Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Обоснование сходимости пропорциональных

1 2

Обоснование сходимости пропорциональных алгоритмов перераспределения прибыли

Корниенко С.А. (korn@adm.les.lipetsk.ru)

Липецкий государственный технический университет

1. Истоки проблемы

В [9] отмечено, что согласно общему правилу, добровольная сделка двух человек взаимовыгодна . В соответствии с основными положениями экономики [2], главным координирующим её механизмом является рыночная система, интересующая нас как система ценообразования. Рынок, в самом широком смысле этого слова, - это институт, механизм, осуществляющий контакт между продавцами и покупателями, производителями и потребителями товаров и услуг - то есть взаимодействие экономических партнёров. При этом рынки могут принимать самые разнообразные формы. Взаимодействие партнеров, в конечном счете, формирует систему цен на товары. Система рынков и цен играет роль основной организующей силы.

Не смотря на то, что рыночная система представляет обезличенный, беспристрастный механизм, возникающее на её основе распределение прибылей может порождать экономическое неравенство. Этим определяется необходимость в механизмах перераспределения прибылей внутри групп экономических партнёров [1].

В условиях административно-плановой системы роль такого глобального механизма исполняло государство. В условиях рыночной экономики партнёрам самостоятельно приходится решать подобные задачи. Возникла необходимость в локальных механизмах, осуществляющих регулирование цен производителями и потребителями на основе некоторых принципов, которые в общем виде можно обозначить как принципы равной выгоды .

В соответствии с [6], если в результате сделки я получаю прибыль, равную, допустим, 1/5 вложенного капитала, я должен позаботиться о том, чтобы такая прибыль была и у моего партнёра. Нужно думать и о своём кармане, и о кармане партнёра: это только на первый взгляд невыгодно, но в дальнейшем себя оправдает .

Обычно принцип равной выгоды основывается на некоторой мере, позволяющей количественно оценить выгоду, получаемую тем или иным участником сделки. Эта мера формируется в зависимости от подхода к рассмотрению экономических отношений.

Принцип равной выгоды - это набор условий, заключающихся в равенстве мер выгоды для всех партнёров, участвующих в экономических отношениях. При выполнении этих условий можно считать, что все партнёры в группе находятся в одинаково выгодном положении.

В зависимости от подхода к рассмотрению экономических отношений, принципы равной выгоды делятся на статические (экономические отношения рассматриваются вне зависимости от времени) и динамические (экономические отношения определятся процессами во времени [3-4]). Динамические принципы равной выгоды изложены и проанализированы в [7]. А настоящая задача возникает при подробном рассмотрении одного из статических принципов равной выгоды: принципа пропорциональности прибыли активам. Этот принцип гласит: равная выгода достигнута тогда, когда отношение прибыли партнёра к его активу - той сумме, которую он вкладывал в сделку -для всех партнёров одинаково. То есть это отношение используется в качестве меры выгоды у партнёра.



2. Постановка задачи

Итак: у нас есть группа из n партнёров, участвующих в экономических отношениях. Каждый партнёр характеризуется следующими параметрами: Ki - актив - средства,

вложенные в экономические отношения; Я1 - прибыль, которую партнёр хочет получить.

Считается, что все партнёры будут находиться в условиях равной выгоды, если будет выполняться соотношение:

Я, Я2 Я3 Пп

- = - = - = (1).

V V V V

Однако в первоначально это условие обычно не выполняется.

Активы Ki = const в данном случае постоянные величины: на период распределения

прибылей все партнёры уже вложили средства в сделку или хотя бы точно знают, сколько они вложат. Поэтому достичь рассматриваемого равенства можно только за счёт изменения желаемой прибыли Я1.

На прибыль тоже накладывается условие: сумма прибылей всех партнёров не должна изменяться: Я1 + Я2 + ... + Яn = const. Это связано с тем, что выравнивание партнёров

должно производиться за счёт перераспределения капитала внутри сделки. Нельзя вносить в сделку дополнительный капитал или выводить капитал из сделки, хотя бы потому, что в момент распределения прибыли сделка может быть уже завершена, и возможности изменить общую прибыль системы не будет.

Таким образом, для достижения равной выгоды, должно произойти внутреннее перераспределение прибыли: сформироваться новые Я*, Я 2Я *, такие что

я; + Я22+... + Я* = Я, + Я2 +... + Я

Я * Я * Я 2 Я 2 (2).

111 = 11 2 = 11 3 = 11 n

К1 К2 К3 Kn

Это система из n уравнений с n неизвестными. Нетрудно показать, что решение этой системы определяется следующим выражением:

Я2=-1-2-. Rt, i = 1, к, n (3).

То есть, чтобы получить прибыль, при которой каждый из партнёров будет находиться в равной выгоде с остальными, необходимо суммарную общую прибыль разделить пропорционально активам партнёров.

Конечно, самым лучшим вариантом было бы собрать всех партнёров за одним столом и, обладая значениями актива и желаемой прибыли каждого из партнёров, перераспределить их общую прибыль: вычислить прибыли равной выгоды. Этот способ весьма хорошо реализовывала бы плановая экономика, где Госплан СССР выступал в роли лица, объединяющего предприятия отрасли и распределяющего их прибыль.

Теперь же, во времена рыночной экономики, механизм централизованного перераспределения прибыли отсутствует, и партнёрам приходится договариваться самостоятельно. И если экономические отношения, в которые завязаны партнёры, достаточно сложны, то собрать всех партнёров в одно время за одним столом вряд ли



удастся - поэтому сразу все партнёры равновыгодно распределить свою общую прибыль не смогут.

Здесь на помощь нас приходит механизм взаимодействий группами. Оказывается, что если выбрать группу из нескольких партнёров, их общую прибыль внутри этой небольшой группы перераспределить пропорционально их активам, затем выбрать ещё одну группу, состоящую из других партнёров, и так далее - процесс сойдётся к тому же состоянию, как если бы прибыли всех партнёров были распределены по формуле (3) за одним столом.

В результате взаимодействий изменяются значения прибылей взаимодействующих партнёров, а их активы остаются неизменными на всём протяжении процесса взаимодействия. Смысл каждого взаимодействия заключается в том, что суммарная прибыль партнёров, участвующих во взаимодействии, перераспределяется между ними пропорционально их активам:

г( X )

г( x+1)

п i =-Н--к< (4).

где: k - количество взаимодействующих партнеров; i - номер партнера, для которого вычисляют прибыль; j - индекс суммирования.

Впервые такая постановка задачи была предложена и экономически обоснована в [1]. Отдельные тезисы, на которых основывается доказательство факта сходимости, приведены в [8].

Для проверки сходимости в среде программирования Delphi был разработан программный продукт. Было проведено около 1000 машинных экспериментов (~ 6 часов машинного времени). В них использованы различные количества контрагентов, различные первоначальные значения прибылей и активов. Взаимодействие осуществлялось в случайном порядке. Результаты полностью подтвердили сходимость данных процессов.

Утверждается, что при бесконечном процессе взаимодействий значение прибыли каждого партнёра, вычисляемое по формулам (4), стремится к значению, определяемому формулами равной выгоды (3).

Задача настоящего исследования - сформулировать условия необходимые для сходимости процесса подобных взаимодействий, и доказать факт сходимости.

3. Доказательство

Рассмотрим бесконечный процесс взаимодействий. Так как активы партнёров при этом не изменяются, а изменяются только значения прибылей, то из текущих значений прибылей всех партнёров на каждом шаге можно составить левую часть таблицы:

п<0)

к П0)

п2(1)

Г

в правой же части - характеристика каждого этапа взаимодействия, равная сумме модулей разностей прибыли партнёров (на текущем этапе) и значений равной выгоды,



вычисленной по

формуле (3): А* = IЯ1

Я

Покажем, что с каждым шагом

значение Ах не возрастает.

Рассмотрим первый шаг взаимодействия, в котором участвует k партнеров из общего их числа n. Введем коэффициент равной выгоды:

c=я a+п°+...+я n

ка + kb + ... + kn

IЯ j0)

(5),

и докажем, что в результате взаимодействия k партнеров суммы модулей разностей (обозначим их за А*) прибыли взаимодействующего партнёра и значения c . ki - не возрастают.

До взаимодействия 1 -й партнёр характеризовался прибылью: Я

А после

взаимодействия

Ki. Значение равной выгоды 1 -го партнёра:

Я* = C . K1. Искомая величина А* до взаимодействия равна:

Л(0) =

I Я1(0) - К1 C (6), а после взаимодействия

(7).

Умножив левые и правые части (6) и (7) на IK

получим:

до взаимодействия

А(о .IKj = IKj -I Я0 - К, .C

j=1 V j=1 ) v 1=1 после взаимодействия

(8),

к ( к \

if I Kj = 11 Kj

j=1 V j=1 )

I= K

k - kx. c



V J=1 J

I п.Г

к,- К C

V J=1

Ki - Ki C

1 j=1

Г k Л

Ki

I п T - C

I Kj

V j=1 J

IiJIJ - C KJ

VI=K J

V =1J

Преобразуем выражения (8) и (9):

40) I Kj = k [I п<°> - K c ]+k 2 [II п<°> - K c\ ] +...+Kk [I п<°> - K.. c ],

A(1)-I Kj = K

I (nГ - с Kj) + к2 (я<0) - с Kj) + ... + Kk -I (я<0) - C Kj

J=1 J=1 J=1

J 1 I lJ 1

Так как, согласно неравенству треугольника

II п Г1 - к., с >

I(n Г - с к

A(0) > A(1).

Замечание 1. Так как в результате взаимодействия изменяются значения П

только взаимодействующих партнёров, то поскольку значения Ai взаимодействующих партнёров не возрастают, то не возрастают и соответствующие значения всех партнёров.

Так как величина

Ax =I П

i =1

(x) - п*

положительна (сумма модулей) и не

возрастает, то по теореме Вейерштрассе, она имеет конечный предел, равный A*:

я( x) - к, с + П 2x) - к 2 с

+ ... +

п (п x) - Kn с

-- A*

Необходимо доказать, что модули разностей Рассмотрим одно взаимодействие:

пx - Ki с

также сходятся.

A0

I kj

I kj

V J =1 У

V =1 J

A1

I kj

I Kj

V J=1 J

V =1 J

V =1

II Г - к, с

A0 >A1

I п0 - к, с >

I(( Г - к,- с

(10)

Неравенство (10) - это неравенство треугольника.

Если все числа (пi(0) - К C) одного знака, то это неравенство превращается в равенство, так как модуль для всех элементов определён одинаково:

п(0) - к, с

п

К C V/, либо п<0) - Ki с = -п(0) + к, с V/.



В других случаях, если среди чисел (я 1(0) - K1 . C) найдутся числа разных знаков, то значение А будет строго уменьшаться: А1 < А0.

Для того, чтобы в результате взаимодействия партнеров значение А не изменялось, необходимо, чтобы все (я - K1 . C) были одного знака.

Определим, как изменяется А в результате данного взаимодействия партнеров. Для тех партнёров, которые участвуют в текущем взаимодействии, разделим все числа

разности - K1 . C) на две группы:

положительные + (я1 - k1 . c) и отрицательные

(я 1 - k, . c).

Нулевые значения рассматривать не будем, так как никаких изменений в неравенство треугольника они вносить не будут.

Рассмотрим две суммы:

сумму всех положительных взаимодействующих элементов I (Я 1 - K1 . C) > 0;

и сумму всех отрицательных взаимодействующих элементов I (я 1 - K1 . C) < 0 . Возможны два случая перед взаимодействием:

1(яГ - K,.с)>1(я< > - k, .c\

А0 =I

я <0) - к,. с

Iя - к,. с +Iя - к,- с

= 1(я -к,. с)-1(я/ -к,. с)

а1 = 1(я Г-к,. с) = I (я < >-к,. с )+1{я Г-к,. с) = 1(я Г' - к,-с )+1(я ,< > - к,-с)

1(я 0 - к,. с|

откуда видно, что значение А(0) увеличилось на 2 .

Здесь А составлено только из взаимодействующих элементов. Однако, так как прибыль не взаимодействовавших на данном шаге партнёров останется неизменной, то приращение разности А, составленной из всех (а не только взаимодействовавших) элементов, не изменится.

1(я < > - к,. с )>1(я ,< > - к,- с\

А0 = I\Ят - К .C = I Я (0) - К..C +I Я (0) - К .C

= 1(я,(0) - к,. с)-1(я(0) - к,. с)



= -!(л < > - к, с< > - к,. с)

откуда видно, что значение A уменьшилось на

к, с

Таким образом, в результате взаимодействия изменение (уменьшение) A составит удвоенное значение наименьшего модуля суммы взаимодействующих элементов

(п- Ki C) одного знака (положительного либо отрицательного).

Таким образом, для сходимости A (как показано выше, A сходится), необходимо и достаточно:

An -Am\<s, An -Am < 2s, An+1 -An\ < 2s,

Vs> 0 3N > 0 Vn, m > N Vs> 0 3N > 0 Vn, m > N Vs > 0 3N > 0 Vn > N

Vs> 0 3N > 0 Vn > N 2

Vs > 0 3N > 0 Vn > N

или -

I((i -Кг C)<s.

То есть из сходимости A следует, что наименьший модуль суммы взаимодействующих элементов (п/ - Ki C) внутри текущего взаимодействия имеет один и тот же знак (положительный либо отрицательный) и сходится к нулю.

Замечание 2. Характер сходимости A (монотонность, равномерность) пока неизвестен.

Замечание 3. Из утверждения о сходимости A следует, что при возрастании числа шагов на каждом шаге внутри группы взаимодействующих элементов должны остаться только значения (пi - Ki C) одного знака или равные нулю.

Покажем , что в этом случае значения (пi - Ki C) будут одного знака или равны

нулю не только у группы взаимодействующих на данном шаге партнёров, но и у всех партнёров, участвующих во взаимодействиях.

Для этого определим, какие бесконечные процессы взаимодействий мы рассматриваем:

- ни один из партнёров не выбывает из взаимодействий полностью;

- партнёров при взаимодействии нельзя разделить на несколько несвязанных между собой групп.

Математически это можно описать следующим образом.

Построим граф: вершины - партнёры, а рёбра


Рис. 1 - взаимодействие 1-2-3

+ или -



соединяют партнёров, взаимодействующих друг с другом (рис. 1).

Если на таком графе изобразить все взаимодействия, произошедшие после некоторого шага p, то получим следующее правило:

Бесконечный процесс взаимодействий назовём правильным , если граф взаимодействий, произошедших после некоторого шага p, будет связным, какое бы

большое число p мы не взяли. Например (рис. 2, рис 3). Правильные взаимодействия -

это и есть область применения формул равной выгоды .

Покажем, что при возрастании числа шагов значения (Пt - Ki C) будут одного знака или нули не только у группы взаимодействующих на данном шаге партнёров, но и у


Рис. 2 - несвязный граф => Рис. 3 - связный граф => правильное

неправильное взаимодействие 1-2-3-4, взаимодействие 1-2-3, 2-4, 4-5-6, 1-2-3, 2-4, 5-6-7-8. 1 -2-3-4, 5-6-7-8, ... 4-5-6, ...

всех партнёров, участвующих во взаимодействиях.

Предположим противное: пусть внутри каждого взаимодействия все значения (П - Kt C) одного знака или нули, но для любого шага p найдутся два таких последующих (произошедших когда-либо после шага p) взаимодействия, что знаки (П - Ki C) у одного и у другого будут разные.

Зафиксируем этот произвольный шаг p, а также элемент A - из первого и элемент B - из второго взаимодействия.

Так как граф взаимодействий для любого p будет связным [5], то можно найти набор рёбер a, b, c, ..., m , соединяющий вершины A и B графа (рис. 4).

Каждое ребро представляет собой взаимодействие, а, по принятому нами условию, все


Рис. 4 - набор ребёр A

(взаимодействий), соединяющий Рис. 5 - Замена знака в цепочке

вершины (партнёров) A и B взаимодействий партнёров

значения (Пt - Ki C) участвующих во взаимодействии партнёров одного знака или нули.



Сначала предположим, что нули отсутствуют.

Тогда будем двигаться от A к B и от B к A . Так как знаки у A и B разные, то где-то должна произойти перемена знака (рис. 5). То есть найдётся взаимодействие, в котором будут участвовать элементы, значения (Пi - Ki C) которых будут иметь разные знаки. Что противоречит доказанному ранее.

Аналогично исключается возможный переход (П t - Ki C) через ноль (рис. 6). Для

того, чтобы в результате взаимодействия (П\ - Ki C) стало равно нулю, необходимо,

чтобы у участвовавших во взаимодействии элементов разности (Пi - Ki C) имели бы

разные знаки (тогда по неравенству треугольника А уменьшится), либо они обе были равны нулю (что невозможно, так как A и B строго положительны или отрицательны), что и доказывает противоречие.


Рис. 6 - Переход (nt - Kt C) через

Итак, при возрастании числа шагов значения (Пt - Kt C) будут одного знака у всех партнёров, участвующих во взаимодействиях.

Из формулы равной выгоды (5) находим

П(0) + п20) +... + п(п0) = c (к1 + к2 +... + Kn)

А так как в результате взаимодействий общая сумма прибылей не изменяется, на любом шаге x имеет место равенство

п[ x) + П2х; + к + п

и, следовательно,

П(0) + П 200 + к + П

г (00

П( x) + п 2x) + к+п [x) = с (k + K 2 + к+Kn), (П( x) - с к, )+(п 2x) - с к 2)+ к + (п Пx) - с Kn )= 0.

Либо все разности ((7;. - Ki C) равны нули, либо среди них обязательно найдутся положительные и отрицательные, такие что:

£((7x) - C K, ) = £((7x 1 - C K,).

Выше показано, что при возрастании числа шагов все разности (Пi - Ki C) будут иметь один знак (положительный или отрицательный) или равны нулю.



Следовательно, что и доказывает

формулы равной выгоды .

4. Выводы

Отвлекаясь от экономической тематики, можно обнаружить, что поставленная задача (назовём её Задачей о пропорциональном распределении) имеет очень простую формулировку и весьма широкое применение: имеется некоторое количество объектов, обладающих постоянной числовой характеристикой - удельным весом, и переменной характеристикой - уже имеющей определённое значение. Необходимо доказать, что если рассматривать по несколько объектов и распределять их общую переменную характеристику пропорционально их удельным весам, то общий результат подобного процесса будет такой же, как если бы сразу разделили общую суммарную переменную характеристику между всеми объектами.

Ещё проще выглядит задача на песочной модели. Представьте себе лист фанеры, на которой разложены кучки песка, и около каждой из них подписано некоторое число. Можно долго брать по несколько кучек песка, смешивать их, а потом распределять пропорционально их числам. А можно сразу весь песок высыпать в ведро, а потом разложить по кучкам.

Факт сходимости практически очевиден, однако его полное строгое доказательство оказалось весьма трудоёмким.

Рассмотренная задача может найти применение также и в других областях деятельности человека, где имеются процессы перераспределения, например в химической физике и молекулярной динамике, где в последние годы, благодаря совершенствованию лазерной спектроскопии, стало возможным исследование детальных

микроскопических химических и биологических процессов на фемтосекундной (10 15 сек.) шкале времени. Одним из направлений современных научных работ, здесь, является исследование механизма перераспределения колебательной энергии в процессе реакций.

Литература

1. Блюмин С. Л. Пропорциональные алгоритмы перераспределения прибылей экономически целесообразны / С.Л. Блюмин, В.Ф. Суханов, А.В. Яриков Наука и технология в России. - 1994. - №3(5). - С.12-13.

2. Брю С. Экономикс. В 2-х т. Т.1 / С. Брю, К. Макконнелл. - М.:Республика, 1992. - 470с.

3. Вэриан Х. Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. / Х. Р. Вэриан. - М.:Юнити, 1997. - 768 с.

4. Гребенников П.И. Микроэкономика / П.И. Гребенников, А.И. Леусский, Л.С. Тарасевич. - СПб:Изд-во СПбГУЭФ, 1998. - 448с.

5. Зыков А. А. Основы теории графов / А. А. Зыков. - М.:Наука, 1987. - 381с.

6. Ким У Дж. Этот великий мир бизнеса / Дж. Ким У. - М.:Русслит, 1992. - 160с.

7. Корниенко С.А. Методы расчета параметров взаимодействия экономических партнёров / С.А. Корниенко Научно-техническая конференция технических ВУЗов центральной России. - Орёл, 1999. - С. 177.

8. Корниенко С.А. Пропорциональный алгоритм взаимодействия экономических партнёров / С. А. Корниенко Сборник научных трудов преподавателей и сотрудников, посвященный 45-летию Липецкого государственного технического университета. Часть 3.

- Липецк, 2001. - С. 22-24.





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.