Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Влияния упругих полей

1 2

Влияния упругих полей на скорость роста пор в металлах с

ГЦК структурой

Аунг Мо (1), Назаров А.В. (avn46@mail.ru) (1), Михеев А.А. (2)

(1) Московский инженерно-физический институт (государственный университет) (2) Московский Государственный Университет Дизайна и Технологии

Введение

Радиационное воздействие на материалы приводит к образованию дефектов, изменению структуры и, как следствие, свойств материалов [1-11]. Одним из характерных признаков структурных изменений при облучении металлов является образование и рост пор, что приводит к распуханию металлов [3,5-10,12]. Некоторые экспериментальным данные свидетельствуют о том, что при рассмотрении вопросов, связанных с ростом пор, необходимо учитывать влияние упругих полей на диффузионные потоки дефектов, прежде всего вакансий, причем упругих полей, создаваемых как внутренними источниками, такими как поры (пузырьки) и дислокации, так и внешними [11]. Однако, теоретический анализ влияния упругих полей, создаваемых порами, на основе диффузионных уравнений базирующихся на феноменологическом рассмотрении вакансий, как центров дилатации [13], приводит к нулевым эффектам [3]. Такой результат объясняется тем, что упомянутые теоретические подходы, описывающие влияние упругих полей на диффузионные потоки, не вполне адекватны этим процессам [14]. Одной из причин такой ситуации является, по-видимому, то обстоятельство, что абсолютное большинство из существующих ныне подходов не учитывает воздействие упругого поля на атомарную структуру в окрестности седловой точки потенциального рельефа (вершины барьера), преодолеваемой атомом при скачке в соседнюю позицию, и влияние сдвиговых компонент тензора деформации на упомянутую структуру [14]. Эти подходы ограниченно применимы при низких температурах и нуждаются в модернизации [14]. Более детальный анализ влияния упругих полей на диффузионные скачки атомов проведен в работах[15,16], где предложен также конструктивный теоретический подход, учитывающий упомянутые факторы. Этот подход позволил, в частности, получить выражения для диффузионных потоков в упругом поле общего вида для металлов с ГЦК и ОЦК структурами, диффузия в которых осуществляется посредством вакансионного механизма.

В настоящей работе изучается влияние упругих полей, создаваемых порами и пузырьками на рост пор в ГЦК металлах на основе полученных ранее в [15] выражений для потоков вакансий. В первой части работы проведены расчеты и анализ координатной зависимости компонент матрицы коэффициентов диффузии, обусловленной влиянием упругих полей, создаваемых сферическими порами разного размера. Для этого разработана специальная программа, позволяющая проводить расчеты и визуализировать эти зависимости. Во второй части решалась задача о распределении концентрации вакансий в окрестности поры некоторого размера с учетом влияния пересыщения и упругих полей используя подход аналогичный предложенному в работах И.М. Лифшица и В.В.Слезова [12,17]. Получены выражения для скорости роста пор, учитывающие влияние упругих полей, создаваемых этими порами в окружающей их окрестности, а также влияние давления газа в пузырьках, и внешнего давления, приложенного к материалу.

Упругие поля вокруг поры

Рассмотрим шаровую область G радиуса RG, содержащую пору радиуса R. Если внутри поры содержится газ, то он оказывает на внутреннюю границу области G давление p. Кроме того, материал может находиться под внешним давлением P. В такой ситуации согласно классической теории упругости поле смещений в шаровом слое G в декартовой системе координат имеет вид [18]:

ux = C x + C2 4, uy = С1У + С2-т, Uz = С1Z + С2~Г, (1)

r r r



где r - расстояние от центра поры до любой точки в шаровом слое, а x,y,z - его проекции на оси координат;

1 - 2v

2Y R

R3 - PR:

Ri - R3

1 + v V

p - P -

R - R3

где v - коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, у - плотность поверхностной энергии. Компоненты тензора деформации получаются дифференцированием смещений (1) и, например:

е = C + C

( x2 Yl

v r 5 JJ

е 12=

Spe = 3C1

Потоки вакансий в упругом поле пор

Уравнение для потока вакансий в упругом поле общего вида в ГЦК структурах было получено ранее [14] и его можно записать следующим образом:

J1 =

dc dc dc ( Д, - + D12 - + D13--c

11 12 13

dx dy dz

dD dD12 dD

dx dy

J 2 =

dc dx

dD12 dD

dD 22 + 23

J3 =

D137 + D23T + D33T

dx dy dz

dc (dD

13 + dD23 + dD33

где

D11 =- exp

D D

D22 =- eXp

D33 = D exp

D D

D12 = Yexp

K1Spe kT

K1Spe kT

KlSps kT

K1Spe kT

K1Spe

exp I

kT J V kT

K2 g33 j ch ( K3g12

V kT

K2s,

lch Г K3e13

V kT

K2 gn ch ( K3g23 kT

V kT

+ exp I

K2 g22

kT I

V kT

K3S13

V kT

D13 = - exp

K1Sps kT

K2 e.

2°22 \sh(k3e13

V kT

KjexL sh {.K3e23

V kT

где D - коэффициент диффузии вакансий в бездефектном кристалле, Q - объем, приходящийся на атом, k - константа Больцмана, T- температура, Ki - коэффициенты, определяющие влияние упругого поля на диффузионные потоки. Они зависят от межатомного взаимодействия, взаимного расположения атомов в окрестности седловой точки и равновесной и кристаллографической структуры [15,16].



D11 = D exp

D22 =- eXp

D33 =- exp

D12 =- exp

D13 = D exp

D23 = D eXp

3kc + k2 ( С

3KC + k2 с

3K1C1 + K2 C1

3K1C1 + K2 C1

3K1C1 + K2 C1

л

f 3K2C2z2 1 , f 3K3C2xy exp -2-2- chl -5 2 \ r5kT ) { r5kT

3С2 xz

f 3K2C2y21 , f 3K exp -- chl -5

{ r5kT ) { r5kT

3K2C2 x2 Л 3Kf2 yz

v r 5kT ) \ r5kT

f 3K2C2 x2 1 3K3C2 yz v r5kT ) [ r5kT

3K2C2z2 ) uf 3K3C2xy

v r5kT ) \ r5kT

r5kT

3С2 xz

r5kT

3K2C2 z21 3Kfi xy

v r 5kT P\ r5kT

3K2C2J

y21 shf 3K

3С2 xz

v r5kT P\ r5kT

1 shf3K

3K2C2 x2 3K3C2yz

v r5kT ) \ r5kT

в котором отражено влияние упругих полей, создаваемых порами.

Анализ координатной зависимости компонент матрицы коэффициентов диффузии

Для анализа координатной зависимости компонент матрицы коэффициентов диффузии, обусловленной влиянием упругих полей, создаваемых сферическими порами разного размера, разработана специальная программа, позволяющая проводить расчеты при различных значениях параметров входящих в уравнения (6) и визуализировать эти зависимости. Расчеты проводились при фиксированных значениях координаты Z, в частности для меди и никеля. Ниже приведены графики зависимости относительных значений коэффициентов диффузии Dij/D от координат x и y в окрестности пор в случае меди, и соответствующие значения параметров были взяты из справочной литературы (рис.1 - 6). Коэффициенты Ki были рассчитаны ранее в приближении жесткой решетки

[15].

После подстановки компонент тензора деформаций (2) в уравнения (5) коэффициенты диффузии примут вид:





Рис.1. Зависимость D11/D от координат x, y в окрестности поры радиуса R = 80A, при z = 50A, и T = 100C.


Рис.2. Зависимость D33/D от координат x, y в окрестности поры радиуса R = 80A, при z = 50A, и T = 100C.







Рис.5. Зависимость D33/D от координат x, y в окрестности поры радиуса R = 80A, при z = 50A, и T = 500C.


Рис.4.Зависимость D11/D от координат x, y в окрестности поры радиуса R = 80A, при z = 50A, и T = 500C.



Рис.6. Зависимость D12/D от координат x, y в окрестности поры радиуса R = 80A, при z = 50A, и T = 500C.

Результаты для никеля качественно имеют аналогичный характер зависимости и отличаются количественно в сторону увеличения степени проявления эффекта влияния упругих полей на коэффициенты диффузии.

Анализ результатов проведенных расчетов позволяет сделать следующие выводы. Влияние упругих полей, создаваемых порами, на величины компонент матрицы коэффициентов диффузии очень сильно зависит от размеров пор и температуры, и максимальное значение отношения D11/D может достигать нескольких порядков. Увеличение размеров пор приводит к уменьшению отношения коэффициентов. Так при T = 500C для поры радиуса 150А максимальное значение D11/D=1.15. Так как компоненты матрицы коэффициентов диффузии определяют поток вакансий к поверхности пор и скорость их роста, то следует ожидать значимого вклада изучаемого эффекта в кинетику роста пор. Этот вопрос нуждается в дополнительном изучении.

Диффузионное уравнение и его решение

Используя уравнение непрерывности и выражение для потока вакансий, получим диффузионное уравнение, определяющее перераспределение вакансий в упругих полях генерируемых порами. Такое уравнение с коэффициентами диффузии (6) является нелинейным, поэтому решить его в общем случае при больших пересыщениях по концентрации вакансий можно только используя численные методы. Однако, аналитическое решение уравнения можно получить линеаризовав его и изучить влияние упругих полей, создаваемых порами, на скорость роста пор на стадии коалесценции, когда пересыщение мало.

Линеаризация компонент матрицы коэффициентов диффузии с применением часто

K £

используемого приближения, при котором отношения типа -2-3-<<1 , дает:

K2C2 (1 - 3x2/ r2)

2r 3kT

K2C2 (1 - 3 y2/ r2)

2r3kT

, D33 = D

K2C2 (1 - 3z2/ r2)

2r3kT

12 2r5kT 13 2r5kT 23 2r5kT

l kT

В итоге диффузионное уравнение примет вид:

1 dc A 21cC2 (K2 + 2 K3)

--= Ac +--2K 2 3/

Dj dt

1 5\x y + x z + y z )

где A - лапласиан.

В квазистационарном приближении получим следующее уравнение:

21CC2 ((2+2K3)

1 - 5 (x

2 2, 2 2, 2 2

y + x z + y z ,

Далее был применен подход аналогичный, предложенному ранее в работах по теории коалесценции Лифшица-Слезова [17]. Вначале было решено уравнение (9), (см. Приложение I), затем дифференцируя полученное решение по координатам и подставляя полученные выражения для производных в исходные уравнения для проекций потока вакансий (4), были найдены проекции потока на координатные оси и в результате - нормальная составляющая потока к поверхности поры, определяющая скорость роста поры данного радиуса. (Приложение II).



dR 1 1лл

Скорость роста частицы определяется из выражения: - =--- JR(<p,6)R2 sin6d6d<p,

где Jr - нормальная составляющая потока к поверхности поры при r = R. Подставив Jr и проинтегрировав (см. Приложение II), получим скорость роста поры в явном виде:

dR=- L>RRa -cR)+d-wcR(k+) 5 3i±i(p-p-щ, (10)

dt R(RG - R) 126(KG - R)kT Rl - R3 2E V R

yR - -

где Cm - концентрация вакансий на внешней границе шаровой области, cR - концентрация вакансий у поверхности поры, а выражения для DR и W приведены в Приложении ii. Если использовать

c - c

величину пересыщения материала вакансиями, А = -m--, тогда скорость роста поры примет вид:

dR = DrO Rg (А-а) + ±K2 + 2K3 D,cR Rg Rl 1 + v( p 2уЛ dt R RG - R V R J 24 kT R RG - R Rl - R3 E V R J

где a =-, c- - равновесная концентрация вакансий у плоской поверхности.

Как видно из уравнения (11), учет влияния упругих полей, создаваемых порами, на диффузию вакансий приводит к двум важным отличиям от обычно используемых выражений: коэффициент диффузии вакансий D заменяется DR, и в правой части появляется второе слагаемое. Эти особенности уравнения могут приводить к существенному изменению кинетики роста пор при низких температурах на стадии коалесценции.

Для вакансионных пор, радиус которых существенно меньше среднего расстояния между ними и при р=0 получим:

dR = Dj

dt = R c

А-ах1 - 31+v2y(K+2k3)

rJV 5 E R kT

(12)

При отличном от нуля давлении газа в порах уравнение имеет вид:

dR = Dj

dt = R

А

E Ip R J 5kT

V e V R J

(13)

При p = - , (равновесном давлении газа в поре), упругого поля вокруг поры нет и

выражение имеет такой же вид, как в теории Лифшица-Слезова [17]. Выводы

Получены выражения для потоков вакансии в ГЦК металлах в окрестности поры с учетом влияния упругих полей, создаваемых порой.

Посредством специально созданной программы проанализирована зависимость коэффициентов диффузии от координат и характеристик металла.

Показано, что влияние упругих полей, создаваемых порами, на величины компонент матрицы коэффициентов диффузии очень сильно зависит от размеров пор и температуры, и максимальное значение отношения D11/D может достигать нескольких порядков.

Решено диффузионное уравнение, учитывающее влияние упругого поля в окрестности поры некоторого размера, и получено уравнение для скорости роста пор на стадии коалесценции.



Приложение I

Решение уравнения (9) с заданными граничными условиями можно представить в виде суммы трех решений: c(x, y, z) = c0 + U(x, y, z) + V(x, y, z). Здесь c0 - постоянная, V(x,y,z) - решение

неоднородного уравнения, которое на границе принимает произвольные значения, U(x,y,z) - решение однородного уравнения, граничные условия которого подобраны так, чтобы удовлетворялись граничные условия общего решения задачи.

Решение неоднородного уравнения V(x,y,z) имеет вид потенциала Ньютона:

(x z) = 21c0C2(K2 + 2Kз) [p4 - 5({2g2 +ec2 +$2e )№&с

p = p(, Q, Z) После интегрирования получим:

V (x, y.z))= 21c0C2 (K +

где G

шаровой слой,

r4 R2

{14r3 63RG 18r5

Предполагается, что на стадии коалесценции концентрация вакансий мало меняется в шаровом слое

и

U(x y z)+V(x y z)

<< c0

Вычисляя значения полученной функции на границе области, получим:

V(R)=

R3 - RG

на границе r = R,

lc()C2 (K2 + 2 K3)

на границе r = Rj.

U(x,y,z) является решением уравнения Лапласа: AU = 0

с граничными условиями (если в качестве c0 взять значение концентрации на поверхности поры cR ):

f (R)=-ViR) (I2)

{Ufa)= cm - cR -V(Rg)

решение которого (см. [19] с.279): U(r) = B1/r + B2. Константы B1,B2 определяются из граничных условий. Определив указанные константы, получим:

Rg - R

(cm - cR )+

cpC2 (K 2 + 2 K3) ( M + M-L 6kT(RG - R) V 0

1 77R2 - 2R5 R2 + ~R R7~~

R R R

7R 7R3 2RG 2 R5 M 1 --4---G +

RG RG R

(I.3)

Объединяя и (I.2), получим концентрацию вакансий, как функцию координат:

c = cR +

где N4 ~-N

RG R

1 - RXm - cR )+

kT V r r r

(I.4)

3RG N0

RG-R

7 7R2 R5 Л

3R2 6RG2 6RG4 3RG7

N-1 s-

7R 7R3

RG + R5

RG - Rv6RG2 6RG4 3R2 3R

7 R2.

Приложение II

Дифференцируя (I.4) по координатам, получим из формулы (4) проекции потока на координатные оси. Рост или растворение поры определяется проекцией потока (4) на нормаль

x y z rrr

к ее поверхности JR, и вычисляется по формуле: J R

(J ,n)

где Ш = 1. Перейдя в



сферическую систему координат, интегрируя по углам и полагая расстояние r равным радиусу поры, получим суммарный поток вакансий к ее поверхности:

4nDIRRG

R1 - R

5R 3kT

(II.1)

315(RG - R)

Rgl - RL R2 RG j

R6 1

Rl R

R3 R

V RG4 RG2

3R2+2 K3 )

RG R2

\ 8(

R3 1

V RG2

Подставив вместо константы C2 ее значение, получим:

4nDRRRG

Rg - R

где DR = Dx

4nDiWc0(R + 2K3) RR 1 + v( -p- 2у 126R(RG - R)T Rl - R3 2E R

1 + 3(R2 + 2 K3k Rl 1 + vf - p - 2у 5kT Rl - R3 2E V R

W = 1 --

4 R 7

( R Л3 7 ( R Л5 ( R Л7

5 RG 10

V RG J

V RG J

V RG J

4 ( R Л

V RG J

(II.2)

Cm - концентрация вакансий на границе шаровой области, cR - концентрация вакансий у поверхности

c0(R2 + 2K3) R3Rl 1 + v( 2уЛ поры. В произведении G, где G = 2---1 p - P--I, на фигурную скобку в

kT RG3 - R3 2 E V R J

выражении оставлены только линейные по 1/kT слагаемые.

1. 2.

Литература

Томпсон М. Дефекты и радиационные повреждения в металлах. - М.: Мир, 1971. - 368с. Кирсанов В.В., Суворов А.Л., Трушин Ю.В. Процессы радиационного дефектообразования в металлах. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 272 с.

Ибрагимов Кирсанов В.В., Пятилетов Ю.С. Радиационные повреждения металлов и сплавов. М.:

Энергоатомиздат, 1985. - 240 с.

Залужный А.Г., Сокурский Ю.Н., Тебус В.Н. Гелий в реакторных материалах. М.: Энергоатомиздат, 1988. -

224 с.

Зеленский В.Ф., Неклюдов И.М., Черняева Т.П. Радиационные дефекты и распухание материалов. Киев: Наукова думка, 1988. - 296 с.

6. Бескоровайный Н.М., Калин Б.А., Платонов П.А., Чернов И.И. Конструкционные материалы ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1995.- 704 с.

7. Чернов И.И., Калин Б.А. Радиационные повреждения в металлах, облученных ионами гелия. - Атомн. техн.

за рубежом, 1986, № 9, с. 9-19.

8. Zell V., Schroeder H., Trinkaus H. Helium bubble formation in nickel during hot implantation. - J. Nucl. Mater.,

1994, v. 212-215, p. 358-363.

9. Слепцов А.Н., Слепцов С.Н. Кинетика накопления радиационных дефектов в никеле и никелевых сплавах при высокотемпературном электронном облучении. - Вопр. атомн. науки и техн. Сер.: Физика радиац. поврежд. и радиац. материаловед., 1998, вып. 3 (69), 4 (70), с. 14-15.

10. Schroeder H., Fichtner P.F.P., Trinkaus H. Inert gas bubble coarsening mechanisms. - Mater. Sci. Forum, 1992, v.

97/99, p. 1-10.





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.