Нестационарные трехмерные пограничные слои малыми поперечными течениями

с

Шалаев В.И. (shalaev@falt.ru)

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Несмотря на быстрое развитие вычислительной техники и методов решения уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса нестационарные задачи трехмерного пограничного слоя представляют значительный интерес в аэродинамике. В настоящее время они мало изучены, вследствие объективных трудностей, связанных с большой размерностью системы уравнений и сложностью ее исследования. Поэтому аналитические результаты в этой области весьма актуальны. В настоящей работе с помощью метода возмущений исследованы уравнения нестационарного трехмерного пограничного в случае малых поперечных течений. Выведена промежуточная система уравнений, которая включает в себя основные пространственные эффекты, но существенно проще исходной системы. Особенности рассмотренной постановки изучены для двух классов практически важных задач: течения в пограничном слое на тонких крыльях и телах с малой асимметрией поперечного сечения при малых углах атаки.

1. Система уравнений и краевых условий нестационарного трехмерного пограничного слоя в неортогональных криволинейных координат x, n и z (рис. 1) имеет вид [2]:

w du

dh dh + v- dn

d du

+ v-- k1ctg9 uz +-p- wz + k12uw l + Vjp = - ц-

sin 9

dw к + v- + -- dnsin9

- k2ctg9 w2 + k21uw + V 2 p

(y - 1)M7

dp+udp+

H1 dx

wdp XH Ik

dndn

ddw

dndn

d к dh dn Pr dn

(1.1)

+ - l + 2--cos9

dn ) dn dn

dp+d(pv) + 1 d(puH2sin9)+ 1 d(pwH, sin9) 0 dt dn H dx XH dz

n = 0:u = w = 0,v

v..,(t,x,z),h = hw(t,x,z) dh = 0

dn ,

n cc : u = ue (t, x, z), w = we (t, x, z), h = he (t, x, z)

Здесь x = x* / b , z = z* / Xb, n = nVRe/ b, звездочкой отмечены размерные величины, b и Xb - продольный Рис. 1 и поперечный масштабы длины, Re = pcucb / дш число

Рейнольдса, Pr - число Прандтля; в (x,z) - угол между координатными линиями x и z на поверхности тела, H1 и H2 - метрические коэффициенты, H = H1H2 sin9 , XYZ - декартовы координаты, ur (t) - скорость набегающего потока; pc, и uc - масштабы плотности, вязкости и скорости. Плотность p , энтальпия h вязкость , теплопроводность к ,

продольная (и) и поперечная (w) скорости отнесены к своим характерным значениям в набегающем потоке, нормальная скорость v - к иш/л/jRe, время t - к характерному масштабу

времени bjurD . Плотность, энтальпия и возмущения давления p = (р* -px) рши2 связаны

уравнением Клайперона-Менделеева, p h = 1+у M2p, где у - показатель адиабаты, M -

число Маха невозмущенного потока. Течение в пограничном слое может быть ламинарным или турбулентным, что учитывается выбором соответствующих моделей вязкости и теплопроводности. Кривизны координатных линий к1, к2, к12 и к21, а также составляющие

градиента давления V1 p и V2p определяются известными формулами [2]. Для уравнений

(1.1) необходимо также задать начальное состояние течения при t = 0, а на каждом шаге по времени - начальные условия, в качестве которых обычно используются решения в плоскостях растекания или симметрии и в критической точке.

Для течений с заданным градиентом давления уравнения (1.1) допускают упрощения в случае скользящего крыла [3] и ламинарного сверхзвукового обтекания конических тел [4]. При различных условиях взаимодействия существуют также автомодельные решения для гиперзвукового пограничного слоя [5]. Во всех остальных случаях упрощения возможны на основе применения асимптотических методов. Во многих практически важных течениях трехмерные эффекты, связанные с поперечным градиентом давления, малы. Работы Ф. Мура [4] по изучению пограничного слоя на конусах под малым углом атаки открывают целую серию исследований такого класса задач, которые достаточно подробно описано в обзорах [4,7,8]. В ряде случаев продольный градиент давления также мал и в главном порядке уравнения сводятся к уравнениям пограничного слоя на пластине - это приближение является обычным инженерным методом оценки сопротивления трения и теплообмена на элементах летательных аппаратов. Для пограничного слоя с градиентом давления был предложен метод малых вторичных течений [8]. Полезная интерпретация этого подхода, известная как осесимметричная аналогия , дана Дж. Куком [9]. Второе приближение рассмотривалось А. Мейджером [7] для течения несжимаемой жидкости. Оказалось, что возмущения описываются трехмерными уравнениями, которые не проще исходных уравнений и в работе [7] были проанализированы лишь задачи, сводящиеся к автомодельным; три члена разложения по углу атаки и степени асимметрии получены для тонких эллиптических конусов [10]. На основе уравнений малых вторичных течений был предложен численный алгоритм последовательных приближений для решения полных уравнений трехмерного пограничного слоя [11], но этот подход, как и метод, основанный на локально-автомодельном приближении [6], не получил широкого распространения, так как не имел преимуществ перед конечно-разностными методами.

Рациональный подход к анализу стационарного трехмерного пограничного слоя на основе метода возмущений с учетом двух приближений был предложен для течений на тонких крыльев [12,14,15,18] и телах, близких к телам вращения при малых углах атаки [13,14,16]. Развитие этого подхода на случай нестационарных течений рассмотрено в работе [17]. Тем не менее, подробного анализа уравнений проведено не было и ряд вопросов до сих пор остается открытым.

2. Как следует из второго уравнения (1.1), для того чтобы поперечная скорость в пограничном слое была малой ( w << 1), необходимо выполнение следующих условий

1 dp--cose ~к1~-<< 1 (2.1)

X H2 dz X

Малый параметр s характеризует величину поперечного градиента давления. При условиях (2.1), с точностью до линейных по малому параметру членов характеристики течения можно представить асимптотическими разложениями

И = Hw(x) + sHu(x,z),И2 = И2(x,z), cos9 = - C(x,z), kx =- kn

к к

k12 =кkw, k2 (x,z) = -k21 =-Т7ТГГ2 , p = p0(*,x) + ep (t,x,z) к ИН2 dx

(2.2)

We =V[We0 (t, z)+S1We1 (t, x z)) , Ue = Ue0 (t, x)+S1Ue1 (t, x z), he = he0 (t, x)+S1he1 (t, x z)

к

u = u0 (t, x, n) + e1u1 (t, x, n, z), h = h0 (t, x, n) + s1hl (t, x, n, z) , p = p0 (t, x, n, z) + s1 p1 (t, x, n, z)

w = - W1 (t, x, n, z), \x = 0 (t, x, y) + E11 (t, x, n, z), к = к0 (t, x, y) + (t, x, n, z) к

Параметр e1 << 1, который определяет величину возмущений в пограничном слое, заранее не

известен, он находится из анализа уравнений. Уравнения и краевые условий первого приближения имеют вид

+ U0+ V0dU°l + dp° = 70dU°, s(x,z) = J Hw(x)dx

du0 ] + dpL = d i du0 dn J ds dn 0 dn

(2.3)

P0 + U0 + V0 ]-(y- 1)M2 01 dt 0 ds 0 dn J V ;

dP0dP

x0( z)

ds I dn

d к 0 dh0 dn Pr dn

+ d + ddZl - k2 P0U0 = 0, n OO: U0 =Ue0 (t, s), h0 =he0 (t, s)

dtdsdn

n = 0: U0 = 0, V0 = Vw(t,s,z) h0 = hw(t,s,z))-d± = 0j

Здесь s(x, z) - длина дуги координатной линии z = const, измеряемая от положения

критической точки x0(z). Как было подмечено Дж. Куком [9], уравнения (2.3) подобны

уравнениям осесимметричного пограничного слоя. Хотя внешние краевые условия (2.3) не содержат координаты z, тем не менее, решение может зависеть от поперечной координаты, вследствие того, что кривизна k2 , краевые условия на стенке и длина координатной линии s

являются функциями этой переменной. Если же такая зависимость отсутствует, то уравнения (2.3) полностью совпадают с уравнениями двумерного пограничного слоя на теле вращения.

Уравнения (2.3) соответствуют пределу e 0, к = const, в этом приближении поперечное течение не оказывает никакого влияния на характеристики пограничного слоя. Для того чтобы учесть пространственные эффекты при малых, но конечных поперечных скоростях, рассмотрим уравнения второго приближения

du0du1du0du1 dt1ds0ds1dn0dn

(du0

d (du1du0 dP1 dn I dn dn J ds

e w.

0du0 + p1 - + u0-0

1 V dt 0 ds

(1du0du

du0 dn

(2.4)

dh1+udh0+udh1

к 2e1 dh0dh1

dsdndn

0-Po V И 2 dz ds

e1 H10

dsp0ds

(y - 1)M2

=-p0

e w.

к 2e,

dtdsds

( 1 dh0 dh0 Л J

0 - fi-0L V И 2 dz ds

du1du0 dndn

dh0 dt

+H1

(du0

V dn

1 d ( dh

к

Pr dn V dn

+к

e1 H10

e H fdh0 , (y- 1)M2 V

5w1 dw dw1 , 2 ,

p01 7 + u0 д + V0 + k11U0 -k2U0W1

dt ds dn

8 pL +d(P°U1 +P1U0 ) + d(P0V1 +P1V0 ) - k2 (p +p1U0): = s ( 1 dp0w1 dp0w1 \ sHn dp0U0

1 dp1 Qdp± - C dppL = ц

H2 dzdsdsdn0dn

S1H10 ds

n = 0:u = w, = v, = h = 0,1-=- = 0 I, n ->oo: u1 = ue1 (t, s, z), h1 = he1 (t, s, z), w1 = we1 (t, s, z)

dn J

Заметим, что члены турбулентной вязкости, зависящие от поперечного течения, имеют порядок O (s2/X2) и не входят в уравнения (2.3) и (2.4). Функция в (z) = ds/dz

характеризует изменение длины координатной линии z = const в поперечном направлении. Неортогональность системы координат сказывается только на величине поперечного градиента давления.

Пространственные эффекты наиболее существенны для тел малого удлинения (X<<1), когда члены правых частей уравнений (2.4), пропорциональные c2 =s / (s1X2), являются

главными и параметр возмущений s1 =s/X2 . Параметр c1 =s /s1 = X2 в этом случае мал. Для очень тонких тел, s1 = 0(1), пограничный слой является трехмерным уже в первом приближении, хотя поперечные течения могут быть малыми, s / X << 1. В другом пределе, X>> 1, c1 >> c2 и параметром возмущений является s1 =s . В этом случае трехмерные

эффекты пропорциональны c2 =1/X2 <<1 и малы. Для тел умеренного удлинения X=c1=c2=1 и уравнения (2.4) сохраняют наиболее общую форму.

Как видно, линейные операторы левых частей уравнений (2.4) не содержат производных по z , т. е. остаются двумерными. Правые части этих уравнений включают две составляющие. Члены, пропорциональные c1, содержат только производные в продольном

направлении и не увеличивают размерность задачи. Слагаемые, пропорциональныя c2,

содержит производные по z и делают задачу второго приближения трехмерной. Можно получить отдельные уравнения для этих производных, дифференцируя по z уравнения (2.3), при этом появляются три дополнительных уравнения. Хотя в целом эта система остается двумерной, большое число уравнений, делает метод возмущений малоэффективным. С другой стороны, производные можно находить численно. Однако использование численного дифференцирования, приводит к тому, что метод возмущений становится ничуть не проще прямого численного интегрирования исходных уравнений, а, за счет расширения системы, даже сложнее. Именно по этим причинам методы последовательных приближений, основанные, как на уравнениях малых поперечных течений [11], так и на локально-автомодельном приближении [6] не получили распространения. Фактически, для инженерных оценок пространственного пограничного слоя используются только уравнения первого приближения (2.3) или их укороченная форма - приближение плоской пластины .

3. Существует класс задач, для которых применение теории возмущений может быть эффективным. Рассмотрим случай когда краевые функции (2.3) на стенке и геометрические характеристики слабо зависят от z , т. е. выполняются разложения:

Vw = Vw0 (t, s) + s (t, s, z), hw = (t, s) + s (t, s, z) (3.1)

H2 = H20(s) + sH21(s,z), k2 = k20(s) + sk22(s,z)

Следует отметить, что рассматриваемая задача является многопараметрической, и при решении конкретных задач целесообразно использовать многопараметрические разложения.

Использование единственного параметра s в настоящей работе позволяет сократить формулы, но не уменьшает общности, так как все члены уравнений при этом сохраняются.

При условиях (3.1) параметры течения первого приближения не зависят от z: U = и0 (t,s,n), h{) = h{) (t,s,n), №0 = №0 (t,s,n), к0 =к0 (t,s,n), P0 = №0 (t,s,n) . В этом случае правые части уравнений (2.4) для продольного импульса и энергии не содержат производных по z, за исключением q1 (t, s, z) = dw1 (t, s, z)dz, которая входит в уравнение

неразрывности. Продифференцировав третье уравнение (2.4), можно получить уравнение для этой функции

dq1 dq1 dq1 dk1

+ u,

dn dz

11 U02

- k20U0 qi

v H20 dz

ddq1

- №0 --

dndn

(3.2)

Это уравнение можно трактовать как уравнение сохранение потока поперечного импульса. Таким образом, трехмерную в целом задачу второго приближения удается свести к последовательности двумерных задач за счет увеличения числа уравнений всего на единицу. Однако, размерность полной системы уравнений для двух приближений (2.3), (2.4) и (3.2) все же остается большой и ее применение для решения инженерных задач неудобно по целому ряду причин, связанных, в частности, с моделированием ламинарно-турбулентного перехода и развитого турбулентного течения. Преодолеть эти трудности удается путем использования

системы уравнений для составного решения. Уравнения для составного включающего два члена разложения (2.2) и (3.1), при Х = c1 = c2 = 1 имеют вид:

ddt

dh , п \dh dh 1 , 1 \-К,г dp , п \dp (duY d к dh

- + (u-Qw) - + v--(v - 1)M - + (u-Qw) - +u.\ - I =---

dw ds

dq +u+v dtds

решения,

(3.3)

d dq

- №

n n

Pu Pv t s n

PwPq

Q+-k2Pu

где ds = H1 (x, z )dx, а краевые условия для уравнений (3.3) сохраняют свою исходную форму (1.1), но к ним добавляется очевидное условия для функции q= w/ z. По своему статусу уравнения (3.3) занимают промежуточное место между уравнениями приближения малых поперечных течений (2.3) и уравнениями (1.1). Первые два уравнения (3.3) идентичны уравнениям двумерного пограничного слоя (2.3). Уравнение неразрывности подобно уравнению неразрывности (1.1), но функция q = dw / dz находится из дополнительного, уравнения, которое следует из (3.2). В целом система (3.3) является системой двумерных нестационарных уравнений, в которые координата z входит как параметр.

4. Разложения (2.2), (3.1) и полученные уравнения справедливы для двух классов тел, которые являются обычными элементами конструкции летательных аппаратов - это тонкие крылья и фюзеляжи с малой асимметрией поперечного сечения. Стационарный пограничный слой на тонких крыльях, рассмотрен в работах [12,14,15,18]. Для анализа нестационарной задачи рассмотрим крыло, которое мало отличается от цилиндрической поверхности Y = Y0(Z); передняя кромка крыла совпадает с линией X = X0(Z) на этой поверхности.

Декартовы координаты X, Y и Z отнесены к максимальной хорде крыла b, ось X направлена вдоль вектора скорости набегающего потока, Z - по размаху крыла, как показано на рис. 1. В ортогональных криволинейных координатах xyz, связанных с

поверхностью Y = Y0 (Z) (x = X, y - нормаль к поверхности, z - длина дуги линии X = const), поверхность крыла задается уравнением y = 5 yw (t, s, z), где s = x - x0(z), 5 b -толщина крыла. Предполагается, что выполнены условия:

5<< 1, 51 = 5/X<< 1, X< 0(1) (4.1)

Возмущения давления на таком крыле малы, p = sp1(t, x, z), где s = 5 для M > 1 и M < 1, s=5 для трансзвукового набегающего потока. С точностью , линии z = const и

x = const образуют ортогональную сетку на крыле: H1 = H2 = 1, к1 = к2 = к12 = к21 = 0 , в = tgX , X(z) местный угол стреловидности передней кромки. Уравнения (3.3) составного

решения для тонкого крыла упрощаются и принимают вид

dp д du

--+(и- вw)--+ v-

dt ds dn

dh , n \dh dh --+(u- вw)--+ v-

dtdsdn

(у - 1)M

dndn dp

(4.2)

+ (u -в w) - +a\ -

d к dh dn Pr dn

dwdwdw --+ u--+ v-

dtdsdn

dq dq dq - + u - + v- dtdsdn

dpdpddw + - -в - = - H -

dzdsdndn

+ d f dp -вdp dz v dz ds

d dq dp dp(u -в w) dp v dndndtdsdn

Особенность задачи для тонких крыльев связана с наличием передних кромок, в окрестности которых разложения (2.2), (3.1) и уравнения (4.2) не пригодны. Введем связанную с кромкой криволинейную ортогональную систему координат SNR :

S = (scosx)/ ортогональна кромке, N = Va - нормаль к поверхности крыла, dR = dz/cosx измеряется вдоль кромки, A(R~) = О(5 2) - радиус кривизны носка профиля R = const. С точностью до малых второго порядка по углу атаки и толщине форма крыла в окрестности кромки аппроксимируется параболической поверхностью y = ±Ay[22S. Функции течения в этой окрестности с точностью до величин О (А) представляются в виде:

v= uTA/ReV(t,S,N,R), U* = uJJ(t,S,N,R), К= h,rh(t,S,N,R), W = uJV(t,S,N,R), где

U и W - проекции вектора скорости на координатные линии R = const и S = const . В области размером A<< 1 характеристики пограничного слоя быстро изменяются в направлении координаты S. В этой области уравнения (1.1) в главном приближении сводятся к уравнениями стационарного пограничного слоя для скользящего крыла [3]

dUdU

dS1dN

dp = d dU dST ~~ddN ~3N

ц%, S1 = \ H1dS

(4.3)

dWdW

dN dh

ddwd(pU)d(pV)

ц.--, ---L + --- = 0

U- + V-

dNdNdS1

(у- 1)M2\U + ц

dN J VdN J

d к dh

dNPr dN

N = 0: U = W = 0, V = Vw(t,S1,R) h = hw(t,SuR)\ = 0

N-- >: U = Ue(t,S1,R), W = ur(t)sinx(R), h = he(t,S1,R) Нестационарные и трансверсальные члены являются величинами О (А), поэтому время t и

поперечная координата R входят в уравнения (4.3) в качестве параметров. Таким образом, для затупленной кромки в главном приближении уравнения (1.1) сводятся к универсальным уравнениям двумерного квазистационарного пограничного слоя на скользящей параболе с единичным радиусом кривизны носка. Положение критической линии SA (t,R) является единственным параметром задачи. Для несжимаемой жидкости скорость на внешней границе находится в аналитическом виде [22]: Ue = Ui (t,R)(a -о A)cos x/H1 (o=±\[22s ). В

линейной теории [21] при s - 0 давление имеет вид: p1 = ur (t)5 [r,(t, z) + r2(t, z)j Vs J.

Сращивая это выражения с внутренним решением, получим: о A =-yj25 2/A cos3 x r2 (t, z), Ui (t,R) = ur [1 -5 r (t,z)) .

В пограничном слое сращивание удобнее проводить методом С. Каплуна [20] на основе анализа решения в промежуточной области, A<<AS = s cos x << 1. Можно показать, что предельная (при S >> 1) форма уравнений (4.4), преобразованных к системам координат snz тождественна предельной (при s << 1) форме уравнений (4.2). Условия сращивания в пограничном слое определяют начальные условия для уравнений (4.3). Они формулируются для некоторой плоскости s= s0 из промежуточной области в виде

s0 =ASjcosx , n = NVA, z = z(R), h(0,n,z,t) = h(S0,N,R,t) (4.4)

un,z,t) = U(S0,N,R,t)cosx+ W(S0,N,R,t)sinx ,

w n, z, t ) = -U (S0, N, R, t )sin x+W (S0, N, R, t )cos x Начальное условие для функции q = 0w/dz находятся дифференцированием третьего уравнения (4.4).

Исследование течения в окрестности острой передней кромки в рамках теории пограничного слоя ограничивается условиями безотрывного обтекания, когда критическая линия совпадает с кромкой. Теория тонкого крыла [21] дает логарифмический вид особенности для острой дозвуковой кромки и размер особой области s cos x ~ А ~ exp (-1/8 ) .

В этой области верхняя (y+w) и нижняя (yw) поверхности крыла аппроксимируются плоскими поверхностями y± = AStg50± , где 50 =50++50- - угол раствора носка профиля R= const . Внешние краевые условия определяются решением задачи потенциального обтекания клина: Ue = (1 + m)S1 UJ cosx , We = ur sin x , he = Hr(t)-(у - 1)M2We2/2,

m =50±j((K-50±), Hr(t) - энтальпия торможения, Ut (t,R) определяется условиями

сращивания. Для сверхзвуковой передней кромки краевые условия соответствуют параметрам течения за присоединенным скачком и m = 0. Уравнения (4.4) сводятся к автомодельной задаче обтекания клина со скольжением [4]

(рцF )=-(m + 1)FF /2 + m\(Ff -T1, (рцG )=-(m + 1)FG /2 (4.5)

(рк T/Pr) =-(m + 1)FTff/2-(у -1)M2W2рцG2/he

П= 0:G = T = F = G = 0, F = pwvjA~p~Je, T = hjhe (Г = 0); ц=ю: F = G = T = 1

где штрихи обозначают дифференцирование по ц, функции тока и переменная А.А. Дородницына ц определены соотношениями dr\ (1 + m)S1 -1Uj cos %/рe№e рdN, U = UeF, h = heT, W = WeG. Начальные условия для уравнений пограничного слоя на основной части крыла определяются соотношениями (4.4). На линии растекания затупленной передней кромки Ue = S1Ui cos х , этому случаю соответствуют уравнения (4.5) при m = 1.

5. Другой класс течений, которые описываются полученными уравнениями

соответствует пограничному слою на телах, поперечное сечение которых мало отличается от круга, при этом, ось тела также может слабо отличаться от прямой линии. Стационарные течения такого типа рассмотрены в работах [10,13,14,16]. Нестационарная задача пространственного пограничного слоя формулируется следующим образом. Пусть поверхность тела задана в цилиндрических

координатах (рис. 2) уравнением r = r0 (x)[1 + 5r1 (x,ty)1, где

x измеряется от вершины тела и отнесена к его длине b , полярный радиус r отнесен к максимальной толщине тела Xb, 5<< 1 характеризует асимметрию тела, ф - полярный угол. Предполагается, что выполнены неравенства: 5<< 1 Рис.2 безразмерный угол атаки а =а*/\<< 1, X< O (1). В этом

случае, разложения (2.2) и (3.2) также являются двухпараметрическими и включают члены, пропорциональные а и 5 . Можно обойтись одним параметром, полагая s = 5 ~ а , выделив случаи тела вращения под углом атаки (s=a , 5= 0) и несимметричного тела при а= 0 (s=5 ). Используя в (1.1) цилиндрические координаты, с точностью до линейных по малым параметрам членов получим:

H =V 1 + (Xrx)2 = Hw +X25Hn, H2 = r, cose =X5 /H k2 =-r0x/(rHw)+5k22(5.1)

k12 =-X5 0xrlф

r0H120

k21 = [r0x + 5 (r0r1x - HnlH10 - r1 ))l(H10r0 ) , k1 =X r0xxrv,lH

где индексы ф и x обозначают дифференцирование по соответствующим переменным. Уравнения (3.3) в этом случае преобразуются к виду

dp + dp u + dp v + р q dt ds dn XH2

k2 pu = 0 , p

dududu

+u+v dtdsdn

dhdhdh --+ u--+ v-

dtdsdn

-(y - 1)M2

. 2 dp 2 dp (du X - + K u- + №\ -

dt dsvdn

2 dpddu dsdndn

d к dh dnPr dn

(5.2)

dwdwdw 2 --+ u--+ v--+ k1u

dtdsdn

dqdqdqdk1 2 +u+v+1 u2 dt ds dn дф

k2uw

k2uq

1 dp2dpddw X cos-= - № -

X H2 дф

1 dp

X H2 дф

X2 cosQ

dndn dp

ddq №

dndn

Как видно, уравнение для скорости поперечного течения в этом случае отделяется и его можно не рассматривать, если интересоваться только характеристиками продольного течения и теплопередачи. Для тонких тел (X<<1) эти уравнения несколько упрощаются.

Уравнения (5.2) применимы вплоть до острой вершины тела, которая по предположению является точкой торможения. В малой окрестности вершины (s - 0)

поверхность тела аппроксимируется конической поверхностью r = xr (ф) = x[1 + 5r1 (ф)~\, а геометрические характеристики представляется так: s = xH1, H2 = rj 1 + (r~p/У ) = rH2 (ф ),

H1 =y/1 + X 2F2 = H1 (ф), H = sH (ф), k1 = k2 = к2 (ф)/s , = (ф)/s , = k21 (ф)/s ,

k2 (ф)/s = -[1 -Тфф/r + 2(7фIr )21/(sHH23), (ф) = -ХТф [cos29 - sin29(rJr )2]/(sH1H2H2),

k21 (ф)= 1 + ((ф/r) (1 + cos29-X2r2) )(sH1H2), cos9=Xfj(HiFH2). Параметры внешнего

дозвукового течения имеют вид: he = Hr (t) + О (s2n), p = pr (t) + s2np (,ф), ue = Ksnu~e (t, ф),

we = Ksnwe (t,ф), где Hr и pr - энтальпия и давления торможния. Параметр n (0 < n < 1)

определяется из решения задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лежандра порядка n +1, как функция угла раствора конуса [23], постоянная K находится из условий сращивания с внешним решением. При указанных условиях уравнения (1.1) допускают полуавтомодельное решение, которое в терминах функций тока и переменной А.А. Дородницына (u = uef,

h = H 0T , w = weg, dr\ =yj s -1/pe цеКме p dn ) описывается системой уравнений:

A =my d A =2dt

B = n + Ve

f ) =

- + (2 - n)

Hp (sin 9)ф

sin9

g +

(5.3)

a- + Xk

X k2 V2 +

sin9 u 2

B2 = n + k21 +Xk + aw-+ mwet

Л

~Af + aVegf;+nf2 +Ve a + Xkl2 \fg +

sin9 ue sin9 u

e e

Ve = w ue

л

-Ag + aVeg gv+(n + k2l >)fg -

Xk2Ve

2 e + a-

sin9

g + g

evweJ

=-AT + aVeg X + =

T + e T

snu2

(y-1)M2ц^- f2 + (VgY + 2VJgcos9

Г = 0:f = g = f = g = 0,T = hw/he ,(T = 0); r = : f = g = T = 1

Нестационарные члены уравнений (5.3) пропорциональны s1-n , поэтому для острого носка (n <1) и M<1 течение является квазистационарным (m = 0). Сверхзвуковому течению соответствуют уравнения (5.3) при n = 0. Решение уравнений (5.3) позволяет поставить начальные условия для уравнений (1.1) и с помощью соотношений, подобных (4.4), - для уравнений (5.2). В случае малой асимметрии тела и малых углов атаки эти уравнения могут быть упрощены на основе асимптотических разложений, подобных (2.2) и (3.1). Первое приближение (2.3) сводится к задаче Фолкнер-Скэн [19], а уравнения (2.4) и (5.3) - к обыкновенным дифференциальным уравнениям, в которые ф и входят как параметры.

Характер течения в окрестности затупленной вершины, поверхность которой аппроксимируется уравнением r = 42Axr (ф^) (А - масштаб радиуса кривизны), определяется положением критической точки, в которой ue = we = 0. Если эта точка не совпадает с вершиной, всегда имеется область, в которой продольная и поперечная скорость имеют одинаковый порядок, течение является существенно трехмерным (ue ~ we) и уравнения (5.3) становятся непригодными. Однако можно показать [14], что размер этой области мал

( x ~ Xa ) и в системе координат, связанной с критической точкой, течение в особой области описывается нестационарными уравнениями (5.3) при n = 1 и m = 1.

6. В настоящей работе проведен асимптотический анализ уравнений нестационарного трехмерного пограничного слоя в случае малых поперечных течений. Проанализированы уравнения первого и второго приближения, получены условия их возможного упрощения и выделен класс течений, для которого применение теории возмущений является рациональным и эффективным. Для таких течений выведена промежуточная система уравнений, которая включает в себя основные пространственные эффекты, но существенно проще исходной системы. Особенности полученных уравнений проанализированы для двух классов практически важных задач - тонких крыльев и фюзеляжей с малой асимметрией поперечного течения при малых углах атаки. Показано, что течение в особой области около передней кромки крыла описывается стационарными двумерными уравнениями пограничного слоя на скользящем крыле с профилем в виде параболы или клина. Для тел типа фюзеляжа летательного аппарата задача в особой области около острого носка сведена к стационарной, двумерной задаче обтекания острого конуса. Течение в окрестности затупленного носка описывается нестационарными уравнениями для пространственной критической точки. Для этих областей в случае малых углов атаки и малой асимметрии тела выведены упрощенные системы уравнений.

Настоящая работа выполнена при поддержке РФФИ по грантам 05-08-17915а и 05-01-08087офи а.

Литература

1. Telionis D.P. Unsteady viscous flows/ Springler-Verlag. NewYork. Heidelberg. Berlin.

1981. 408 С.

2. Смит П.Д. Численный расчет трехмерных пограничных слоев/Сб. Трехмерные турбулентные пограничные слои. М.: Мир. 1985. С. 259-275.

3. Струминский В.В. Аэродинамика и молекулярная газовая динамика/М. Наука.1985.

240 С.

4. Myp Ф.К. Теория трехмерного пограничного слоя. - В сб.: Проблемы механики, под ред. X. Драйдена и Т. Кармана, вып. 2, М., ИЛ, 1959, с. 239-296.

5. Нейланд В.Я., Боголепов В.В., Дудин Г.Н., Липатов И.И. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа/М.: Физматлит. 2003. 456 с.

6. Шевелев Ю.Д. Трехмернью задачи теории ламинарного пограничного слоя/ М. Наука.

1977. 224 с.

7. Mager A. Three-dimensional laminar boundary layers In Theory of Laminar Flows ed. by F.K. Moore, Princeton University Press, 1964, p. 286-394.

8. Eichelbrenner E. Three-dimensional boundary layers Annual review of fluid mech. 1973.

V. 5. P. 339-360.

9. Cooke J.C. An axially symmetric analogue for general three-dimensional boundary layers ARC RM. 1961. N. 3210.

10. Хонькин А.Д., Шалаев В.И. Ламинарное, безотрывное обтекание тонких тел Тр. ЦАГИ. 1985. Вып. 2265. С 95-112.

11. Fannelop T.K. A method for solving the three-dimensional laminar boundary layer equations with application to a lifting re-entry body. - AIAA J., 1968, v. 6, No. 6, p. 10751084.

12. Шалаев В. И. Пограничный слой на тонких крыльях в сверхзвуковом потоке газа. -Численные методы механики сплошной среды/ AH CCCP, Сиб. отделение, ИТПМ. 1986. Т. 17. № 5. С. 127-134.

13. Лунев В.В., Сенкевич Е. А. Метод меридиональных сечений в задачах