Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Теоретические основы влияния

Теоретические основы влияния океанского волновода на условия распространения низкочастотного просветного сигнала

Стародубцев ILA.(pavel@ias.ru.), Стародубцев Е.П.

Тихоокеанский Военно-Морской институт имени С.О.Макарова

Владивосток

Введение. Улучшение характеристик устройств обработки требует более глубокого понимания особенностей распространения акустических волн в водной среде, а усовершенствование акустических моделей стимулирует разработку более сложных методов обработки. Характер распространения акустических волн в океане определяется целым рядом факторов[1-3], обусловленных свойствами, как самой среды, так и ее границ. Для морской среды характерно наличие неоднородностей или в общем случае областей с различными значениями показателей преломления звука, которые находятся в состоянии турбулентного движения. Наличие подобных пространственно-временных неоднородностей среды обуславливает прием сигналов по нескольким лучам, причем их количество и углы прихода, а также амплитуды и фазы, составляющих сигнала будут непрерывно изменяться [2,3].

Наибольшее влияние на распространение звука в море оказывают вертикальные градиенты скорости звука, создающие рефракцию, и, как следствие, многолуче-вость сигнала в точке приема. Акустическое поле описывается уравнениями линейной акустики, в которых детерминированная компонента скорости звука представляет собой явление рефракции. Случайная компонента, вызвана флуктуациями поля температуры, поля солености, внутренними волнами и представлена в теории акустического поля явлением объемного рассеяния звука.

Рефракция, как физическое явление, характерна для распространения волн в среде с изменяющейся регулярным образом в пространстве - времени скоростью звука. Она состоит в искривлении лучей, возникающем в результате их внутренних отражений от областей с различными скоростями звука. В плоско - слоистой модели морского волновода искривление лучей возникает в вертикальной плоскости. В областях с вертикально-горизонтальными градиентами скорости звука лучи искривляются в двух плоскостях - перпендикулярной и параллельной поверхности. При волновой трактов-



ке задачи распространения рефракция возникает как результат интерференции различных мод колебаний и имеет форму трасс (лучевых трубок), по которым происходит преимущественное распространение звуковой энергии [3].

Детерминированная компонента акустического поля допускает модовое (волновое) описание распространения волн в области низких частот, а в области средних и высоких частот - лучевую (оптическую) асимптотику.

Постановка задачи. Для учета реальных условий распространения низкочастотных звуковых волн в океанском волноводе определим математические зависимости для коэффициентов межмодового рассеяния, функционально влияющие на процесс изменения спектральных характеристик просветных сигналов, на основании уравнения Гельмгольца [1-3]:

pdiv (р-1grad u) + (a2/ c 2)u = 0. (1)

Для проведения дальнейших рассуждений, введем малый параметр s и разложения U=U +SU1,p=p0 +Sp,C =С0 +SC1. Предположим, что плотность (р0) и скорость звука (c0) зависят только от глубины ( z), и неоднородности Р1 и С1 как функции x, у имеют компактный носитель О..

Подстановки u 0 = ф^ (z )H(kjR), U1 = liCij- (x, у)ф;, где ф; суть распространяющиеся моды, R = <\J (x - x 0 ) 2 + (у - у0 ) 2 , (x 0, у0) - координаты источника звука, дают, с помощью некоторых приближений дальнего поля, формулы

для Cjj .

Эти формулы обобщают соответствующие формулы из [3 ], где рассматривался случай Р =p1+0(z - Sf (x,у))(р2 - Р1) , С = С1 + 0(z - Sf (x,у))(С2 - q) с постоянными Р1, Р2 , С1, С2 (0 - ступенчатая функция Хевисайда). С помощью специального выбора (-координатной системы с началом в О, простые формулы, использующие двумерное преобразование Фурье функции топографии f (x, у) были получены в[3] в случае удаленного источника. Решающее приближение, сделанное в

[3], состояло в замене 1/ V R на 1 / л/x 0 + у 0 в асимптотике функции Ханкеля. С помощью использования разложений Фурье и Фурье-Бесселя Р1,(р1 / P0)z и С1 по



угловой и радиальной координатам соответственно, получаем простые формулы для Cjj, которые не используют это приближение и работают одинаково хорошо как для

удаленных, так и для близко расположенных источников.

При выводе этих формул существенно использованы теоремы сложения для цилиндрических функций и замкнутые выражения для трилинейных комбинаций для функций Бесселя. Полученные формулы могут быть использованы для регуляризации обратной задачи.

Определение коэффициентов межмодового рассеяния. Перейдем к более подробному изложению. Звуковое поле точечного источника в волноводе постоянной глубины H описывается уравнением Гельмгольца [3-6]

р

д 1 ди д 1 д д 1 du а

+---+

\дх рдх ду р ду дх рдх) c 2

+ - и = 8(x - x0) (2)

с граничными условиями u

= 0, ди

Будем предполагать, что повсюду, за исключением некоторой ограниченной области Д, плотность р и скорость звука c однородны относительно горизонтальных координат и принимают значения соответственно Р0 (z) и С0 (z) . Внутри области Д

плотность и скорость звука неоднородны и принимают значения х, у, z)

и С1 (х, у, z).

Предполагая, что эти значения малы, решим задачу рассеяния звукового поля точечного источника на области неоднородности. Запишем скорость звука и плотность в виде

c = c 0(z) + (х,у,z); р = р0(z) + (х.у z), (3)

где s - малый параметр, а звуковое поле и запишем в виде и = и0 + 6U1, где U0 -звуковое поле источника, и1 - рассеянное поле. Подставим выражения для р, c и и в уравнение (3) и выпишем члены при s:



0 J

+-, u1 =

P1x Р1у -U0 x U0 у +

Р

f \ КР0 J

С0 С0

Полагаем u0 = фj (z)H0(1) (kjR), где R = -\J(x - x0)2 + (у - у0)2 - расстояние от источника с координатами (x0 , у0 ) до точки наблюдения в декартовой системе координат, центр которой находится в области О, ф, и k, - собственная

функция и собственное значение с номером j, удовлетворяющие следующей краевой задаче

A0dz

\Р0 J

+ ® ф = k 2ффф ==0 = 0,

Подставим выражение для U0 в (5) и возьмем преобразование Фурье

JxJy

--ф, (z)

r 2u1 + Р

Vрo J

2 U1 =

z C2

1у ф, (z)

k,(у-у0)Л

H1(1)(k,R)+

2 ф'

С0 С0 J

H01) (kjR)} exp(r(x coSP+у sincdx

Полагаем U1 =S ,C$j, тогда слева имеем:

r u +

со2 Л

С

2 -1

u =S с,(-r2 + Л2)ф

где Л i - собственное значение ф . Помножим обе части выражения на проин-

тегрируем по z, и возьмем обратное преобразование Фурье. Получим следующие формулы для коэффициентов рассеяния из ,-той моды в j-тую:



си(пв)-

f (x, у) exp(ir(x cos Ч+у sin Ч)) х

х exp(,rn cos(4-в))

rdydxd4 dr

где

f (x,у)

Ax kj (x - x0) р1у kj (у - у0)

Р0 R J

j J-7 (О

VPo J

2 ®2

c0 C0 р0 J

H01)( kjR)} dz

z р0

Для оценки интеграла по Ч в формуле (7) воспользуемся методом стационарной фазы в точке Ч=в. Получим следующее выражение

4П п

Г Г Г f( ) r exp(r(n-[xco®+у sin?

U A f (xу) ,/Г(л2 - r2)

drdydx

Найдем теперь асимптотику для интеграла по r. Рассмотрим замкнутый контур, охватывающий первую четверть комплексной плоскости. Интеграл по этому контуру будет равен вычету в точке Л, и интегралу по мнимой оси, оценку которого найдем по методу Лапласа. Таким образом, для интеграла вида

° r exp(ir(п - [x cos в + у sin в]))

-in л/Л

VT ( л2 - r2)

exp((п - [x cos в + у sin в])))

dr имеем оценку:

2,Л2 (п - (x cos в + у sin в))3/2

(10)

Поскольку второе слагаемое мало, мы можем им пренебречь и окончательно получить следующее выражение:

С



Cijirj)

iV2n exp(iAn - in / 4)

4п

(11)

x i if(х,у)exp(-iA(хcosO + уsin6))dус!х

у

Чтобы восстановить из производных плотность, в выражении для fх,у), проинтегрируем первое слагаемое по частям по х и по у. Тогда формула (8) будет иметь вид:

f(х, у)=J-

- iAJ-

\р0 )

cos6*---sin9

Hf(kJR)dz -

(12)

Hf\kR)dz

Перейдем в полярные координаты х = R COS а , у = R sin а .Тогда

R = yJR2 + R02 - 2RR0 cos(a-a0)

где (R0 , а 0 ) - координаты точечного источника. Отметим, что поскольку коэффициенты к j (х - х 0 ) / R и к j (у - у 0 ) / R представляют собой соответственно

cos (ц - а) и sin (ц - а) , где ц-угол между R и R, то по теореме сложения Графа имеем разложения [4,5]:

cos(kjR) = H<2i(kj.R0)Jm(kjR) cosm(a - )

m=-o

(13)

о

h0L) (kjR) = Hm (kj.R0)Jm (kjR) cosт(а -

Подставляя их в формулу (12), имеем:



C,j (п)

m=-о

н£\ kj.R0)

,л[2П е(,Лп-п/4)

х

RJm (kjR)

f 0 (R, a) exp(-iRЛ cos (в - а)) х

х cosm(a - a0) dadR -

-im+kR) RJm (kjR) f1(R ,a)exp(- iRЛcos(в - a)) 00

х

х(cos m(a - a0) cos(a0 + в) + sin m(a - a0) sin(a0 + в)) dadR

где

f0(R,a) =

c0 C0 р0

} dz

f1( R

,a) = J

2 Р1 ффj

- H р0 р0

(14)

(15)

Разложим exp{ -iRЛ cos® - a)} по функциям Бесселя Jn ( AR) , а функции Р1,(Р1 / и С1 разложим в ряды Фурье:

со /-* \ о оо

k=-o

/=-co

(16)

Теперь интегралы по а во всех слагаемых будут иметь вид

2 л

ei (k+n)а

cosm(a - a0) da = ne °S

k+n,m

где +nm - символ Кронекера, в результате чего в рядах Фурье остаются только

члены с индексом m-n [7,8].Тогда получаем следующее выражение для межмодовых коэффициентов:



zV2n exp(iAr-in/4) ( .Y .

Cij(r)=-~Tn tat ir exp(-

CO f ,

2 exp(imа0}

J co 0 ~m-n(R)Jm(kjR)RdR +

+ HWf ~m- (R)Jm (kjR)RdR+

(17)

+HkR) ~m-n (R) Jm (kjR)RdR

где

m-n I ; m=n I m-n

0 Q? С

0 С0 р0

(18)

J-H c2

Коэффициенты a(R), *(R), c(R) разложим в ряды Фурье-Бесселя по функциям Jm-n (у kR / L), где L- правая граница интервала разложения (0<R<L), у k -положительные корни уравнения Jm-n (R) = 0 . Коэффициенты разложения обозначим соответственно Ak , , Ck . Подставляя эти разложения в выражение для Cj, окончательно получаем[3,8]:

, N i-\[2jr exp(iAn-in/4)

,- 2 (- i)n exp(-in #) x

CO 00 , ч

2 exp(imа0)x}N (((Н^Ч^)-iAHm1l(k/Ro)гi(аo+в)Д

+ H (kjR,) Bk + Hm (kjR0)Ck

exp(i(m ф - иф2 ))

( CO

Jm (kjR) Jn (AR)RdR.

4 (x) a 2 - (k 2 - (t) - A 2

m=-co



но H0 H0 c0

со2 c

m-n TlTJ

(19)

Полученное выражение можно свести к еще более простому виду, подставив значение интеграла

Jm (kjR) Jn (AR) RdR,

2 ехр((тф- пф2)) f yk yk

- ru r r2 == при - -A{k (-+A

n .L. \2 . / . \2 .Л2 I L j L J

4(f )A2 -[k2 -(L )-A2

(20)

0 - приневыполн^и этогоусловия

Заключение. Формула (20) может использоваться для решения обратной задачи восстановления неоднородности морской среды, что позволяет в приближенной форме учитывать условия распространения низкочастотного просветного сигнала в океанском волноводе. Обрезая входящие в данное выражение, ряды конечным числом членов, можно прийти к линейной системе уравнений, которая в общем случае является невырожденной. Проведенные Тихоокеанским океанологическим институтом (ТОИ) численные исследования показывают, что эта система линейных уравнений плохо обусловлена, так что требуется дополнительная регуляризация дескриптивного характера, а в перспективе дополнительных теоретических изысканий наиболее эффективных методов учета влияния среды на распространяющийся просветный сиг-

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Математическая энциклопедия. Издательство.-М.: Советская энциклопедия,1985.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-М.:Наука,1976.

3. Подводная акустика / Перевод с английского М.: Мир, 1970, с.246-325.

4. Савельев И.В. Дифракция света Курс физики. Т.3.-М.: Наука, 1971.-с.284-319.

5. Клещев А.А., Шейба Л.С. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероидами Акустический журнал.-1970г,-Т.26, №2, с.264-268.



6. Клюкин И.И., Колестиков А.Е. Моделирование при акустических измерениях Акустические измерения в судостроении.-Л.: Судостроение, 1982.-с.199-206.

7. Багрянцева Н.А., Плахов Д.Д. Дифракция сферической звуковой волны на бесконечной цилиндрической оболочке Акустический журнал-1974.-Т.20, №5.-с.673-679.

8. Бархатов А.Н. Моделирование распространения звука в море.-Л.: Гидрометеоиз-

дат, 1969.-56с.

9. Стародубцев П.А., Шостак С.В., Богданов В.И.Об одном свойстве двумерного преобразования Фурье . 38 Всерос.межвуз.научн.-техн. конф.:Сб.докл.-Владивосток,МО РФ,ТОВВМУ,1995.-ТЛ.-ЧЛ.-189с.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.