Оценка влияния различия теплофизических характеристик льда и мерзлого грунта

Фомин В.А. (vf@mipt.ru)

ЗАО ВФ

В статье [1] оценивая скорости намерзания мы не учитывали, что намерзающий слой будет иметь теплофизические характеристики отличные от подложки; ниже мы оценим насколько существенно это отличие.

Пусть на полупространстве мерзлого грунта, покрытого водой, растет слой льда с иными константами. Оценим скорость этого роста

Р2 Ср2

р 3 Ср3 Т3 лед

х

Р 1 Ср1 Т1 мерзлый грунт

Вначале рассмотрим область (1). Границы этой области неподвижны, поэтому распределение температуры в ней находится стандартным способом. Единственная особенность заключается в том, что температура на границе х=0 заранее неизвестна, ее нужно определить в процессе решения всей задачи. Пока будем считать, что температура на этой границе произвольная функция времени f(t). Итак, в области (1) необходимо решить уравнение теплопроводности:

a.

d 271 dx2

если начальные и граничные условия заданы в виде:

ад t)=f (t)

4 t) = 7 T1( x,0) = 71 71x (t) = 0

Решение этой задачи ищем в виде суммы двух решений:

71 ( x, t) = u( x, t) + v( x, t)

Обе функции удовлетворяют уравнению теплопроводности, но имеют разные значения на границе и вначале

u(x,0)= 0 u (-да, t) = 0 u(0, t) = f (t) Ux (-, t) = 0

v(x,0) = 71

v (-, t) = 71

v(0,t)=0

Vx (-, t) = 0

Сперва решаем задачу для функции u, для этого умножим уравнение теплопроводности на sinXx и проинтегрируем в пределах от 0 до -да

- I u(x,t)sinXxdx = a1-sinXx\-Xa1ucosXx-C0-X2a1 I usinXxdx =-Xa1f(t)-X2a1 I usinXxdx

dt1dx0101 1 1

Обозначим u = I u sin X xdx.

тогда

ddU + a1X2 u = a1X f (t) dt

Решение однородного уравнения Ce a . Тогда

te 1 - a1X ce 1 + a1X ce 1 = a1Xf (t)

4aj(t -т )

C (t) = a1 Jx f (т )e~tdT

u = aj Jx f (т )e-ajX 2( t-т) dT

2 °° 2 t -0° 2 2 x

u(x,t) =- u(X,t)sinXxdX =- ajf (т )dT J Xe~x (t-T)aj sinXxdX =-т= f (т)

Удобнее в полученном решение заменить переменную

xxdт .

-i = U -Г=-77 = du-

2yja1(t -т ) 4ja1(t -т )

тогда

u(x, t) = --г J f (t - --2)eVdu

Вычисления функции v уже приведено в п.1, поэтому выпишем его сразу

2 2Valt

- 7j j eVdu

2 2 2

7j( x, t) = - - j f (t --) e u 2 d \i - = j eu 2 d u

Распределение температуры в обл.2 также было определено в п.1. Оно имеет вид

T2( x, t) = T20()

2 a2t

В слое 3 уравнение теплопроводности:

дТ3 д2Т3 dt 3 dx2

нужно решить при следующих условиях:

Тз(0, t) = f (t)

Ti(£,t) = 0 0 < x (t)

Решение ищем в виде разложения по мгновенным собственным функциям sin- как будто

граница x=£(t) перестала перемещаться:

л

Тз(x,t)=2 Z Tm(t) sin mrx

S m=1 S

где Tm(t) = J T3( x, t)sin nmx dx

з

mn x

Умножим обе части уравнения теплопроводности на sin- и проинтегрируем в пределах от

0 до £.

SS 2

г dT3 . mn x , гд T3 . mn x . -1sin-dx = a3 -;fsin-dx

0 dt S 3J0 dx2 S

В левом интеграле производную по времени теперь нельзя вынести за знак интеграла, как это делается обычно, так как верхний предел интегрирования зависит от времени. Рассмотрим производную:

d г mn x \ d ( mn x rdT mnx S mnx - I T3(x,t)sin-dx = ST3(x,t)sinmn + I-I T3(x,t)sin- dx =I-3sin-dx +T3I--- *

dt 0 S 0 dt I S J о dt S 0 I J

mnx dT3 mnx mnS mnx

*cos-dx = -in-dx--- xT3(x, t )cos-dx

Sdt SS2 3 S

Тогда

fdT3 . mnx , d r , , ч . mnx , mnS f ч mnx , fd2T3 . mnx , dT3 . mnxь -3sin-dx = - T3( x, t )sin-dx +--- xT3( x, t )cos-dx\ -23- sin-dx =-3sin-0

mn mn x u m2n2 г , . mn x , mn ч m2n2 г , . mn x . T3cos 0-T3sin dx =f(t) -T3sin dx

S3S0S203SS S203S

Возвращаясь к уравнению теплопроводности получим

иде T = J T3( x, t )sin

mn x

mnx cos dx

Оценим интеграл в правой части этого уравнения

J xT3

<

mnx x cos dx

Так как

S mn S2 ((-1)m - 1) i x cos-- dx - ----

Теперь можно оценить отношение двух членов в правой части уравнения

& J xT3

mn x cos dx

a3f(t)

<

S2m2n2

Интегральным членом можно пренебречь, если

22S S2

m2n 2a3

a3f(t)

2S S

m2n 2a3

Без интегрального члена уравнение примет вид:

d7m m2n2 = mn

,2 a37m = f(t) S S

Решение однородного уравнения:

7m = C (t )exp

-a3m п I

0 V (p).

Для получения решения неоднородного определителя С(1):

С' I 22 f dp t Ч 3 J0 S2(P)

C-exp(-...) + exp(-...) = f (t)

C(t) = 777f(x)exp a3mn21

S2(p)

- 22 [dp I fa3mn ч 2 2f dp , rf (x) / 22 / ч\ j

7m = exp -a3m п - I --f (x )exp a3m п - dx = mn a3 exp (a3m пш (x ) )dx

m i 3 J S 2(p)HS (x rw Fl 3 J S 2(p)J 4 S(x) F v 3 w;

0S2(p)J0S(x)

0S2(p)

\f (x)

I S (x )

где

V (x) =

Выражение полученное для 7m удобнее привести к другому виду. Заметим, что

f (x )S (x )d

v a3m 2п2 j

mп a3

f (t )S (t) - (fS )x eaзm2п V (x )S 2(x )dv

am2;:2

v 0

Интеграл в скобке можно оценить используя вторую теорему о среднем.

(f(x )S (x ))x V dx = S2 (fxS +Sx.f)eaзm2п = S 2(t) (f(t)S (t) + S(t)f(t)))>m2п V (x) 2 00 S et S (x).

0 <e < 1

Последнее равенство справедливо, если функция вынесенная из под знака интеграла монотонна, т. е. принимает свое максимальное значение на одном из концов интервала. Монотонность этой функции подтвердится итоговым результатом, а максимального результата она достигнет при x=t , так как на другом конце интервала S(0) =0 . Таким образом

(f (x )S (x ))x eadx = S2 (f (t)S (t)))

Сравним два члена, определяющих 7m .

J (fS )x eaзm2п V (x )dx

aзm2п 2v

S2(x)

s 2( fs );

a 3 m 2п2

s 2( fs );

(1 - V (e t) ) <SJfS

a3m 2п

<

a3m 2п2 J fS a3m2п'

S 2f

a3m п f

Интегральным членом можно будет пренебречь, если эти отношения малы, т. е.

<<1

<<1

Первое из этих условий уже было использовано выше. Считая эти условия выполненными получим

T = f (t )S (t)

Теперь можно выписать общее решение:

r\ CO

x, t) = - Z f (t)-- = f (t)

m=1 m

S(t)

, sin kx n - x Так как Z-=-

Скорость роста льда определяется из баланса потоков тепла на границе зон 2 и 3

(x=S(t))

-X3 +x2 =ddS x=s (t)

dxdx dt

dT2= T2

dxix=S(t) jna~t dT±\ =-f(t)

dx x=S (t) S (t)

Поток в области 3 на границе x = S (t) можно выразить явной функцией времени f(t). Для этого используем условия равенства потоков на другой границе х=0.

хД = X3dT3 x=0

dxdx

dTL = - A 7 --f (t)e-u2 d u -= f (0) - T

xna1t n0 2a1u na1t na1t

Пока значение f(0) не уточняем. Равенство потоков на границе х=0 можно записать так

X f (0) - Tj X f (t)

XI -I =-x3-

ajt S (t)

f (t) .dr7!

S (t) dx

В рассматриваемом приближении поток в области 3 на обоих границах оказывается одинаковым, а так как внутри слоя тепло не поглощается и не выделяется, то можно заключить, что поток тепла внутри слоя везде одинаков. Математически это выражается в том, что в

области 3 -3 не зависит от х.

Заметим, что -X3-= X -3 x S (t)

Вернемся к уравнению определяющему скорость роста льда

Ap dS = X2T2 . f(0) - tj

Lp3 - = ;.- Xi-

dt a2t 1 .y/n a1t

Итак, мы получили S (t) ~ yft. Если подставить это значение S в условие равенства потоков тепла на границе х=0, то получим

п a1 t

Пропорциональность может выполняться если только f (t) = const = 7x, а следовательно f (0) = f (t). Неожиданный результат, означающий, что в плоскости х=0 температура в рассматриваемом приближении постоянна. А учитывая условия при которых были получены решения можно заключить, что в достаточно тонких слоях температура на границе корки льда и мерзлого грунта изменяется слабо.

Для определения 7x обратимся опять к условию равенства потоков на границе х=0

7 - 7

S(t)

п a1t

XS(t)

x3п y/al~Lp3

*L(7x -71)--72

a1a2

В рассматриваемом приближении достаточно получить приближенное решение. Поэтому предположим, что 7x << 71 (это предположение оправдывается конечным результатом). Тогда

1 + -

Х 7 + 472

1 + a1Lp3

1 +

-71 ~ 0,171

L 11

v Va1 Va2

При оценке, как и прежде, теплофизические постоянные разных сред считали величинами одного порядка. По этой причине не имеет смысла уточнять индекс у теплоемкости в заключительной части оценки.

Зная, что 7x мало в сравнении с 71 можно упростить формулы определяющие рост льда

Заметим, что формально полученные выражения отличаются от аналогичных, определенных в п.1, лишь значением плотности в знаменателе: ранее это была плотность грунта - p2 , сейчас это плотность льда - p3. Однако, более существенно различие в теплоте

кристаллизации L, тепло выделяющееся при кристаллизации мерзлого грунта, в зависимости от состава этого грунта, может составлять половину и даже меньшую часть от тепла кристаллизации льда.

Соотношение температур разграничивающих таяние и намерзание определяется равенством потоков тепла на границе x= S (t)

X2-= X3-

dxdx

X p 2Cp2

S (t)

Для вычисления отношение в правой части равенства удобнее приближенно определить Tx как

2 X1 (VP1X 1 Cp1T1 +VP 2X 2 Cp2 T2 )

Тогда

Tx = 2 X1 ((P1X 1 Cp1T1 + \jP 2X 2 Cp2 T2 ) у/Л

LP 3

\jX1P1Cp1

S(t) n X4a~1P3L 1 2 Vt((P1X 1Cp177 2X2Cp2T2) л/

Итак, равенство потоков тепла на границе x= S (t) можно записать в виде

VX2P 2Cp2 T =VX1P1Cp

Этот результат, вообще говоря, и следовало ожидать. Ведь граничные значения температур соответствуют условиям, когда слоя льда еще нет, поэтому их соотношение должно совпасть, как это и случилось, с полученным в п.1. А это совпадение подтверждает взаимную согласованность результатов, полученных в п.1, и расчетов проведенных выше.

В заключение уточним условия при которых получены приближенные решения.

Так как f (t) = const, то последнее из этих условий выполняется точно:

S 2f (t)

a3n 2f (t)

Из оставшихся условий рассмотрим более сильное:

0<<1

n 2a3

Оценим вначале по порядку величины S и S

(VхP2cp2T2+4XpC:p1t1 ) yxPCpat Cv4aat

yfn~tLc

LP-Jnu L>/n7

CpAT4ar,

Тогда

n2a3

yfn L

2 Cp AT

2- jat

L VntVn L

( cat

10-5 (AT )2

Под AT, как и раньше нужно понимать алгебраическую сумму температур грунта и воды. Если эта сумма порядка нескольких десятков градусов, то отношение значительно меньше 1, а следовательно полученные приближенные формулы корректны.

Литература

1.Фомин В. А. Об одном методе решения задачи Стефана. Электронный журнал Исследовано в России , 50, стр. 494-500, 2006 г., http: zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/050.pdf.