Мифы о звукоизоляции Как построить дом из пеноблоков Как построить лестницы на садовом участке Подбираем краску для ремонта Каркасные дома из дерева |
Главная » Исследование устойчивости одномерных 1 2 в 4-х мерном фазовом пространстве для того, чтобы показать, насколько нетривиальный вид может иметь их граница. На Рис.1 черным цветом показана первая зона устойчивости двумерного буша B[*€4, f] для цепочки FPU-a с двенадцатью атомами (N = 12). По горизонтальной и вертикальной осям отложены значения начальных амплитуд v1 (0) и v2 (0) соответственно корневой и вторичной мод рассматриваемого буша5, а начальные скорости полагаются равными нулю (т.е., в начальный момент времени полная энергия буша является чисто потенциальной). На Рис.2 показана область устойчивости того же самого буша при наличии некоторой, отличной от нуля, кинетической энергии в начальный момент времени. Видно, что при этом исчезает вертикальная ось симметрии второго порядка, которой обладала область устойчивости рассматриваемого двумерного буша на Рис.1. На Рис.1 приведены также эквипотенциальные линии (разным цветам соответствует разный шаг по энергии). Из этого рисунка со всей очевидностью следует, что факт устойчивости рассматриваемого двумерного буша определяется не только его полной энергией, а зависит от распределения энергии начального возбуждения между модами этого буша. Рис.2. Зона устойчивости двумерного буша B[a4,i] для цепочки FPU-a при отличной от нуля начальной кинетической энергии. На последующих рисунках показаны первые зоны устойчивости для всех других двумерных бушей мод. Все они построены полностью аналогично Рис.1. Обозначения мод различных бушей см. в Таблице 2 из [1]. Рис.1. Зона устойчивости двумерного буша B[a4,i] для цепочки FPU-a при равной нулю начальной кинетической энергии. B[a3] B[a4,i] B[a6,ai] B[a4,aiu] 4 2 B[a ,a u] B[a6,a2iu] B[a6,a2i,a3u] Рис.4. Зоны устойчивости двумерных бушей для цепочки FPU-p. Следует учесть, что устойчивость многих бушей существенным образом зависит от числа атомов N в цепочке FPU. Площадь областей устойчивости имеет при этом тенденцию к уменьшению. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в последующих работах в связи с обсуждением проблемы перехода к термодинамическому пределу N оо. Здесь же мы в качестве примера, подтверждающего только что высказанное утверждение, приведем рисунки областей устойчивости двумерного буша B[0t4,f] для N = 8, 12, 16, 20, 32, 48. N = 8 N = 12 N = 16 N = 20 N = 32 N = 48 Рис.5. Зоны устойчивости двумерного буша B[a4,i] для цепочек FPU-a с разным числом атомов N. Заключение Подведем итоги предыдущего обсуждения. Введенные в работах [9](см. также [10] и [3]) буши нормальных мод определяют некоторые точные динамические режимы в системах с дискретной симметрией. При этом важно подчеркнуть, что существует большое число бушей малой размерности, т.е. бушей состоящих из относительно небольшого числа мод. В изолированной гамильтоновой системе энергия начального возбуждения оказывается полностью локализованной в данном буше - она не может передаваться другим, не входящим в него, модам в силу существования определенных правил отбора для передачи возбуждения между модами разной симметрии. Однако, для того чтобы буши мод можно было рассматривать как реальные физические объекты, необходимо исследовать степень их устойчивости по отношению к различным факторам. В настоящей работе изучается основной канал потери устойчивости бушей, связанный с возбуждением не входящих в рассматриваемый буш мод за счет параметрического взаимодействия с модами данного буша. В качестве конкретных объектов для исследования вышеуказанной устойчивости выбраны цепочки Ферми-Пасты-Улама (FPU-a и FPU-P модели) с конечным числом атомов и периодическими граничными условиями. При этом нами были получены следующие результаты. 1. Если в работах [2] и [6] для цепочек FPU-a и FPU-P соответственно, была исследована устойчивость только одномерного буша с удвоением элементарной ячейки (состоящего из одной п-моды), то в настоящей работе найдены границы областей устойчивости для всех одномерных бушей в нелинейных цепочках обоих этих типов. Существенно, что все буши мод, кроме буша B[af4, aff] для цепочки FPU-a, имеют конечные области устойчивости. Тот факт, что для только что указанного буша B[af4, ai] для цепочки FPU-a граница устойчивости оказывается равной нулю, сначала был выявлен в результате вычислительного эксперимента и после этого обоснован аналитически с помощью теории нормализации дифференциальных уравнений. Случай этот является исключительным (тот же самый буш для цепочки FPU-P уже имеет конечную область устойчивости) и связан с существованием специфического резонанса в модели FPU-a. 2. Границы устойчивости одномерных бушей мод зависят только от значения энергии начального возбуждения. В случае же бушей большей размерности это свойство уже не имеет места. Действительно, в фазовом пространстве таких бушей границы областей устойчивости представляют собой достаточно сложные фигуры, существенным образом зависящие от начальных условий, которые используются для возбуждения рассматриваемых бушей мод. Нами были исследованы области устойчивости для всех двумерных колебательных бушей для цепочек FPU-a и FPU-P, а также изменение формы этих областей с увеличением числа частиц в цепочках. В результате проведенной работы можно утверждать, что в большинстве случаев колебательные буши мод для конечных цепочек FPU имеют области устойчивости достаточно большого размера, что позволяет рассматривать их как вполне определенные динамические объекты нового типа. 5. Приложение 1. Исследование устойчивости буша BfdJ-4,] с помощью метода нормализации дифференциальных уравнений Прежде всего, напомним процедуру нормализации системы дифференциальных уравнений, основанную на известной теореме Пуанкаре-Дюлака. При этом мы будем использовать обозначения из работы [3]. Пусть автономная система дифференциальных уравнений первого порядка приведена к Л =\Ук +1 Л^Х1-Ут , (k = 1, 2, n),. (17) Здесь суммирование проводится по совокупности всех неотрицательных целых чисел mt, которые удовлетворяют условию а = mi > 2, где а есть порядок малости соответствующего нелинейного члена. Таким образом, предполагается, что матрица линейных членов наших уравнений приведена к диагональному виду, а нелинейность является слабой в силу малости величин yi. В предложенном Пуанкаре методе ставится задача нахождения такой аналитической замены переменных (yn )(z1,..., zn ), которая может обратить в нуль по возможности большее число коэффициентов при нелинейных членах в системе (17). Алгоритм последовательного зануления коэффициентов при нелинейных членах низших порядков приводит к изменению старых и возникновению новых членов более высоких порядков. Однако существенно, что зануление данного нелинейного члена в k-ом уравнении системы (17) может быть осуществлено без изменения коэффициентов перед другими членами того же самого порядка малости и перед членами более низких порядков. Искомое преобразование переменных при этом имеет вид: Л = zk +Zhkm1...m/r...zmn , (k = 1, 2, n),. (18) Каждый входящий в это преобразование коэффициент hkm1 m определяется через соответствующий ( одноименный ) коэффициент fk.m m системы (17) с помощью простой формулы: fk;m m , hkm1.-m = ) . (19) 1 n Д(km1 mn) Знаменатель этой формулы Д(к (20) мы будем называть индикатором резонансности. Преобразования (18)-(20) могут, очевидно, обратить в нуль только коэффициенты перед теми нелинейными членами, которым соответствуют Д(к m1...mn)) 0. Это связано с тем, что в резонансном случае индикатор резонансности равен нулю и преобразование (18) не может изменить коэффициент fk, т . Таким образом, оказывается возможным редуцировать исходную систему дифференциальных уравнений к так называемой нормальной форме с точностью до членов любого фиксированного порядка малости, в которой присутствуют только резонансные члены. Именно этот факт и составляет содержание теоремы Пуанкаре-Дюлака. В заключение заметим, что процесс нормализации можно существенным образом упростить за счет применения методов теории групп Ли [7], что, в свою очередь, ведет к возможности его эффективной алгоритмизации (приведенные в настоящей работе результаты нормализации получены с помощью специальной компьютерной программы, написанной нами в среде MAPLE). Применим теперь метод нормализации к рассмотренной в основном тексте статьи системе дифференциальных уравнений (15) Для этого сведем ее к автономной системе трех уравнений второго порядка введением уравнения }13 + 2/л3 = 0 с начальными условиями ju3(0) = 1, (л3(0) = 0, что приводит к его Сводя полученную систему уравнений второго порядка к шести уравнениям первого порядка, диагонализируя ее линейную часть и изменяя обозначения переменных, получим дифференциальные уравнения в готовом для начала нормализации виде: (15) решению вида /л3 cos(V2r). у = 2iy1 + iaA(y3 у 5 + у 3 у 6 + у 4 у 5 + у 4 у 6 ) У 2 = 2у 2 iaA(y3у5 + у3у6 + у4у5 + у4у6 ) = 42у3 + 42аа(у1у5 + у1у6 + у 2 у5 + у 2 у6 ) у 5 = у 6 = у6 В результате нормализации этих уравнений с точностью до членов третьего порядка малости включительно, получим следующую систему: zx = 2Ц (1 -a1 A2 Z5 Z6) Z2 =-2iz 2 (1 -a2 A2 Z5 z6) z3 = iV2z3 -iV2a2A2z4z2, Г Г 2 5 2 (22) z4 = -Ы 2z4 + Ы 2a A z3 z62, z5 = i42z5, z6 =-i42z6. Эта система уравнений допускает точное решение простого вида. Действительно, из двух последних уравнений имеем z 5 (t ) = в' 2t, z 6 (t ) = e-i 2t, откуда z 5 z 6 = 1. Тогда из первых двух уравнений получим , ч 2if1-a2A2 Г 2 2G (23) -2i 1-a2A2 It Далее ищем z 3 и z 4 в форме z4 (() = eV(t), } в результате чего получим из двух вторых уравнений системы (22) следующие уравнения относительно функций /u(t) и v(t): ii = -iV2a2 AV, (25) v = H 2a2 A2/. Отсюда находим = 2a4 A 4/i и, следовательно, /i(t) = Qe2A2t + C4e-r2alAh . В результате подстановки этих выражений в (24) приходим к следующему общему выражению для переменных z3 и z4 : Г 2 2 > (26) -V2a2 A2t , (t) = ie2t C3er2a2a2 - C4ea2 } Формулы (23), (26) и дают точное решение системы нормализованных уравнений (22). При этом из (26) видно, что возбуждение спящих мод начинается уже при сколь угодно малых значениях амплитуды A в левой части уравнений (15). С помощью обратной замены переменных (z1,...,zn)- (У^,---,yn) из этого решения можно получить приближенное аналитическое решение системы (15). С учетом разложения этого решения по степеням малой величины (aA) и отбросом членов, начиная с тех, которым соответствуют коэффициенты порядка (aA)3, получим /и1 (() = B1 cos[( - a2 A2 )t + S1 ]+ aAB2 [- cos 82 + cos(2>/21+ 52)]+ + a2 A2 B, 3 - 2V2 2( + V2 -a2 A2 )t + S1 3 + 2V2 -cos 2(2 1 + a2 A2 ju2 (() = B2 cos((21 + 82)+ aAB1 {- (1 + V2)cos[(2 V2 - 2a2A2)) + 81 ((2 - 1)cos[(2 V2 - 2a2A2)t + 1J+ + a2 A2 B2 V21 sin ((21 )+cos(3V21 + ) (27) В рассматриваемом приближении о потере устойчивости при сколь угодно малых значениях (aA) свидетельствует наличие в выражении для 2 (t) секулярного члена a2 A 2V21 sin(V21-82). (28) Литература [1] К.Г. Жуков, Д.С. Рябов, Г.М. Чечин, Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек, Электронный журнал Исследовано в России , 137 (2003) 1616-1644, http: zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/137.pdf. [2] G.M. Chechin, N.V. Novikova, A.A. Abramenko, Bushes of vibrational modes for Fermi-Pasta-Ulam chains, Physica D 166 (2002) 208-238. [3] G.M. Chechin, V.P. Sakhnenko, Interactions between normal modes in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry. Exact results, Physica D 117 (1998) 43-76. [4] Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М.: Наука, 1979, 830 с. [5] B. Rink, Symmetry and resonance in periodic FPU chains, Physica D 175 (2003) 31-42. [6] P. Poggi, S. Ruffo, Exact solutions in the FPU oscillator chain, Physica D 103 (1997) 251. [7] В.Ф. Журавлев, Д.М. Климов, Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 326 с. [8] G.M. Chechin, A.V. Gnezdilov, M.Yu. Zekhtser, Existence and stability of bushes of vibrational modes for octahedral mechanical systems with Lennard-Jones potential, Int. J. Non-Linear Mech. 38 (2003) 1451-1472. [9] В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Симметрийные правила отбора в нелинейной динамике атомных смещений, Докл. Акад. Наук 330 (1993) 308-310. [10] В.П. Сахненко, Г.М. Чечин, Кусты мод и нормальные колебания для нелинейных динамических систем с дискретной симметрией, Докл. Акад. Наук 338 (1994) 42-45. 1 2 |
© 2024 РубинГудс.
Копирование запрещено. |