Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Взаимодействие частиц на

Взаимодействие частиц на анизотропной поверхности Si(001)

Гайдуков Г.Н. (gaid@gf.miee.ru), Ланцова О.Ю., Подрезов А.А.

Московский Государственный Институт Электронной Техники (Технический Университет)

Введение

Экспериментальные данные по упорядоченному расположению структур пониженной размерности (так называемых квантовых точек и нитей) на подложках [1,2,3] позволяют говорить о комплексном взаимодействии в системе подложка - поверхностная структура. Одной из сторон этого взаимодействия является упругое взаимодействие между частицами, являющимися элементами структуры (в том числе и дефектами структуры) из-за перекрытия упругих полей, наведенных ими в подложке. Силовые характеристики такого взаимодействия в рамках простой одномерной модели получены в работе Ступа и Ван дер Мерве [4], где было показано, что силы взаимодействия частиц носят характер отталкивания. Такой же характер сил взаимодействия получается в рамках континуальной изотропной теории упругости.

Представление о силах упругого взаимодействия частиц, как силах отталкивания, широко используется даже в случаях, когда материал подложки обладает значительной степенью анизотропии [5]. Однако, когда вклад упругого взаимодействия частиц в общую энергию достаточно велик, изотропное приближение является некорректным и может привести к ошибкам, поскольку анизотропия материала подложки приводит к ориентационной зависимости упругих полей поверхностных частиц, и, следовательно, энергии взаимодействия, т. е. к существованию преимущественных направлений взаимного их расположения.

Другим случаем, когда изотропное приближение является некорректным, является взаимодействие частиц на реконструированной поверхности [6]. Как известно, в этом случае поверхность Si(100) претерпевает поверхностный структурный переход 1><1 - 21 и свойства поверхности становятся существенно анизотропными. Одним из экспериментальных наблюдений этих анизотропных взаимодействий является упорядочение димерных вакансий.


Рис. 1. а) STM изображение поверхности Si(001), покрытой пленкой Ge, б) схема расположения димерных вакансий

Слева на рис.1 представлено STM изображение поверхности Si(001), покрытой пленкой Ge, толщиной 1,5ML. Темные линии представляют собой линии димерных



вакансий, которые перпендикулярны димерным рядам. В результате образуется новый элемент периодичности, который представляет собой реконструкцию поверхности 2xn. Справа показана схема расположения димерных вакансий в вакансионные линии.

Анализ упорядочения димерных вакансий на начальных стадиях псевдоморфного роста Ge на Si(100), представленного на рис. 1 со всей очевидностью свидетельствует о дальнодействующем взаимодействии димерных вакансий, которое проявляет как отталкивание, так и притяжение частиц. Таким образом, анизотропия упругого дальнодействующего взаимодействия является ключевым фактором в начальной стадии формирования структур пониженной размерности при псевдоморфном росте.

Современное состояние континуальной теории упругости позволяет решить задачу об упругом взаимодействии частиц на поверхности с учетом как анизотропии материала подложки, так и анизотропных свойств поверхности. При этом упругие поля частицы в плоскости границы конструируются из двумерных упругих полей прямолинейной дислокации в объеме кристалла, а эти поля сравнительно легко получить даже в самом общем случае с помощью численных методов на ЭВМ, причем учет симметрии задачи значительно упрощает соответствующие выражения. Хотя необходимые начальные данные для решения такой задачи содержатся в статье Барнетта и Лоте 1974 года [7], обнаружить работы по анизотропному взаимодействию на поверхности не удалось. Однако имеются публикации, подтверждающие необходимость именно анизотропного подхода к упругому взаимодействию частиц на поверхности. Это, например, работы по анизотропному взаимодействию точечных дефектов в объеме кристалла ([8] и другие). Изучение влияния поверхности на упругое взаимодействие частиц обычно проводилось в изотропном приближении, но уже использование приближения слабой анизотропии выявило радикальные отличия характеристик взаимодействия в изотропной и анизотропной средах.

В первой части данной работы рассматривается влияние анизотропии объемных свойств подложки на взаимодействие частиц на ее поверхности и показано, что в отличии от изотропного случая при достаточно большом коэффициенте анизотропии возможно не только отталкивание, но и притяжение частиц. Анизотропия свойств поверхности, порождаемая поверхностной реконструкцией, рассматривается во второй части работы, где показано, что как и в случае объемной анизотропии существуют значения поверхностных натяжений реконструированной поверхности, при которых возникает взаимодействия притяжения частиц. В третьей части работы исследуется влияние двух упомянутых выше вкладов анизотропного взаимодействия на протекание процесса формирования микроструктуры при субмонослойном росте.

1.Анизотропная среда

Поверхностная функция Грина Gkm(x), т.е. смещение в хк направлении в точке плоской поверхности, описываемой радиус-вектором x, порождаемое единичной точечной силы, приложенной в начале координат в направлении xm, записывается в следующем

виде [9]:

ж

J sin(0 - 0 0)

где v.p. означает главное значение несобственного интеграла ; 0 - полярный угол в плоскости поверхности, отсчитываемый от некоторого направления, 00 - угол 0 для радиус-вектора x, Fkm1=Bk/1Smj-. Матрицы B (обратная к B 1) и S

By =-(4Ж)-1 £± LiaL



S, = i

Z+ AT - ja

выражаются через матрицы Aka , Lka , определенные дислокации в объеме анизотропного кристалла [7]:

задаче о прямолинейной

Cijkm(mi + Pani )(mm + Pabn ) Aka = 0

Cijkm(mi + Pani )(mm + Panm ) = 0, Lka = -niCijkm(mm + RJbn )Aka,

причем единичные вектора правой тройки (m,n,t) направлены следующим образом : n-внутренняя нормаль к границе тела, m и t лежат в плоскости границы и направление t соответствует углу 0. Шесть корней уравнения (2) организованы в пары комплексно-сопряженных чисел и нумеруются так, что при a=1,2,3 они имели положительную мнимую часть. Знаки плюс и минус в выражениях для Bij и Sij ставятся тогда, когда мнимая частьpa , соответственно, положительна или отрицательна.


Рис.2 Расчетная система координат

Для исследуемой <100> поверхности в качестве расчетной выбрана кристаллографическая система координат, и угол 0 отсчитывается от оси x2 (Рис.2). Тогда (2) редуцирует до бикубического уравнения. Анализ показывает, что для кристаллов с отношением анизотропии A, A=2c 44/(c 11-c 12), где c 11, c 12 и c 44 - справочные упругие константы, большим единицы (такими величинами А характеризуются, например, все кубические кристаллы с ГЦК решетками), это кубическое относительно pa уравнение имеет один действительный и два мнимых комплексно-сопряженных корня. Ограничиваясь случаем таких корней, после преобразований вместо (1) получаем

где

= п

-112 пВ22 nB23 1

-113 пВ23 пВ

sin(0 - 0 0)

Используя для описания частицы обычное представление в виде суперпозиции ортогональных пар сил с нулевым моментом т(упругий диполь) [10], для поля смещений частицы, расположенной в начале координат, получаем выражение

в



Uk = -M

4 dx2 dx3 J

При выводе (6) предполагалось, что дефект описывается тензором дипольного момента вида

(плоский упругий диполь). Подставляя (3) в (6), получаем смещения в точке с координатами 00 и \x\:

0 0

0 M

0 >

8n\x M

0 7 4 v>-0

Для определения компонент D12 и D13 необходимо раскрыть значение интеграла (5)

sin 00 -

cos 0 0

4- 0

Функция Fkm

Следовательно,

sin(0 -0 0)

d0 +

sin(0 - 0 0)

периодическая

Fkm (0 )

периодом 2ж, кроме того, Fkm(0+n)=-Fkm(0).

sin(0 - 0 0)

факт, после несложных преобразований получаем, что

периодическая функция с периодом ж. Используя этот

Fkm(00 + ф) - (00 -<Р)

sinф

(10)

Подынтегральная функция в (10) непрерывна в полуоткрытом интервале (0,ж/2]. В точке ф=0 пределы справа и слева от подынтегральной функции равны и составляют ckm=2Fkm (00). Доопределяя эту функцию в ф=0 величиной ckm сделаем ее непрерывной в интервале [0,ж/2] и вместо (5) получаем собственный интеграл, который можно рассчитать с использованием численных методов.

Энергия взаимодействия второй частицы на поверхности с первой, записывается как E=-MjEjj, где Ej - тензор деформации первого частицы в точке расположения второй

частицы, EL = -

ч 2

-1- + -L dx L dx j

Описывая обе частицы тензором дипольного момента

(7) и подставляя (8) в это выражение, получаем

8ж2 x3

d2 D

- 3D

sin 00 -

33 - 3D

4 d0 0 j

cos 0 0 +

dD22 dD

d00 d00 7

d020

sin200

(11)

- 4 -f cos200 + 2( + D33) d00

с

Е



Результаты расчетов для нескольких материалов подложки с различными отношениями анизотропии приведены на Рис. 3-Рис.5. На рисунках показаны по существу лишь ориентационные зависимости исследуемых величин. U1 представлено на Рис.3. U2 и U3, нормированные на Ur - на рисунке 4, величина E/Eisotropic - на рисунке 5. В соответствии с (12), (14) изотропные эквиваленты соответствующих величин на этих рисунках имеют вид: косинусоиды и синусоиды на рисунке 4 и прямых линий Д00)=0 и Д00)=1 на рисунке 3 и рисунке 5 соответственно. В соответствии с(12), (14) изотропные эквиваленты соответствующих величин на этих рисунках имеют вид: косинусоиды и синусоиды на рисунке 4 и прямых линий Д00)=0 и Д00)=1

При дальнейшем увеличении анизотропии вокруг направлений <100> возникают области углов А00, в которых знак силы взаимодействия меняется. А00 с увеличением А сначала быстро растет, а затем при А 4...5 выходит на насыщение. Б/Бизотроп. в точках 00, равных 0 и п/4, и А00/2 как функции отношения анизотропии показаны на рисунках 5 и 6.

2. Анизотропия поверхности, обусловленная ее реконструкцией

Изотропные эквиваленты выражений (1) приводятся в [11]. Повторяя преобразования из предыдущего раздела, для смещений Ui и энергии взаимодействия EisotroPic получим следующие выражения :

0, (12)

Eisotropic

4п(1 - v)

(13)

где ш и v - соответственно модуль сдвига и коэффициент Пуассона. Из этих выражений следует, что все точки поверхности испытывают только радиальное смещение Ur :

\П 4п(1 - v)

а сила взаимодействия двух частиц

3M2(1 - v) J 2п/и r

(14)

(15)

Таким образом, в изотропном приближении взаимодействие двух одинаковых частиц всегда носит характер отталкивания.

Для анизотропной реконструированной поверхности Si(100) типа 2>1 тензор дипольного момента Mij имеет вид

г0 0 0

0 M

0 M

(16)

При этом выражение (12) для компонент вектора смещения представится примет

вид

4прш 2 = M

3x 2

+ 3(1 - 2v)

4njLiu 3 = 2vM

+ 2vM

3x 2 x3

+ 3(1 2v )

x -3



а выражение (13) для энергии взаимодействия представится в виде:

4nju\x\ E

anisotropic

1 -12 cos2 0 + 15cos4 0 + 3(1 - 2v)(6 cos2 0 - 5 cos4 0 -1)] +

+ 2vM 22 M 33

(18)

[30sin2 0 cos2 0- 4J

1 - 12sin2 0 + 15sin4 0 + 3(1 - 2v)(6sin2 0- 5sin4 0-1)]

Из приведенных формул следует, что в случае изотропных силовых диполей М22=М33=М выражения (16), (17) переходят в выражения (12), (13). Для существенно анизотропных диполей М22=-М33=М выражение для энергии приобретает вид:

4njjx Eanisotropic.

(19)

[2 - 30sin220 + 14vJ Из выражения (19) видно, что как и в случае объемной анизотропии для анизотропной поверхностной реконструкции существуют направления, для которых энергия упругого взаимодействия соответствует притяжению. На рисунке 8 представлены зависимости E/EU30mpon при различных значениях параметра В=М22/М33.

3. Результаты

Для выявления роли анизотропии взаимодействия в поведении системы частиц на поверхности подложки (кристалла) было проведено компьютерное моделирования процесса роста структуры упруго взаимодействующих частиц методом Монте - Карло [12]. Эволюция формирующейся структуры поверхности для двух рассмотренных случаев анизотропии объема и поверхности по мере увеличения покрытия С поверхности представлены на рисунках 9 а), б), а на рисунке 9 в) представлен рост при совместном влиянии этих факторов.

Проведенный анализ позволяет заключить, что:

учет анизотропии материала подложки и свойств поверхности приводит к ориентационной зависимости энергии взаимодействия частиц на поверхности;

силы упругого взаимодействия двух частиц (например, двух островков на расстояниях, много больших их характерного размера) на поверхности кристаллов с отношениями 1<Л<2 в соответствии с (18) носят характер сил отталкивания, причем энергетически наиболее выгодным является взаимное расположение частиц вдоль направлений <100>;

влияние факторов анизотропии как поверхности, так и объема стимулирует рост нитевидных структур, ориентированных для Si(001) вдоль <110> для анизотропии поверхности и <100> объема;

1. совместное влияние этих факторов, как видно из рисунка 9 в), приводит к формированию компактных островков.



и8п2 x2

Н

10 5

A=2.00

........ \

.. A=1.57

A=1.21

0 0.5 1 1.5

Рис. 3 U1 как функция полярного угла в плоскости поверхности

Ui/Ur

0.8 0.6 0.4 0.2

©о, рад.

/***

Л- (.

К ♦ N * Г4 ч

* 1

г* 1

* * m

S * \

4~ 5

♦ ♦

i = 3

о

©о, рад.

Рис. 4 U2, U3 как функции полярного угла в плоскости поверхности.1-А=4.14, 2-A-2.19, 3-A-1.57, 4-A-1.10, 5-изотропный кристалл(4=1.0).



Е/Еизотр.

А=4.14

<?........,4=2.19

4=1.57

у'у .---4=1.10

~~~ -4=1.00

. . *у /

:----1 ✓

.........- +

-2 .

1 1

0 0.2 0.4 0.6 И0, рад.

Рис. 5 Энергия взаимодействия двух одинаковых точечных частиц Е в зависимости от полярного угла в плоскости поверхности для различных значений отношения анизотропии А.

E/Eisotropic

0 -1 -2

0 1 2 3 4 5 6 a

Рис. 6 Энергия взаимодействия двух одинаковых точечных частиц Е в зависимости от отношения анизотропии А

14 12 10 8 6

1 2 3 4 5 6 a

Рис. 7 Угол Д00 зависимости от отношения анизотропии А





10 5

-5 -10

I F/F

£=-2.00 5=2.00

£=-1.00

.....

i . . * * £=1.00

£=0.00

0 0.2

0.6 Иь рад

Рис. 8. Энергия взаимодействия двух анизотропных диполей Е в зависимости от полярного угла в плоскости поверхности для различных значения отношения дипольных моментов В.

C=0.1

C=0.2

C=0.3

C=0.4

C=0.5

ij i





iLjr*

л

А=2, В=0 б)

А=2, В=2 в)

А=0, В=2 а)

Рис. 9 Моделирование роста субмонослойных микроструктур на Si(001) с учетом влияния анизотропии поверхности 9 а), объема 9 б) и совместного влияния 9 в)



Литература

1. D.Leonard, K.Pond, P.M.Petroff Critical layer thickness for self-assembled InAs islands on GaAs Phys. Rev. B 50, 11687(1994).

2. D.Bimberg, G.E.Cirlin, A.O.Golubok, M.Grundman, G.M.Guryanov, P.S.Kopev, N.N.Ledentsov, S.Ya.Tipissev Ordering phenomena in InAs strained layer morphological

transformation on GaAs (100) surface Appl. Phys. Lett. 67(1), 97(1995).

3. J.M.Moison, F.Houzay, F.Barthe, L.Leprince, E.Andre, O.Vatel Self-organized growth of regular nanometer-scale InAs dots on GaAs Appl. Phys. Lett. 64(2), 196-198(1994)

4 J.H.van der Merve, L.C.Stoop Elastic interaction between small epitaxial islands Crystal Growth 24/25, 289(1974).

5. W.B.Joyce, R.B.Marcus Electrostatic forces between small charged islands in the early stages of thin film growth II. Interaction during growth Thin Solid Films 10, 1(1972).

6. J.Tercoff. Missing dimers and strain relief in Ge films on Si(100) PRB, v.85, №11, pp.8833

7. D.M.Barnett, J.Lothe An image force theorem for dislocations in anisotropic bicrystals J. Phys. F 4(10), 1618(1974).

8. A.P.Filippov, G.N.Gaidukov Formation of impurity segregation in the field of elastic stresses near dislocations Phil. Mag. A 67(1), 109(1993).

9. D.M.Barnett, J.Lothe Line force leading on anisotropic half-spaces and wedges Phys. Norvegica 8(1), 13(1975).

10. Дж. Хирт, И.Лоте Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972, 600с.

11. В.Новацкий Теория упругости. М.: Мир, 1975

12. Г.Н.Гайдуков, Е.А.Кожевников, Ю.В.Копаев, Препринт №58, ФИАН, М., 1996, 27 с.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.