Мифы о звукоизоляции Как построить дом из пеноблоков Как построить лестницы на садовом участке Подбираем краску для ремонта Каркасные дома из дерева |
Главная » Проекционное восстановление распределения 1 2 III. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 1. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. Компьютерное моделирование эксперимента и последующее восстановление функции распределения проводилось для двух распределений: р=1 в пределах круга г=1 и р=1- также в пределах круга г=1. Вне единичного круга в обоих случаях функция распределения полагалась равной нулю. Предполагалось, что область ненулевых значений функции распределения точно известна. Для обоих распределений моделирование включало следующие этапы. Этап 1 . Задание физических параметров эксперимента и разбиение функции распределения на кольца. К физическим параметрам эксперимента относятся: а) число точек экрана, для которых определяется интенсивность; б) длина регистрирующей щели; в) расстояние от источника до плоскости экрана; г) разность потенциалов между экраном и точкой, где находится источник; д) максимальная начальная энергия электронов в сечении восстановления. Также задавалось число колец, на которые разбивалась область определения восстанавливаемой функции распределения. Ширина всех колец была одинаковой. Искомые значения плотности в пределах каждого кольца предполагались постоянными. Этап 2. Вычисление по формуле (8) интенсивности на экране для заданной функции распределения. Формирование результатов эксперимента проводилось путем аналитического вычисления интегралов (8) для интенсивности в точках = 1 jj РистЙБ, j=1,2 ... N, (11) где рист - заданная модельная функция плотности, а интегрирование ведется по всей площади a рассматриваемого j-го кольца, S = jj ds - площадь j-го кольца. После этого проводилось сравнение вектора дискретизированного истинного решения и вектора восстановленного решения. Анализировалась относительная погрешность компонент восстановленного решения по отношению к соответствующим компонентам истинного решения. регистрирующей щели. Координаты этих точек определялись из заданных размеров щели и числа точек на экране. Расстояние между точками выбиралось одинаковым. Из-за предполагаемой осевой симметрии уравнения для точек регистрирующей щели с координатами y и -y идентичны. Поэтому уравнения составлялись только для точек экрана с y>0. В результате формировался столбец чисел - правая часть системы уравнений (9). Этап 3. Вычисление коэффициентов (10) - вкладов каждого элемента разбиения в интенсивность. Коэффициенты матрицы системы получались аналитическим вычислением интеграла (1 0) и выражались через параметры эксперимента и угловые координаты точек пересечения изолинии и границы кольца. Этап 4. Решение получившейся системы линейных алгебраических уравнений. Вычислялось сингулярное разложение матрицы коэффициентов А. Вектор решения вычислялся по соответствующим формулам через найденное сингулярное разложение матрицы А. Элементы найденного вектора решения являлись искомыми восстановленными плотностями функции распределения в каждом кольце разбиения. Этап 5. Нахождение истинного дискретизированного решения. Заданное аналитическое распределение p представлялось в виде вектора с компонентами, вычисленными по формуле (11 ). Этап 6. Сравнение вектора восстановленного решения с вектором истинного дискретизированного решения. Для определения качества восстановления вычислялась относительная погрешность соответствующих компонент указанных векторов. Другими словами, определялась относительная ошибка двух плотностей в каждом кольце разбиения. Максимальная длина щели в экспериментах была равна 10 мм, то есть не превышала реальные линейные размеры стандартных ПЗС - матриц. Расстояние между точками щели, в которых определялась интенсивность электронного распределения, не должно быть меньше размера отдельного разрешающего элемента щели. Так, например, величина пиксела электроночувствительной ПЗС -матрицы примерно равна 1 2 мкм. В этом случае при одинаковом расстоянии между точками регистрации на щели число таких точек не должно превышать 1 0 мм/12 мкм ~ 800 точек. Расстояние между источником и экраном и разность потенциалов между точкой нахождения источника электронов и экраном должны быть согласованы между собой. Оптимальной в смысле полноты получаемой информации является случай, при котором все распределение электронов укладывается на длине регистрирующей щели. Расстояние между источником и экраном должно быть реальным с точки зрения создания экспериментального электровакуумного прибора. В проведенных компьютерных экспериментах оно составляло величину от единиц до нескольких десятков сантиметров. Величина электрического поля ограничена снизу. Как отмечалось выше, чем больше величина электрического поля, тем лучше плоское сечение в пространстве скоростей отображается в отрезок на регистрирующем экране, а тонкий слой между двумя плоскими сечениями - в прямоугольную регистрирующую щель. Для достижения точности приближения в несколько процентов величина напряжения между источником и экраном должна превышать несколько сотен вольт. При осуществлении компьютерных экспериментов точность определения значений интенсивности на экране ограничивается только вычислительной погрешностью. Величины вкладов отдельных колец в эту интенсивность ограничиваются вычислительной погрешностью и погрешностью дискретизации. Поэтому погрешность задания матрицы и вектора правой части получающейся системы линейных алгебраических уравнений также определяется вычислительной погрешностью и погрешностью дискретизации. При достаточно мелкой дискретизации погрешность определения матрицы и вектора правой части в компьютерных экспериментах значительно меньше, чем в реальных физических. 2. РЕШЕНИЕ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ р=1 И р=1-г2. В ходе компьютерных экспериментов по восстановлению в плоском сечении распределений р=1 и р=1 -г2 параметры эксперимента изменялись в следующих пределах. а) число точек экрана для регистрации интенсивности: 50-800; б) длина регистрирующей щели: 5-10 мм; в) расстояние от источника до плоскости экрана: 1 -1 5 см; г) разность потенциалов между экраном и точкой, где находится источник: 200-3000 В; д) максимальная начальная энергия электронов в сечении восстановления: 1.0-3.0 эВ. Число точек экрана (число уравнений системы) всегда превышало число колец разбиения (число неизвестных). Решение задачи ищется в виде кусочно-постоянной функции. Если заданная модельная функция также является кусочно-постоянной, то погрешность аппроксимации отсутствует. В этом случае левая и правая части каждого уравнения системы равны на решении с точностью до вычислительной погрешности. Поэтому решение такой модельной задачи восстанавливается практически точно. При этом точность восстановления не зависит от мелкости разбиения круговой области распределения на кольца. Существенным, однако, является условие прохождения используемых изолиний через каждое кольцо разбиения. В случае если через какое либо кольцо не проходит ни одной из рассматриваемых изолиний, то неизвестная плотность в таком кольце не представлена в системе уравнений и, естественно, не может быть восстановлена. Для распределения p=1 в экспериментах, когда все вылетевшие в рассматриваемом сечении электроны попадали в пределы длины регистрирующей щели, восстановление функции распределения происходило с точностью вычислительной погрешности. Относительная точность восстановления функции p=1 была не хуже 1 0 . Распределение p=1 -r2 не является кусочно-постоянным. Вектор правой части системы уравнений получался путем точного аналитического вычисления интенсивности на экране от функции p=1 -r2. В то же время аппроксимация этой интенсивности проводится с использованием кусочно-постоянной функции. Поэтому неизбежна погрешность аппроксимации и рассогласование левой и правой частей получающейся системы уравнений. Величина рассогласования в уравнении зависит от градиента заданной функции в кольцах, где проходит соответствующая этому уравнению изолиния. Рассогласование уменьшается при уменьшении толщины колец, на которые разбивается область определения восстанавливаемой функции. Следует заметить, что процесс уменьшения размеров элементарных ячеек разбиения с физической точки зрения ограничен пространственным разрешением регистрирующей щели. Во всех экспериментах, где рассматриваемое сечение полностью попадало на регистрирующую щель, были получены хорошие результаты восстановления. В проведенных экспериментах относительная ошибка восстановленного решения по сравнению с вектором истинного решения (11) не превышала 5% и уменьшалась при увеличении числа элементов разбиения (колец) функции распределения. Типичный результат восстановления показан на рис. 5. Гладкая кривая - заданное распределение р=1 -г2. Кусочно-постоянная кривая -восстановленная функция распределения. Этот результат получен для следующих параметров эксперимента: число точек экрана, в которых определялась интенсивность - 50; длина регистрирующей щели - 1 0 мм; расстояние от источника до плоскости экрана - 1 0 см; разность потенциалов между экраном и точкой, где находится источник - 830 В; максимальная начальная энергия электронов в сечении восстановления - 2 эВ; число элементов разбиения - 40. 0. 6 0. 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 РИСУНОК 5. Заданная функция распределения р=1-г и восстановленная кривая. В проведенных экспериментах моделировалась погрешность задания расстояния от источника до экрана, ускоряющего напряжения, максимальной начальной энергии электронов, а также погрешность регистрации интенсивности на экране. Во всех указанных случаях решение оказывалось устойчивым к вводимым погрешностям. На рис. 6 показан результат восстановления в присутствии модельной шумовой составляющей в распределениях на экране. Шум на экране задавался равномерно распределенным в интервале [-h,h], где h=5% от максимальной интенсивности на регистрирующей щели. Этот результат получен при составлении уравнений для 400 точек на регистрирующей щели. Остальные параметры модельного эксперимента совпадают с приведенными выше параметрами для рис. 5. Р 1 Ш 0. 6 0. 4 0. 4 0. 6 РИСУНОК 6. Заданная функция распределения p=1-r и восстановленная в присутствии модельной погрешности кривая. IV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе предложен метод восстановления осесимметричной функции распределения электронов по начальным скоростям для точечного мгновенного источника. В методе осуществляется регистрация на экране пространственного распределения интенсивности электронов, ускоренных электрическим полем. Восстановление проводится по одному изображению на экране. В основе метода лежит соответствие между точками экрана и кривыми в пространстве начальных скоростей электронов. Получающаяся обратная задача решается с помощью алгебраического алгоритма реконструкции. Проведены компьютерные эксперименты по восстановлению двух модельных функций распределения электронов. 1. Соболева Н.А., Меламид А.Е. Фотоэлектронные приборы. М.: Высшая школа, 1974. 376 с. 2. Farkas G., Fotakis C. et al. High current, small divergence electron beams produced by laser-induced surface photoelectric effect. J.Appl.Phys. 65(7), 1 April 1989. 3. Гомоюнова М.В. Электронная спектроскопия поверхности твердого тела. УФН, 1982. т. 136. с. 105. 4. Helm H., Dyer M.J. et. al. Images of Photoelectrons Formed in Intense Laser Fields. Phys. Rev. Lett. Vol.70 N 21, 24 May 1993, pp.3221-3224. 5. McNaught S.J., Knauer J.P. Meyerhofer D.D. Photoelectron Drift Momentum in the Long-Pulse Tunneling Limit for an Elliptically Polarized Laser. Laser Physics Vol.7 N 3, 1997, pp.712-718. V. ЛИТЕРАТУРА 6. Andreev S.V., Monastirski M.A., Tarasov V.A. ELIM\Dinamics\: a new program tool for streak image tube design. 22nd International Congress on High-Speed Photography and Photonics. Proc. SPIE Vol. 2869, 1997, pp. 92-101. 7. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с. 8. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. Пер. с англ. М.: Мир. 1983. 352 с. 9. ТИИЭР. Труды института инженеров по электротехнике и радиоэлектронике, 1983, т.71, №3. Тематический выпуск Реконструктивная вычислительная томография . М.: Мир. 1983. 189с. 1 2 |
© 2024 РубинГудс.
Копирование запрещено. |