Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Исследование устойчивости одномерных

1 2

Исследование устойчивости одномерных и двумерных бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-

Улама

Жуков К.Г., Рябов Д.С., Чечин Г.М. (chechin@phis.rsu.ru)

Ростовский Государственный Университет

В предыдущей работе данного цикла были рассмотрены буши мод для нелинейных моноатомных цепочек. Понятие о бушах мод как о некоторых нелинейных возбуждениях нового типа в системах с дискретной симметрией было введено в [ДАН, т.330, с.308 (1993)]. В дальнейшем различные аспекты теории бушей мод были развиты в [Physica D 117, p.43 (1998)] и других статьях, цитирующихся в настоящей работе. Основным же результатом последней является исследование областей устойчивости (по отношению к параметрическому возбуждению не входящих в данный буш мод) для всех одномерных и двумерных бушей для моделей FPU-a и FPU-p. Существование областей устойчивости конечного размера позволяет говорить о бушах мод, по крайней мере, для случая цепочек Ферми-Пасты-Улама, как о вполне реальных физических объектах.

Данная статья является непосредственным продолжением работы [1]. Это позволяет нам, не повторяя общих понятий и положений теории бушей мод, которые были подробно описаны в [1] (см. также [2]), сразу перейти к обсуждению проблемы их устойчивости.

1. Постановка задачи

Понятие устойчивости, как известно, является весьма емким и о ней можно говорить как в математическом, так и в физическом смысле. В частности, можно рассматривать устойчивость бушей колебательных мод относительно тепловых фоновых колебаний атомов цепочки, относительно наличия в ней примесей и т.д. Откладывая обсуждение этих вопросов до следующей статьи этой серии работ, мы рассмотрим ниже лишь основной канал потери устойчивости бушей мод в цепочках FPU, а именно, потерю их устойчивости за счет параметрического взаимодействия мод буша с модами, которые в него не входят. Эти вопросы подробно рассматривались нами для общего случая в работе [3], а для цепочек



FPU - в работе [2]. При этом существенным является тот факт, что моды данного буша связаны друг с другом силовыми взаимодействиями , в то время как со всеми другими модами системы они связаны параметрическими взаимодействиями [3].

Поясним эти понятия на примере рассматривавшегося в [1] двумерного буша B[a€4,€]. Он описывается уравнениями

IX + 4М- - v2 = 0, (1)

slN

.. г. 8а

v + 2v--=iuv = 0. (2)

Эти уравнения допускают решение вида ju{t) = 0; v(t) = 0, и при этом двумерный буш сводится к одномерному с единственной отличной от нуля модой i(t). Формально возбудить такой колебательный режим в моноатомной цепочке можно, например, с помощью задания следующих начальных условий:

x(t0 )=0 * 0, ii(t0 )=0, v(t0 )=0, v(t0 )=0 (3)

Для рассматриваемого одномерного колебательного режима левая и правая части уравнения (2) тождественно обращаются в нуль, а уравнение (1) сводится к уравнению для гармонического осциллятора

Ii + 4 = 0 (4)

с тривиальным решением

l(( ) = i0cos(2t). (5)

Согласно Таблице 3 из работы [1], это уравнение описывает одномерный буш B[<€2,€] с

трансляционной симметрией <€2, которая вдвое выше симметрии двумерного буша B[€4,€]. Подстановка решения (5) в уравнение (2) приводит к уравнению Матье

(2t)

= 0 , (6)

которое в стандартной форме [4] имеет вид:

v + [a - 2q cos(2t)]v = 0 . (7)

Таким образом, в нашем случае



a = 2, q = p-. (8)

С другой стороны, хорошо известно, что в плоскости параметров (a - q) для уравнения Матье (7) имеются области устойчивого и неустойчивого движения. При q -0 зоны неустойчивости стягиваются в лежащие на оси a точки, которые удовлетворяют соотношению

a = m2 (m = 1, 2, 3, ...).

При этом первой зоне неустойчивости отвечает область плоскости (a - q), ограниченная кривыми [4]

a = 1 ± q - +... (9)

Как легко видеть из простейших геометрических соображений, нижняя граница зоны устойчивости одномерного буша B[a€2,€] получается из условия пересечения прямой a = 2 и

~ , q2

кривой a = 1 ± q -- +... .

Из уравнения (9) следует, что q 1, в силу чего мы должны, вообще говоря, рассматривать большее число членов ряда в правой части этого уравнения. Однако можно показать, что учет в (9) только члена первой степени по q позволяет получить значение амплитуды потери устойчивости с точностью до 20%. Поскольку сейчас нашей целью является качественное описание механизма потери устойчивости бушей за счет параметрического взаимодействия между модами, то для простоты мы ограничимся вышеуказанным линейным приближением. Тогда с учетом формул (8) видим, что рассматриваемый буш остается устойчивым по мере увеличения его амплитуды /и0 от нуля

вплоть до верхней границы p0, которая определяется из соотношения -j=- = 1 и, таким

образом,

Р . (10)

При переходе через эту границу он теряет устойчивость, что проявляется в возникновении отличной от нуля моды v(t), несмотря на то, что она была равна нулю в начальный момент времени. При этом происходит увеличение размерности исходного буша



и спонтанное понижение симметрии колебательного процесса: одномерный буш B[a€2, переходит в менее симметричный двумерный буш B[a€4,€].

Таким образом, проанализировать устойчивость буша B[a€2,€] по отношению к его

переходу в буш B[a€4,€] оказывается возможным аналитически. В общем же случае анализ устойчивости различных бушей мод можно провести лишь с помощью численных методов. В связи с только что проведенным анализом устойчивости буша B[a€2,€] по отношению

к его переходу в буш B[a€4,€], возникает естественный вопрос: Какова верхняя граница его области устойчивости по отношению к взаимодействию с другими нормальными модами цепочки (возбуждение которых может привести к возникновению в системе бушей,

отличных от B[a4, £]) ? В работе [2] для цепочки FPU-a был установлен весьма интересный факт - буш B[0€2, 1 теряет устойчивость одновременно по отношению ко всем другим модам, т.е. при одном и том же критическом значении амплитуды ju0 происходит

возбуждение всех остальных мод рассматриваемой цепочки.

Это явление связано с уникальными свойствами системы уравнений (69) из работы [2] и имеет место только для цепочки FPU-a, но не для цепочки FPU-p. Более того, если рассмотреть вторую зону устойчивости буша B[a€2,€], то граница его устойчивости оказывается уже различной при рассмотрении взаимодействия с различными модами цепочки FPU-a.

2. Исследование устойчивости одномерных бушей мод для цепочек FPU

Как уже отмечалось, в работе [2] проанализирована устойчивость только тех бушей мод для цепочки FPU-a, которые были получены в результате симметрийного анализа по подгруппе целых трансляций T. С другой стороны, при учете более полной симметрии моноатомной цепочки, а именно, группы диэдра D, обнаруживается ряд новых бушей [2, 5], в частности, одномерных и двумерных, которые перечислены в Таблицах 1 и 2 из работы [1]. Более того, как уже отмечалось, в работе [5] найдены также дополнительные буши мод для цепочки FPU-Р, существование которых обеспечивается наличием дополнительной

При классификации бушей мод по группе целых трансляций T, этот буш в работе [2] обозначался символом B[2a].



симметрии, связанной с четностью потенциала этой механической системы. Границы устойчивости всех одномерных бушей для обоих типов цепочек Ферми-Пасты-Улама приведены ниже в Таблице 1.

Формула (10) дает границу устойчивости одномерного буша B[a2, /], выраженную

через критические значения /л°0 амплитуды его корневой (и единственной!) моды /u(t).

Этому значению 0 отвечают вполне определенные, максимально допустимые для

устойчивости рассматриваемого буша, значения атомных смещений х;. (0) = x0

Действительно, из уравнений

J- (ii)

V(f) = -N h (() + Х2 (()]

(см. формулу (26) из работы [1]) при условии v(t) = 0 находим связь между цсй и хс0: 0 VN 4a

Заметим, кстати, что x0 не зависит от числа атомов в цепочке FPU-a (боле подробно об этом см. [2]).

В Таблице 1 приведены границы устойчивости одномерных бушей мод как по атомным смещениям (хс), так и по энергии начального возбуждения (E0j) (ниже показано, что в

отличие от многомерных бушей мод, устойчивость одномерных бушей однозначно определяется энергией их начального возбуждения). При этом указанные значения найдены при условии a = 1 для FPU-a и в = 1 для FPU-P, что соответствует обезразмериванию динамических уравнений в задаче Ферми-Пасты-Улама.



Таблица 1.

Границы устойчивости одномерных бушей мод для цепочек FPU

Буш

Атомные смещения

Граница устойчивости

по атомным смещениям

по энергии

FPU-a

FPU-Р

FPU-a

FPU-Р

B[2a,i]

x, -x

0.3029

0.112

0.183

0.025

B[3a,i]

x, 0, -x

0.2030

0.268

0.047

0.085

B[4a,ai]

0, x, 0, -x

0.916

7.14

B[4a,i,a u]

x, x, x, x

>20

>27000

B[6a,ai,a u]

x, 0, -x, -x, 0, x

0.488

0.079

B[3a,iu]

x, 2x, x

0.156

0.074

Содержащиеся в Таблице 1 результаты были получены двумя разными способами -методом непосредственного интегрирования уравнений движения для цепочки из N = 12 атомов в Х-пространстве и методом Флоке. В первом случае мы последовательно увеличивали начальную амплитуду /i(t0) = /и0 моды /u(t), соответствующего одномерного

буша вплоть до того ее критического значения /0, при котором в разложении конфигурационного вектора X((), в дополнение к /u(t), появляются некоторые новые моды, что и свидетельствует о потере устойчивости исходного буша. Заметим, что для получения таким способом достаточно точной границы области устойчивости /0 необходимо проводить интегрирование системы N дифференциальных уравнений вплоть до очень больших времен. Действительно, чем ближе /и0 подходит снизу к критическому значению

/0, тем слабее проявляется потеря устойчивости, т.е. тем более медленно нарастают

амплитуды вновь рождающихся мод. Преимуществом описанного прямого метода, однако, является то, что его можно применять для исследования области устойчивости не только одномерных, но и бушей большей размерности.

С другой стороны, метод Флоке для исследования устойчивости периодических режимов позволяет уверенно найти границу устойчивости /0 с достаточно большой

степенью точности и за существенно более короткое время (по сравнению с прямым методом), но лишь для одномерных бушей. Этот метод использовался нами в работе [2] для

исследования устойчивости буша B[a€2,€] в цепочке FPU-a, а в работе [6] - для исследования

того же буша (ж-моды) в цепочке FPU-p. Причина возможности применения метода Флоке только для одномерных бушей мод связана с тем, что такие буши описывают периодические



колебания, в то время как буши, размерность которых больше единицы, представляют собой уже условно-периодические режимы. В силу этого, все результаты исследования устойчивости для двумерных бушей, приведенные в настоящей работе, были получены нами прямым методом.

При исследовании границ устойчивости одномерных бушей, приведенных в Таблице 1, обращает на себя внимание тот факт, что размер области устойчивости буша B[a€4, ai] для цепочки FPU-a оказывается нулевым. (Заметим, что тот же самый буш в цепочке FPU-P обладает весьма большой степенью устойчивости: для него /лс0 = 1.16). Этот случай

представляет особый интерес и мы рассмотрим его ниже более подробно.

Прямые вычислительные эксперименты и расчеты по методу Флоке показывают, что

буш B[a€4,ai] теряет свою устойчивость уже при очень маленьких амплитудах /л0 своей корневой моды ( < 10-6). При этом оказывается, что теряются инверсионные элементы, в то время как трансляционная симметрия сохраняется. В результате этого буш B[a€4, ai] переходит в буш B[4£4], причем, сам процесс этого перехода оказывается нетривиальным. Действительно, непосредственно из вычислительного эксперимента видно, что при малых амплитудах /л0 буш B[<£4, ai] существует некоторое, весьма большое время (по сравнению с периодом колебаний корневой моды), после чего происходит переключение доменов : вместо буша B[*£4,ai] возникает его домен - буш B[a€4, aE3]. Второй домен существует

точно такое же время, как и первый домен (буш B[*£4,ai]), после чего происходит новое переключение и мы видим снова первый домен. При переключении доменов на некоторое, достаточно короткое, время появляется п-мода, которая, как уже неоднократно говорилось, сама по себе образует одномерный буш B[a€2, £]. Вышеописанный динамический процесс продолжается неограниченно долго во времени. На самом деле, переключение доменов не является абсолютно точным, и в любой момент времени существуют и оба домена B[a€4, ai],

B[a€4, at3], и п-мода, но с очень сильно отличающимися друг от друга амплитудами. Это означает, что в действительности, мы наблюдаем просто некоторую специфическую динамику буша B[*£4]. Этот трехмерный2 буш состоит из трех мод /2, /3, которые сами

по себе являются корневыми (и единственными!) модами одномерных бушей B[a€4,ai],

2 Напомним, что нулевая мода ju0 (t), соответствующая смещению цепочки как целого, всегда исключается нами из рассмотрения.



B[0€2,€] и B[0€4,0€3€] соответственно. Динамика же буша B[a4] описывается следующими дифференциальными уравнениями:

/1 + 2/1 = -8а/и2/и3,

/2 + 4/2 =-8а/и1/и3, (12)

/3 + 2/3 = -8а/и1/и3.

Докажем аналитически, что граница устойчивости /0 буша B[a€4, af] для его перехода

в буш B[a€4] равна нулю точно. Из такого утверждения следует, что никакие другие каналы потери устойчивости этого буша (по отношению к параметрическому возбуждению других мод) рассматривать не нужно, ибо мы покажем, что граница устойчивости буша B[a4, a€F] является минимально возможной (нулевой) уже для исследуемого нами сейчас канала передачи возбуждения от его корневой моды к другим модам цепочки FPU-a.

Возбуждению в системе только одной моды /1 (t) отвечает, как уже было сказано,

одномерный буш B[a4,ai] . При этом в уравнениях (12) мы должны положить /2 (t) = 0, /3 (() = 0, в результате чего остается только одно уравнение для моды /1 ((), которое является уравнением для гармонического осциллятора

А + 2/1 = 0. (13)

Отсюда следует, что

/ (() = A cos(V2t + s), (14)

причем, без ограничения общности3 можно считать, что 5 = 0 .

Для того чтобы исследовать устойчивость такого периодического режима, линеаризуем уравнения (12) в его бесконечно малой окрестности. В результате приходим к системе уравнений

/2 + 4/2 = -8(aA)cos(V2t )/3 /3 + 2/3 = -8(aA)cos(((2t )/2

Покажем, что эта система действительно может описывать параметрическое возбуждение спящих мод /2 (() и /3 (t), а, следовательно, и потерю устойчивости

исходного одномерного буша и его расширение до буша B[<€4], динамика которого определяется уравнениями (12).

*2 + 4/2 = vyw*.jwoyi 3, (15)

+ 2/3 = -8(aA)cosU/2t )/2.

3Чтобы убедиться в этом, достаточно выполнить для системы (12) некоторый сдвиг временной переменной t.



Воспользуемся для этого методом, основанном на теореме Пуанкаре-Дюлака о нормализации систем дифференциальных уравнений [7]. При его описании мы будем следовать изложению, данному в статье [3], где этот метод уже использовался нами с целью упрощения динамических уравнений бушей мод. Суть метода Пуанкаре-Дюлака сводится к тому, что с помощью определенных нелинейных замен переменных, автономная система уравнений первого порядка с диагональной линейной частью упрощается за счет последовательного исключения из всех уравнений тех нелинейных членов, которые являются нерезонансными. Подробное описание этой вычислительной процедуры дано в Приложении 1. Мы же сейчас ограничимся лишь приведением конечного ее результата.

Система дифференциальных уравнений, которая получается из системы (12) при нормализации с точностью до членов третьего порядка включительно, допускает точное решение вида

2t C ea2a2 + C e 2 2a2

(16)

J/3 = ie-Ce2a2 - C2e-4~2a2a2}

где J/2 (t) и /~3 (() суть новые переменные, связанные со старыми переменными /2 (() и /л3 (t) некоторым нелинейным преобразованием (см. Приложение 1), а C1 и C2 - произвольные постоянные. Из вида решения (16) очевидно, что нарастание спящих мод от их нулевых значений начинается при сколь угодно малых значениях амплитуды A моды ju1 (t)

исследуемого на устойчивость одномерного буша B[a€4,ati], что и требовалось доказать.

Заметим, что потеря устойчивости буша B[at4, ai] уже при сколь угодно малых значениях амплитуды его корневой моды является весьма редким явлением и связана со спецификой внутренних резонансов системы (12). Этот эффект можно увидеть в результате поиска приближенного аналитического решения уравнений (15) методом последовательных приближений. Такая процедура носит эвристический характер и позволяет предсказать наличие в асимптотическом разложении (27) секулярного члена (28) (см. Приложение 1). С помощью метода нормализации для этого заключения мы получаем строгое обоснование.

Метод нормализации дает также некоторую аналитическую основу для нахождения границ устойчивости и других одномерных бушей для цепочек FPU. Однако процедура нормализации является достаточно громоздкой, и мы не будем здесь ее приводить, ограничиваясь лишь указанными в Таблице 1 результатами, которые были получены как с помощью прямого вычислительного эксперимента, так и с помощью метода Флоке.

Перейдем теперь к вопросу об устойчивости двумерных бушей мод.



3. Исследование устойчивости двумерных бушей мод

В предыдущих разделах мы исследовали устойчивость каждого одномерного буша по отношению к увеличению амплитуды его единственной моды (что приводит к усилению ее параметрического взаимодействия с другими модами цепочки FPU). В некотором смысле, может быть, удобнее говорить о границе устойчивости этих бушей по отношению к увеличению энергии начального возбуждения (см. Таблицу 1). В случае же многомерных бушей, такой подход оказывается уже невозможным. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Действительно, при рассмотрении устойчивости одномерного буша, которому соответствует мода /(t), мы задавали начальные условия в виде /(0) ф 0 , /(0) = 0. Это значит, что в начальный момент времени кинетическая энергия буша равнялась нулю, а полная его энергия была чисто потенциальной. В силу того, что одномерный буш описывает периодический динамический режим, ясно, что в некоторый момент времени 10 полная его энергия вновь становится чисто потенциальной, и следовательно, перенос начала отсчета времени в точку 10 вновь возвращает нас, фактически, к старой постановке задачи: /(t 0 )ф 0,

(t0) = 0 . Из этого рассуждения ясно, что устойчивость одномерного буша зависит только от

его полной энергии и не зависит от распределения ее между потенциальной и кинетической составляющими.

В случае же многомерных бушей ситуация изменяется кардинальным образом: граница области устойчивости зависит не только от общей энергии начального возбуждения, но и от полного набора начальных условий. В частности, она зависит от начального распределения энергии между модами, входящими в данный буш. Этот вопрос уже затрагивался в работе [8], но не был там исследован сколько-нибудь подробно. Ниже мы приводим рисунки первых4 зон устойчивости для всех двумерных бушей мод.

Для двумерных бушей фазовое пространство является четырехмерным. При этом полное множество начальных условий, соответствующих данному значению энергии возбуждения буша мод образует в нем трехмерное многообразие. Мы ограничимся изображениями лишь некоторых плоских сечений областей устойчивости двумерных бушей

Так же, как и в случае, когда параметрическое возбуждение не входящих в буш мод описывается уравнением Матье, и для других бушей мод могут существовать более высокие зоны устойчивости. В настоящей работе обсуждаются только первые зоны устойчивости, которые начинаются от нулевой амплитуды корневой моды.





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.