2 (()2 ]

где

M H 2 (( -г) H 2* ((, -г)]= f (г) - A (t,)-M F (Z (t,))-F * (H 2 (t, ))T ]-Q-f * (г)т

m H (( -г)2 ]= Х(г)-A(tt)-m F(z(tt ))F(z (t, ))T ] - A * (t, )T -f * (г)т

M [f (z (ti )) F * (Z (tt ))T ] можно найти из следующего выражения



--- 0 ... 0 --

\fk-1{z)-fk-{Tdz]0i{z)-f:{z)dT

0 . 0 0 . 0

j]fo(Т МЩ -T-Zti -4-Л-*Шф j]fи(Т МЩ -Т--4-Л-*Шф

0 . 0

0 . 0 0

Где М [Z (() Z (t - т) - корреляционная функция входного процесса, которую можно определить из следующего рекуррентного выражения

М ZZ (() Z(t - т) = М [Z (t- A) Z (t- A - т) f -

JZ(<p)-Z(<p - T)d(p - A М[Z(t - A)- Z(t - A - т))

М \f(z (tt)) F * (h 2 (ti ))T ] определяется аналогичным образом через М [z (t) H 2 (t - т)] . М Z(t) H2 (t - т)] и М H2 (t) H2 (t - т)] можно найти из М {Z2 (t) H2 (t - т)] , используя априорную информацию:

Мz(t)H2(t-т)] = Мz2(t)H2((-т)] = МZ(t) Z(t-т)]-а2 8tl

t,t-т

f (т)

вектор обратного разложению сигнала на спектральные компоненты

f -1 (т)

преобразования размерностью 1 х k .

Проведенный анализ результатов моделирования показывает, что алгоритм адаптивной спектрально-марковской фильтрации позволяет производить оценивание полезного сигнала в условиях значительной статистической априорной неопределенности. Спектрально-марковский метод позволяет использовать для непрерывной фильтрации сигналов способы дискретной обработки информации, что значительно упрощает алгоритмы фильтрации. Одновременно с фильтрацией появляется возможность получения интерполированной оценки. При этом уменьшается время адаптации по сравнению с аналогичными алгоритмами адаптивной обработки во временной области. Рассмотренный алгоритм адаптивной обработки сигналов мо-



жет быть использован для стационарных и нестационарных марковских сигналов как первого так и r -го порядков.

Список литературы

1. Иванов Ю.П., Синяков А.Н., Филатов И.В. Комплексирование информационно-измерительных устройств летательных аппаратов. Л:. Машиностроение, 1984.

2. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределённости и адаптации информационных систем. М:. Советское радио, 1977.

3. Огарков М. А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990.

4. Иванов Ю.П. Методы оценки достоверности аттестации и прогнозирования состояния измерительных систем Оборонная техника. Научно-техн. Сб. 1995.№ 910. С.61-66.

5. Пугачёв В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1962.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.