АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ СВОЙСТВ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МУЗЫКАЛЬНЫХ СТРУННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Шлычков С. В.

Марийский Государственный Технический Университет (Йошкар-Ола)

1.Введение

Качество музыкальных струнных инструментов в значительной мере определяется на стадии проектирования и во многом зависит от степени совершенства расчетных моделей и методов. В настоящее время в практике проектирования широкое распространение получили упрощенные расчетные модели и эмпирические формулы [1,2]. Вместе с тем в последнее время появились разработки, в которых сделаны попытки построения расчетных моделей высокого уровня на базе современных численных методов. В [3] представлена конечноэлементная динамическая модель корпуса скрипки. В наших работах [4,5] разрабатывается уточненная конечноэлементная модель классической гитары (рис. 1 ). В отличие от скрипки для гитары существенным фактором расчетной схемы становятся нелинейности, связанные с начальным натяжением струн.

Известно, что основными звукоизлучающими элементами гитары являются верхняя и нижняя деки. Дека представляет собой тонкостенную, как правило, деревянную панель сложной геометрической формы, нагруженную силами натяжения струн. В качестве расчетной схемы деки применяется предварительно напряженная тонкостенная пластинка. Древесина считается как ортотропный материал. Для дискретизации пластинки используется треугольный конечный элемент (КЭ) [6]. Учитываются сдвиговые деформации и инерция поворота нормали.

В настоящей работе рассматриваются задачи динамики пластинок, выполняется расчет собственных частот и форм. Результаты расчетов методом конечных элементов (МКЭ) сопоставляются с данными известных аналитических решений [7,8]. Исследуется точность и сходимость решений.

2.Основные расчетные соотношения

Задача динамики предварительно напряженной пластинки описывается однородной системой дифференциальных уравнений вида

[M Ы+[К- G ]q}= 0 (2.1)

и системой линейных алгебраических уравнений

[K]{qm}={Fm}. (2.2)

Здесь, [M], [K] и [G] - матрицы масс, жесткости и начальных напряжений (геометрической жесткости) конструкции; {q(t)}, {q(t)}, {qm } - векторы обобщенных

ускорений и перемещений соответственно.

Дифференциальное уравнение (2.1) описывает свободные колебания предварительно напряженной динамической системы относительно равновесной формы (конфигурации) (2.2). Напряженно-деформированное состояние (НДС), соответствующее равновесной форме, определяется силами натяжения струн {Fm}. Влияние мембранных усилий на изгибную жесткость деки учитывается при помощи матрицы начальных напряжений [G].

Решение (2.1) находится в виде

{q(t)}=jt{w}. (2.3)

В этом случае задача динамики сводится к алгебраической проблеме на собственные значения

[K]{wj} =0}2[М]{}, (2.4)

где G)j и {wj} - соответственно собственные частоты и векторы собственных форм колебаний (j=1, 2,..., p).

Ограничимся расчетом р низших собственных форм и частот, причем p<<m, где m - порядок разрешающих уравнений. В этом случае одним из наиболее эффективных численных методов расчета является метод итераций в подпространстве собственных векторов [9].

Согласно алгоритма метода итераций в подпространстве предварительно строится начальное подпространство с матрицей [x0] размерности (p x m). Для ускорения сходимости при формировании матрицы [x0] используются единичные векторы. Причем, одновременно считается не r, а p = min {2r, r+8} собственных векторов. Это позволяет при вычислении наибольшего собственного значения А обеспечить заданную точность (до 6 значащих цифр) не более, чем за 9 итераций. Решение (2.4) сводится к процедуре обратных итераций для p собственных векторов

ы = мы

{x к }={y

{x к }={x к }[Qк]

{y к }=№ к}

(2.5)

с одновременным проектированием матриц на подпространство.

K к

{x к }

M к

(2.6)

и решением задачи на собственные значения подпространства

K к

[Q к ] =

M к

(2.7)

где

= [K-G], [Л] - диагональная матрица с элементами Ai=Wj2, к - номер

итерации.

В результате преобразований (2.6) имеет место редукция (понижение размерности) матриц с (m x m) до (p x p). Для решения (2.7) используется стан-

дартная программа метода Якоби. Критерием сходимости первых собственных частот является условие (A/k)- A/k-1))/ A/k) <8, где 8 =10-6 - заданная точность решения.

Построение расчетной модели МКЭ начинается с дискретизации. Дискретный аналог тонкой пластинки представляет ансамбль плоских треугольных КЭ (рис.1).

X1 Рис.1

Расчетные соотношения получаются на основе смешанной вариационной формулировки [6]. Для аппроксимации перемещений КЭ используется выражение вида

{u}=[0]{q}. (2.8)

Деформации аппроксимируются зависимостью

{8}=[со]{а}. (2.9)

Здесь [Ф] и [со] -матрицы функций формы, {q} - вектор обобщенных узловых перемещений КЭ, {а} - вектор произвольных постоянных.Вектор перемещений

{u} = {u1 ,U2, СО, 61, 62 }T, вектор деформаций {8} = {81,82,У12,1,2,%12,¥1,¥2}Т.

Связь деформаций с перемещениями определяется соотношениями типа Коши

{8}=[L] {u}, (2.10)

где [L]- дифференциальный оператор.

Выражение для матрицы жесткости КЭ имеет вид

[К(п)]=[8]т[И]-1[8], (2.11)

где [S]= JJ[co]T [D][L][o]dS, [И]= JJ[co]T [D][co]dS, n-порядковый номер КЭ.

Матрица масс КЭ определяется выражением

[M(n)]= j]W [m][0]dS,

(2.12)

где [m]=diag[m0, m0, m0, I1, I2]. Здесь m)- погонная масса; I1, I2 - моменты инерции погонной массы относительно координатных осей X1, X2. Матрица начальных напряжений определяется формулой

[G(n)]= [Ф]т [Q]T [N0 ][Q][o]dS, (2.13)

где

Г N0 N021

N°2 N2

-матрица начальных усилий, которые определяются на

12 iN2 J

основании решения статической задачи (2.2); -матрица дифференциальных

операторов, имеющая следующий вид

0 0

0 0

Э

0 0 --- 0 0 dx2

Отметим, что матрицы [K(n)], [M(n)], [G(n)] являются согласованными, они составляются на основании единых функций формы. В результате матрица масс, матрица жесткости и матрица начальных напряжений КЭ имеют одинаковые размерности (30х30) и блочную структуру заполнения.

З.Анализ точности и сходимости решений МКЭ

На базе КЭ [6] и алгоритма ансамблирования МКЭ разработана программа расчета тонкостенных конструкций ASCM. Для оценки точности расчета ASCM рассмотрим ряд тестовых задач. Используем модели изотропного и ор-тотропного тела. Считаем, что плотность р=7,8-10 кг/м . Для изотропного тела примем следующие упругие постоянные: модуль упругости Е=198 ГПа, коэффициент Пуассона v=0,3. Для ортотропного тела: Е1=19,8 ГПа, Е2=198 ГПа, V12=0,03, V21=0,3, Gu=7 ГПа, GD=19,6 ГПа, G23=19,6 ГПа. Рассмотрим квадратную пластинку с параметрами: сторона a=0,4 м, толщина h=0,01 м. Пластинка разбивается на N=256 КЭ.

Изотропный материал.

1. Контур пластинки, защемлен (рис.2). В этом случае частота собственных колебаний пластинки определяется формулой [7]:

со = а-

(3.1)

где D-цилиндрическая жесткость, а-безразмерный коэффициент.

В табл. 1 представлены коэффициенты а для десяти низших собственных частот, рассчитанных с помощью программы ASCM. Для сравнения приведены

A X2

/ / / / / /

результаты, полученные асимптотическим методом (АМ) [7], и решения [8]. Решение [8] получено в двойных тригонометрических рядах, удовлетворяющих граничным условиям на контуре. Учитывались первые шесть членов ряда. Величины m и n - целые числа, которые определяют форму колебаний.

Таблица 1

Из таблицы видно, что при N=256 решение МКЭ для основной формы колебаний отличается от аналитического решения [8] менее, чем на 0,03%. Для остальных частот отличие составляет менее 0,1%. Это отвечает требованиям инженерной точности расчетов. Заметим, что для рассмотренной задачи полученное решение МКЭ дает более близкие к [8] значения, чем решение АМ [7].

2. Сторона X1= а шарнирно оперта, остальные - жестко защемлены по контуру (рис.3).

3. Стороны X2 = 0 и X2 =a шарнирно оперты, две другие - жестко защемлены по контуру (рис.4).

В табл.2 приведены значения коэффициентов а, вычисленные с помощью программы ASCM. Здесь же представлены результаты решений АМ [7] и [8].

Таблица 2

Из табл.2 видно, что коэффициенты а для основных частот, найденные с помощью МКЭ, отличаются от аналитического решения [8] менее, чем на 0,6% (вариант 2) и менее, чем на 0,3% (вариант 3). По сравнению с АМ [7] решение MO для рассмотренных задач дает более близкие к [8] значения основной частоты (отличие решения [7] для варианта 3 составляет 20%). Для других форм колебаний значения коэффициентов а (МКЭ) незначительно отличаются от значений, полученных АМ [7].

4. Стороны X1= а и X2= а шарнирно оперты, две другие - жестко защемлены (рис.5).

5. Сторона X1=0 жестко защемлена, остальные - шарнирно оперты (рис.6).

Расчетные коэффициенты а представлены в табл.3.

Таблица 3

Для варианта 4 коэффициент а для основной частоты, найденный с помощью МКЭ, отличается от решения [8] менее, чем на 0,6%. Для варианта 5 погрешность решения МКЭ составляет менее 0,8%. Это соответствует инженерной точности расчета. Для других форм колебаний значения коэффициентов а, рассчитанные МКЭ, достаточно близки к значениям, полученным АМ [7].

Анизотропный материал.

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях квадратной пластинки постоянной толщины. Пластинка защемлена по контуру (рис.2). Главные направ-