Кривая распределения скачков по их амплитуде в случае сетки с крестообразными островками имеет другой характер: на кривой наблюдается кроссовер, когда показатель степени изменяется от -1.2 до -3.5 с увеличением амплитуды скачков. Некоторые авторы, начиная с работы [11], отмечали такой кроссовер на других объектах или даже получали экспоненциальную зависимость [26].

1 Ю

Амплитуда {качкое, отн.ед

Рис.7. Распределение скачков магнитного момента (лавин потока) по амплитудам.

На рис.8 приведен Фурье-спектр лавин, в который были разложены кривые намагничивания при развертке магнитного поля с постоянной скоростью, с возникающими скачками-лавинами на них. Из рис.8 видно, спектр ведет себя как что предсказывалось в работе [32].

-I-1-1-1-1-I-I-t щ -г-г-г---г-Щ Щ

Frequency. Hz

Рис.8. Фурье-спектр фрагментов кривой намагничивания, на которых возникают лавины

Наши работы пока остаются единственными, где исследовалось поведение магнитного момента при непрерывном намагничивании регулярных J-сеток, и в них наблюдалась СОК. Следует отметить, что это явление было также обнаружено недавно в поликристаллических ниобиевых пленках [35] и практически одновременно с нами в [26]. По утверждению авторов [35] у них наблюдалась степенная зависимость распределения при изменении амплитуд от 1 до 100, хотя проведенная по точкам зависимость в двойном логарифмическом масштабе является скорее выпуклой кривой, нежели прямой. Авторы работы [26] утверждают, что они наблюдали экспоненциальную зависимость функции распределения амплитуд, в связи с чем они сомневаются в существовании самоорганизованной критичности в данной структуре. На самом деле многие расчетные модели дают подобное распределение, которое выглядит в двойном логарифмическом масштабе выпуклой кривой с завалом при больших амплитудах, например, [36].

После наших экспериментов Н. Е. Савицкая и С. Л. Гинзбург расчетами подтвердили, что лавины в сетках можно наблюдать и при намагничивании J-сетки, а не только при добавлениях импульсов тока в отдельные случайные узлы, как предполагалось в [32]. Причина возможности появления лавин при намагничивании, по их мнению лежит в слабой нерегулярности параметра а, которая находится в пределах технологического разброса при изготовлении J-сетки [36].

Магнитные свойства SNS -сеток

C. Магнитный момент SNS-сетки при намагничивании

На рис.9 и 10 для ряда температур приведено семейство кривых намагничивания [37], где также в значительной мере скомпенсирован пропорциональный внешнему полю большой вклад от сверхпроводящих пленок (джозефсоновских берегов) исследуемой структуры, который при температуре 7 К в поле 300 мЭ более чем на порядок превышает сигнал от собственно джозефсоновской сетки.

На кривых M(H) в области сверхпроводящего состояния сетки (ниже 8K), отчетливо видны регулярные пики с независящим от температуры периодом по внешнему магнитному полю, приблизительно равным 59 мЭ, также как для SIS-сеток. Точно в серединах между большими пиками отчетливо видны маленькие пики, что также соответствует вполне устойчивому распределению добавленных квантов потока в J-сетке в шахматном порядке [29, 30]. При температурах от 6 до 7.1 К в интервале полей ±60 мЭ можно также вполне отчетливо увидеть особенности, соответствующие изменению потока на треть кванта на ячейку, что также согласуется с результатами [29, 30]. В той части, где наблюдаются периодические пики, их форма прекрасно согласуется с расчетами [3] для случая k>>1.

Наиболее интересным явлением, которое можно ясно видеть на рис.9, является асимметрия магнитной динамики. Острые регулярные пики на петлях гистерезиса наблюдаются лишь при увеличении абсолютного значения поля, в то же время при его уменьшении они практически не выражены и появляются снова лишь после прохождении поля через нуль.

Измерению кривых гистерезиса предшествовало охлаждение J-сетки ниже сверхпроводящего перехода ниобия в малом поле не более 1 мЭ, что гарантировало отсутствие замороженных абрико-совских вихрей в ниобиевых пленках. Для сравнения на рис.6 приведена гистерезисная петля, когда абрикосовские вихри были заморожены при охлаждении J-сетки в поле около 180 мЭ. Видно, что кривая гистерезиса в этом случае не имеет асимметрии, а резкие пики выродились в плавные периодические максимумы кривой (нижняя кривая T=7.1K).

Рис.9. Семейство кривых намагничивания сетки с SNS-контактами при k>0.

На кривых M(H) ниже 5.7K высота пиков по отношению к полуширине петли гистерезиса уменьшается, а сами пики уширяются и сглаживаются. Высота пиков уменьшается даже в абсолютном выражении. Асимметрия наблюдается также и в данной области.

Рис.10. Семейство кривых намагничивания сетки с SNS-контактами при

D. Обсуждение результатов по SNS-сеткам

Одной из целей исследования J-сеток с SNS-переходами было наблюдение проявлений самоорганизованной критичности, какое мы наблюдали в J-сетках с SIS-переходами. Мы рассчитывали, что легко достижимые высокие значения критических токов в SNS-сетках позволят нам провести более разносторонние исследования СОК.

Однако, несмотря на то, что в исследуемой SNS-сетке критический параметр при низкой температуре много меньше единицы (k<<1), что заведомо удовлетворяет необходимому условию СОК [31], мы не наблюдали лавин флуксонов, которые должны были проявляться в виде спонтанных скачкообразных изменений магнитного момента как в SIS-сетках. Их отсутствие в сетке можно объяснить значительной диссипацией при прохождении вихрей сквозь нормальный металл джозефсоновских переходов, из-за малости параметра Маккамбера В=]2тсгс2С/ф, для квадратной сетки y=0.2, ic -критический ток через контакт, rc - шунтирующее сопротивление, С - емкость контакта, - в результате чего флуксоны, двигаясь против градиента магнитного поля, по-видимому, не набирают кинетической энергии, необходимой для развития лавин .

Поскольку пики на кривой намагничивания являются отражением упорядоченного заполнения J-сеток магнитным потоком, их отсутствие на убывающей ветви указывает, очевидно, на неупорядоченность в распределении потока в джозефсоновской структуре в процессе уменьшения поля. Таким образом, вхождение флуксонов в сетку сопровождается образованием упорядоченных структур в их распределении, в то время как выход из нее происходит довольно беспорядочно и нерегулярно. Любопытно, что асимметрия намагничивания наблюдается и в J-сеток с SIS - контактами см. рис.3, однако выражена весьма слабо. В первоначально изучавшейся сетке с восьмиугольной конфигурацией асимметрия была еще менее выражена, поэтому мы в своем первом сообщении не обратили внимания на эту особенность. Таким образом, асимметрию можно признать общим свойством коллективного движения джозефсоновских вихрей в J-сеток, как-то связанным с общей геометрией системы, и не зависящим от типа контактов.

Мы выдвинули предположение о том, что причиной наблюдаемого различного поведения при входе и выходе магнитного потока является непостоянство асимметрии профиля потенциала пиннинга вдоль границы, например, вблизи углов этот профиль

-300 -200 -100 б ПШ 200 ЗГЙУ Н, гпОе

к<1.

имеет несколько другую форму, чем в серединах сторон сетки. Это может приводить к тому, что вход и выход вихрей в такую структуру может происходить преимущественно через различные участки границы, и соответственно при этом характер распределения вихрей в исследуемой структуре также окажется различным. Вполне возможно, что в одном случае конфигурация потока будет существенно более упорядоченной, в сравнении с другим случаем, что и приведет к наблюдаемой асимметрии в характере движения вихрей в джозефсоновской сетке. Для проверки данной гипотезы были сравнены кривые намагничивания квадратной джозефсоновской сетки, и сетки в форме почти правильного восьмиугольника, полученной из исходной путем механического удаления углов. Амплитуда сигнала от СДП без углов оказалась меньше примерно на 20%, в то время как ее площадь сократилась примерно на 15%. Это связано с тем, что основной вклад в момент сетки дают критические токи, циркулирующие по внешним контурам вблизи границ ввиду их большей площади, и именно эти контуры пострадали в результате удаления углов сетки. Однако принципиальных отличий в петлях гистерезиса C/Jll квадратной формы и в виде восьмиугольника не наблюдалось. На основании проведенного сравнения этих различных сеток можно утверждать, что особенности поведения магнитного потока в сетке не связаны с наличием углов.

Видимо, существенную роль в возникновении асимметрии петли гистерезиса играет пограничный потенциальный барьер, препятствующий вхождению флуксонов в сетку, что может приводить, в конечном итоге, к различному характеру их распределения в СДП в процессе входа и выхода. Также на особенности магнитной динамики может влиять то, что профиль потенциальной энергии пиннинга в ячейках вблизи границы джозефсоновской сетки имеет асимметричную форму, связанную с краевыми эффектами. В работе [38] показано, что асимметрия потенциала пиннинга может приводить к анизотропии силы пиннинга - своеобразному диодному эффекту , когда для того, чтобы привести вихри в движение в определенном направлении требуется меньшая сила, чем в обратную сторону. Мы полагаем, что существенную роль играет также то, что в исследованной нами структуре размеры джозефсоновских контактов ( ~ 4-6 um ) в принципе нельзя считать пренебрежимо малыми с размерами ячеек СДП ( 20 um ). При моделировании вихревой динамики в джосефсоновских сетях в известных нам работах размеры контактов считаются пренебрежимо малыми, и в этом, видимо, состоит причина того, что подобное асимметричное поведение не предсказывалось ни в одной из теоретических работ.

Здесь, также как и в SIS-сетках, можно выделить две области температур, где наблюдается различное поведение кривых М(Н). В первой, более высокотемпературной области (рис.9) глубина проникновения поля в сетку - X= 00/2nu0IC заметно превышает период сетки а. При этом каждый из квантов потока (флуксон) с радиусом ~ X распределяется по нескольким ячейкам, а их собственные поля токов являются малыми (область слабого пиннинга). Поэтому токи слабо возмущают суммарный магнитный поток, и при этом неоднородность поля в сетке очень мала. В данной области температур наблюдаются резкие пики M(H) на восходящих ветвях петель гистерезиса, соответствующие состояниям, когда на каждую ячейку приходится целое число квантов потока. (переделал)

При низких температурах, когда X заметно меньше а (область сильного пиннинга), всегда в каждой ячейке находится целое число квантов потока, и их поведение можно описывать с помощью дискретной динамики. При этом собственные поля текущих по СДП экранирующих токов настолько велики, что приводят к неоднородному распределению флуксонов по сетке, что в итоге выражается в увеличении ширины пиков на кривых намагничивания и уменьшению их относительной высоты, как видно

из рис.10. Это соответствует выводам работы [29, 30], где показано, что отношение высоты пиков на кривых намагничивания (и, соответственно, тока депиннинга) при целых f и значений при промежуточных f ( на пьедестале ) уменьшается с понижением температуры, что связано с увеличением эффектов собственного поля при уменьшении X. Для исследованной структуры расчетное значение размера флуксона становится равным периоду структуры a=20 дт при температуре около 6.5 K.

На рис.11 приведена в логарифмическом масштабе температурная зависимость тока депиннинга Idep, оцененного из полуширины петель гистерезиса: M = IdepN3a2/6. Сплошной кривой показана теоретическая зависимость для квадратной сетки, которая дает в соответствии с [29, 39] с учетом эффектов собственных полей токов: Idep = 0.1 Г (1+1.5 aA), где Г - критический ток отдельного перехода. Температурная зависимость Г для SNS перехода в грязном пределе дается следующим выражением: Г = 0.1 Ц0) (1-T/TC)2 e-co/T, где Тс = 9.2 K - температура сверхпроводящего перехода

берегов джозефсоновского контакта (см. например, [40]). Коэффициент а = 3.6 найден из прямых измерений температурной зависимости критического тока через одиночный джозеф-соновский переход SNS с нормальной прослойкой того же самого состава. Значение множителя Ic:(0) = 3.6 А получено подгонкой для наилучшего соответствия эксперименту в области температур вблизи Тс, и близко к значению !с(0) = 3.9 А, полученному из прямых измерений критического тока одиночного контакта.

Рис.11. Зависимость тока депиннинга Idep SNS-сетки от температуры.

Видно, что выше 3.7 К экспериментальные данные хорошо соответствуют теоретической зависимости, однако при низких температурах имеется существенное расхождение. Очевидно, это связано со значительным искривлением силовых линий и их концентрацией вблизи края сетки, вследствие чего магнитное поле в этой области существенно превышает внешнее и способно заметно подавлять критические токи переходов. Причем подавляются преимущественно токи, циркулирующие вдоль границ, то есть имеющие наибольшие площади контуров и дающие наибольший вклад в общий магнитный момент. При высокой температуре эффект подавления не проявляется, поскольку критические токи малы и магнитное поле довольно легко проникает внутрь, вследствие чего не происходит его концентрации на краю сетки.

Заключение

Проведенные экспериментальные магнитные исследования регулярных квадратных джозефсоновских сеток выявили ряд новых эффектов. К ним в первую очередь относятся наблюдения лавин магнитного потока в SIS-сетках, подчиняющихся законам СОК; и асимметрия кривой намагничивания SNS-сетки, причина которой до сих пор не вполне понятна.

По поводу вопроса, возникшего в последнее время, о законе распределения лавин, мы хотели бы заметить, что согласно нашим данным, скорее всего в распределении лавин по их размеру имеется кроссовер. В работе [26, рис.3], также явно виден кроссовер в распределении лавин, хотя авторы описывают его расширенной экспонентой.

Предлагаемая нами модель для экспериментального изучения СОК обладает рядом преимуществ. В этой модели можно легко изменять внутренние и внешние условия и изучать их влияние на характеристики СОК. Экспериментальная модель предполагает возможность расчета магнитной динамики J-сетки на основе разработанной теории и проверить адекватность ее результатов.

В заключение необходимо отметить, что изучение причин, приводящих к интересным проявлениям СОК и асимметрии в динамике магнитного потока, требует дополнительных, как теоретических, так экспериментальных исследований регулярных J-сеток разных типов (SIS и SNS) и дизайна, с различными площадями контактов и плотностями критических токов.

Авторы благодарят В.А.Обознова, и В.В.Рязанова за синтез образцов J-сетки и полезные советы, а также С.Л. Гинзбурга и Н.Е. Савицкую за плодотворные обсуждения результатов работы.

Работа поддержана грантом РФФИ 02-02-16564, а также Госконтрактом №40.012.1.1.1356.

Литература

1. W. Maluf Jr. , G. M. Cecato, P. Barbara, C. J. Lobb, R. S. Newrock, F. M. Araujo-Moreira. Magnetic properties of SIS and SNS Josephson junction . J. of Magnetism and Magnetic Materials, vol.226-230, p.290-292 (2001)

2. С. М. Ишикаев, Э. В. Матизен, В. А. Обознов, В. В. Рязанов, А. В. Веретенников. Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток. Самоорганизованная критичность в динамике магнитного потока . Письма в ЖЭТФ, т.72, вып.1, с.194-198, (2000). S. M. Ishikaev, E. V. Matizen, V. V. Ryazanov et. al. , JETP Lett. , 72, 39-44 (2000)

3. D. Dominguez and J. V. Jose, Phys. Rev. B 53, 11692 (1996),

4. D. -X. Chen, A. Sanches and A. Hernando, Phys. Rev. B 50, 10342 (1994); D. -X. Chen, J. J. Morreno and A. Hernando, Phys. Rev. B 53, 6579 (1996);

5. D. Reinel, W. Dieterich, A. Majhofer, T. Wolf. Magnetic-flux distribution in square Josephson-junction array with inductances . Physica C, vol.193, c.243-200 (1995)

6. В. В. Брыксин, А. В. Гольцев, С. Н. Дороговцев. Проникновение магнитных полей в джозефсоновские структуры . Письма в ЖЭТФ, т.51, вып.1, с.53-56 (1990)

7. F. M. Araujo-Moreira, P. Barbara, A. B. Cawthorne, C. J. Lobb. Reentrant ac Magnetic Susceptibility in Josefson-Junction Arrays . Phys. Rev. Lett. , vol.78, № 24, p.4625-4628

(1997)

8. P. Barbara, A. B. Cawthorne, S. V. Shitov and C. J. Lobb, Stimulated Emission and Amplification in Josephson Junction Arrays Phys. Rev. Lett. vol.82, №9, p.1963-1966

(1999)

9. P. Bak, C. Tang, K. Wisenfeld, Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise . Phys. Rev. Lett. , 59, 381 (1987)

10. P. Bak, K. Chen, M. Creutz. Self-organized criticality Game of Life . Nature. Vol.342, p.780-782, (1989)

11. B. Gutenberg, C. F. Richter. Ann. Geophys. Vol.9, p.1 (1956)

12. P. Bak, K. Snoppen. Punctuated Equilibrium and Criticality in Simple Model of Evolution

13. Z. Olami, H. J. S. Feder, K. Christensen. Self-Organized Criticality in Continuous, Nonconservative Cellular Automation Modeling Earthquakes . Phys. Rev. Lett. Vol.68, №8, p.1244-1247 (1992)

14. J. M. Carison, J. S. Langer. Properties of Earthquakes Generated by Fault Dynamics .

Phys. Rev. Lett. , vol.62, №22, 2632-2635 (1989)

15. В. П. Коверда, В. П. Скрипов. Самоорганизованная критичность в системе двух независимых нелинейных стохастических уравнений . В сборнике научных трудов

Института теплофизики УРО РАН Метастабильные состояния и фазовые преходы , Екатеринбург, (2000, с.140), с.45;

V.N. Skokov, A.V. Reshetnikov, V.P. Koverda, A.V. Koverda. Self-organized criticality and 1/f-noise at interacting nonequilibrium phase transitions . Phisica A, vol.372, p.1-12, (2001)

16. R. C. Hwa, J. Pan. Self-Organized Criticality in Quarc-Hadron Phase Transition . Nuclear Physica A590, p.601c-604c (1995)

17. R. F. S. Andrade, S. T. R. Pinho, S. C. Fraga, A. P. M. Tanajura. New Toppling Dynamics for the Self-Organized Critical Rainfall Model . Physica A, vol.314, p.405-410

(2002)

18. B. Drossel. Self-Organized Criticality and Synchronisation in Forest-Fire Model . Phys. Rev. Lett. , vol.76, №6, 936-939 (1996)

19. B. Drossel, F Schwabl Self-Organized Criticality Forest-Fire Model . Phys. Rev. Lett., vol.69, №11, 1629-1632 (1992)

20. G. Iori, S. Jafarey. Criticality in Model of Banking crices

21. G. A. Held, D. H. Solina, D. T. Keane, W. J. Haag, P. M. Horn and G. Grinstein, Experimental Study of Critical-Mass Fluctuations in an Evolving Sandpile Phys. Rev. Lett. vol.65, № 9, p.1120-1123 (1990)

22. H. J. S. Feder and J. Feder, Self-Organized Criticality in Stck-Slip Process . Phys. Rev.

Lett. vol.66, №20, p.2669-2672 (1991)

23. В. П. Коверда, В. Н. Скоков. В. П. Скрипов. 1Я -шум в критическом неравновесном фазовом переходе . Письма в ЖЭТФ, т.63, вып.9, с.739-742 (1996)

24. M.A.Lebyodkin, Y.Brechet, Y.Estrin, and L.P.Kubin, Statistics of the Catastrophic Slip Events in the Portevin-Le Chatelier Effect , Phys.Rev.Lett., vol.74, p.4758-4761 (1995); М.А.Лебедкин, Л.Р.Дунин-Барковский, ЖЭТФ, т.113, с.1816 (1998)

25. E. Laherrere, D. Sornette. Stretched exponential distribution in nature and economy: Fat Tails with characteristic scale . Eur. Phys. B, vol.2, №4, p.525-539 (1998)

26. K. Behnia, C. Capan, D. Mailly, B. Etienne. Internal Avalanches in a Pile of Superconducting Vortices . Phys. Rev. , vol.61, №6, p. R3815 - R3818 (2000-II)

27. S.M.Ishikaev and E.V.Matizen, The remanent magnetization of Bi-Ca-Sr-Cu-O ceramic rings in weak magnetic fields , High Temperature Superconductivity: New Materials and Properties, Joint Symposium of the SB RAS and the CNEAS TU, Tohoku University, Japan 1999, p.65

28. С.М. Ишикаев, Оптимальная конфигурация приемных катушек СКВИД-магнитометра , Приборы и техника эксперимента, N.3, с.145 (2002)

29. T. E. Trias, J. R. Philips, H. S. J. van der Zant and T. P. Orlando, IEEE Trans. Appl. Supercond.5, 2707 (1995)

30. J. R. Philips, H. S. J. van der Zant, J. White and T. P. Orlando, Phys. Rev. B. , 47, 5219 (1993)

31. С. Л. Гинзбург. Самоорганизация критического состояния в джозефсоновских решетках и гранулированных сверхпроводниках . ЖЭТФ, т.106, вып.2(8), 607-626

(1994)

32. С. Л. Гинзбург, Н. Е. Савицкая. Самоорганизация критического состояния в цепочке СКВИД . Письма в ЖЭТФ, т.69, №9, 688-694 (1998)

33. С. J. Lobb, D. W. Abraham, M. Tinkham. Theoretical Interpretation of Resistive Transition Date from Arrays of Superconduction Weak Links . Phys. Rev. , vol.27, №1, p.150-157 (1983)

34. V. Marconi, D. Dominguez. Melting and Transverse Depinnigof Driven Vortex Lattices in the Period Pinning of Josphson Junction Array . Phys. Rev. B. , vol.63, 1740509-1 -1740509-16(2001)

35. E. Altshuler, T. H. Johansen, Y. Paltiel et al. Vortex Avalanches and Self Organized Criticality in Suprconducting niobium . arXiv:cond-mat/0208266 v1 13 Aug 2002

36. С . Л. Гинзбург, Н. Е. Савицкая, Возникновение Самоорганизация критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе, как следствие случайного расположения контактов Письма в ЖЭТФ, т.73, 163-166 (2001)

37. С. М. Ишикаев, Э. В. Матизен, В. А. Обознов, В. В. Рязанов. Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток с SNS-переходами Письма в ЖЭТФ, т.76, вып.3,

с.39-44, (2002)

38. B. Y. Zhu, L. V. Look, V. V. Moshchalkov et. al. , Phys. Rev. B. , 64, 12504 (2001)

39. M. S. Rzchowski, S. P. Benz, M. Tinkham, and C. J. Lobb, Phys. Rev. B. , 42, 2041 (1990)

40. А. Бароне, Дж. Патерно. Эффект Джозефсона, 1984, с.198, М. Мир