Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Структура расширенного пространствад.ю.

СТРУКТУРА РАСШИРЕННОГО ПРОСТРАНСТВА

Д.Ю. Ципенюк (tsip@kapella.gpi.ru), В.А. Андреев Институт Общей физики РАН Расширенное пространство 1.1 Введение

Мы рассматриваем обобщение специальной теории относительности Эйнштейна (СТО) на 5-мерное пространство, а точнее говоря на (1+4)-мерное пространство (T, X, S),

обладающее метрикой (+----). Физическим основанием для такого обобщения служит тот

факт, что в СТО массы частиц являются скалярами и не меняются при их упругих взаимодействиях. Однако хорошо известно, что фотон можно считать безмассовой частицей и описывать плоской волной только в бесконечном пустом пространстве [1,2]. Если же фотон попадает в среду или оказывается в ограниченном пространстве, например в резонаторе или волноводе, то он приобретает ненулевую массу [3,4].

В данной работе мы всюду, специально этого не оговаривая, будем понимать под массой частицы m ее массу покоя, которая является лоренцевским скаляром. Никаких других масс у нас появляться не будет. Здесь мы следуем рекомендациям обзора [5].

Аналогичным образом можно рассмотреть процесс изменения массы и у других частиц, например, электронов, предполагая, что она зависит от внешних условий и воздействий.

Таким образом, представляется естественным расширить пространство параметров, характеризующих частицу, с учетом того, что при взаимодействии ее масса может меняться.

Приведем простую аналогию. Свободная частица движется по прямой, поэтому, чтобы описать ее поведение, можно ограничиться (1+1)-мерным пространством, образованным временем t и направлением ее движения x, поскольку остальные координаты y и z остаются постоянными. Если же частица начинает взаимодействовать с другими объектами, так что может уйти с прямой и начать двигаться еще и в плоскости (YZ), то такого пространства уже недостаточно и его приходится расширять до (1+3)-мерного [6].

Точно также и в нашем случае, пока масса частицы не меняется, можно ограничиться пространством Минковского M(1,3), но если она начинает меняться, пространство M(1,3) приходится расширять.

В физике неоднократно предпринимались попытки ввести дополнительные измерения, помимо уже известных четырех. В их основе лежали две основные идеи. Во-первых, с их помощью старались свести механические задачи к оптическим, а во-вторых, пытались построить, по аналогии с гравитацией, чисто геометрическую формулировку других взаимодействий, прежде всего, электромагнитного. Некоторые работы, относящиеся к начальному периоду развития таких идей, содержатся в юбилейном Эйнштейновском сборнике [7], монография [8] посвящена систематическому изучению одного из направлений-5-оптики, монография [9] содержит обзор более поздних исследований. Предлагаемый нами подход существенно отличается от всех перечисленных выше моделей, хотя, несомненно, идейно с ними перекликается.

1.2. Структура пространства

Каждой частице, обладающей массой m, в пространстве Минковского соответствует свой гиперболоид, в предельном случае вырождающийся в конус.



Все точки, лежащие на гиперболоиде, обладают одинаковым интервалом -расстоянием до начала координат

s2 = (ct)2 - x2 -у2 - z2. (1.1)

Поскольку изменению массы частицы соответствует ее переход с одного гиперболоида на другой, т.е. изменение соответствующего интервала, нам представляется естественным выбрать в качестве дополнительной пятой координаты сам интервал s. Таким образом, мы будем работать в пространстве с

координатами ( t,x,y,z,s ) и метрикой (+----). Рассматриваемые объекты находятся в нем на

(ct)2 - x2 - y2 - z2 - s2 = 0. (1.2)

Мы будем обозначать его G(1,4) или G(T, X, S).

Обычные (1+3)-мерные конуса и гиперболоиды возникают как сечения поверхности (1.2) в пространстве G(T, X, S) гиперплоскостями s = s0.

В пространстве G(T, X, S) можно построить обычным образом объекты, имеющие различную тензорную природу и преобразующиеся соответствующим образом при линейных преобразованиях пространства G(T, X, S) [10]. Векторы впространстве G(T, X, S) в каждой системе координат задаются набором 5-и чисел

а = (а0, а1, а2, а3, а4) = (а, а4) = (а0, а, а4). (1.3)

Здесь

а - обозначение 5-вектора в расширенном пространстве G(T, X, S), ~ - обозначение 4-вектора в пространстве Минковского M(1,3), а -бозначение 3-вектора в Евклидовом пространстве E(3). В пространстве Минковского M(1,3) каждой частице сопоставляется 4-вектор энергии-импульса [1 ]

~ E

Р = (-, Px:, Ру , Рг ). (1.4)

В расширенном пространстве G(T, X, S) мы достраиваем его до 5-вектора

Р = (-, Px , Ру , Pz , mc). (1.5)

Для свободн^1х частиц компоненты вектора (1.5) удовлетворяют уравнению

E2 = c2 p2 + c2 p2y + c2 pz2 + m2 c 4. (1.5A)

Это известное соотношение релятивистской механики, связывающее энергию,импульс и массу частицы. Его геометрический смысл состоит в том, что вектор (1 .5) изотропный, т.е.

его длина в пространстве G(T, X, S) равна нулю. Однако, в отличие от обычной релятивистской механики, теперь мы считаем, что масса частицы m также является переменной величиной, она может меняться произвольным образом при движении частицы по конусам (1 .2), (1 .5A). Это следует понимать таким образом, что масса частицы меняется,



когда она попадает в область пространства, обладающую ненулевой плотностью вещества. Поскольку в таких областях происходит замедление света, мы будем характеризовать их величиной n - оптической плотностью. Параметр n связывает скорость света в пустоте c со скоростью света в среде v: vn = c.

Набор величин (1 .5) образует 5-импульс, его компоненты сохраняются, если пространство G(T, X, S) инвариантно по соответствующему направлению. В частности, его пятая компонента p4, имеющая смысл массы, не меняется, если частица движется так, что все время находится в областях постоянной плотностью вещества или плотностью энергии. Эту плотность внешнего вещества (энергии) можно интерпретировать, как компоненту внешней силы, действующей на частицу.

1.3. Вектора свободных частиц

Мы будем рассмотривать вектора 5-импульсов свободных частиц в пространстве G(T, X, S) и изучать их преобразования при поворотах в этом пространстве. При этом следует учитывать, что в обычной релятивистской

механике и теории поля масса частицы считается неизменной и для частиц с нулевой и ненулевой массами покоя используются разные способы описания. Массивные частицы характеризуются своей массой m и скоростью v .

Частицы с нулевой массой (фотоны) х арактеризуются частотой со и длиной волны X. Эти со и X связаны с энергией E и импульсом p следующим образом

E = ЙЮ , p=-П (1.6)

Массивной частице сопоставляется 4-вектор энергии-импульса p p = (-p) = ( --==X (3 =- (1.7)

Частице с нулевой массой сопоставляется 4-вектор энергии-импульса ~p

p = (-p) = -n) = (-- n), p2 =-. (1.8)

c c X c c c

Здесь n- единичный вектор, задающий направленое, по которому распространяется фотон.

В рамках нашего подхода не существует разницы между массивными и безмассовыми частицами, поэтому следует установить связь между двумя указанными способами описания. Это можно осуществить, используюя соотношения (1.6) и гипотезу де Бройля, согласно которой данные соотношения справедливы и для массивных частиц [10]. Теперь, подставляя (1.6) в (1.5 a), получим связь между массой m, частотой со и длиной волны X.

?!+m2c4 (1.9)

Сравнивая формулы (1 .6) и (1 .7), получим выражение для с и длиной волны X через массу m



ю= ,-т, Л =-V1 -Р2- (1-Ю)

Отсюда видно, что при v - 0, X - о, но ю - ю Ф 0 , здесь со0 определяет энергию покоящейся частицы.

Достроим теперь 4-вектора (1-7), (1-8) до 5-векторов. Мы считаем, что покоящейся частице массы m сопоставляется 5-вектор

p = (mc,0,mc). (1-11)

Частицу, движущуюся со скоростью V , можно получить, переходя в движущуюся систему координат- Тогда вектор (1-11) принимает вид

mc mV

p =( rT,-rT,mc)- (1-12)

Аналогично, 4-вектор (1-8) обобщается до 5-вектора

Йю 2пЙ ! p = (-,п,0).

c Л

При переходе в движущуюся систему координат вектор (1-13) не меняет своего вида, меняется только значение частоты ю' ю

ю - Q) == - (1-14)

л/1-Р2

Таким образом, в пустом пространстве в неподвижной системе отсчета имеется два принципиально различных объекта, с нулевой и ненулевой массами,

которым в пространстве G(T, X, S) соответствуют 5-вектора

V 1 1

(mc,0,mc)- (1-16)

,0)- (1-15)

Для простоты мы записали вектора (1-15), (1-16) в (1,1,1)-мерном пространстве- Вектор (1-15) описывает фотон с нулевой массой, с энергией hco и движущийся со скоростью с Вектор (1-16) описывает неподвижную частицу с массой m- Фотон обладает импульсом p= hco/c, у массивной частицы импульс равен нулю- В 5-мерном пространстве оба эти вектора изотропны, тогда как в пространстве Минковского изотропен только вектор (1-15)-

Длина вектора (x0,x1 ,x2,x3,x4) вычисляется по формуле

2 = 2 - 2 - 2 - 2 - 2

Если ограничиться преобразованиями Лоренца, то в пространстве Минковского невозможно перевести изотропный вектор в неизотропный и обратно, т.е. в рамках СТО фотон не может приобрести массу, а массивная частица не может стать фотоном. Это можно сделать только с

помощью нелинейных конформных преобразований- В пространстве G(T, X, S) фотон и



массивную частицу можно связать друг с другом простым поворотом.

1.4. Преобразования

Рассмотрим подробно преобразования в пространстве G(T, X, S) . Все они сводятся либо к гиперболическим поворотам

, x + cttanh ф .

x = = xcosh ф + ctsinh ф. (1.17)

д/1 - tanh2 ф

, ct + xtanh ф , . ,

ct = . = ct cosh ф + x sinh ф.

д/1 - tanh2 ф

либо к обычным вращениям в плоскости

x = xcos \/ + ysin \/. (1.18)

y = -x sin \/ + ycos \/.

Имеется три типа таких преобразований.

1) Гиперболические повороты (1.17) в плоскости (T,X).

Это обычные лоренцевские повороты, соответствующие переходу в движущуюся систему отсчета. Скорость системы отсчета v и угол поворота ф связаны друг с другом соотношениями

tanh ф = р =v, е2ф= -. (1.19)

c c - v

Величина ф является аддитивным параметром, характеризующим поворот в плоскости (T,X). Если сначала выполнить поворот на угол ф1, а затем на угол ф2, то в результате получится поворот на угол ф1 +ф2, т.е. в отличие от скоростей, углы поворота просто складываются. Для угла ф имеем выражение

eф=± -. (1.20)

V c - v

В формуле (1.20) перед квадратным корнем следует выбрать знак + , поскольку ф -вещественный параметр. Выбор знака - соответствует замене

ф - ф + in, что приводит к появлению отрицательных энергий и мнимых импульсов. Мы пока не будем обсуждать смысл подопобных величин.

С точки зрения расширенного пространства G(T, X, S) это соответствует произвольным движениям в пространстве-времени Минковского M(1,3) с постоянной оптической плотностью n. При таких поворотах вектора частиц (1.15), (1.16) преобразуются следующим образом



йю йю cc

йю .йю йю -,0) - (-,-

,0), где й' = йеф, - оо < ф <

(1-21)

c c c

(mc,0,mc) - (

mc mctanh ф

, mc) = mc(cosh ф, sinh ф,1)

(1-22)

ф - tanh2 ф -yJ1 - tanh2 ф

Поскольку в формуле (1-20) оставлен знак + , преобразованная частота Gyoe в формуле (1-21) всегда остается положительной.

При таком преобразовании безмассовая частица (фотон) меняет свою энергию и импульс, но не приобретает ненулевой массы. У массивной частицы не меняется масса, которая у нее имелась первоначально- Энергия и импульс у частиц обоих типов меняются, но 5- вектора у них остаются изотропными-

С точки зрения наблюдателя, связанного с неподвижной системой отсчета, преобразование (1.21) можно интерпретировать как результат воздействия наобъекты (1-15), (1 - 1 6) некоторой силы, которая меняет их энергии и мпульсы-

Преобразования (1 - 1 7) сохраняют величину интервала s, и длину векторов в пространстве Минковского M(1,3) и соответствуют области расширенного пространства G(1,3,const). В этом пространстве они переводят в себя (1+3)-мерные конусы и гиперболоиды, причем действуют на них транзитивно, т-е- с их помощью любую точку, лежащую на конусе или гиперболоиде, можно перевести в любую другую точку, лежащую на той же поверхности. Но перейти с одной такой поверхности на другую с помощью преобразований (1-17) невозможно [11].

2) Рассмотрим теперь повороты в плоскости (TS). Это тоже гиперболическое преобразование, имеющее вид (1.17). Их физический смысл состоит в том, что пространственных движений мы не совершаем, все время находимся в одной и той же точке, но оптическая плотность в этой точке с

течением времени меняется- Таким образом, в данном случае преобразование (1 -1 7) означает переход к другому моменту времени и другой оптической плотности- Все движения происходят по 2-мерным конусам и гиперболоидам и имеют транзитивный характер-Поскольку пространственных движений не совершается, импульсы частиц должны сохраняться-

При преобразованиях (1-17) фотонный вектор (1-15) преобразуется следующим образом

Преобразование (1-23) параметризуется аддитивным параметром 9 - углом поворота- Этот угол мы отсчитываем от светового конуса в сторону кположительному направлению оси времени Т- При таких поворотах в верхней

полуплоскости (t> 0) угол 9 меняется от 0 до о. В соответствии с формулой (1-24) в этом случае у фотонов появляется только положительная масса- Этот результат представляется совершенно естественным, поскольку свободный фотонный вектор (1.15) существует лишь в пустом пространстве с оптической плотностью n=1 - Поворот (1 -23) увеличивает оптическую плотность пространства и превращает фотон в частицу ненулевой положительной массой-

Можно вычислить и скорость такой частицы- Для этого следует воспользоваться формулой v=cp/E. Она дает


sinh 6) (1.23)


(1-24)



v = cV 1 - tanh2 8 = -- (1.25)

cosh 8

Легко проверить, что, несмотря на то, что и масса и скорость частицы меняются, ее импульс остается постоянным. Это сразу следует из релятивистского

выражения для импульса частицы массы m, движущейся со скоростью v, и формул (1.24),

(1.25).

mv со

(1.26)

С помощью формулы (1.25) можно установить связь между углом поворота 9 и величиной оптической плотности n.

n = cosh8, е8= n±Vn2 -1 (1.27)

В формуле (1 .27) следует оставить оба знака перед квадратным корнем, поскольку в обоих случаях правая часть больше нуля и имеет физический смысл. В этих обозначениях повернутый вектор (1 .23) приобретает вид

( ШпТПТТ). (1.28)

c c c

В формуле (1.28) мы оставляем перед квадратным корнем только знак + , поскольку выше мы уже установили, что при вращениях в полуплоскости (t<0), однако, мы сейчас не будем вникать в их физический смысл.

Массивный вектор (1 . 1 6) преобразуется следующим образом

(mc,0, mc) - (mce8,0, mce8). (1.29)

При таком повороте массивная частица меняет свою массу

m - me8, - °o < 8 < °° (1.30)

и энергию, но сохраняет импульс.

Тот факт, что в формуле (1.27) оба знака имеют непосредственный физический смысл, означает, что при таком преобразовании из одной частицы с массой m возникают две частицы с разными массами

m - m += me 8+, (1.31)

m - m -= me8-. (1.32)

Таким образом, при поворотах в плоскости (TS) массы частиц, обладащих массами покоя, могут изменяться по двум разным законам (1 .31 ) и (1 .32). При больших n они имеют следующий характер поведения

e8+ = n + Vn2 -1 - 2n--, при n - оо, (1.34)

e8- = n-л/n2 -1 - -, при n - о, (1.35)

Характерно, что фотоны имеют только одну массовую ветвь (1.24). 3) Третий тип поворота, это поворот в плоскости (XS).

Р



На самом деле пространство (X) 3-мерно с координатами (x,y,z), но мы выделим в нем одно направление (x) и будем рассматривать вращение в 2-мерном пространстве с координатами (x,s). Все остальные преобразования типа 3) можно получить, комбинируя такие вращения с обычными 3-мерными пространственными поворотами.

Формулы (1.18) задают обычный евклидов поворот. Он соответствует переходу из пространства с одной оптической плотностью в пространство с другой оптической плотностью. При этом никаких временных процессов не происходит, все рассматривается в один и тот же момент времени t.

При этом никаких временных процессов не происходит, все рассматривается в один и тот же момент времени t. Поэтому энергия частиц сохраняется, а все происходящие с ними процессы сводятся к внутренним перестройкам. Условно это можно понимать так, что частица, попадая в более плотную среду, деформируется упругим образом, а, покидая ее, восстанавливает свои характеристики. При этом не происходит обмена энергией и импульсом между средой и частицей.

При повороте на угол у фотонный вектор (1.15) преобразуется по закону

. со со Л. . со со со . ,л

(-,-,0) - (-,-cos y,- sin y) . (1.36)

c c c c c

При этом фотон приобретает массу

m = -siny, (1.37)

и скорость

v = c cosy, (1.38)

Используя формулу (1.38), можно связать угол поворота у с величиной оптической плотности n

n = -, (1.39)

cosy

В этих обозначениях преобразованный фотонный вектор (1 .36) принимает вид

с с с 2

(-, - -Vn2 -1) . (1.40)

c cn cn

Вектор (1 . 1 6) массивной частицы преобразуется по закону

(mc,0,mc) - (mc,-mcsiny,mccosy) = (mc,-mcVn2 - 1,mc). (1.41)

Энергия частицы при таком преобразовании сохраняется, но меняется ее масса

m - mcos y = -, (142)

и импульс

0 --mcsiny = --Vn2 -1, (1.43)

Повороты (1.18) можно совершать, вообще говоря, на произвольные углы, однако формулы (1 .36), (1 .37) показывают, что, поскольку мы не умеем придавать смысл отрицательным массам фотонов, следует ограничиться диапазоном

0 <y<n. (1.44)

Теперь масса фотона всегда положительна, а возможность появления отрицательного знака у его импульса следует понимать как отражение фотона о оптически плотных



областей.

Аналогичным образом интерпретируются и формулы (1.41)-(1.43), описывающие преобразование вектора массивной частицы. Такое преобразование физически соответствует попаданию частицы в область с ненцлевой плотностью вещества, приводящей к появлению оптической плотности n. На частицу начинает

действовать закон Архимеда и, в соответствии с формулой (1.42), ее масса уменьшается и может даже стать отрицательной, когда плотность частицы станет

меньше плотности среды. Формула (1.43) показывает, что на такую частицу действует выталкивающая сила, сообщая ей импульс, который всегда направлен в сторону, противоположную движению.

Отметим еще раз, что при всех таких преобразованиях изотропные вектора

остаются изотропными и, вообще, длина произвольного вектора из G(T, X, S) не меняется. Если же мы рассмотрим пространство Минковского M(1 ,3), то в нем преобразования 1 ), 2), 3) действуют транзитивно и с их помощью можно перевести любую точку в любую. Действительно, преобразования Лоренца 1 ) действуют транзитивно на конусах и гиперболоидах в M(1 ,3), оставляя неизменным интервал. В свою очередь, преобразования 2) и 3) меняют интервал и позволяют переходить с одного гиперболоида на другой с совершением - 2), или без совершения внешней работы - 3).

Заключение

Рассмотрено обобщение СТО Эйнштейна на 5-мерное пространство, позволяющее построить 5-мерный вектор $\overline p = (E/c,px py,pz,mc), у которого в качестве пятой координат выбирается масса частицы. Все компоненты 5-мерного вектра связаны известным

2 22 22 22 24

соотношением E = c px + c py + c pz + mc . В рамках такого подхода не существует

разницы между массивными и безмассовыми частицами, и, в отличие от 4-мерного пространства Минковского, во введенном пространстве 5-векторы становятся изотропными как для массовых, так и для безмассовых частиц.

В результате увеличения размерности пространства появляются, кроме преобразования Лоренца, еще два преобразования пространства (гиперболический и евклидов повороты), которые переводят массовые частицы в безмассовые и наоборот, причем при этих преобразованиях изотропия 5-векторов не теряется.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория поля, М., НАУКА , (1967).

[2] Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М., ИЛ , (1963).

[3] Гинзбург В.Л., Теоретическая физика и астрофизика, М., НАУКА , (1981).

[4] Ривлин Л.А., УФН, 167, 309 (1997).



[5] Окунь Л.Б, УФН, 158, 511 (1989).

[6] Вигнер Е., Этюды о симметрии, М. МИР , (1971).

[7] Альберт Эйнштейн и теория гравитации, сборник статей, М. МИР , (1979).

[8] Румер Ю.Б., Исследования по 5-оптике, М., ГОСТЕХИЗДАТ , (1956).

[9] Владимиров Ю.С., Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий, М., МГУ , (1987).

[10] Бом Д., Квантовая теория, М., НАУКА ,(1965).

[11] Розенфельд Б.А., Многомерные пространства, М., НАУКА , (1966).

[12] Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ, М., НАУКА , (1967).



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.