Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Об одном методе

Об одном методе решения задачи Стефана

Фомин В.А. (vf@mipt.ru)

ЗАО ВФ

Задача Стефана до сих пор привлекает внимание исследователей сложностью математической постановки задачи .Это одна из труднейших краевых задач нестационарной теплопроводности [1,2]. В работах предлагается решение этой задачи при помощи рядов Фурье.В некоторых случаях такой подход позволяет получить новые результаты, например, в одномерном случае получить все возможные аналитические решения.

Пусть на полупространство мерзлой глины, имеющей отрицательную температуру T1, налита вода, имеющая положительную температуру T2. Необходимо определить соотношение

температур при котором кристаллизация ещё не происходит, а так же скорости замерзания при данных температурах.

Уравнение теплопроводности в области (1)

dT(x,t) a д271(x,t) dt 1 dx2 a1 - температуропроводность

S (t)

Введем подвижную систему координат, т.е. проведем замену переменной y = x : y = 0 : x = 0 : y = - Где § (t) - координата фронта кристаллизации.

§ (t) § (x) = §

Tj( x, t) = Tj( y+s , t)=e (y, t)

dt dy dt dt dy dt

dT de dy +de d de

dxdydxdtdxdy

d2T1 d2e dx2 dy2

Тогда уравнение теплопроводности преобразуется в следующие уравнение:

ded2e de

dtdy2 dy

Начальные и граничные условия:



Щ, t) = 0

t,(t) = T

T (-00, t) = 0 T,( x,0) = T2

0 (0, t) = 0 0 (-f, t) = T,

0; (-0, t)=0

0 (;,0) = T2

Удобнее ввести новую переменную 0L =0 - 7 тогда граничные и начальные условия перепишутся в виде

0,(0, t) = -71 0,(-ос, t) = 0

0,; (t) = 0

01(;,0)=0

А исходное уравнение не изменится:

-L = а\-т + £ -L

dt д; д;

Это уравнение решаем методом Фурье:

J d00LsinX;d; = aL J -sinX;d; + £ J -dsinX;d;

d dt

a) J-LsinX;d; = - J 0j sinX;d; = 1 dtdt 0

d 20

-0° a2,

б ) f4-sin X ;d;

0 d;

= dv

sin X; = u du = X cos X ;d;

-00-A, J-Lcos X>dy 0 d

= dv

u = cos X

v=0, Xsin X d

X0L cosX; -0-X2 J0L sinX;d; = -XT2 -X20L

Тогда уравнение принимает вид:

d0L =

2 - d0

-XTaL - X2aL0L + £ J -LsinX;d;

Оценим последний член в правой части этого уравнения, предположим, что 0L □ 010, где 0, решение задачи без члена с £ (такое предположение оправдано, как это будет видно из итога):

у/Л

20,7

T J e~p2dp

£ f d0Lsin X;d; ~ £ fd01°sin X;d; = 3 f e a,t sin X;d; = -TL exp( )L %aL)2tf epl dp

XJaLt

- T, exp(-X2aLt) J ep dp



При yojt << 1 ep dp ~ Xya

поэтому £ f -LsinXydy ~£T1XJa1t

0 dy

при Xaat >> 1 exp( X2a1t) J ep dp < 1,

поэтому £ f-1sinX<ST

0 dy

Теперь сравним два члена правой части уравнения. При Xf << 1

£ f de1sin X ydy . ,- . ,-0 dy У У ~ £71ya1t 2

Xa1T Xa1T - \[a~1

£ f -1 sin X ydy . . ,-

При Xjaat >> 1

X a1T X a1T X a1yft

Итак, интегральный член можно отбросить, если

2 £ 41

Пока не будем уточнять это условие.

Без интегрального члена уравнение принимает вид:

-1+ X2a,e, XaT

dt 11 1 1

Общее решение уравнения:

el Xa1T1 f e~X2a1(t T )dx

Используя это решение находим искомую функцию e 1 (y, t) :

2 t °°

el --f aTdT f Xe a1(t T) sin XydX

y2

- 0 0

2, fr r- e 4a1 (t T)

=-Xf a1T4-y-- dT

- 0 4 (t T)2

Под знаком интеграла введем новую переменную и :

y,ydx

1- up - I-

2 (t t) (t t )

Тогда получим:



01 (;, t) = -r T J evdu

2yfaLt

Заметим, что для верхнего полупространства выкладки будут аналогичны; отличия касаются лишь пределов интегрирования по y и по X (эти пределы от 0 до +оо ), а также при введении новой переменной нужно будет учесть, что u (t) = +00. Учитывая это замечание

можно записать выражение определяющее 02 (подчеркнем, что решение вычислялось для функции 0L =0 - TJ, где 0 - решение в подвижной системе координат для нижнего полупространства, поэтому и записанное по аналогии решение для верхнего полупространства определяет 0 2 =0 - T2, где 0 - решение в подвижной системе координат для верхнего полупространства).

0 2 (;, t) = -7= T2 J e u2du

2aLt

Возвращаясь к функции 0 (;, t) получим:

2[aLt 2jaaL~t

0(;, t)=0L + T = T + /= T J eVdu = T +-r T J eVdu-7= T J eVdu =-,= T J eVd?u Обычно такой интеграл обозначают Ф (

2s[aLt

2yfa~Lt

Ф

2ja~Lt

-+= =-,= J eVdu;Ф(0) = 0;Ф(-оо) = -1;Ф(оо) = 1

0(;, t ) = -T

2yfa~Lt

; < 0

Переходя в неподвижную систему координат x получим:

0(;, t ) = -?1Ф

2yjaat

TL(x,t)

Аналогично для верхнего полупространства получим:

0(;,t)=02 + T2 = T2 -- T2 J e2du=T -j- В неподвижной системе координат:

0(;, t ) = T2 (x, t ) =

Скорость роста льда определим из баланса потоков тепла на фронте кристаллизации:

a2 P2Cp-d ~ a,p,Cp, = Lp 2 -

,F1 p1 dx - dt где - плотность, Cp- теплоемкость, L- теплота перехода

x = £ (t)



а2 р 2Ср 2Т2 + alplCplTl = d£ п a2t yjn a1t dt

dt 4n~tLp 2

где \ - РгСргаг

В числителе полученного выражения стоит алгебраическая сумма, которая в зависимости от соотношения слагаемых может быть и положительной и отрицательной (Т

может быть больше или меньше 0°С) соответственно, выражение определяет либо кристаллизацию, либо плавление. Проинтегрировав это соотношение получим координату фронта кристаллизации или фронта плавления:

£ - 2У 2 Р 2Ср 2 Т2 +yl\PlCplTl Jf

yfnLp 2

Соотношение температур разграничивающее таяние и намерзание определяется из равенства потоков тепла на фронте кристаллизации:

а2 р 2C р 2 -- - a, pC р1 -L

22 р2 дх 11 р1 дх

Р2Cp2 Т2 - --\]\p1Cp1T1

Получив выражение определяющее - мы можем теперь уточнить условие при которых

было получено решение уравнения теплопроводности - условие малости интегрального числа

~г<< 1

Заметим, что константа грунта и воды по порядку величины близки, поэтому сейчас не будем их различать

d£ 4aCv АТ dt L4nt

В этом выражении под АТ нужно понимать алгебраическую сумму температур грунта и воды

£41 4aCpAt 2 CpАT 4a4aL4t п4п 2L

Для воды ~L = 80, поэтому это условие примет вид:

АТ 1

-<< 1

В наших случаях это условие заведомо выполняется (температура грунта -7°С, воды +10°+20°, тогда АТ □ 10°).

Наконец необходимо отметить, что в действительности кристаллизация воды будет начинаться не при 0°С, а при более низкой температуре. Если эту температуру воды обозначить Т', то, например, температурная граница таяния и намерзания определится из соотношения

V2plCpr - t )--j\pcp,w - t )

Но это уточнение, по-видимому, не существенно, так как реально температура Т' порядка нескольких десятков градуса, а температуры Т\ и Т2 по крайней мере на порядок больше. Так что для оценок выведенные формулы обеспечивают достаточную точность.



Литература

1.Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. 2001 г.,550с.

2. Прохорова М.Ф. Некоторые аналитические методы исследования свойств решений нелинейных краевых задач математической физики Дисс. Екатеринбург: УрО РАН, 1997. 123 с.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.