Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Методика анализа алгоритмов

1 2

Методика анализа алгоритмов управления валютным портфелем

Котенко А.Е. (kotenko@zuzino.net.ru)

Институт системного анализа РАН

§1. Модель оптимальных валютных обменов

(по [1])

На валютном рынке дилер ведет торговлю валютами isI. В момент времени t=0, у дилера имеется в наличии V0 единиц валюты i, isI. Торговля проводится на протяжении промежутка времени от t=1 до t=T-1. В последний день t=T происходит оценка результатов

торговли. Курс обмена валюты i на валюту i в день t обозначим с1н,. Считаем курсы обмена

всех валют априорно известными на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени.

В процессе торгов валюта i может обмениваться на другие валюты; в свою очередь, другие валюты могут обмениваться на валюту i. Количество валюты i, конвертированной на

валюту i в течение торгового дня t, будем обозначать vtii, ; данная величина измеряется в

единицах валюты i. Объем же валюты i, полученный от обмена на нее валюты V, тогда равен

с\*у\ц . Помимо этого, могут быть сторонние поступления валюты f/, не связанные с

проводимыми конверсионными операциями.

Количество валюты i в конце дня t будет равно:

V = уГ-IWi + fi, isI, t=1,...,t-1 (1.1),

isI isI

где V*-1 - количество валюты i в предыдущий день t-1.

В качестве критерия оценки эффективности работы дилера берется капитал валютного портфеля в последний день T, который вычисляется следующим образом:

K = E*T-1 (1.2),

где ci 0 - курс обмена валюты i на выбранную базовую валюту 0 в день T. Выбор базовой

валюты произволен. В [1] показано, что величина капитала валютного портфеля не зависит от выбора базовой валюты (с точностью до спрэда - разницы между курсами покупки и продажи валюты).

Стремясь максимизировать капитал портфеля, можно сформулировать следующую оптимизационную задачу:

a x0 I C>oV>T -

I vu + I с^\; + f, (1.3)

i s I i s I

i s I, t = 1,..., T - 1.

Задача решается при условии выполнения аксиомы цен: цена покупки валюты у дилера не может превышать цены продажи валюты дилеры. Термин цена используется вместо термина курс обмена потому, что конверсия валют может происходить как непосредственно, так и опосредовано, через одну или несколько промежуточных валют. Если аксиома цен нарушается, то можно организовать такую цепочку валютных обменов,

V t = V t -1

V 10 = V 0



что оптимальным поведением было бы ее прохождение столь много раз, сколько это возможно.

Для решения задачи (1.3) используется метод Лагранжа. На каждом временном шаге t для каждой валюты i вводятся двойственные переменные p], i e I, t = 1,...,T - 1 и вспомогательные переменные:

TT t t+1 t t t , t t ,л .\

Pi = C,0. ¥i = p, - p, , рц = - pi + C p (1.4)

В [1] показано, что тогда функцию Лагранжа можно записать в виде

ieI t=1 ieI iel t=1 ieI ieI t=1

Рассматривая вместо задачи условной максимизации (1.3) задачу безусловной максимизации (1.5), получаем условия оптимальности:

если ц/\ < 0, то V/ = 0; если у/ = 0, то V* > 0,

если ф'и, < 0, то vlu, = 0; если сри, = 0, то vlu, > 0, (1.6)

Vi,i e I, Vt = 1,...,T - 1. При выполнении этих условий капитал валютного портфеля совпадает со значением функции Лагранжа:

T - 1

max т m ax \ 1 1 тг 0 . \ 1 \ t jr t

K = L = Z piVi +11 pifi (17)

i e I i e It = 1

Соответственно, экономический смысл двойственных переменных: p1 - это

коэффициент перевода единицы валюты i в базовую валюту 0 за T-2 шагов процесса оптимальных конверсий.

Используя (1.4) и (1.6), можно записать двойственную задачу:

p]+1 - p] * 0, - p] + alp, < 0, pT = cT0; e I, t = 1,...,T - 1 Решение задачи (1.8) можно выписать в виде системы уравнений:

p\ = max{pt+1;d,p)(ieI)}, pT = cTm ieI, t = 1,...,T-1 (1.9)

Опираясь на аксиому цен, из (1.9) выразим двойственные переменные p] на шаге t в

pt+1

виде рекуррентной зависимости от двойственных переменных pi на последующем шаге

t+7. Для случая трех валют (обозначенных символами d, s и e) они будут иметь вид:

t(t+1 t t+1 t t+1 t t t+1 t t t+1)

pd = maX {pd ;Cdepe ;CdspS ;CdSCsepe ; C deC es p s };

tt+1tt+1tt+1ttt+1ttt+1

pe = max {pe ;Cedpd ;Cesps ;CesCsdpd ;CedCdsps } (1.10)

tt+1tt+1tt+1ttt+1ttt+1

ps = max {ps ;Csdpd ;Csepe ; C seCedp d ;CsdCdepe )

Из (1.10) видно, что, двигаясь от конца рассматриваемого промежутка времени к его началу ( обратным ходом ), можно рассчитать двойственные переменные p it для всех валют.

Подставляя (1.10) в (1.4) и (1.6), и зная начальный валютный портфель Vi°, i e I и

экзогенные переменные f, i e I, t = 1,...,T - 1, прямым ходом находятся значения прямых переменных V/ и vji, для всех валют на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени.



§2. Оптимальные обмены основных мировых валют на международном рынке

FOREX в 2001-2003г

2.1. Начальные условия

Используя методику, предложенную в §1, был проведен анализ международного валютного рынка FOREX за период с 3 января 2001г. по 22 апреля 2003г. Выбор именно этого промежутка времени объясняется тем, что с 01.01.2001г. была введена в наличное обращение единая денежная единица европейского союза - евро, и прекратили своё существование многие старые национальные европейские валюты.

Общее количество календарных дней - 840, торговых - 592 дня (из рассмотрения исключались выходные и праздничные дни, когда торги на FOREX не проводятся) плюс последний день, в который ведется подсчет капитала портфеля.

Для расчетов использовались валютные котировки, предоставленные компанией Forexite [4].

Исследования проводились на 5 валютах: долларе США (USD, 1), евро (EUR, 2), британском фунте (GBP, 3), швейцарском франке (CHF, 4) и японской йене (JPY, 5). В качестве базовой валюты был выбран USD (индекс-1).

Предварительно было проверено соблюдение аксиомы цен для каждого торгового дня для всех возможных циклических обменов валюты: прямых, через одну, две, три, четыре валюты. В случае необходимости были проведены коррекции валютных курсов (изменения составили не более 0,0005 для отдельных валют).

Начальный портфель валют был взят следующий:

V10 = USD 1 0,000, V20 = EUR 1 0,5 74, V30 = GBP 6,647, V40 = CHF 1 6,056,

V50 = JPY 1,149,452. Капитал портфеля в пересчете на день t=l равен USD 50,000. Сторонних

поступлений f i на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени нет.

Доходность портфеля рассчитывалась исходя из календарных, а не торговых дней, поскольку проценты по банковским ставкам - основному ориентиру для сравнения -начисляются именно по календарным дням.

Для сравнений значений двойственных переменных для различных валют

используются не абсолютные их значения p\, а относительные p\ / pT . Это необходимо,

поскольку масштабы курсов различных валют могут отличаться на порядки: так, если соотношение между USD и EUR, или между USD и GBP порядка 1:1, то соотношение между USD и JPY порядка 1:100.

Всю совокупность оптимальных обменов по всем валютам будем называть оптимальной траекторией обменов .

2.2. Оптимальные значения двойственных переменных

Сначала по формулам (1.9) решается обратным ходом двойственная задача. (Экономный численный метод решения описан в [1].)

Найденные значения двойственных переменных для шага t=l - то есть те, которые

согласно (1.2) участвуют в расчете капитал в конце, - и отношения p1/ pT, i s I - выше мы

условились сравнивать их, а не непосредственно сами pi , - на оптимальной траектории таковы:

USD :

= 10,0736,

= 10,0736;

EUR :

= 9,5275,

p2/ p2T

= 8, 6977;

GBP :

=15,1563,

= 9,6127;

: p4

= 6, 2739,

p14/ p4T

= 8, 6096;

JPY :

= 0,0879,

p51/ p5T

= 10,5911.



Графики зависимости оптимальных значений двойственных переменных от времени построим, отложив по оси ординат не p1/ pT, i e I, а lg(p*/ pT), i e I:

1JMU T- -1


Рис.1. Графики зависимости lg(pit/piT) от времени

Такое представление потребуется для целей дальнейшего исследования (см. п. и). 2.3. Свойства оптимальных обменов

В результате проведенных расчётов были получены следующие результаты:

а) если дилер будет придерживаться оптимальной стратегии, то капитал портфеля будет равен К = USD 453,999, то есть доходность конверсионных операций на оптимальной траектории равна 395% годовых! Это очень большая доходность для международного финансового рынка.

б) отношения двойственных переменных в начале торговли к значениям в конце торговли

p1 /pT, i e I - суть коэффициенты умножения начальных объемов валют за рассматриваемый

промежуток времени от 03.01.01 по 22.04.03. Их значения известны (см. п.2.2), и значит можно проранжировать валюты по выгодности формирования в них первоначального портфеля: JPY, USD, GBP, EUR, CHF. Выгоднее всего первоначальный портфель формировать в японских йенах; в этом случае умножение первоначального количества йен происходит в 10,5911 раза. Тем не менее, такая стратегия не всегда выгодна; если начало торговли приходится не на 03.01.01, а, например, на 30.03.01, то коэффициент умножения

для йен равенp30.03.01 / p5T = 7,5208, а для долларов США -p3003m /= 7,8428 , то есть

если дилер выходит на рынок 30.03.01, то выгоднее, если первоначальный портфель будет сформирован в USD (см. рис.1).

Кроме того, необходимо отметить, что в евро формировать начальный портфель не выгодно практически никогда. Почти тоже самое верно и для швейцарского франка. Для получения максимальной прибыли формировать портфель в CHF можно только ближе к самому концу рассматриваемого промежутка времени, а именно если начало торговли t=1 осуществляется не ранее 04.03.03.

Остальные валюты в этом разрезе ведут себя по-разному: в зависимости от момента начала торговли когда-то бывает выгодно формировать портфель в долларах США, когда-то - в йенах, значительно реже - в британских фунтах стерлингов GBP.

в) зависимость двойственных переменных от времени на оптимальной траектории обменов обладает свойством магистрали.

Если начинать торговлю не 03.01.03, а позже, то, очевидно, что при решении соответствующей оптимизационной задачи с новыми начальными условиями на промежутке от выбранной начальной даты до 22.04.03 оптимальные значения двойственных переменных



будут совпадать со значениями двойственных переменных для нашего случая, когда начальная дата 7=7=03.01.01. Так происходит потому, что двойственная задача (1.8) решается обратным ходом, от конца рассматриваемого промежутка времени, а поскольку и в том и в другом случае они совпадают, то будут совпадать и значения двойственных переменных на каждом временном шаге.

Если же торговля заканчивается не 21.04.03, а раньше то и в этом случае свойство магистральности будет выполняться. Абсолютного совпадения оптимальных значений двойственных переменных с нашим случаем наблюдаться не будет, поскольку решения двойственных задач начинается в разных временных точках, но расчёты показали, что по прошествии достаточно малого промежутка времени они совпадут

г) на протяжении большей части рассматриваемого промежутка времени финальной оптимальной является какая-либо одна валюта (в нашем случае из 592 торговых дней финальной оптимальной одна валюта была 496 раз, две валюты - 92 раза, три валюты - 3 раза, 4 валюты - 1 раз).

д) соответственно, при отсутствии экзогенных поступлений на всем рассматриваемом промежутке времени, то есть когда f = 0, i е I, t = 1,...,T -1, за достаточно малое число

шагов все валюты портфеля конвертируются в одну валюту (в нашем случае сразу же на 1-м же шаге все валюты конвертируются в USD). После того, как это произошло, можно считать, что оптимальная траектория обменов вышла на магистраль.

е) ниже в таблице представлены данные, сколько раз та или иная валюта является финальной оптимальной для выбранной валюты:

сколько раз i является фин.опт. для i

Табл.1. Финальные оптимальные валюты

Можно расположить валюты в порядке убывания по количеству раз, которые она является финальной оптимальной для других валют (в том числе и для себя): USD, JPY, CHF, EUR, GBP. Доллар США и йена являются наиболее притягивающими для всех остальных валют.

Соответственно, USD и JPY являются и наиболее стабильными валютами: для каждой из них количество раз, когда валюта остается неподвижной, превышает количество обменов в любую другую валюту. При этом эти две валюты являются наиболее притягивающими друг для друга: доллар США переходит в йену 118 раз, а йена в доллар -133 раза, и это максимальные количества переходов для них по сравнению с другими валютами.

Что касается других оптимальных обменов, то их количества примерно равны, и нельзя сказать, насколько та или иная валюта доминирует остальные. Единственным исключением является йена: если другие валюты являются финальными оптимальными примерно по 100 раз, то JPY переходит в EUR, GBP и CHF по 87 раз.

ж) при этом следует отметить, что ситуация, когда валюта остается финальной оптимальной на протяжении нескольких дней подряд, практически уникальна:

>2 дней

4 дня

>4 дней

Табл.2. Количество раз, когда валюта остается финальной оптимальной несколько дней подряд



Больше 4 дней ни одна валюта не остается финальной оптимальной; исключением являются только CHF - 1 раз, 5 дней и JPY - 1 раз, 6 дней и 1 раз, 7 дней. Это означает, что пропуск дилером хотя бы одного торгового дня практически с вероятностью = 1 уводит последовательность валютных обменов с оптимальной траектории. Но потери скорее всего будут невелики, поскольку, как отмечалось в п. в), возврат на оптимальную траекторию происходит достаточно быстро. з) зависимость доходности от торгуемых валют:

Выше были рассмотрены свойства оптимальных обменов для промежутка времени от 03.01.01 по 22.04.03 в случае, если торгуются все 5 рассматриваемых валют. Естественным образом возникает вопрос: как изменится доходность, если торгуемыми являются не 5, а меньшее число валют?

В процессе исследования были решены оптимизационные задачи для всех возможных случаев, когда максимально возможное число торгуемых валют - пять; то есть для всех комбинаций из 2, 3 и 4-х валют. Для каждой задачи рассчитана доходность. Полученные результаты представлены в таблице ниже (знаком + отмечены те валюты, которые торгуются):

Доходность

Доходность

395%

161%

256%

136%

302%

189%

312%

139%

328%

242%

150%

193%

193%

210%

228%

148%

246%

120%

Табл. 3. Доходность

в зависимости от торгуемых

валют

Из таблицы видно, что максимальная доходность - 395% годовых - достигается в том случае, когда торгуются все пять валют. Самое малое уменьшение доходности - на 67% годовых - наблюдается в случае исключения из числа торгуемых валют EUR. Данный факт полностью согласуется с общей теорией оптимизационных задач: исключение одной или нескольких валют сужает множество допустимых решений задачи, и соответственно, значение оптимизационного критерия увеличиться никак не может. Наоборот, если ввести в число торгуемых дополнительные валюты, то область допустимых решений расширяется, и оптимальное значение критерия может быть увеличено за счёт того, что решение задачи может отказаться как раз таки в увеличении области допустимых решений.

Используя полученные результаты, валюты можно проранжировать в порядке убывания их влияния на доходность портфеля следующим образом: USD, JPY, CHF, GBP, EUR. Похожие соотношения - когда наиболее значимыми для оптимальных конверсионных операций являются доллар США и японская йена - были представлены в п. б) и е).

Если вести игру только на двух валютах, то валютные пары по убыванию их доходности располагаются следующим образом: (USD,CHF), (USD,EUR), (GBP,CHF),

(CHF,JPY), (EUR,GBP), (USD,GBP), (EUR,JPY), (USD,JPY), (GBP,JPY), (EUR,CHF).

Валютная игра в этом случае упрощается, но при этом резко падает доходность проводимых конверсионных операций.



и) зависимость двойственных переменных от времени:

Во-первых, зависимости оптимальных значений двойственных переменных p * от

времени t является монотонно-убывающими функциями (см. рис. 1). Это свойство следует непосредственно из (1.9). Но эти функции - не строго убывающие, поскольку, не смотря на всю редкость ситуации, что подчеркивалось в п. ж), есть такие отрезки времени, когда валюты неподвижны, и, соответственно, двойственная переменная на предыдущем шаге равна двойственной переменной на последующем шаге.

Второе, и самое главное, свойство заключается в экспоненциальном характере их зависимости от времени., или, что тоже самое, прямолинейным характером зависимости lg ( p J pT ) = g . (t) от времени t, что и отражается на рис.1. Это свойство выполняется

для всех рассматриваемых валют.

Обнаруженное свойство: линейный характер зависимости логарифма отношения двойственной переменной на оптимальной траектории обменов к значению двойственной переменной в конце рассматриваемого периода времени для любой валюты - есть фундаментальное свойство оптимальных конверсии валют на международном рынке FOREX.

Данный факт тесно связан с первым свойством, сформулированным чуть выше. Действительно, согласно решению (1.10) задачи (1.9), оптимальные значения двойственных переменных на данном шаге t зависят соответствующим образом от перемноженных значений обменных курсов на этом шаге t и на последующих шагах t+1,...,T. Если вернуться к решению двойственной задачи алгоритмом обратного хода , то свойство монотонной убываемости зависимости оптимальных значений двойственных переменных по времени можно сформулировать следующим образом: при переходе от шага t+1 к шагу t оптимальное значение двойственной переменной может либо не измениться, либо увеличиться. Выше было показано, что валюты практически никогда не остаются неподвижными на протяжении значительного промежутка времени; этот факт является следствием того, что валютные

курсы подвержены частым колебаниям. То есть на графике gi (t) практически нет

горизонтальных отрезков.

Сама же линейность функции g i (t) определяется характером изменений валютных

курсов. Международный валютный рынок FOREX устроен так, что зависимость

lg (Pi/pT ) от времени t для оптимальных значений двойственных переменных p \

почти линейна. Вообще говоря, если решать оптимизационную задачу, подобную (1.3), с

какой-то произвольной матрицей коэффициентов с*н i,i е I, t = 1,...,T , то подобного

результата могло бы и не получиться. Он не вытекает непосредственно ни из постановки, ни из решения задачи, а определяется именно величинами валютных куров.

Слово же оптимальный выделено курсивом и подчеркнуто потому, что данное свойство выполняется не для каких-то произвольных, а только для оптимальных конверсий.

Данное свойство является ключевым для исследований, и будет использовано в дальнейшем (§ 3).

к) зависимость доходности конверсионных операций от длины временного интервала:

Выше мы исследовали свойства оптимальных конверсий валюты на промежутке времени от 03.01.01 по 22.04.03. Доходность проведения валютообменных операций на данном промежутке времени составила 395% годовых. Влияние на доходность исключения из числа торгуемых одной или нескольких валют (или, наоборот, добавление) было описано в п. з). Теперь ответим на вопрос: как влияет на доходность проводимых операций длина выбираемого промежутка времени? Будет ли она оставаться постоянной, будет ли увеличиваться, или уменьшаться?



Сформулируем задачу следующим образом. Закрепим правый конец рассматриваемого промежутка времени T=22.04.03, и будем двигать его левый конец в пределах t е [03.01.01;22.04.03], и смотреть, как изменится доходность r(t) .

Текущий шаг t будем считать первым шагом, когда производятся конверсионные операции. Для упрощения предположим, что в начальном портфеле находится только лишь

одна, базовая, валюта, и ее количество - V (здесь и далее для данного исследования нижний индекс обозначения валюты опущен). Ранее было обнаружено свойство линейности

логарифма отношения оптимальной двойственной переменной p t в данный момент времени

т

t к двойственной переменной в конце периода p . Данное утверждение формализуется следующим образом:

lg (P7PT )= At + B (2.1)

Коэффициенты А и В для рассматриваемой задачи находятся как и для стандартной задачи линейной аппроксимации - методом наименьших квадратов, - с той лишь разницей, что для привязки значений двойственных переменных к моменту подсчета капитала финального портфеля, необходимо закрепить правый конец прямой. Поскольку у нас

yn = lg (pT IpT ) = 0, xn = T, формулы для расчета А и В получаются следующие:

i : lg (p\/pT ) = At + B ;

валю та

T - 1 T - 1

I tp] - T £ p]

T - 1 T - 1

(2.2)

t2 - 2 T £ t + (T - 1) T

t = 1 t = 1

B = - AT . Из (2.1) следует, что

p] = pTeBeAt = CeAt (2.3),

где C - постоянная, не зависящая от t.

То есть, зависимость самих оптимальных двойственных переменных от времени -экспоненциальна.

Доходность проведения валютообменных операций за период от t до T равна

= К(T) - К(t) * 1 =6 К(Т) Л * 1 (24)

К(t) T - t + 1 6 К(t) ) a(T - t + 1)

где K(t) и K(T) - капитал портфеля на начальном и конечном шагах времени, а а -нормировочный коэффициент, который необходим, поскольку расчёт капитала производится относительно календарных, а не торговый дней (его можно считать постоянным, так как приближенно на каждые пять торговых дней приходятся семь календарных). Поскольку по

условию в начальном портфеле присутствует только базовая валюта в количестве V0 , то К(t) = V0 . Конечный капитал портфеля, согласно (1.2), равен К (T ) = plV 0 . Подставим данные формулы с учетом зависимости двойственных переменных от времени (2.3) в формулу для расчета доходности (2.4); получим:

r (t) =(CeAt - 1 )* -1--1 - (2.5)

Наша задача - понять зависимость доходности от длины промежутка времени, а не предлагать каких-то точных формул, поэтому будем пользоваться пропорциональными зависимостями. Рассчитаем производную dr / dt :



dr -AeAtt - eAt eAt(At + 1)

(2.6)

dt t2 tt

Из формулы (2.6) следует, что dr / dt равна нулю в точке

t ~ - 1/A (напомним, что оптимальные двойственные переменные убывают по времени, поэтому А<0). То есть существует некая точка, от t до которой доходность портфеля падает, а затем, до T, растёт. Эта точка должна лежать ближе к Т, поскольку ближе к точке начала торговли становится более существенным влияние экспоненциальной зависимости оптимальных двойственных переменных от времени, а ближе к концу торговли - обратная пропорциональной доходности по времени: знаменатель дроби в (2.5) становится всё меньше, и поэтому доходность растёт.

§3. Алгоритм построения валютных обменов с помощью аппроксимации зависимости двойственных переменных оптимальной задачи от времени

и

(2.2), аппроксимируем линейной функцией зависимость

Используя (2.1) lg (pJpT ) от времени.

Характер поведения оптимальных значений двойственных переменных для каждой валюты i определяется соответствующим значением коэффициента наклона прямой Ai, i е I . Свободный член Bi, i е I зависит от соответствующего Ai ; он также определяется концом рассматриваемого периода T: если Т сдвигается, то B i изменится пропорционально, и коэффициентом пропорции будет A t . Таким образом, для

аппроксимации оптимальных значений двойственных переменных для выбранной валюты i на заданном промежутке времени будет определяться только лишь значением A i .

Для рассматриваемого нами случая получаются следующие параметры аппроксимирующих функций:

USD (1)

-0,00106

0,03799

EUR (2)

-0,00127

0,04577

GBP (3)

-0,00111

0,03987

CHF (4)

-0,00128

0,04605

JPY (5)

-0,00133

0,04787

Табл. 4. Коэффициенты А и В для различных валют

Что же дает знание аппроксимаций оптимальных значений двойственных переменных? Для того, чтоб ответить на данный вопрос, необходимо вернуться к решению оптимизационной задачи.

Задача организации оптимальных валютных обменов (1.3) и двойственная ей задача (1.8), описанные в §1, решались из предположения, что обменные курсы c i,i е I априорно заданы на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени t = 1,...,T -1.

Зная же полученные аппроксимации, из (2.1) и (2.2) можно найти приближенные оптимальные значения двойственных переменных на любом шаге t е [1, T ] по формуле:

~p\ = p(T)e ATeAt (3.1)

где черта над p \ означает, что значение - не точное, а аппроксимированное. То есть для этого нет необходимости знать все валютные курсы на всем рассматриваемом



промежутке времени и проводить долгую и громоздкую процедуру расчета pi

обратным ходом, да еще и методом итераций на каждом шаге t!

Перейдем ко второму шагу - решению прямой задачи, но вместо точных оптимальных значений двойственных переменных p] будем использовать приближенные

Введем нормировочные множители q i , которые для каждой валюты i постоянны на рассматриваемом промежутке времени. Умножим на них p] , и подставим в (1.4):

4=-pq + <v far (3.2)

Полученные (р'и>, i е I будем использовать вместо (р1н i е I для принятия решения о конверсии валюты i в валюту V. Если для данной валюты i все (р*и i е I отрицательны, то валюта остается в самой себе. Если какие-то из них положительны, то валюта i конвертируется в валюту

j = arg max {р'и i е I} (3.3)

Проделав эту процедуру для каждой валюты на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени от t=1 до t=T, построим траекторию валютных обменов. Очевидно, что данные обмены не будут оптимальными, но поскольку они получены, используя данные аппроксимации двойственных переменных, имеет смысл сравнить их с оптимальными.

Для этого, зная полученные валютные обмены (не оптимальные), для расчета

капитала валютного портфеля восстановим значения (p1) : это делается обратным ходом,

V app

аналогично нахождению оптимальных значений двойственных переменных, за тем лишь исключением, что в данном случае нет максимизации по всем возможным путям обмена, а

есть только один, уже известный путь, для которого и считается p it . Оно может получиться оптимальным, но оно может и не быть таковым.

Найдя (p1) и зная начальный портфель Vi0, i е I, находим капитал портфеля для данных валютных обменов (не оптимальных!) на последнем шаге Т:

Kapp = £ ( pi lppVi (3.4)

i = 1

Полученное значение капитала сравнивается с оптимальным.

Приведём численный пример. Поскольку ранее было установлено, что доходность проведения оптимальных конверсионных операций существенно зависит от времени, то для целей нашего исследования был выбран относительно недолгий промежуток времени: с 08.01.02 по 26.02.02. Начальный портфель был взят такой же, как и в §2.

При данных условиях оптимальные значения двойственных переменных (то есть для задачи (1.3)) для шага t=1 равны: p = 1,0841, p2 = 0,9655, = 1,5632, p4 = 0,6547, p1 = 0,0082.

Это значит, что имеющиеся в первоначальном портфеле USD (1) при переходе в финальную оптимальную валюту увеличатся в 1,0841 раза, EUR (2) - в 1,1119 раз, GBP (3) - в 1,0965 раза, CHF (4) - в 1,1119 раз и JPY (5) - в 1,1025 раз (в пересчете на единицы соответствующей первоначальной валюты). Для выбранного начального портфеля доходность конверсионных операций составляет 62% годовых.

В случае приближения без взвешивания, то есть когда для всех валют qi = 1, i е I,

значения (p1)app и (p)apJpT, i е I равны:





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.