Построение бушей мод для нелинейных моноатомных

цепочек

Жуков К.Г., Рябов Д.С., Чечин Г.М. (chechin@phis.rsu.ru)

Ростовский Государственный Университет

Понятие о бушах нормальных мод, как о некоторых новых типах нелинейных возбуждений в динамических системах с дискретной симметрией, было введено в работе [ДАН, т.330, №3, с.308 (1993)], а их общая теория разработана в [Physica D 117, p.43 (1998)]. Буши мод представляют собой инвариантные многообразия, соответствующие подгруппам группы симметрии Гамильтониана исследуемой физической системы. В известном смысле, их можно рассматривать как некоторое обобщение понятия нормальных мод для случая нелинейных систем с дискретной симметрией. Настоящая статья является первой частью серии работ посвященных изучению бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама (FPU) с периодическими граничными условиями. В ней предложен простой кристаллографический метод вывода бушей мод для произвольных моноатомных цепочек и проведена их классификация по подгруппам группы диэдра. Обсуждается построение бушей мод в конфигурационном и модальном пространствах, а также вывод соответствующих им динамических уравнений.

1. Введение

Понятие о бушах (кустах) мод для нелинейных гамильтоновых систем с дискретной симметрией было введено в работе [1]. В зависимости от типа рассматриваемой системы моды могут иметь различный физический смысл. При исследовании колебательных режимов iV-частичных механических систем, к которым относятся рассматриваемые нами сейчас цепочки Ферми-Пасты-Улама, под термином мода (или колебательная мода) можно иметь в виду обычные нормальные моды (НМ), которые вводятся хорошо известным способом в рамках гармонического приближения1. Буши именно таких мод и будут рассматриваться в настоящей работе.

Заметим, что обычно удобнее говорить о бушах симметрических мод, которые строятся на основе базисных векторов неприводимых представлений соответствующих групп симметрии, поскольку построение таких мод не требует знания конкретных взаимодействий между частицами системы.

Наиболее просто к идее буша мод можно прийти следующим образом. Нормальные моды являются невзаимодействующими только в гармоническом приближении. При учете же в гамильтониане исследуемой системы ангармонических членов разного вида, НМ перестают быть независимыми друг от друга: возбуждение от одной первоначально возбужденной моды (мы будем в дальнейшем называть ее корневой модой) передается и некоторому числу других - вторичных - нормальных мод. При этом принципиально важно, что существуют некоторые правила отбора для передачи возбуждения между модами различной симметрии [1], в силу чего возбужденными, в конце концов, оказываются не все моды данной системы, а лишь некоторый вполне определенный их набор. Этот набор, состоящий из корневой моды и всех соответствующих ей вторичных мод, и был назван в [1] бушем мод.

Каждому бушу мод B[G] соответствует некоторая группа симметрии G, которая является подгруппой исходной группы симметрии G0 рассматриваемой системы в состоянии

равновесия. При описанном выше способе возбуждения буша, группа его симметрии G определяется симметрией корневой моды. Можно показать, что независимо от типа нелинейных взаимодействий между атомами системы (и, стало быть, независимо от характера взаимодействий между модами), группы собственной симметрии G j всех

вторичных мод данного буша B[G] не могут быть ниже группы симметрии его корневой моды Gj cz G . В работе [1] был описан теоретико-групповой метод нахождения бушей мод,

соответствующих всем подгруппам G исходной группы симметрии G0 . Этот метод является

обобщением аналогичного метода построения так называемого полного конденсата первичных и вторичных параметров порядка в теории фазовых переходов, который был развит в работе [2] (см. также [3]).

На буш B[G] можно смотреть как на некоторый динамический объект. Действительно, он представляет собой линейную комбинацию всех входящих в него мод с коэффициентами jUj (t) (в дальнейшем мы будем называть их амплитудами соответствующих мод), которые

явным образом зависят от времени. Если известен гамильтониан системы, для этих амплитуд Uj (t) можно написать систему дифференциальных уравнений, которые определяют

динамику рассматриваемого буша. Таким образом, буш B[G] представляет собой некоторую динамическую систему, размерность которой (т.е., число входящих в данный буш мод jUj (t) )

во многих случаях оказывается существенно меньше полной размерности исходной физической системы.

Заметим, что одна и та же система дифференциальных уравнений (с точностью до числовых значений входящих в них коэффициентов) может реализоваться как система динамических уравнений бушей мод в самых разнообразных по своей природе физических системах и для самых разнообразных групп симметрии G0. Эта особенность бушей мод

лежит в основе их классификации по некоторым классам динамической универсальности [1, 4].

Одним из важнейших свойств буша является то, что энергия первоначального возбуждения оказывается локализованной в данном буше, т. е. она не может передаваться модам ему не принадлежащим. Это является просто следствием определения буша как совокупности всех мод системы, которые будут возбуждены в результате первоначального возбуждения только одной корневой моды.

В строгом математическом смысле, буш мод представляет собой некоторое инвариантное многообразие, определенное из симметрийных соображений и разложенное по базисным векторам неприводимых представлений группы симметрии G0 исходной

нелинейной системы. Физической причиной того, что буш является единым динамическим объектом является то, что его моды связаны друг с другом силовыми взаимодействиями, в то время как со всеми другими модами системы они связаны параметрическими взаимодействиями (см. [5]).

Следует иметь в виду, что, говоря о бушах мод, мы на самом деле подразумеваем симметрийно определенные буши, т.е. такие инвариантные многообразия, которые выделены лишь симметрийными условиями, а не конкретным типом взаимодействий в исходной физической системе. С другой стороны, учет специфики гамильтониана, которая обусловлена не симметрией системы, может привести к дополнительным правилам отбора для передачи возбуждения между различными модами, и, как следствие, к уменьшению размерности данного буша, что будет далее продемонстрировано на примере цепочек FPU. Детальное описание теории бушей мод дано в работе [5]. В ней, в частности, сформулирован и доказан ряд теорем о структуре этих динамических объектов.

Итак, каждый буш мод B[G] представляет собой некоторый точный нелинейный динамический режим, которому соответствует вполне определенная группа симметрии G с: G0, в силу чего ясно, что различные динамические режимы нелинейной физической

системы можно классифицировать по подгруппам группы симметрии ее равновесного состояния (или группы симметрии ее гамильтониана).

Как уже говорилось, полный комплект мод буша сохраняется во времени (в то время как их амплитуды изменяются). Фактически это является следствием того, что в

соответствие с принципом детерминизма классической механики, симметрия динамической системы не может самопроизвольно понизиться в процессе ее временной эволюции [1, 5]. Тем не менее, при определенных условиях рассматриваемый буш может потерять устойчивость, в результате чего он расширяется до буша большей размерности, и как следствие этого явления, выходящего за рамки классического детерминизма и являющегося аналогом фазового перехода, происходит спонтанное понижение симметрии динамического состояния рассматриваемой физической системы. Этот вопрос подробно исследуется в следующей статье настоящего цикла работ, посвященного колебательным бушам в цепочках FPU.

Принципиальная возможность применения теории бушей мод при исследовании различных физических явлений кратко обсуждалась в [5]. В последующих работах нами были найдены все возможные буши мод малой размерности для широких классов физических систем с точечной и пространственной симметрией. Упомянем здесь нахождение бушей мод для всех возможных систем с точечной кристаллографической симметрией [6, 7], для фуллерена C60 [8], нахождение неприводимых бушей мод (и, как следствие этого, так называемых нелинейных нормальных мод Розенберга) для всех 230 пространственных групп [9].

Независимо от развиваемой в вышеуказанных работах теории бушей мод, Погги и Руффо провели исследование динамики цепочки FPU-P, результаты которой были опубликованы в работе [10]. Они обнаружили некоторые подмножества нормальных мод, в которых энергия возбуждения оказывается локализованной при соответствующем выборе начальных условий (авторы называют их подмножествами I-типа ).

В отличие от нашего подхода, проведенное в работе [10] исследование базируется не на симметрийных принципах, а на анализе специфики межатомных взаимодействий в цепочке FPU-p. При этом авторы нашли лишь некоторое число одномерных и двумерных совокупностей мод I-типа . В работе [11] было показано, что найденные Погги и Руффо совокупности мод являются ничем иным, как бушами мод. Там же с помощью общего теоретико-группового метода, развитого нами в предыдущих работах, были найдены все возможные буши мод для произвольных нелинейных моноатомных цепочек при их классификации по группе трансляций T, а также частично обсуждены буши мод, полученные при классификации по более полной для таких цепочек группе симметрии - группе диэдра D.

Недавно появилась работа Боба Ринка [12], в которой обсуждается симметрийный метод построения инвариантных многообразий для нелинейных моноатомных цепочек. Несмотря на то, что эта работа выполнена совершенно независимо от вышеизложенного

2. Буши колебательных мод для моноатомных цепочек

Данная работа является прямым продолжением работы [11], в силу чего мы будем использовать здесь ту же самую терминологию и те же самые обозначения.

подхода, основанного на концепции бушей мод, и написана в существенно более математизированном стиле по сравнению с аналогичной нашей работой [11], основные идеи, теоретико-групповой метод и результаты, приведенные в работах [11] и [12], оказались весьма близкими друг к другу (напомним, что буши мод представляют собой инвариантные многообразия, разложенные по базисным векторам неприводимых представлений группы симметрии рассматриваемой системы). Ограничившись здесь только этим коротким замечанием, мы вернемся к более подробному сравнению двух вышеуказанных работ в последующих статьях.

В соответствие с математической терминологией, большинство цитированных выше работ посвящено проблеме существования бушей мод. Однако очевидно, что для того, чтобы буши мод можно было рассматривать как реальные физические объекты, необходимо исследовать проблему их устойчивости и способы их возбуждения. Заметим, что если проблема существования бушей мод может быть решена с помощью лишь теоретико-групповых методов независимо от конкретных сил взаимодействия между частицами рассматриваемой физической системы, то проблема исследования их устойчивости уже существенным образом должна опираться на знание таких взаимодействий.

Устойчивость бушей мод в простейших октаэдрических механических системах с потенциалом Леннарда-Джонса была изучена в [13], а в цепочке FPU-a - в работе [11]. Тем не менее, несмотря на результаты, полученные в работах [10] и [11], ряд вопросов устойчивости бушей мод в цепочках Ферми-Пасты-Улама остался неизученным.

В настоящем цикле работ, посвященном цепочкам FPU и состоящим из четырех отдельных статей, представлены результаты исследования устойчивости бушей мод при идеальных и неидеальных условиях (в частности, при наличии тепловых колебаний, примесей и т. д.) и способы их возбуждения.

2.1. Теоретико-групповые методы построения бушей мод

Рассмотрим произвольную гамильтонову систему с N степенями свободы, которой в ее состоянии равновесия соответствует группа дискретной (точечной или пространственной) симметрии G0. Пусть N-мерный вектор

x(()={x (t), Х2 ((),..., Xn (t)} (1)

определяет смещения xi(t) (i = 1, 2, N) всех частиц этой системы в момент времени t из

соответствующих им положений равновесия.

Как уже говорилось, данному бушу мод B[G] отвечает некоторая подгруппа G исходной пространственной группы симметрии G0 (G cc G0) . Каждому элементу симметрии

g е G0, действующему в трехмерном евклидовом пространстве, можно общепринятым

образом сопоставить оператор g€, действующий в пространстве N-мерных векторов (1):

gX(() = {g 1Х1 ((), g 1X2((),g 1 Xn(t) }. (2)

В силу этого, любой подгруппе G cc G0 соответствует изоморфная ей группа операторов G:

G = {# Vg е G }.

В вышеприведенных обозначениях, условие инвариантности конфигурационного вектора x((), соответствующего рассматриваемому бушу B[G], относительно группы G можно записать в форме gx(() = x(() для всех g е G или в более удобной эквивалентной форме:

Gx(( ) = x(t). (3)

Первый и самый непосредственный способ построения буша B[G] состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений (3). В дальнейшем мы будем называть такой метод прямым (см. [5], а также [3, 14]). Заметим, что аналогичный метод был использован в [11] для построения базисных векторов неприводимых представлений группы симметрии G0 = T . Для столь простой механической системы, каковой является моноатомная цепочка,

прямой метод достаточно легко дает явный вид искомого буша мод с группой симметрии G (именно такой метод, правда в несколько иных терминах, был использован в работе Боба Ринка [12]). При построении бушей мод для достаточно сложных физических систем, например, для кристаллов, у которых в примитивной ячейке имеется большое число атомов

разных сортов, вышеуказанный метод может оказаться весьма сложным. Поэтому вместо него в работе [14] был предложен метод расслоения орбит исходной пространственной группы симметрии G0, которое происходит в результате понижения симметрии G0 -G

(подробное описание этого метода можно найти в [3]). Наконец, третий метод, в отличие от двух вышеупомянутых, имеющих чисто кристаллографический характер, основан на использовании разложения конфигурационного вектора X(t) по базисным векторам неприводимых представлений группы G0. Именно этот метод в сложных случаях является

наиболее эффективным, и он использовался нами наиболее часто (см. [1, 4-9, 11, 13].

Несмотря на то, что все три вышеупомянутых метода являются эквивалентными друг другу в геометрическом смысле, последний из них дает, вообще говоря, дополнительную физическую информацию. Действительно, представление буша в форме суммы вкладов от индивидуальных неприводимых представлений, позволяет тем самым выделить его составляющие (моды), которые обладают разными трансформационными свойствами по отношению к преобразованиям группы симметрии G0 . Но, как известно, при рассмотрении

конкретных физических явлений эти составляющие могут играть существенно различную роль. Например, одни из них могут быть активными в экспериментах с инфракрасным излучением, другие при комбинационном рассеянии света, а многие оказываются вообще неактивными в каких-либо оптических экспериментах, но проявляются при нейтронографических экспериментах и т.д. Мы вернемся к рассмотрению этого вопроса в третьей части настоящего цикла работ при обсуждении способов физического возбуждения бушей мод в цепочках FPU. Метод построения бушей мод на основе анализа неприводимых представлений исходной группы симметрии подробно описан в работе [5] для самого общего случая, а в работе [11] - для моноатомных цепочек. В связи с этим ограничимся здесь лишь несколькими краткими замечаниями, необходимыми для дальнейшего изложения.

Поскольку полный набор базисных векторов неприводимых представлений, построенных на атомных смещениях, образует базис механического (колебательного) представления, то можно сначала найти соответствующий данному бушу B[G] конфигурационный вектор х(() (например, с помощью прямого метода или метода расслоения орбит), после чего уже разложить этот вектор по базисным векторам (модам) индивидуальных НП группы симметрии G0 . В случае моноатомной цепочки мы приходим, таким образом, к формуле (14) из работы [11]:

N-1 N-1

k=0 k=0

2.2. Построение бушей мод для нелинейной моноатомной цепочки

Мы будем рассматривать состоящие из N одинаковых атомов цепочки с периодическими граничными условиями, полагая тем самым, что в любой момент времени

В состоянии равновесия такая цепочка инвариантна относительно группы трансляционной симметрии T. Генератором этой группы является оператор сдвига £ на постоянную a одномерной решетки, образованной атомами рассматриваемой цепочки:

T = { §, £ £2, £N-1 }, f = E (6)

Здесь E - единичный элемент, а N - порядок группы T, который, очевидно, равен числу атомов цепочки.

Оператор € генерирует циклическую перестановку всех частиц цепочки, в силу чего его действие на N-мерный конфигурационный вектор X(t) имеет вид

Полная группа симметрии моноатомной цепочки содержит также инверсию f по отношению к ее центру

В зависимости от удобства, мы можем использовать либо разложение вектора X(t) по комплексным модам <рк, либо по действительным модам у/к (к = 0, 1, N-1). Явный вид базисных векторов д>к и у/к приведен в [11].

Заметим, что в третьем из упомянутых методов построения бушей мод делается как раз наоборот: сначала находятся отдельные составляющие буша (в случае моноатомной цепочки это просто отдельные слагаемые в формуле (4)), относящиеся к различным НП, а уже после этого по ним восстанавливается конфигурационный вектор X(t).

В силу простоты рассматриваемой сейчас механической системы - моноатомной цепочки - в данной работе мы будем находить векторы X(t) для бушей мод с помощью простого геометрического метода, после чего делать их разложение по базисным векторам неприводимых представлений группы трансляций T в соответствие с формулой (4), что равносильно разложению X(t) по обычным нормальным координатам.

Для случая трехмерных кристаллов, фигурирующие в этой теореме плоскости симметрии могут быть не только плоскостями зеркального отражения, но и плоскостями скольжения разного типа. Это утверждение соответствует четному значению N. В случае нечетности N будет наоборот.

а следовательно, и все возможные произведения целых трансляций a€k (k = 1, 2, N-1)

на инверсию Эту так называемую группу диэдра D можно записать в виде прямой суммы двух классов смежности по ее подгруппе целых трансляций T:

D = T 0 T £ (9)

Таким образом, неабелева группа D порождается двумя генераторами a€ и € и может быть полностью задана следующими тремя определяющими соотношениями:

€N = 3, € = §, €€ = 8rl£. (10)

Как и в работе [11], мы рассмотрим прежде всего частный случай N = 12, имея в виду, что на этом примере можно проиллюстрировать все наиболее существенные моменты построения и анализа бушей колебательных мод.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию элементов группы D. Прежде всего заметим, что в одномерном случае действие инверсии эквивалентно отражению dE в плоскости перпендикулярной к цепочке. Воспользуемся известной теоремой кристаллографии, которая утверждает, что плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция на величину А порождают новую ( вставленную ) плоскость симметрии2, параллельную исходной плоскости и отстоящую от нее на расстояние А/2. Тогда легко

видеть, что произведение a€kiE = a€kdE при нечетных значениях k порождает плоскости отражения, проходящие через атомы, а при четных k - плоскости, проходящие между атомами3. На рисунке 1 показан фрагмент цепочки около ее середины. Вертикальными отрезками изображены плоскости отражения a€kdE, которые и определяют положения инверсионных элементов a€kiE (для упрощения рисунка шляпки над операторами опущены).

Из определяющих соотношений (10) имеем dEkiE = f£rk = feN-k, в силу чего легко видеть, что элементы симметрии располагаются справа от центра цепочки, а элементы fek - слева от него.

Рис.1. Расположение элементов симметрии группы диэдра D для моноатомной цепочки с

N = 12 (фрагмент около середины цепочки).

Рассмотрим теперь все возможные подгруппы группы симметрии диэдра G0 = D для

случая N = 12. Каждой из этих 32 подгрупп 0}. отвечает свой буш колебательных мод B[G;. ],

и все они выписаны в первом столбце Таблицы 1. Каждая из подгрупп определяется набором своих генераторов4, которые записаны в квадратных скобках, причем есть подгруппы, которые задаются одним и двумя генераторами.

Например, запись B[a4] определяет буш с циклической группой третьего порядка,

которая состоит из трех чисто трансляционных элементов: if, a€4, a€8 (с учетом того, что

a12 = if). Наличие такой симметрии у колебательного состояния цепочки означает, что полный набор двенадцати атомных смещений можно разбить на три идентичных блока , каждый из которых в кристаллографии принято называть расширенной элементарной ячейкой (РЭЯ). Таким образом, в нашем примере размер РЭЯ (4а) в четыре раза превышает размер элементарной ячейки (а) для цепочки в состоянии равновесия и, следовательно, в этой РЭЯ находятся 4 атома. Поскольку никаких других симметрийных ограничений на возможный набор атомных смещений нет, то колебательное состояние для случая N = 12, которое и определяет буш с группой симметрии G = {af4 }, в любой момент времени t можно записать в форме

x(() = { *1 ((), Х2 ((), Х3 ((), X4 (() *1 (t), Х2 (t), Х3 (t), X4 (t) j X1 (t), X2 (t), X3 (t), X4 (()

Имеется в виду описание группы с помощью минимально возможного количества порождающих элементов -

генераторов.