ПРОЕКЦИОННОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ПО НАЧАЛЬНЫМ СКОРОСТЯМ ДЛЯ ИСТОЧНИКА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ

ЧЕБУРКИН А.Н. (ach@kapella.gpi.ru) (1), ХАРЧЕНКО С.А. (2) (1) Институт общей физики РАН, (2) Вычислительный центр РАН

I. ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях современной физики представляет интерес знание функции распределения по начальным энергиям и углам вылета для электронов, эмитированных некоторым источником,.

Функция распределения электронов играет важную роль при изучении характеристик фотокатодов и явления фотоэффекта, в исследованиях по ионизации и надпороговой ионизации газов, в методах электронной спектроскопии и электронной дифракции.

Описание свойств источника электронов в рамках классического подхода предполагает известным количество электронов с определенной энергией, вылетевших в данный момент времени из данной точки источника в заданном направлении. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением мгновенного точечного источника. Под функцией распределения мгновенного точечного источника будем понимать плотность вероятности нахождения электронов в точках пространства скоростей. Если задавать положение точки в пространстве скоростей в сферических координатах, то вылетевшие из источника электроны следует характеризовать начальной энергией и двумя углами, определяющими направление вылета.

Число электронов d N в элементарном объеме пространства скоростей dV, выраженном в сферических координатах, в окрестности точки с координатами (еДср) имеет вид:

d3N = p(e,6,p>)dV, (1)

где р(еДф) - функция распределения в сферических координатах. Здесь 8 -начальная энергия электронов, рр и 6 - полярный и азимутальный углы в пространстве скоростей.

В настоящей работе предлагается метод экспериментального определения функции распределения электронов по начальным энергиям с угловым

разрешением. В работе рассматривается случай, когда начальное распределение электронов обладает осевой симметрией. По сравнению с существующими способами определения функций распределения электронов [1-5] предлагаемый метод имеет следующие преимущества. Распределение определяется для всех направлений вылета электронов из точечного источника. Восстановление распределения возможно по однократному испусканию электронов источником. Регистрируются все электроны, вылетевшие из источника. Метод является невозмущающим в смысле отсутствия между источником электронов и детектором сеток, щелей, диафрагм.

II. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА

Пусть изучается некоторая функция распределения электронов по начальным энергиям и направлениям вылета для точечного мгновенного источника электронов (в дальнейшем - функция распределения). Поместим на некотором расстоянии от источника плоский приемный элемент (экран), на котором может регистрироваться пространственное распределение попавших на него электронов. Между источником и приемным элементом может прикладываться электромагнитное поле различных конфигураций.

Основная проблема восстановления функции распределения в такой схеме эксперимента заключается в следующем. В общем случае имеются три независимых переменных, от которых зависит функция распределения. Таковыми можно выбрать, например, декартовы координаты в пространстве начальных скоростей. На экране мы имеем информацию о распределении интенсивности электронного изображения, зависящую только от двух независимых пространственных переменных. При этом каждая точка изображения на экране соответствует, вообще говоря, кривой в пространстве начальных скоростей. То есть все электроны, соответствующие точкам в пространстве скоростей на этой кривой, попадают в заданную точку экрана. Двум различным точкам экрана будут соответствовать две непересекающиеся кривые в пространстве скоростей. Будем называть кривую в пространстве скоростей, соответствующую определенной точке регистрирующего экрана, изолинией.

По интенсивности электронного изображения в точке экрана нельзя однозначно восстановить функцию распределения электронов на соответствующей этой точке изолинии. Поэтому по одному изображению на

регистрирующем экране в общем случае невозможно однозначно восстановить трехмерную функцию распределения. Для однозначного решения обратной задачи нахождения функции распределения необходимы независимые варьируемые параметры, характеризующие каждое полученное распределение интенсивности электронов на плоском экране. В качестве таких независимых варьируемых параметров могут выступать величины, характеризующие электромагнитное поле в пространстве между источником электронов и экраном, расстояние между источником и экраном, угол между нормалью к экрану и вектором, характеризующим испускательную диаграмму направленности источника, время регистрации изображения на экране.

Задача восстановления упрощается, если функция распределения обладает свойствами симметрии. Например, часто из физических соображений или из симметрии эксперимента функция распределения обладает осевой симметрией и при соответствующем выборе системы координат может зависеть только от двух переменных. Тогда при определенном относительном положении источника и экрана достаточно будет только одного изображения на экране для восстановления такой осесимметричной функции распределения.

2. СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТА

Пусть имеется точечный мгновенный источник электронов О, обладающий симметричной относительно оси ОZ функцией распределения (рис. 1). Поместим источник в однородное ускоряющее электроны электрическое поле E, перпендикулярное оси OZ. На расстоянии b от источника и перпендикулярно электрическому полю E поместим плоский регистрирующий экран P. Ось OX направим от источника к экрану, параллельно направлению электрического поля. Ось OY параллельна плоскости экрана и образует ортогональную систему координат ОXYZ с началом в точке нахождения источника О.

РИСУНОК 1. Схема эксперимента по восстановлению функции распределения.

Будем представлять функцию распределения электронов в виде ограниченного тела с переменной плотностью в пространстве скоростей. Плотность тела соответствует искомой функции распределения. Введем в пространстве скоростей прямоугольную систему координат. Направление осей выберем так, чтобы проекции скоростей электронов Vx, Vy, Vz были проекциями на оси ОVx, ОVy, ОVz (рис. 2).

A Vx

РИСУНОК 2. Восстанавливаемый двумерный слой функции распределения в пространстве скоростей.

Рассмотрим плоское сечение функции распределения перпендикулярное оси О^. Предположим, что максимальная начальная энергия электронов много меньше энергии, приобретаемой электронами в ускоряющем поле. Тогда можно

показать, что с достаточной точностью такое сечение в пространстве скоростей отображается в параллельный оси OY отрезок на экране P.

Слой функции распределения (У2сл -s- У2сл+с1У2), лежащий между двумя близкими плоскими сечениями перпендикулярными оси ОУ2, отобразится в щель на экране. Эта щель ограничена двумя параллельными оси OY отрезками, соответствующими сечениям У=У2сл и У=У2сл+с1У2. Центр щели лежит на расстоянии 2сл от начала координат вдоль оси OZ:

где m и e - масса и заряд электрона. В дальнейшем эту щель будем называть регистрирующей щелью.

Разделим всю функцию распределения в пространстве скоростей на совокупность плоских слоев перпендикулярных оси ОУ2. Если восстановить функцию распределения в пределах каждого слоя, то это будет означать восстановление всей функции распределения в целом. Каждому слою функции распределения соответствует определенная регистрирующая щель на экране P. Таким образом, при указанном допущении задача восстановления осесимметричной функции распределения может быть разбита на совокупность одномерных задач восстановления функции распределения в тонких слоях, перпендикулярных оси ОУ2 по одномерным изображениям в соответствующих регистрирующих щелях.

3. УРАВНЕНИЕ ИЗОЛИНИИ

Рассмотрим задачу восстановления распределения электронов в тонком слое перпендикулярном оси ОУ2. Введем в плоскости ОУХУУ полярные координаты (У,ф). Здесь У - радиус-вектор точки, ф - угол, отсчитываемый относительно положительного направления оси ОУХ. Уравнения движения электрона с проекциями начальной скорости (УХ,УУ) в однородном электрическом поле E, направленном вдоль оси OX, имеют вид:

где т - время пролета электрона от источника до экрана, a=eE/m - ускорение электрона в однородном электрическом поле.

y = Уу * т = УБШф * т

b = Ух * т + ат/2= УсоБф * т +

Введем безразмерный параметр

-- (6)

Fosinp у 2(b - у ctg<p)

Смысл уравнения (6) следующий. Если точки пространства скоростей, характеризующие векторы скоростей эмитированных электронов, лежат в плоскости рассматриваемого сечения на кривой (6), то соответствующие электроны попадают в одну и ту же точку регистрирующего экрана с координатой y (рис. 3). При этом данная точка лежит в пределах щели, параллельной оси OY и соответствующей рассматриваемому сечению. Таким образом, определено уравнение изолинии, соответствующее точке регистрирующей щели с координатой y.

В рассмотренном случае однородного электрического поля удалось получить явный вид уравнения изолинии. В случае более сложных электромагнитных полей исключение времени из уравнений движения электрона может оказаться затруднительным. Однако получение явного вида уравнения изолинии не является обязательным. Для реализации метода существенна возможность решения прямой задачи отображения на экран электронов с заданными начальными параметрами. Соответствующие численные методы разработаны и успешно применяются на практике [6].

4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ.

Понятие изолинии помогает наглядно описать предлагаемый метод восстановления. Выберем на регистрирующей щели две точки с координатами y1 и y2 (рис. 3). Этим точкам будут соответствовать две изолинии r1=r(9,y1) и r2=r(cp,y2), лежащие в рассматриваемом сечении в пространстве скоростей. В отрезок регистрирующей щели, ограниченный точками y1 и y2, попадут те и только те электроны, которые лежат между изолиниями r1=r(p,y1) и r2=r(pp,y2). Число этих электронов равно

AN = \\p(r,pp)ds ,(7)

где Vo - максимальная скорость в выбранном сечении. Из определения (5) следует, что функция распределения электронов в пространстве скоростей может быть отлична от 0 только в пределах круга г=1.

Исключим время из уравнений (3) и (4). После элементарных преобразований получаем:

у

где р(г,ф) - искомая функция распределения, ds = г*с1гМф - элемент площади в полярных координатах, а область интегрирования S обозначает область в

рассматриваемом сечении функции распределения между изолиниями гг и г2.

РИСУНОК 3. Изолинии в восстанавливаемом слое.

Величина AN количества электронов, попавших на экран в ячейку с границами уг и у2 может быть измерена экспериментально. Для этого в качестве регистрирующей щели следует выбрать регистрирующую электроны систему с пространственным разрешением. Такими системами являются, например, электроночувствительные ПЗС-матрицы или стандартные системы регистрации электронных изображений в электронно-оптических камерах.

Соотношения (7) могут быть записаны для всех пространственных ячеек, которые имеются на регистрирующей щели. В результате получится система интегральных уравнений с искомой подынтегральной функцией.

В рассматриваемом случае, когда известно уравнение изолинии (6), удобно перейти от понятия числа электронов в ячейке экрана к величине интенсивности числа электронов в точке экрана. Будем сближать точки уг и у2 экрана. В результате перейдем к пределу числа электронов AN в малой окрестности Ay точки экрана у. Предел отношения AN/Ay в физически малой окрестности точки экрана можно трактовать как интенсивность количества электронов, попавших в эту точку. Такая кривая интенсивности вдоль направления регистрирующей щели может быть получена путем обработки экспериментальных данных чисел электронов в ячейках этой щели. Поделив левую и правую части уравнения (7) на длину ячейки dy и переходя к пределу у2- уь получим:

i(y)

dN dy

где r=r(p,y) - уравнение изолинии (6) в явном виде, dr/dy - производная,

получаемая из уравнения изолинии (6), Ф - интервал между углами, соответствующими точкам пересечения изолинии и границы восстанавливаемого

Таким образом, проблема восстановления функции распределения в плоском сечении пространства скоростей сводится к задаче восстановления функции p(r,pp) по известным значениям интеграла (8) для различных изолиний.

В компьютерном эксперименте экспериментальными данными I(y) являются результаты аналитического или численного расчета интенсивности

распределения электронов на экране по заданной модельной функции распределения p(r,pp).

Уравнение (8) является интегральным уравнением Фредгольма I - го рода. В литературе показывается [7], что его решение относительно подынтегральной функции может не обладать свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных I(y). Поэтому задача восстановления плотности функции распределения является некорректно поставленной и требует использования соответствующих методов решения.

Постановка задачи восстановления функции распределения электронов в пространстве начальных скоростей и ее последующее сведение к системе интегральных уравнений очень похожи на постановку задачи реконструктивной вычислительной томографии и ее последующее математическое описание [8,9].

5. АЛГОРИТМ РЕКОНСТРУКЦИИ.

Для восстановления функции распределения p(r,pp) использовался алгебраический алгоритм реконструкции [8,9]. Этот подход предполагает дискретизацию восстанавливаемого изображения до начала процесса восстановления. Таким образом, задача с самого начала решается в дискретной форме.

Из-за осевой симметрии восстанавливаемое сечение является кругом с радиусом г=1 . Разделим этот круг на N концентрических колец с центром на оси OVz (рис. 4). В дальнейшем будем также называть кольца элементами разбиения.

сечения.

РИСУНОК 4. Элементы разбиения сечения функции распределения.

Искомая функция распределения считается непрерывной функцией. Будем восстанавливать ее в виде кусочно-постоянной функции, то есть считая функцию распределения постоянной в пределах каждого кольца. Выбор колец в качестве элементов разбиения с постоянной плотностью естественным образом вытекает из предполагаемой осевой симметрии задачи. При этом чем мельче разбиение, тем лучше полученная в результате восстановления кусочно-постоянная функция может приближать реальную функцию распределения.

Вклад элемента разбиения в общую интенсивность в точке регистрирующей щели пропорционален величине интеграла (8), вычисленного вдоль соответствующей изолинии в пределах рассматриваемого элемента разбиения.

Суммарная интенсивность в точке y регистрирующей щели описывается интегралом (8). При использовании дискретной модели этот интеграл трансформируется в конечную сумму. Интенсивность в точке y регистрирующей щели равна сумме вкладов отдельных элементов разбиения функции распределения, через которые проходит соответствующая изолиния.

Выделим на регистрирующей щели М точек, в которых измеряется интенсивность электронного изображения. Для каждой из этих точек можно записать уравнение (8) в виде конечной суммы. Таким образом, рассматриваемая модель приводит к неоднородной системе линейных алгебраических уравнений:

X А^р = 1=1,2 ... M. (9)

Здесь I(yi) - интенсивность в точке yi регистрирующей щели, полученная экспериментально (в физическом или компьютерном эксперименте); pj - искомые неизвестные величины, совокупность которых p={pj}, j=1,2 ...N, характеризует восстанавливаемую в сечении функцию распределения; Аij*pj - вклад j-го элемента разбиения в суммарную интенсивность в i-й точке экрана.

Выражение для Ац- получается из (8) вынесением постоянного в пределах j -го кольца значения плотности p(r,pp) = pj из под знака интеграла

Знак суммы в (10) обозначает суммирование по двум отрезкам пересечения изолинии и кольца, если таких отрезков два (рис. 4). Oj - интервал между угловыми координатами pp граничных точек отрезка пересечения изолинии и j-го кольца.

Все коэффициенты матрицы А={Ау} неотрицательны, так как представляют собой вклад в интенсивность количества электронов на экране.

Решение системы (9) должно быть набором неотрицательных чисел в силу физического смысла плотности вероятности распределения электронов. На решение системы могут накладываться и некоторые другие требования, вытекающие из физической задачи.

Система уравнений (9) имеет прямоугольную матрицу А. Эта система может не иметь решения в классическом смысле, то есть может не существовать вектора p такого, что Аp = I(y). Решение такой системы необходимо искать в виде вектора p, наилучшим образом удовлетворяющего системе (9) в смысле тех или иных критериев оптимальности.

Для решения системы (9) в настоящей работе использовался алгоритм реконструкции, основанный на квадратичной оптимизации. При решении системы находилось сингулярное разложение матрицы А и решалась задача наименьших квадратов путем минимизации разности левой и правой частей системы в смысле 2-нормы. Анализ получавшихся сингулярных чисел и сингулярных векторов матрицы А позволял судить о независимости и полноте информации, полученной в результате моделирования.

Сравнение восстановленного решения с первоначально заданным осуществлялось следующим образом. Проводилась дискретизация заданного модельного решения на выбранной сетке разбиения. Для этого вычислялась средняя плотность в каждом кольце разбиения по формуле: