КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА ПРОСТРАНСТВЕННО ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ЧАСТИЦ

Неволин В.К. (vkn@miee.ru) Московский государственный институт электронной техники 103498, Москва, К-498, т.(095)532-89 57,ф.(095)530-22-33

ВВЕДЕНИЕ

Функционирование элементов и приборов наноэлектроники происходит в основном по законам квантовой механики, поскольку их характерные размеры таковы, что существенными являются квантовые эффекты [1]. Инженерия элементов и приборов наноэлектроники в связи с этим также требует применения существенных познаний в квантовой механике. Все это предъявляет новые требования к основным понятиям квантовой механики.

Неудовлетворенность физической интерпретацией квантовой механики и необходимость проведения практических расчетов стимулировали подъем нового интереса к её изложению без использования понятия волновой функции как нефизической величины [2-4].

В истории физической интерпретации квантовой механики наиболее яркими являются уравнения Эренфеста, которые для средних значений динамических величин совпадают с классическими уравнениями движения Ньютона и квазиклассическое приближение, когда при стремлении постоянной Планка к нулю получаются уравнения Гамильтона-Якоби [5]. Это свидетельствует в пользу возможности изложения квантового движения частиц без использования понятия волновой функции. В традиционной квантовой механике трудно себе представить, что плотность вероятности состояний свободной частицы является постоянной во всем пространстве. Это особенно существенно при использовании отдельного электрона как носителя информации в элементах нано- и молекулярной электроники. В связи с этим и другими причинами, о которых речь пойдет ниже, представляется неудовлетворительным описание инфинитных состояний квантовых систем с помощью уравнений Шрёдингера, не вызывающих при этом сомнений в описании квантовых финитных состояний.

Из уравнений Шрёдингера можно получить замкнутую систему из двух уравнений с переменными, имеющими физический смысл, - уравнения Д. Бома [6], решение которой для транспортных явлений приводит, в том числе, к так называемым скрытым параметрам, характеризующим состояние квантовой системы. С одной стороны эти параметры не мешают и даже могут быть вычислены, если задан стандартный набор транспортных величин, а именно: энергия частиц, их импульс и плотность потока частиц (амплитуда плотности вероятности). С другой стороны скрытыми параметрами в полученных формулах нередко можно пренебречь как малыми величинами, однако они оказывают существенные последствия на полученные результаты. Как и в работах [2-3], в которых вводятся дополнительные параметры, различающие разные системы отсчета и заменяющие информацию, закодированную фазой волновой функции (подробнее см. [3]), решение традиционных задач для финитных квантовых состояний подтверждает прежние результаты.

УРАВНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С ФИЗИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Если воспользоваться стандартным уравнением Шрёдингера для движения частицы массой m без спина и магнитного поля в произвольном потенциальном поле:

д Т

i! -- = H Т , р = Т Т * (1)

которое является комплексным и, вообще говоря, эквивалентно двум уравнениям в действительном пространстве, то после соответствующих выкладок строго получаются два уравнения:

dp #

m ~dj- + divpP = 0 (2)

dt 2m 8mp 4mp

где P - макроскопический импульс частицы. Система уравнений (2),(3) с положительно

определенной плотностью вероятности p (x , y , z. t) и импульсом P является замкнутой и эквивалентной (1). Эта система уравнений получена, по-видимому, впервые Д. Бомом [6]. Однако в отличие от [6] другая, по существу, гидродинамическая интерпретация уравнения (3) дает нетрадиционные решения для транспортных явлений.

Если макроскопический импульс не существует, например, в области туннелирования, то систему уравнений (2),(3) необходимо записывать в других переменных:

dp #

m -- + divJ = 0 (4)

d (J / p ) v ( J 2 v - 2( vp )2 - 2 ap )

-= -v (-2~ + V + -2---) (5)

dt 2 m p 8 m p 4 m p

где J - плотность потока вероятности импульса частицы.

Для движения квантовой системы из N невзаимодействующих частиц с макроскопически#ми импульсами и одинаковой массы имеем:

d t =-v i f i(2 m + V - + 8 m p 2 - 4 m p } (6)

dp N

m -f- + f v ( p P- ) = 0 (7)

d 1 n = 1

Из уравнений (6) и (7) можно видеть, что плотность вероятности для системы невзаимодействующих между собой частиц, как и прежде, равна произведению плотностей вероятности входящих в систему частиц.

РЕШЕНИЕ КВАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ С ФИЗИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ Рассмотрим движение свободной частицы массы m с заданным постоянным импульсом Р , направленным вдоль оси x. Из (2) и (3) имеем:

2- 4-т a p + 8-TT- ( v p )2 = E (8)

2 m 4 m p 8 m p

dp dp

m -f- + P -W- = 0 (9)

d t d x

Решение уравнения(9) можно записать в виде:

p = p ( У , z ,( tP / m 8 x - x / 5 x )) Заметим, что для существования решения (9) всегда необходим некий линейный масштаб 8x . Если этот масштаб является бесконечным, то теряет смысл и уравнение (9). Подставляя это решение в уравнение (8) и решая его методом разделения переменных, (полагаем, что энергия квантовых флуктуаций не коррелирует по разным направлениям осей координат) получаем:

tP x

p = p о со s 2 ( ( m 8 x - -8-) n + ф о )

m 8 x 8 x

2 ( У V2 m £ У ) 2 ( W2 m £ z ) (10)

co s 2 (-*---) c o s 2 (-*-)

h v h

E = P 2/2 m + ! 2 n 2/2 m dx 2 + £y + ez (11)

где y?z - энергии квантовых флуктуаций по поперечным осям. d x - величина области

локализации частицы вдоль направления движения, равная удвоенной полуширине распределения плотности вероятности, ф0 - фаза амплитуды плотности вероятности, остающейся постоянной для свободной частицы. Существенно то, что только при положительном значении составляющих энергии квантовых флуктуаций получается пространственно ограниченное распределение плотности вероятности, центр которого движется с постоянным импульсом Р. Если провести нормировку соотношения (10), то получаем:

E = -+ -°-3-+ £ y + £ z

2 m (8 m )3 £y£z yz

(12)

16 m yf.

£ £

р0 n2! 2

Если ввести величины пространственной локализации частицы по поперечным осям координат как удвоенные полуширины соответствующих распределений плотности вероятности и удвоенные величины флуктуаций соответствующих импульсов, например,

dPy = 2 Pfy , £y = ( Pfy )2/2 m , то из формулы (11) следует, что максимальная

область квантовых флуктуаций импульса частицы связана с ее максимальной областью пространственной локализации известными соотношениями для локализации квантового состояния в фазовом пространстве.

dPx dx = 2 n ! , dPy dy = 2 n ! , dPzdz = 2 n ! (13)

В силу осевой симметрии задачи можно положить, что £y = £z = £± . Тогда согласно (11), (12)

P 2 р 02 n 6 ! 6

E = -+ т-°-П- + 2 £,

2 m (8 m ) 3 £ ±2 ± (14)

и для задания движения свободной пространственно локализованной частицы необходимо иметь стандартный набор параметров: энергию, импульс и амплитуду плотности вероятности (плотность потока частиц), более того с помощью формулы (12) можно вычислить величину продольной локализации частицы d x .

Уравнения (8) и (9) естественно содержат и решение Р = const, при котором

В решении (10) для этого необходимо локализовать частицу во всем пространстве, т.е. положить dx ->оо , p y , p z 0, ( dy , d z -> ©о ) .

ФИНИТНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Для стационарных финитных движений частицы массой m из (4),(5) имеем уравнение для отыскания спектра квантования энергии и соответствующих распределений плотности вероятности:

H$ ( р ) р = E р (15)

divJ = 0 (16)

где нелинейный оператор H (p) имеет вид:

$ - 2 - 2 J 2

H ( p ) = - --A +--V p V +--- + V (17)

В простейшем случае для описания s- состояний частицы, когда отсутствуют аксиальные токи частиц J = 0, имеем:

H ( p ) =- -A +--V p V + V (18)

4 m 8 m p v

Прежде всего можно убедиться простой подстановкой, что известные аналитические решения стационарных квантовых задач, в частности, для s- состояний атома водорода и линейного одномерного осциллятора удовлетворяют уравнению (15) с оператором (18). Стало быть видимая нелинейность уравнения (15) не является препятствием для его решения. Тем не менее необходимо потратить усилия для исследования решений уравнений (15) - (16). Однако в запасе всегда имеется и традиционный линейный аналог этих уравнений на комплексной плоскости.

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИЛ Рассмотрим одномерное движение частицы с энергией Е, импульсом Р1 в поле

прямоугольного барьера высотой V 0, занимающего правое полупространство (E>V0).

В соответствии с (2) и (3) в левом полупространстве необходимо решать систему

уравнений:

P 2 - 2 - 2 i Ap 13 +---- ( V p 13) 2 = E (19)

2 m 4 m p 13 13 8 m p 13

i=l,3

d p 13 + P d p 13 P d p 13 0

m + 1 - - P 3 dxrr = 0 (20)

Здесь i=1 соответствует падающей частице, i=3 соответствует отраженной частице, p13 - плотность вероятности частиц, находящихся в левом полупространстве. Ищем решение в виде

p13 = p1( tP1 / m 8x1 - x1 / 8x 1, y, z) p3 (tP3 / m 8x 3 + x 3 / 8x 3, y, z) Получаем:

p1 = p10 cos2 n(tP1 / m 8x1 - x / 8x1 )cos2 (2mey / -)cos2 (zy]2mez / h) p3 = p30 cos2(n (tP3 / m 8x 3 + x / 8x 3) + ф03) cos2 (y yj 2 m e y / -)

cos2 (z.J2m ez / -)

Считается, что поперечные энергии квантовых флуктуаций являются инвариантами движения, фаза амплитуды падающих частиц для удобства принята равной нулю.

В правом полупространстве необходимо решать следующую систему уравнений: 2 * 2 * 2

P - 2 -

2 + v 0 - л A p 2 + 0 , 2 (Vp 2У = E (21)

2 m u 4 m p 2 8 m p 2

dp 2 + P d p 2 0

m Tt- + 2 = 0 (22)

Решение для плотности вероятности получается в виде:

Р 2 = Р 2ocos2( п (tP 2 / m dx 2 - x / dx 2) + ф 02 ) cos2 ( y yj 2 m £ y / ! ) cos2 ( z -yj 2 m £ z / h )

Из граничных условий и законов сохранения энергии находим постоянные интегрирования.

Р1р1( 10. Х 0.У>Z ) - P3p3(t 0. X0.У >Z ) = P2 p2( 10. X 0.У>Z X р1( 10>X 0>У'Z) + p3( 10>X 0>У'Z) = p2( 10>X 0>У >Z)

p 021 п 6 !

(8 m ) 3 £ ±2

+ 2 £

E = P 3

p 023 п Ь !

(8 m ) 3 £ I

+ 2 £

E = P 2

(8 m ) 3 £

+ 2 £

Здесь x0 - координата стенки прямоугольного барьера. Падающая частица достигает стенку в момент времени 10 = x0 m / P1. Если частица отражается с амплитудой плотности вероятности

p 03 . то она уносит информацию об этом акте в точке x0. 10 с помощью фазы

ф03 = п (n - 10 P3 / m dx3 - x0 / dx3n = 0.1.2.3... (23)

Если частица преодолевает прямоугольный барьер с амплитудой плотности вероятности p 02 .

то она уносит информацию об этом акте в точке x0.t0 с помощью фазы

ф02 = п(n - 10P2 / mdx2 + x0 / dx2).n = 0.1.2.3... (24)

Тогда граничные условия перепишутся в виде:

P1p10 - P3p30 = P2 p20

Выписанная система граничных условий совместно с законами сохранения энергии теперь является замкнутой и разрешимой. Для коэффициента прохождения D имеем:

= P2( P + P3)

m(E - 2£±) - m/(E - 2£±)2 - 2/3(1 - D)2 P12/ (m£*)] (25)

Im(E - U0 - 2£L) + (E - U0 - 2£L )2 - 273D2p2 / (m£)

Здесь Y = П2!2 / 8m . Для падающих на потенциальную ступеньку частиц

считаются известными: E . P1. p10 (£ сохранена, чтобы не загромождать формулы и она находится из закона сохранения энергии). Полученные формулы обеспечивают классический предел D=1. когда ! -> 0 . Коэффициент прохождения D = 0 при значениях энергии не

P3 =

только E < V0, но и превышающих величину барьера, V0 < E < V0 + 2e± . Этот эффект связан с конечной пространственной локализацией квантовых частиц.

Полученные формулы для коэффициента прохождения D существенно отличаются от решения аналогичной задачи для нелокальных частиц, падающих на потенциальную ступеньку, для которых амплитуда плотности вероятности является постоянной во всем пространстве (см. [7]). Аналогичные формулы можно получить из уравнений (21),(22), если предположить, что имеет место суперпозиция квантовых состояний падающих и отраженных частиц, т. е. их координаты не различимы x1=x3=x а импульсы P1 = P3 . Поперечные

координаты этих частиц при этом автоматически могут совпадать поскольку поперечные области их локализации равновелики. Тогда решением уравнения (21) будет

p13(x, y, z) = p1 +p3 ± 2y[pppp Однако чтобы координаты падающих и отраженных частиц были неразличимы вдоль направления движения, они должны быть делокализованы во всем полупространстве. Сделав соответствующий переход в решениях для p1, p3, p2 ( 5x ->oo ), получаем граничные условия в виде:

P1 (p10 - p30 ) = P20p20 что и обеспечивает получение формул задачи 1 из [7], которые не зависят от постоянной Планка и, следовательно, не обеспечивают классического предела, когда - - 0 . Наличие классического предела для коэффициента прохождения D конечно не должно зависеть от крутизны границы потенциальной ступеньки ( см. сноску в [7] на стр.105 ). Дело в представлении о свободных квантовых частицах. Для нелокализованных частиц резкая ступенька потенциальной энергии является внутренней неоднородностью этих частиц, перераспределяющих их импульсы, которые связаны классическими формулами с их энергией. Поэтому коэффициент прохождения D не зависит от постоянной Планка и нет классического предела. Для потенциальной ступеньки, выходящей в бесконечности на насыщение, естественно такой предел существует (см. задачу 3 в [7]).

Если составляющие энергии квантовых флуктуаций малы по сравнению с полной

энергией частицы, т.е. e±,e1x <<E, имеем

P1 = V 2 mE , P 2 = v 2 m (E - V 0 ), P 3 = J2-T~ (26)

Можно видеть, что величина импульса отраженных частиц Р3 определяется энергией квантовых флуктуаций падающих частиц, что является вполне естественным. Экспериментально исследуя в этом случае коэффициент надбарьерного прохождения, можно найти энергию продольных квантовых флуктуаций падающих частиц.

В заключение этого раздела отметим, что для существования суперпозиции квантовых состояний пространственно локализованных частиц необходимо вообще не только совпадение областей их локализации, но квантовых параметров движения, например, энергий частиц, их величин импульсов, при этом состояния различаются знаками импульсов и амплитудами плотностей вероятности.

ТУННЕЛИРОВАНИЕ

Рассмотрим прохождение частиц через прямоугольный барьер конечной высоты V0 (E < V0 + 2e±) и конечной ширины а. Поскольку в области барьера макроскопический импульс частиц не существует, то необходимо решать систему уравнений (4),(5). Для решения этой системы уравнений сделаем упрощающие предложения. Положим, что при

туннелировании в стационарных потенциальных полях д ( J ) = 0 т.е. остается

д t p

постоянной энергия туннелирующих частиц

J 2 h 2 h 2 ч 2

E = 2-Тт + U 0 - 4-- A p 2 + 8--( v p ) (27)

2 m p 4 m p 8 m p v/

Далее для упрощения записи формул будем рассматривать одномерные локализованные в пространстве частицы, учитывая там, где это надо поперечные составляющие энергии квантовых флуктуаций. Тогда из (27) следует

J ( ) \~h д 2p !2 (dp )2 (U + 2 ~

- ( x ) = ,h---~ -Г-Т(д-) - ( U 0 + 2 £± - E )2 (28)

p Д/ 2 p dx 4 p дx у J

Для выполнения этого соотношения необходимо положить p = pt (t) px (x).

Тогда уравнение (4) можно решит методом разделения переменных в квадратурах. Получаем

J (x, t) = exp(-t / t)( J0 +-j p (x)<aX)

T j (29)

Здесь T - постоянная интегрирования, x=0 положение передней стенки барьера, на которой плотность потока вероятности частиц равна J0. После подстановки полученного решения в уравнение (27) получаем интегро-дифференциальное уравнение:

J 2(x) !2 dp 2 !2 d 2p E = U0 + 2£, +-2-+-T(-)2---20 ± 2mp (x) 8mp dx 4mp dx

m x (30)

J (x) = J 0 +--I p (x) dx

В любом случае для решения этого уравнения можно использовать нулевое приближение J(x) ~ J0 ,т.е. T -°° и тем самым пренебречь нестационарными эффектами при туннелировании. Иначе, плотность потока вероятности остается постоянной в области барьера как и в традиционной квантовой теории туннелирования.

Для решения полученного уравнения приведем его к безразмерному виду, получим

2 d У ( )2 2 1 2 У1 () У = 1 (31)

где z = % x,х = 2m(U0 + 2£± -E) /!, у = p /в, = 2J0 /(!х) Решение этого уравнения запишем в виде

y(z) = ( Ach(z - Z0) WA2 - 1) (32)

Здесь А - постоянная интегрирования, второй постоянной является в0, в которую входит

неизвестная величина J0, z0 =aX. Далее запишем решение (32) в размерном виде и устраним его неоднозначность по постоянной А. Имеем

2 J 0

1 в 1 в

fc +Т)chx(x - a) + -т)

Здесь в - новая постоянная интегрирования.

Далее будем вычислять туннельный коэффициент прохождения барьера D.

Для этого можно использовать решения для плотности вероятности, полученные ранее, в областях перед барьером и после прохождения барьера. Присвоим падающим на барьер частицам как и прежде индекс 1, отраженным - индекс 3, туннелирующим частицам в области барьера индекс 2, частицам прошедшим барьер индекс 4. Имеем

Р1 = Р10 cos2 n(tP1 / m8x1 - x / 8x1)

P3 = P30 cos2 (n (tP3 / m 8x 3 + x / Sx 3) + ф03)

2 J,

(- + -)chx(x - a) + (----)

Pa = P

co s2 ( n (tP4 / m Sx

x / S x 4) + ф04 )

Законы сохранения энергии для свободных частиц запишутся в виде:

E =

P о21 П

(8 m ) 3 el

+ 2 e

6 ! 6

(8 m ) 3 e l

+ 2 e

E =

P о24 п 6 !

(8 m ) 3 e

+ 2 e

Для граничных условий имеем уравнения:

P1P1(t0, x0) - P3P3(t0, x0) = J20 J20 = P4P4(t0 + о, xо + a)

x 0) + Pз(t0, x0) = P2(t0, x 0) P2(t0 +At, x0 + a) = P4(t0 + M x0 + a)

Полагаем далее x0=0, t0=0, поскольку в решении для туннелирующих частиц передняя стенка барьера привязана к координате х0=0, получаем

P1P10 - P3P30 = J20 J20 = P4 P40 C0S §4i

P10 + P30 = P2 (0) P2(a) = P40 C0s2 Фа

Решая эту систему уравнений совместно с соотношениями для законов сохранения энергии свободных частиц, можно вычислить D. При этом оказывается, что P1 = P4, P10 = P40, D = cos2 ф4 . Заметим, что коэффициент туннельного прохождения определяется фазой частиц, преодолевших барьер. Выпишем формулы для расчета коэффициента туннельного прохождения барьера D:

P3 =

P10 + P3.

1 - 1 -

(-+ -) ch ( ax ) +-- -

2- 2 2- 2

- т- 6 = 2PJ(hx) P30 = P3e± 2m73 (33)

1--11/2

m( E - 2e±) - (E - 2e± )2 - 2/3(1 - D)2 P12 P120/(me) у = n2!2/8 m

X = 2pm(U0 + 2e±- E) /!

Естественно, туннелирование пространственно локализованных частиц отличается от традиционного прежде всего протаскиванием через барьер энергии поперечных квантовых флуктуаций.

Найдем выражение для D из (33) в типичном случае ax>> 1, когда при туннелировании параметры пространственной локализации частиц являются малыми: £1 х, £L << Е

D я {fyyt* f СХР( ~а%) Х = граф о - Е) / ! (34)

Эта формула согласуется с известной традиционной формулой при в ~ 1 (2P1 ~ %%). Полученные решения (33),(34) позволяют в первом приближении оценить дополнительный вклад нестационарного эффекта (29) в туннелирование. Этот эффект вызван тем, что градиент плотности вероятности в области туннельного барьера вызывает дополнительный поток туннелирующих частиц. В связи с этим плотность вероятности за время туннелирования убывает в каждой точке. Это специфический эффект для пространственно локализованных частиц. Подставляя в формулу (29) решение, полученное в нулевом приближении, получаем

Da(At,а) D0exp(-At Ь% /ma)[l + 1/в-в + (1/в + в)sh(xa)/ xa] (35) Здесь D0 коэффициент туннельного прохождения барьера, вычисленный в нулевом приближении, например, по формулам (34), в = 2P1 /(!x). Для типичного случая xa >> 1 имеем:

Da 8/(1 + в 2)exp(-xa (1 + ))

1 + 1/ в - в + (1 + в 1)

2s exp(xa)

(36)

D 2!

(37)

Здесь Z = 2P1 a/!. В нов^1х обозначениях эта формула справедлива при xa = Z / в >> 1 Положим для времени преодоления барьера At ~ ma / Pf, где флуктуационный импульс

можно оценить из соотношения a 2Pf =2п'!. Тогда

к

Эта формула получена путем оценок и не является строгой, тем не менее, в отличие от традиционных формул показатель экспоненты меньше, что заметно увеличивает коэффициент туннельного прохождения.

В сканирующей туннельной микроскопии эта формула может объяснить два парадокса. Измеренная по перемещению острия модуляция рельефа поверхности должна на самом деле быть приблизительно в К раз больше чем по традиционной формуле (34), что существенно для метода сканирующей туннельной микроскопии и составляет, в частности, для пиролитического графита 0,2-0,4 нм вместо величины 0,1 нм [8]. Работа выхода электрона

еф = U0 - Ef, определяемая в сканирующей туннельной микроскопии по формулам

аналогичным, например, (34), получается значительно меньше справочных величин. В

соответствии с формулой (37) имеем еф ~ (U0 - Еf ) / К2 . Например, для золота справочная

величина еф =4,9 эВ. Из туннельного эксперимента еф~ 4,9/ к2 ~ 0,5эВ, что практически и наблюдалось [9]. При модуляции туннельного зазора на самом деле измеряется величина

, dJ

r ~da -x(1/к + 1/(xa)Xxa>>1

Уменьшая величину туннельного зазор a, относительно которой происходит малая модуляция, можно получить и другие значения работ выхода электрона, приближающиеся к справочным, (коэффициент при x стремится к 1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учет пространственной локализации свободных квантовых частиц имеет не только методический интерес, но и устраняет, в частности, противоречия традиционной теории в существовании классического предела для квантовых формул. Даже неявный вклад скрытых параметров, когда они считаются малыми и ими в основном можно пренебречь в полученных формулах, дает, на наш взгляд, более точные соотношения для транспортных явлений.

Автор выражает благодарность участникам семинара, работающего в НИИ Физических проблем им. Ф.В.Лукина, под руководством В.М.Елеонского за плодотворное обсуждение полученных результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. К. Неволин. Двухэлектродные элементы наноэлектроники на основе квантовых проводов. Микроэлектроника. 1999. Т.28. №4. С.293-300.

2.O.V. Marfko and V.I. Manko. Quantum states in representation and tomography. Journal of Russian Laser Research (Plenum Publish. Corp., New York) 1997. V.18, No.5. P.407-444.

3. В.И.Манько. Обычная квантовая механика без волновой функции. Сборник лекций Учебно-научного центра Фундаментальная оптика и спектроскопия . Выпуск 1.ред.-сост. В. А. Исаков, Л.П. Пресняков - М.: Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН. 1998. С.163-219.

4. В. К. Неволин. Квантовый одночастичный транспорт. Известия вузов. Электроника. 1999. №5. С.3-14.

5.Д.И.Блохинцев. Основы квантовой механики. М. Наука. 1976. 664 с.

6.Д. Бом. О возможности интерпретации квантовой теории на основе представления о скрытых параметрах. Вопросы причинности в квантовой механике. Сб. переводов под ред. Я.П.Терлецкого и А.А.Гусева М. ИЛ.1955.С.34.

7. Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. Т.3.М. Наука 1989. С.105. 8.В.С.Эдельман. Сканирующая туннельная микроскопия. ПТЭ. 1989. №5.С.25-49. 9.М.С.Хайкин, А.М.Трояновский СТМ с модуляцией туннельного промежутка и в жидкой среде. ПТЭ. 1985. Т.11. В.20. С1236-1240.

Кафедра квантовой физики и наноэлектроники