Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Анализ резонансных свойств

1 2

АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ СВОЙСТВ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МУЗЫКАЛЬНЫХ СТРУННЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Шлычков С. В.

Марийский Государственный Технический Университет (Йошкар-Ола)

1.Введение

Качество музыкальных струнных инструментов в значительной мере определяется на стадии проектирования и во многом зависит от степени совершенства расчетных моделей и методов. В настоящее время в практике проектирования широкое распространение получили упрощенные расчетные модели и эмпирические формулы [1,2]. Вместе с тем в последнее время появились разработки, в которых сделаны попытки построения расчетных моделей высокого уровня на базе современных численных методов. В [3] представлена конечноэлементная динамическая модель корпуса скрипки. В наших работах [4,5] разрабатывается уточненная конечноэлементная модель классической гитары (рис. 1 ). В отличие от скрипки для гитары существенным фактором расчетной схемы становятся нелинейности, связанные с начальным натяжением струн.

Известно, что основными звукоизлучающими элементами гитары являются верхняя и нижняя деки. Дека представляет собой тонкостенную, как правило, деревянную панель сложной геометрической формы, нагруженную силами натяжения струн. В качестве расчетной схемы деки применяется предварительно напряженная тонкостенная пластинка. Древесина считается как ортотропный материал. Для дискретизации пластинки используется треугольный конечный элемент (КЭ) [6]. Учитываются сдвиговые деформации и инерция поворота нормали.



В настоящей работе рассматриваются задачи динамики пластинок, выполняется расчет собственных частот и форм. Результаты расчетов методом конечных элементов (МКЭ) сопоставляются с данными известных аналитических решений [7,8]. Исследуется точность и сходимость решений.

2.Основные расчетные соотношения

Задача динамики предварительно напряженной пластинки описывается однородной системой дифференциальных уравнений вида

[M Ы+[К- G ]q}= 0 (2.1)

и системой линейных алгебраических уравнений

[K]{qm}={Fm}. (2.2)

Здесь, [M], [K] и [G] - матрицы масс, жесткости и начальных напряжений (геометрической жесткости) конструкции; {q(t)}, {q(t)}, {qm } - векторы обобщенных

ускорений и перемещений соответственно.

Дифференциальное уравнение (2.1) описывает свободные колебания предварительно напряженной динамической системы относительно равновесной формы (конфигурации) (2.2). Напряженно-деформированное состояние (НДС), соответствующее равновесной форме, определяется силами натяжения струн {Fm}. Влияние мембранных усилий на изгибную жесткость деки учитывается при помощи матрицы начальных напряжений [G].

Решение (2.1) находится в виде

{q(t)}=jt{w}. (2.3)

В этом случае задача динамики сводится к алгебраической проблеме на собственные значения

[K]{wj} =0}2[М]{}, (2.4)

где G)j и {wj} - соответственно собственные частоты и векторы собственных форм колебаний (j=1, 2,..., p).



Ограничимся расчетом р низших собственных форм и частот, причем p<<m, где m - порядок разрешающих уравнений. В этом случае одним из наиболее эффективных численных методов расчета является метод итераций в подпространстве собственных векторов [9].

Согласно алгоритма метода итераций в подпространстве предварительно строится начальное подпространство с матрицей [x0] размерности (p x m). Для ускорения сходимости при формировании матрицы [x0] используются единичные векторы. Причем, одновременно считается не r, а p = min {2r, r+8} собственных векторов. Это позволяет при вычислении наибольшего собственного значения А обеспечить заданную точность (до 6 значащих цифр) не более, чем за 9 итераций. Решение (2.4) сводится к процедуре обратных итераций для p собственных векторов

ы = мы

{x к }={y

{x к }={x к }[Qк]

{y к }=№ к}

(2.5)

с одновременным проектированием матриц на подпространство.

K к

{x к }

M к

(2.6)

и решением задачи на собственные значения подпространства

K к

[Q к ] =

M к

(2.7)

где

= [K-G], [Л] - диагональная матрица с элементами Ai=Wj2, к - номер

итерации.

В результате преобразований (2.6) имеет место редукция (понижение размерности) матриц с (m x m) до (p x p). Для решения (2.7) используется стан-



дартная программа метода Якоби. Критерием сходимости первых собственных частот является условие (A/k)- A/k-1))/ A/k) <8, где 8 =10-6 - заданная точность решения.

Построение расчетной модели МКЭ начинается с дискретизации. Дискретный аналог тонкой пластинки представляет ансамбль плоских треугольных КЭ (рис.1).


X1 Рис.1

Расчетные соотношения получаются на основе смешанной вариационной формулировки [6]. Для аппроксимации перемещений КЭ используется выражение вида

{u}=[0]{q}. (2.8)

Деформации аппроксимируются зависимостью

{8}=[со]{а}. (2.9)

Здесь [Ф] и [со] -матрицы функций формы, {q} - вектор обобщенных узловых перемещений КЭ, {а} - вектор произвольных постоянных.Вектор перемещений

{u} = {u1 ,U2, СО, 61, 62 }T, вектор деформаций {8} = {81,82,У12,1,2,%12,¥1,¥2}Т.

Связь деформаций с перемещениями определяется соотношениями типа Коши

{8}=[L] {u}, (2.10)



где [L]- дифференциальный оператор.

Выражение для матрицы жесткости КЭ имеет вид

[К(п)]=[8]т[И]-1[8], (2.11)

где [S]= JJ[co]T [D][L][o]dS, [И]= JJ[co]T [D][co]dS, n-порядковый номер КЭ.

Матрица масс КЭ определяется выражением

[M(n)]= j]W [m][0]dS,

(2.12)

где [m]=diag[m0, m0, m0, I1, I2]. Здесь m)- погонная масса; I1, I2 - моменты инерции погонной массы относительно координатных осей X1, X2. Матрица начальных напряжений определяется формулой

[G(n)]= [Ф]т [Q]T [N0 ][Q][o]dS, (2.13)

где

Г N0 N021

N°2 N2

-матрица начальных усилий, которые определяются на

12 iN2 J

основании решения статической задачи (2.2); -матрица дифференциальных

операторов, имеющая следующий вид

0 0

0 0

Э

0 0 --- 0 0 dx2

Отметим, что матрицы [K(n)], [M(n)], [G(n)] являются согласованными, они составляются на основании единых функций формы. В результате матрица масс, матрица жесткости и матрица начальных напряжений КЭ имеют одинаковые размерности (30х30) и блочную структуру заполнения.

З.Анализ точности и сходимости решений МКЭ



На базе КЭ [6] и алгоритма ансамблирования МКЭ разработана программа расчета тонкостенных конструкций ASCM. Для оценки точности расчета ASCM рассмотрим ряд тестовых задач. Используем модели изотропного и ор-тотропного тела. Считаем, что плотность р=7,8-10 кг/м . Для изотропного тела примем следующие упругие постоянные: модуль упругости Е=198 ГПа, коэффициент Пуассона v=0,3. Для ортотропного тела: Е1=19,8 ГПа, Е2=198 ГПа, V12=0,03, V21=0,3, Gu=7 ГПа, GD=19,6 ГПа, G23=19,6 ГПа. Рассмотрим квадратную пластинку с параметрами: сторона a=0,4 м, толщина h=0,01 м. Пластинка разбивается на N=256 КЭ.

Изотропный материал.

1. Контур пластинки, защемлен (рис.2). В этом случае частота собственных колебаний пластинки определяется формулой [7]:

со = а-

(3.1)

где D-цилиндрическая жесткость, а-безразмерный коэффициент.

В табл. 1 представлены коэффициенты а для десяти низших собственных частот, рассчитанных с помощью программы ASCM. Для сравнения приведены

A X2


/ / / / / /




результаты, полученные асимптотическим методом (АМ) [7], и решения [8]. Решение [8] получено в двойных тригонометрических рядах, удовлетворяющих граничным условиям на контуре. Учитывались первые шесть членов ряда. Величины m и n - целые числа, которые определяют форму колебаний.

Таблица 1

ASCM

АМ [7]

Решение [8]

3,647

3,556

3,646

7,452

7,386

7,437

7,452

7,386

7,437

10,941

10,889

10,965

13,420

13,337

13,393

13,485

13,337

13,393

16,695

16,656

16,717

16,695

16,656

16,717

22,146

22,222

21,615

21,313

21,615

21,313

24,621

24,540

24,631

24,735

24,540

29,838

29,960

29,838

29,960

37,177

37,556

Из таблицы видно, что при N=256 решение МКЭ для основной формы колебаний отличается от аналитического решения [8] менее, чем на 0,03%. Для остальных частот отличие составляет менее 0,1%. Это отвечает требованиям инженерной точности расчетов. Заметим, что для рассмотренной задачи полученное решение МКЭ дает более близкие к [8] значения, чем решение АМ [7].



2. Сторона X1= а шарнирно оперта, остальные - жестко защемлены по контуру (рис.3).

3. Стороны X2 = 0 и X2 =a шарнирно оперты, две другие - жестко защемлены по контуру (рис.4).

В табл.2 приведены значения коэффициентов а, вычисленные с помощью программы ASCM. Здесь же представлены результаты решений АМ [7] и [8].



Таблица 2

Вариант 2 (рис.3)

Вариант 3 (рис.4)

ASCM

AM[7]

Решение [8]

ASCM

AM[7]

Решение [8]

3,221

3,178

3,238

2,928

2,292

2,937

6,411

7,174

5,526

5,542

7,215

7,174

7,037

5,542

10,171

10,166

9,534

9,580

11,819

13,191

10,345

10,355



13,297

13,191

13,171

10,355

15,315

16,114

14,095

14,200

16,131

16,114

16,556

14,200

21,033

21,160

20,054

20,230

Из табл.2 видно, что коэффициенты а для основных частот, найденные с помощью МКЭ, отличаются от аналитического решения [8] менее, чем на 0,6% (вариант 2) и менее, чем на 0,3% (вариант 3). По сравнению с АМ [7] решение MO для рассмотренных задач дает более близкие к [8] значения основной частоты (отличие решения [7] для варианта 3 составляет 20%). Для других форм колебаний значения коэффициентов а (МКЭ) незначительно отличаются от значений, полученных АМ [7].

4. Стороны X1= а и X2= а шарнирно оперты, две другие - жестко защемлены (рис.5).

5. Сторона X1=0 жестко защемлена, остальные - шарнирно оперты (рис.6).

Расчетные коэффициенты а представлены в табл.3.




Таблица 3

Вариант 4 (рис.5)

Вариант 5 (рис.6)

ASCM

AM [7]

Решение [8]

ASCM

AM [7]

Решение [8]

2,730

2,722

2,746

2,382

2,395

2,401

6,124

6,133

5,209

5,234

6,147

6,133

5,930

5,234

9,344

9,389

8,653

8,726

11,636

11,600

10,146

10,151

11,636

11,600

11,503

10,151

14,687

14,778

13,432

13,549

14,717

14,778

14,184

13,549

19,861

20,055

18,827

19,050

Для варианта 4 коэффициент а для основной частоты, найденный с помощью МКЭ, отличается от решения [8] менее, чем на 0,6%. Для варианта 5 погрешность решения МКЭ составляет менее 0,8%. Это соответствует инженерной точности расчета. Для других форм колебаний значения коэффициентов а, рассчитанные МКЭ, достаточно близки к значениям, полученным АМ [7].

Анизотропный материал.

Рассмотрим задачу о собственных колебаниях квадратной пластинки постоянной толщины. Пластинка защемлена по контуру (рис.2). Главные направ-





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.