Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Подмодели специально сжимаемой ориентации

Подмодели специально сжимаемой жидкости на двумерных подалгебрах

В.Г. Волков (theorphys@bspu.ru)

Башкирский государственный педагогический университет

В работе рассмотрены двумерные подалгебры из оптимальной системы алгебры Ли L13, допускаемой уравнениями газовой динамики. Для них вычислены инварианты и построены инвариантные подмодели, которые приведены к одному из двух канонических типов: эволюционному или стационарному.

1. Введение

Дифференциальные уравнения газовой динамики (УГД)

D = д t + u-V,

D р + р divu=0, (1.1)

pD u +Vp = 0,

DS=0,

где u - скорость, p - плотность, p - давление, S - энтропия, с уравнением состояния p = f (p, S) допускают 11-ти параметрическую алгебру Ли L11 линейных операторов. В декартовой системе координат (D) базис L11 имеет вид [1, см. также 2]:

X = д х, 2 = д у, X3 =д 2, X4 = td х +д и, X5 = td y + dv, X6 = td 2 + дш, Xw = д г,

X7 = - 2ду + Уд z + шди +идш , X8 = 2д х - Хд z + шд и - идш , X9 = Хду - уд х + иди - ид и ,

Рассматривается уравнение состояния вида:

p = ±ру + F (S), (1.2)

где +p при у> 0, -р при у< 0, у- параметр, F(S)- произвольная функция энтропии.

УГД с уравнением состояния (1.2) допускают дополнительные операторы:

- растяжение

- перенос

X13 = дp, где у = 2у(у -1)-1, у * 1.

Вместе с L11 они образуют алгебру Ли L13.

В цилиндрических координатах (С) х=(х,г,O),u=(U,V,W), у = rcosO, z = rsinO, u=U, и =Vcos(O )-Wsin(O), ш =Vsin(O )-Wcos(O) базис алгебры L13 таков [3]: X =дх, X2 = cosOдr - sin 9r-\дв+ WдV - VдW), X4 = tдх + ди,

X3 = sinвдr + cosOr~1(дв + WдV - VдW), X11 = tдt + хдх + rдr,

X5 = cos O(tдr +ду) - sin Or ~Н[дв + WдV - (V - rt- )д1Г ],

X6 = sinOr +ду) + cos Or 1t[дO + WдV - (V - rt], X7 =д0,

X8 = sinO(гдх - хдr + VдU - иду) + cosO[WдU - WW - хг- (д0 + WдV - VдW)],

X9 = -cosO(х - хдr + VдU - иду) + sinOW - ид - хг-\дв + WдV - VдW)], X10 = дt,

X12 = tдt - иди - Vдv - Wдw + (У- 2)рдр-дp, X13 = дp.



Для алгебры L13 перечислены все подалгебры [4], причем при у = подалгебр

больше чем для произвольного у. Рассмотрим двумерные неподобные подалгебры из

оптимальной системы для L13, появляющиеся только при у = -1,-3:

2.1. X1+X2, aX4+X13, а(у-1)=0; 2.2. X12, aX4+X13, а * 0; 2.3. X1+X12, aX4+bX5+X13; 2.4. -X11+X12, X,+aX5+X13, а * 0; 2.1. aX1+X12, X10+X13, a * 0; 2.5. aA7-6Xn+X12, X1+X13, a * 0;

2.6. aX7+bXn+X12, CX4+X13, с2 + (b +1)2 * 0 v a2 + c2 * 0, c(y-1) = 0; (1.3)

2.7. X1+aX7+X12, bX4+X13, a * 0;

2.8. aX7+X12, bX4+X13, a * 0, b(y - 1) = 0;

2.9. aX7 -(у + 1)Xn+ X12,bX4+X10+ X13 , b(y-1) = 0,у* 1;

2.2. bX1+aX7+X12, X10+X13, b * 0;

2.10. aX7+X10-Xn+X12, bX1+X13, b * 0; для подалгебр 2.1 и 2.2 у =-1 => у = 1/3, для остальных подалгебр у = 1 == у = -1. Здесь параметры a и b задают серии неподобных подалгебр.

2. Предложение о согласовании уравнения состояния (1.2) с фиксированным уравнением состояния

Уравнение (1.2) согласуется с фиксированным уравнением состояния [5]

p = Ф(р ) + Tf (р-1), (2.1)

при определенных значениях функций F(S), Ф(р-1), f(р1). Здесь Ф(р-1)-потенциальная компонента давления, Tf (р-1) - тепловая компонента давления, р-1 -удельный объем. Уравнение (2.1) описывает поведение реальных сред, которые по своим свойствам приближаются к твердым или жидким телам. Это возможно при больших давлениях (порядка 109 кг/см2) и высоких температурах (порядка 106 К).

Найдем значения F(S), f (р-1), Ф(р 1) .

Сравниваяp в (1.2), (2.1) и исключая T по первому началу термодинамики ( р, S -независимые параметры) получаем тождество:

±ру+ F (S) = Ф(р 1) + (Gs - Fs р- )f (р-) (2.2)

где G(S) - определяется дополнительным опытом. Дифференцируем (2.2) дважды по S, получим:

0= - Fs -FVf (V) + G ss f (V), (2.3)

где V = р- .

10. Пусть FSS * 0 , тогда:

Fs =-Vf (V) + f (V). (2.4)

F F

1 ss 1 ss



Еще раз дифференцируем по S, получим:

771 I

7 f ss 4

771 I

7 f ss 4

f (V). Если

G s

* 0, то,

разделяя переменные, имеем f=const=f0 и после интегрирования, подставляем в (2.4).

Получается противоречие с тем, что р и S- независимые параметры. Значит

F S

SS 0 SS SS 1 SS

(2.5)

а из (2.4) следует ki=-Vf(V)+k0F(V).

Интегрирование (2.5) при k1 * 0 и подстановка в (2.2) дает:

F (S) - k1k2 ekl + k3; Ф(р 1) - ±р^+ k з-

k 4 ki

k0 -р

f (P-1)

pk0 - 1

(2.6)

G( S) - k0k1k2 ekl + k4 S + k5,

где kj- постоянные интегрирования.

2°. Пусть Fss=0 (равносильно k1=0). Тогда F(S)=k1S+k0 и из (2.3) получим (при

G ss * 0)

G s

f (V) - const=f0. Поэтому из (2.2) следует: Ф(р 1) - k,p-f0 + К - k2f0 ±PY,

f (Pl) - f0,

(2.7)

G(S)

1 o2

2 f0

S2 + G1( S) + G0

где G0, G1=const.

3°. Пусть FSS=0, GSS=0. Из (2.4) следует FS=0, F(S)=F0. Из (2.2) получим:

Ф(р 1) - ±pY+ F0 - Gf (р-1),

G( S) - S) + G0, (2.8)

где F0, G0, G1- постоянные интегрирования.

Таким образом, уравнение состояния (1.2) согласуется с (2.1), если функции F(S), f (р1), Ф(р-1) представляются в одном из видов: (2.6), (2.7), (2.8).

3. Вычисление инвариантов

Для построения подмодели специально сжимаемой жидкости необходимо вычислить инварианты подалгебры [2, см. также 1].

Алгоритм вычисления инвариантов заключается в следующем:

1. Подбираем систему координат, в которой будут вычислены инварианты. Если подалгебра содержит оператор вращения X7, то удобно выбрать цилиндрические координаты, если оператора вращения нет, то удобны декартовы координаты.

2. Выписываем операторы подалгебры в удобной системе координат из списка (1.3).



3. Вводим функцию h, зависящую от 9 переменных (t, x, u, р, p) в качестве искомых инвариантов.

4. Функция h является инвариантом подалгебры L=<Y1,Y2> тогда и только тогда, когда любой оператор Y подалгебры, действуя на инвариантную функцию, зануляет ее. А именно, Y h = 0, Y е L. Подействуем оператором Y1 базиса подалгебры L на

инвариантную функцию. В результате получаем линейное однородное уравнение с частными производными 1-го порядка. Для этого уравнения записываем характеристическое уравнение, систему обыкновенных дифференциальных уравнений [6]. Предположим, что находится явно полный набор функционально независимых инвариантов (интегралов) f(t,x,u, р, p ), k=1..8.

5. Записываем второй оператор базиса через полученные инварианты 1-го порядка по правилу:

Y2 5, = Ъ (3-D

6. Подействуем оставшимся оператором Y2 на инвариантную функцию h(f). Получаем линейное однородное уравнение с частными производными 1-го порядка. Записываем для него уравнение характеристик. Находим полный набор инвариантов.

7. Переходим к первоначальным переменным.

Полученные инварианты сведены в таблицу (см. Приложение). Пример:

В качестве примера рассмотрим подалгебру 2.7 из (1.3).

Y1=X1+aX7+X12= ade + tdt - Udv - Vdv - W5w +рдр- pd p;

Y2=bX4+X13=bt d x + bdv +d p;

Введем инвариантную функцию h(t,x,u,р,p), x = (x,r,в),u=(U,V,W), удовлетворяющую уравнениям Y1h=0, Y2h=0. Второе уравнение имеет вид: bthx+bhU+hp=0.

, dx dU dp dr de dV dW dр dt Запишем уравнение характеристик: - =-= - = - = - =-=-= - = - .

bt b 1 0 0 0 0 0 0

Находим интегралы, которые образуют полный набор функционально независимых инвариантов: t;р; W; V; в; r; U1=U-xt1; p1=p-x(bt)-1. Записав 2-е уравнение через полученные инварианты по правилу (3.1) получим h1x=0. Отсюда следует h=h1(t,r,e,V,W,р,p1,U1). Первое уравнение в новых инвариантах для известных уравнений переменных имеет вид:

ah1e - th1t + (-U + xt-l)hWi + Vhw - WhlWl + рКр + (-p + x(bt)д = 0.

Записав характеристическое уравнение и вычислив интегралы, получаем полный набор функционально независимых инвариантов, которые в первоначальных переменных имеют вид:

r, в-alnlt, Ut-x, Vt, Wt, pt 1, pt-xb \ (3.2)

4. Инвариантные подмодели ранга 2

Двумерная подалгебра имеет 5 инвариантов. Если из выражений для инвариантов определяются все искомые функции, то существует инвариантное решение. Для этого эти инварианты назначаются новыми функциями от остальных инвариантов. Остальные инварианты обязательно будут функциями независимых переменных [2].

Из полученных равенств определяются все неизвестные функции. Таким образом, получается представление инвариантного решения, которое и подставляется в УГД. В результате подстановки по теореме о представлении инвариантного многообразия,



получится система уравнений, связывающая только инварианты и новые инвариантные функции. Уравнения для инвариантов называется инвариантной подмоделью.

Для рассмотренного примера запишем инвариантную подмодель. Из инвариантов (3.2) составим равенства: в- a ln t - в1, Ut - x - U1 (r, 61), Vt - V1 (r, в1) , Wt - Wl{r,dl),

pt 1 - р1(r,в1), p1(г,в) - pt - xbl. Из этих равенств определяется представление

инвариантного решения: U - (U1 + x)t 1, V - V 1t~1, W - W1El, p - p1t,

p - p1t 1 + x(bt) 1. Представление инвариантного решения для S можно получить из

уравнения состояния: p - ±р- + S == S - t 1 (x(b) 1 + S1), где S1 - p1 ± p1-1 заменяет

уравнение состояния в инвариантной подмодели. Подстановка в УГД приводит к инвариантной подмодели:

д - W1r 1 - а)дв + Vxd r, ДЦ - -(р,Ъ)-1, D1V1 + Ar P1-1 - W12 r-1 + V1,

D1W + p1e1(P1r)-1 - W - VW1r-1, (4.1)

D1P1 + P1 (V1r + r ) - -P1 (2 + -1), D1S1 --U1b-1.

Любую инвариантную подмодель можно привести выбором инвариантов к одному из 2-х канонических типов [7]:

- эволюционному (время t - инвариант подалгебры)

D - д t + u2d s ,

D2 - a3, (4.2)

Dp1 +p1u2 s -

- стационарному

D - x1 + ud y1

Dct2 - a3, (4.3)

Dp1 +p1(u2 x2 +U2 y1) -

DS1 - a5 , b>0, ъ2>0.

Канонические типы инвариантных подмоделей для подалгебр (1.3) сведены в таблицу (см. Приложение), где:

- 1-й столбец - номер подалгебры,

- 2-й столбец - основная система координат в которой рассматриваются УГД,

- 3-й столбец - канонический тип: S- стационарный, Е- эволюционный,

- в 4-м столбце приведены инварианты,

- в 5-м столбце записаны коэффициенты канонического типа.



Приведем (4.1) к стационарному каноническому типу заменой r = х1,в- a ln t = y1, u2 = V1, v2 = (x1) ~1W1, w2 = U1. При этом получим следующие

коэффициенты: a1 = u2 + х1(и2 + a),a2 = (u2 - a)(1 - 2u2(x1)a3 = 1 - (pb)-1, a4 = -p1(u2x-1 + 2),a5 = (1 - ш2)Ъ- + S1, b1 = 1, b2 = x1-2.

Пример приведения подалгебры 2.9 к каноническому типу.

Операторы подалгебры таковы:

Y1 = aX 7 - 2 Хц + ,

Y2 = ЪХ 4 + X10 + XЪ(у) = 0,f

Инварианты из независимых переменных имеют вид: x1 = (x - 12)r l,y1 = в л- lnlr.

10 12

-t2)r \У1 =в + -\ 2 2

Представление инвариантного решения записывается через новые инвариантные

11 -1 1 1

функции: V = V1r2, W = W1r2, p = p1r 2, p = p1r2, U = U1r2 + bt, где V1, W1, p1, p1, U1

функции x1, y1.

Из уравнения состояния определяется представление решения для энтропии

S = S1r2 +1, где S1 = p1 ± p-1.

Подстановка в УГД приводит к следующей инвариантной подмодели:

Д = (U - xV1)dX1 + (W1 + a2-1V1)d

AU +Р1-1 =-Ъ - 2-1V1U1,

Д1V1 + Р-1 (Ay a2 - p1x1 x ) = W12 - p1 (2p1)-1 - (4.4)

Д1Р1 +P1(U1X1 -V1X1X1 + V1y1 a(2r)-1 + Wyi) = -3Vpx2 \ D1S1 =-1 - V1S12-1.

Введем новые инвариантные скорости по выражению для D1: U1 - x1V1 = u2,

a 2 2 2

-V + W = u2, W--V - - = C72 , с которыми получаем замену: x2 = x1 -ay1,

2 aa

y2 = y1 + ln\x1\, u3 = 2x1u2 -av2, u3 = (2x1)-1 au2 +u2. Подставив эти выражения в (4.4), получим систему (4.3), где:

,1 - I/ I V I I -i- / V III - VI/ - / I 1/1/ -1- I/ V I / 1 1 -1- I / V - / III 1/1/ - ri I / I 1

*1 - х*л2<-

a1 =-2х2Ъ- V1(x2U1 + 2x2(U1 -x1V1)-aW1 + V1 x2(p1) 1) + (2x2 -a)(W12 -p1(2p1)-2-1V12) + 2(U1 - X1V1)2,

a2 = (a(2x2)-1 + - p1(2p1)-1 - 2-1V12) - aЪ(2x2)-1 - aV1U1(4x2)-1 + (2X2)-1 a(U - X1V1)V1 - 2 X2-2 + WV1,

a3 = W1V1 - 2a-1 (W12 - p1 (2p)-1 - 2-1V12) + 2x2a- (-Ъ - 2-1V1U1) + 2a-1 (U1 - x1 V1 )U

5 a 2

a4 =-p1V1, a5 =-1 - 2-1V1S1, Ъ1 = (2x222-1 a2)2 +1 + 4 x22, Ъ2 =-- +1,

p1 =±p1-1 +S1



5. Инвариантная подмодель ранга 3

Для подалгебры 2.1 из оптимальной системы (1.3) при a=0 выражения для инвариантов определяют скорость и давление, но невозможно определить плотность. В этом случае можно строить регулярную частично инвариантную подмодель.

Дадим определение регулярным частично инвариантным решениям в общем случае.

Пусть для подалгебры H имеется I1v.,Ik- инвариантов из независимых переменных и J1v., Jl - инвариантов из зависимых и независимых переменных. Если из инвариантов J1v., Jl определяются все зависимые переменные, то можно строить инвариантную подмодель ранга k, назначая инварианты Jj функциями от (Ik ), т.е.

Jj - Jj Ik ), j - 1,.., l. (5.1)

Если же невозможно определить все зависимые переменные из инвариантов Jj ,

то (5.1) дает представление регулярного частично инвариантного решения ранга k, дефекта а, который равен числу неопределяемых зависимых переменных, т.е. а - m -1, где m - общее число зависимых переменных.

Для подалгебры 2.1 ранг равен 3, дефект равен 1.

Рассмотрим подробнее подалгебру 2.1. Операторы базиса таковы:

Y-д t +д p,

Y2 - Ю t - ид и -оди-ада+ 3рдр+ p.

Инварианты из независимых переменных: x, y, z. Из остальных инвариантов, указанных в таблице, получаем представление регулярного частично инвариантного решения

u= р 3 U1(x,y,z), p - t + р3x,y, z), p - p(t, x,y, z). (5.2)

Подстановка в УГД дает:

1 , -1 , 1 1

3U1(р( +р 3 U1 .ур)+ р3[( U1 -V)U1+ Vp1] + 3р 3p1 -Ур - 0, (5.3)

2 -3 2

р + jр 3 U1 .Vp + p3divUl=0. (5.4)

Из уравнения состояния получим представление решения для энтропии S - t + р3S1, где S1 - p1 -1.

Подстановка в DS=0 дает:

1 -2 -1

3SlP 3(Pt +р 3 U1 Ур) + U1 -VS1 +1 - 0. (5.5)

Из (5.4) и (5.5) следует:

(U1 -Ур)р-1 --9 S-1(1 + U1 -VS1) + 3divU1. (5.6)

Тогда из (5.5) можно найти рг:

1 -1 --

-р, - 3р 3[-divU1+2S1-1(U1 -VS1 +1)] = р 3B(x). (5.7)

р

Заменяя p1 на S1+1 и подставляя (5.7), (5.6) в (5.3) получим:

- Vp - [- U1(1+ U1 -VS1) - VS1 - ( U1 -V) U1]3(S1+1)-1 = A(x). (5.8)

Подстановкой (5.8) в (5.6) исключаем р :



(u2 (S1+1) 1-3)( U1 VS1 +1 )+S1(S1+1)(m -V )(S1+2 1u 2 )=0. Приравнивая смешанные производные функции ln p из (5.7), (5.8), получим

VB = -3 B A, rotA=0. Из последнего равенства следует, что A = Vp и

V(3lnB-p) = 0 => 3lnB-p = 0 =>B = e . Из (5.8) следует p = Ъ()вр. Тогда из (5.5)

получим Ъ = Ъ3.

Интегрирование дает Ъ = (3) , где постоянная интегрирования сделана нулем с

помощью переносов по t и по p, допускаемых УГД.

Итак, определяется плотность в виде p = 13p1(х,y,z). Тогда представление (5.2) можно записать в виде: u = t 1u1(x,y,z),p = tpx,y,z), т.е. является представлением инвариантного решения для одномерной подалгебры Y2.

Таким образом, происходит редукция частично инвариантного решения к инвариантному:

(U1 -V )U1 +p1-1 - p1 = U1,

U1 -Vp1 + p1 divu1=-3 p1, (5.9)

U1 -VS1 = - S1,

где S1 = p1 ± p13, S = tS1.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору Хабирову С. В. за постановку задачи и высококвалифицированные консультации по вопросам, связанным с построением подмоделей специально сжимаемой жидкости.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. -

Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. - 240с. [2] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: - Наука,

1978. - 400 с.

[3] Хабиров С.В. Инвариантные решения ранга 1 в газовой динамике Труды международной конференции Моделирование, вычисление, проектирование в условиях неопределенности - 2000 . - Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 104-115

[4] Хабиров С.В. Оптимальные системы подалгебр, допускаемых уравнениями газовой динамики. - Уфа: Институт механики УНЦ РАН, 1998. - 33 с.

[5] Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. - М.: ГИТТЛ, 1955.- 804с.

[6] Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. -Л.М.: ГТТИ, 1934. - 359с.

[7] Хабиров С.В. Приведение инвариантной подмодели газовой динамики к

каноническому виду Математические заметки. -1999. - Т.66. - вып.3. - С. 439444.



Приложение

Таблица

Тип

Инварианты:

x1,y1,U2,U2, W2 ,pi,S1

t,s- для Е

Подмодель (4.2) или (4.3)

a1,a2,a3,a4,a5,bbhb2

y, z, tu, tw, tu-x+ln\t\, pt1, tS-xa1+a1ln\t\,

a1= U2, a2= U2, a3=1-(ap1)x, a4=-2p1, a5=S1+a-1(1- w2),

Ъ1=Ъ2=1,

y, z, tu, tw, tu-x, pt1, tS-xa1,

a1= U2, a2= U2, a3= -(apO-1, a4=-2p1, a5=S1-a1 w2, Ъ1=Ъ2=1,

x-ab-1y-ln\t\, z, tu-ab-1tu-1, tw, ab1 (tu-ab- 1y-1)+tu-y, pt1, tS-ya1,

a1= U2+a(b1p{)1+1, a2= U2p1, a3= ab-1( U2+1)-(bp1)-1, a4=-3p1, a5=S1-ba2 w2 +ax u2, bx=a2b-2+1, Ъ2=1,

t, zx(y-atx), z-1(u-ax-atu-sw ), z\(a2t2+s2) (u-ax)+atu+s w ), z-1((a2t2+s2)w + +s(u-ax)-atsu), p z, z-1(S-x),

a1=-2(1 +a2t2+s2)-1 [u2(a2t2 -st u2)+ w2 (t U2-s)]+at(p1)1-sp1(p1)\

2 2 2 1 3 2

a2=(1+a t +s ) [2a u2-u2 a t -2as w2 +( u2+u2)(2a2t+2su2)--w2 u2+s u2 u2+w2 u2+

s( u2) 2]+-1at(p1)-1-sp212(p1)-1,

(1 +a2t2+s2)-1[2 a2t2 w2 -( w2 -su2)2t-2s u2+as2 w2 ]+ ( u2) 2, a4=-2 p1(( w2 -su2) (1 + a2t2+s2)1\

a5=-[w2 (S1-s)+ u2- u2(a2t+S1s)] (1+a2t2+s2)-1, b=(1+a2t2+s2), pr= ± p1-1+S1,

t, 6+aln\r\, r\V a+W),r-1U, ar-1(Wa-V), pr,

r-1(S-x),

a1=-a(01;-1(S1+(01)1)+ (a(a2+1))-1(w22-a2 u22+

+ 2U2W2 ),

a2=-(01)-1- U2(a(a2+1))-1 (a U2- w2),

a3=-2(a(a2+1))-1(u2+ w2) (a2u2-w 2 ),

a4=-p1(a(a2+ 1))-1(a2u2- w2), a5=-u2, Ъ= a2+1,

Ъ

rt Ъ+1, 9-a(b+1)-lln\t\,

a1=( u2(2ax1-b)+ u2)(b+1)-1 + +u22x1+x1(b+a2)(b+1)2, a2=( U2(b+1)-1+a(b+1)2)(1-b),



Vt1 - Ъ(Ъ+1)-1Х1,

WtX!)-1!)-1, (U-xt-1)

1 1 1 -ь+Г, pt T+i ,(S-x(ct)-1) t**1,

a3= W2((Ъ+1)-1-1)-(plc)-1, a4=-pl(3Ъ+2)(Ъ+ 1)-1-p1u2(x1)-1, a5=Sl(Ъ+1)л-w2 cx,

Ъг= 1, Ъ2=(Xl)-2,

r, 6-aln\t\, tV, tW{x1)x-a, Ut-x, pt1, St-xK1,

a1 = u2+xx(u2+a)2, a2=(u2+a)(1-2 u2(x{)1), aз=-(olЪ)-1, a4=-p1(u2(x1)-1+2), a5=-w2 Ъл, Ъг= 1, Ъ2=(х1)-2,

2.10

ret, в-at, Vet+ xh Wel(x1)x-

a, Uet, pe-,

{S-x{b)x)e\

ax=2u2+2xx( 2+a) -x1, a2=U2-a+a u2(xx)-x + ЩП2, a3=w2 -(fi1b)x,

a4=-p1(u2-x1)(x1)-1,

a5=Si-w2 Ъ1, Ъ1= 1, Ъ2=(xx)-2,

a Ф 0

x x x

y, z, uea, w ea, uea,

3x x

p e a , (S-t) e a,

a1=a 1 u2w2, a2= a~xv2w2, a3= ax(w2 2-Sx(px)-x-( p1)-2), a4=-2a-1w 2 p1, a5=-1 -a-1w2 S1,

Ъ1=Ъ2 = 1,

2.1 a=0

x, y, z,

1 1 1

up3, up3, mp3,

(p-t)pY,

p=t3 px(x,y,z), u = t Aix( x, y, z),

p=tp1(x,y,z),

(5.9)

x-Ъaxв, r,

в в в

We (y1a)-1, Vea,

в в

Wea+Uea ЪО-w)-1

3в в

pe a , (S-t) e a.

ax =u2( w2 -u2Ъ(yxa)-x) (yxa+Oyxa)2)-1)-Ъpx(yxa)-2(ox)-x, a2=(w2 -U2Ъ(yxa)x)

((yxa)2(Ъ2+(yxa)2)-x)((yx)-x(w2 -U2Ъ(yxa)-x)((yxa)2(Ъ2+ (yxa)2)-x)+ 2(yxa)-x,

a3=( W2 -U2Ъ(yxa)-x)((yxa)-x-(Ъ2+(yla)2)-x(D2(3Ъ2+(yla)2))-px (yxapx)-x(Ъ12(yxa)-2+1),

a4=-px 2yx-1-2px(w2 -щЪ (yxa)-1) (yxa(Ъ2+(yxa)2)-x), a5 =-1 - yxa(h2+(y xa)2)-1 (w2 -U2Ъ(yxa)-x)Sx,

Ъ1= Ъ2(yxa)-2+1,

Ъ2=1, px=Sx± p3.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.