Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Обучение принципам компьютерной

Обучение принципам компьютерной томографии для решения задач диагностики плазмы

Бульба А.В.(аг1ету-у@уапсСех.ги), Луизова Л.А., Хахаев А.Д. Петрозаводский государственный университет

Введение

Одним из современных методов диагностики плазмы является метод реконструктивной компьютерной томографии. Томографический подход позволяет с достаточно высокой степенью точности определять локальные характеристики исследуемых неоднородных плазменных объектов, что даёт широкие возможности в понимании физических процессов, протекающих в этих объектах. Качество реконструкции существенно зависит от таких факторов, как число направлений наблюдения (ракурсов), количество детектирующих устройств, устойчивость алгоритма к шумам.

Численное моделирование позволяет определить оптимальные условия постановки томографического эксперимента.

В связи с этим возникла задача в создании обучающего программного обеспечения, которое позволило бы путём моделирования, познакомить студента с некоторыми алгоритмами вычислительной томографии и условиями проведения томографического эксперимента.

Разработанная обучающая программа позволяет вычислять проекции математических моделей неоднородных плазменных объектов, наглядно демонстрировать восстановление осесимметричного и асимметричного объектов при выбранном числе проекций (ракурсов наблюдения), накладывать на проекции шумы, представлять результаты восстановления в трёхмерном виде, воспользовавшись нормировкой, определять точность восстановления, и проводить общий анализ зависимости точности восстановления объекта от числа проекций.

Работа реализована на основе одного из самых мощных аналитических способов решения задачи восстановления - преобразования Фурье [1-5] - и вытекающие из него вычислительные методы непосредственно использованы в этой программе: метод обратной проекции и фильтрация сверткой [1,2,5-7].

Несмотря на то, что метод обратной проекции восстанавливает изображение со значительными ложными сигналами и в настоящее время не применяется, он приводится потому, что очень прост, интуитивно понятен, нашел применение в первых экспериментах и, самое главное, входит в состав основных точных методов. Кроме того, представляется возможность наглядно сравнить оба способа восстановления.

Метод же обратного проецирования с фильтрацией используется во многих современных рентгенодиагностических томографов и, таким образом, с чисто утилитарной точки зрения играет особую роль.

Также в программе реализованы два итерационных метода томографии: алгебраический метод восстановления (ART- Algebraic Reconstruction Technigues) или получевая коррекция и итерационный метод наименьших квадратов (ILST - Iterative Least-Squares Technique) или одновременная коррекция [6].

Демонстрация работы как аналитических, так и итерационных методов, дает более полное представление о вычислительной томографии, т.к. именно они получили наибольшее распространение в различных приложениях и сыграли важную роль в развитии томографии.

Программа была разработана в Borland Delphi 7.0. Tomography 1 требует операционную систему Microsoft Windows 95/98/2000/XP на IBM PC AT-совместимом компьютере с процессором выше Celeron 266. Для работы программы требуется не менее 1 Мбайт свободной дисковой памяти (с учетом справочной системы - 6 Мбайт). Монитор High Color, True Color. Программа использует стандартную библиотеку OpenGL.



1. Особенности томографии плазменных объектов

Для определения локальных значений параметров плазмы - электронных и ионных концентраций атомов ионов и молекул в различных энергетических состояниях - могут быть использованы такие оптические характеристики элементарного объема плазмы, как показатель

преломления П(ХГ), коэффициент поглощения к(Хг), коэффициент излучения Хг). Здесь ?ь -длина волны, Г - координаты некоторой точки в объеме плазмы.

Ни одна из вышеперечисленных величин непосредственно не измерима в неоднородной плазме. Измерены могут быть, лишь соответствующие характеристики источника:

b(Xv) спектральная энергетическая яркость, Q(XV)- набег фазы, t(v)- оптическая толщина плазмы.

Ъ(К\) -e(,u)du,(Kv) = Jn(u)duf t(A.,v) = J k(?4u)du

Интегрирование во всех случаях ведется вдоль луча наблюдения , а вдоль перпендикулярного направления возможно сканирование, т.е. все перечисленные интегральные характеристики можно рассматривать как проекции и при получении нескольких проекций методами томографии

восстанавливать локальные характеристики n(ArJ, &-\ *г), ArJ.

Именно эта типичность плазменных задач для методов томографии и возбудила интерес к ней со стороны экспериментаторов, изучающих плазму.

2. Описание обучающей программы

При запуске программы Tomography1.exe на экране появляется главное окно - Tomography1 (Рис.2.8.), на котором расположены компоненты, позволяющие задавать параметры и управлять работой программы:

В меню File (Рис.2.1.), главного окна, предусмотрена возможность выхода из программы (Exit) и сохранения полученных графиков в BMP формате (Save graph).

File

Options Help

Q Save graph

Ctrl+S

fl Exit

Ctrl+X

Рис.2.1. Меню File .


-Pararl Sampl on a f I

Turn i\

Model... Show model... Noise level... Set-up of an image.. Error...

Из меню Options (Рис.2.2.) вызываются модули для задания математической модели (Model...), показа заданной модели в 3-х мерном виде (Show model...), задания уровня шумов (Noise level...), установки параметров отображения восстановленного объекта (Setup of an image.), вывод информации о точности восстановления объекта (Error.).

Рис. 2. Меню Options .

Tomography 1

File Options I Help

IpParameters of a Tomography 1 Help

Рис. 3. Меню Help .

Из меню Help (Рис. 3) вызывается подробная справка описания программы Tomography 1 и методическая информация по томографии (понятие томографии, математическое описание методов томографирования, особенности томографии плазменных объектов и т. п.).

Для получения представления об условиях проведения томографического эксперимента и подробного ознакомления с некоторыми алгоритмами вычислительной томографии, студенту



прежде всего необходимо внимательно изучить справочную систему, вызываемую из программы (Рис.2.3.).

Файл справки представляет собой несколько глав с методической информацией по томографии, а также содержит описание самой программы (Рис.2.4.).

Справочная система: Tomograp

Содержание Указатель Поиск

Выберите раздел и нажмите кнопку Показать , либо выберите другую вкладку, например Предметный указатель .

(Й1 Глава 1. Понятие томографии. Ш 1.1 История вопроса Ш 1.2 Общие принципы томографии

Ш 1.3 Классификация методов вычислительной томографии

0 1А Особенности томографии плазменных объектов (Й) Глава 2. Постановка задачи и методы томографирования.

Ш 2.1 Основные определения и постановка задачи томографии

0 2.2 Восстановление сечений с использованием Фурье преобра;

Ш 2.3 Метод обратной проекции

Ш 2А Обратная проекция с фильтрацией свёрткой

tQ)!2.5 Итерационные методы восстановления Щ 2.5.1 Определение Ш 2.5.2 Математические принципы 0 2.5.3 Базисные функции Ш 2.5.4 Выбор критерия и способа решения системы уравнении Ш 2.5.5 Алгебраический метод восстановления (ART) или полу 0 2.5.6 Итерационный метод наименьшик квадратов (ILST) ит

Закрыть

Печать...

Рис. 2.4. Справочная система программы Tomography 1.

Из справочной системы студент узнает, например, что методы вычислительной томографии можно разделить на два основных класса: аналитические и итерационные[5,6].

Аналитические методы основаны на точных математических решениях уравнений восстановления изображения. В основе большинства из них используются аппарат преобразования Фурье и преобразования Радона. Все аналитические методы реконструкции изображения теоретически эквивалентны, однако отличаются процедурой реализации.

Итерационные методы восстановления изображения используют аппроксимацию восстанавливаемого объекта массивом ячеек равной плотности, представляющих собой неизвестные величины, связанные системой линейных алгебраических уравнений, свободными членами которых являются отсчеты на проекции. Решаются системы уравнений итерационными методами, что и дало название данному классу методов восстановления. В настоящее время известно несколько итерационных методов восстановления изображения. Отличаются они в основном последовательностью внесения поправок во время итерации. Среди них наиболее известны и употребительны три метода: алгебраический метод восстановления (ART), метод одновременного итерационного восстановления (SIRT) и итерационный метод наименьших квадратов (ILST)[5].



После ознакомления с теоретической частью, студенту предлагается приступить непосредственно к проведению томографического эксперимента на основе численного моделирования.

Model

©<5>

-Model-

f(xy)=a1 ехр(-(у-Ы ) 2-(у-с1 17 аг*ехр(-(х-Ь2)*2-(ус2)л2)+ 17 аЗ*ехр(-(х-ЬЗ)*2-(усЗ)л2) г а-Гехр(-(х-М)7-(у-с4)2)+ г аБ*ехр(-(х-Ь5)*2-(ус5)л2)+ г ае ехр(-(х-Ь6) г-(у-с6)лг)+ г а7 ехр(-(х-Ь7) г-(у-с7)лг)+ г а8 ехр(-(х-Ь8) г-(у-с8)лг)

□6=

Xmax= I5 о

Xmin=

-5.0

Ymax=

Ymin=

-5.0

iShow model

Рис.2.5. Задание мат. модели сечения.

Для этого из меню Options , главного окна, вызывается модуль для задания математической модели сечения (Model.) (Рис.2.5.). В качестве достаточно гладких модельных распределений, моделирующих пространственно неоднородную среду, студенту предлагается использовать различные комбинации гауссиан. В окне пользователь выбирает комбинацию функций Гаусса (до 9 штук), задает коэффициенты ( a , b , c ) и устанавливает максимальные (Xmax,Ymax) и минимальные (Xmin,Ymin) значения по осям. Далее нажимается кнопка Show model для просмотра созданной модели в отдельном окне

Model (Рис.2.6.).

Model

File Options Help


Raster

NxN: 200x200

-Turn of a system-1

21.0000

-22.0000

7 Normalization.

Show

Рис.2.6. Созданная пользователем модель сечения.

В правом верхнем углу окна Model (Рис.2.6.) указывается растр модели (Raster NxN), Turn of a system - показывает углы поворота системы координат ( X , Y , Z ). Предусмотрена возможность поворота модели простым движением мышки. Кнопка Show служит для перерисовки модели, если она была изменена. Normalization выделяется, если нужно осуществить



нормировку модели (при определении погрешности восстановления нормировка происходит автоматически). В меню File , Options и Help те же пункты, что и в главном окне.

После того, как модель задана, нужно вернуться в главное окно (Рис.2.9.) (оно все время открыто). Компоненты, расположенные на нем, позволяют проводить численный эксперимент.

Студенту предлагается просмотреть проекции с созданной математической модели. В блоке Parameters of a projection (Рис.2.7.), пользователь задает число отсчетов - Readount on a projection , угол поворота системы координат Turn angle и нажимает кнопку Projection . Для вывода функции ядра свертки, выбирается ядро (Nucleus Ramachandrana или MHAT wavelet) и нажимается кнопка Nucleus . (Рис.2.8,2.9) Для просмотра свертки ядра с выведенной проекцией нажимается Convolution (Рис.2.10,2.11). При этом студенту следует сравнить полученные результаты и на основе Рис. 2.7. Параметры проекции. информации из справочной системы качественно предсказать точность

восстановления различными алгоритмами.

гагашьчегь ui a prujeuuuri

Samples i-г

1ПП -

on a projection: 1 ии

Turn angle:

Projection

Nucleus [Nucleus Ram т Convolution

Recanatiurioti-

tomography №N: ?nn

Ainiiu.....

projections W:

Die Qptians JJelp

.rA n prriiri-liriii

Samples i-г

.ПЛ.Н.....to 13

Turn 94 wj

Projection

rJudeu j NudgusRam

Angular pitch Q:

Alqnriflirr

Г Reverse projection

hiHin6c:ii tFyi unui ilulu in Г Wavelet filtration Г Ail Г 1ST

Г~ Hurnialucfluii. P.eronsHug on

Turn Ol D BVSrBin V T

no rxa ixdto о : с:: oodto 7ddto

EG DOG

oo oca Ц 4Doca = xooa $ 2000a

1С oco о

-1С ото

-20DTO -30 ОТО -40 DTO

-50 oca

Nucleus Pi in ii Iiiji li iгi;i

1III HI МЛ № Н/ fiU *il АЛ :ifi 71 1H 11 ШЛ/YJ ТИЖ/Н HlKr/J.hllH/Hd

Рис. 2.8. Ядро Рамачандрана.

Parnrneiers af а projection on a projection: p1-1 Turn angle:

Prnjr. Ill in

ludeuil jHI IATwbv* Coiwolutjon

J-R*COrt*1r(iCiiarS-

tomography Ь№ 2fl° .z] Amautfol projections

Angular pitch Q:

Г Revere projection

ПНгвИоп by convolution Г Wavulul liltiatiun Г Art

Г 1ST

Г NormaliEarJon. Reconstruction

Shew

Turn of a system

v z; w

bi.DLi Hn.00 [(йГ


-100-92-01 -70 -GO-GO-G2-41 -00-20 -20 -12-0 I 0ЕЭ I-i 20 20 02 00-i 110 0E E2 00 7 It CO 92 90

Рис. 2.9. MHAT wavelet.

F e Options Help

Parameters ol a projection

£snif)l<ri I--f

on a projection: 3

Tumangta: F

Pro.ectici

Reconduction

па ч>1у№№ 11

projections M:

: г о

Angular pitch O: AtgDrftim

UtrvHrae piujeutiuii f Fixation by convolution С Wavelet nitration Г Art

f 1ST

Г Normalization.

Hi;niii::1iui*nii

lurncilniryiAiiri V £

lairou I-1U.UU

QQ®Q


UJWMWJSWJa JibLitJbJbB/JaUttiJyaHJbllt.liyi 14iT1t.l IbU 1KJ1/И 1aV 1Jfc

Рис. 2.10. Свертка проекции с MHAT wavelet.

F e Options Help

Parameters ol a projection

£ariif)liK I--f

on a projection: 3

Turn angte: И'

Projection

Reconduction

projections ii

20

digular prtdi O: JgonBim

Fitlrafion by cortvaluliDn г WMIethltrBtjon

Г Mamnalizauon.

Hi:iini;:1iuift[]ii

,111111 IHI It I MIL

я .....и

= aoco 1

I 60И) * HID

:cw о

2 000 .j ООО вши


U3f T2iyai ia4)JJ/ Ы Ы ЬВ г'ЬаИ.Ч*: ILi 1U V2A UJ 11 j 1-z.J 1t>J iyj T.<J

Рис. 2.11. Свертка проекции с ядром Рамачандрана.



Reconstruction Raster

tomography NxN: г0° 3

Amount of projections M

12.0

Angular pitch Q -Algorithm-

С Reverse projection

(* Filtration by convolution

С Wave let filtration

г Art

г ILST

Г~ Normalization.

Reconstruction

Show

Рис. 2.12. Reconstruction.

-Error- 3.727%

-Area of errors- The absolute error.

To calculate

Рис. 2.13. Вывод информации о точности восстановления сечения.

Для непосредственного восстановления модели, в блоке Reconstruction (Рис.2.12.) задается:

растр томограммы Raster tomography NxN ; число проекций Amount of projections M ; угловой шаг Angular pitch ; алгоритм восстановления Algorithm ; указывается, проводить ли нормировку Normamalization и затем нажимается кнопка Reconstruction .

Для вывода на экран восстановленного объекта предназначена кнопка Show .

Для более лучшего понимания работы алгоритмов, студенту следует провести серию экспериментов варьируя параметры восстановления, сделать сравнительный качественный анализ.

Для проведения количественного анализа, нужно из меню Options (Error...), главного окна, вызвать модуль (Рис.2.13.) вывода информации о точности восстановления объекта (Error). Мерой качества реконструкции служит величина погрешности восстановления (1), которая определяется как среднеквадратичная норма отклонения восстановленного решения

f(xL* yj) от точного ftiyj) [8].

-100%

В качестве самостоятельного задания студенту предлагается провести серию экспериментов и построить графики зависимостей точности восстановления от числа проекций. Определить, во всех ли алгоритмах увеличение числа проекций приводит к повышению точности восстановления.

Ниже приведены изображения с восстановленными моделями различными алгоритмами.



Tomography 1

File Options Help

Parameters of a projection-Samples

200

on a projection: Turn angle: 2о о

Projection

Nucleus) [Nucleus Ram -r Convolution j

-Reconstruction Raster

tomography NxN:

Amount of projections M1:

Angular pitch Q: Algorithm

p Reverse projection С Filtration by convolutio Г Waveletfiltration Г Art Г ILST

12.0

R Normalization.

Reconstruction

Show

-Turn of a system-

Y T X

121.00 1-22.00 1ЫГ


-Error

Area of errors-The absolute error.

55.134%

To calculate I To calculate

1л - WQs

Рис. 2.14. Метод обратной проекции (погрешность 55.134 %).

Tomography 1

File Options Help

-Parameters of a projection-Samples on a projection:

Turn angle:

200 z\

20.0

Projection

Nucleus Nucleus Ram Convolution I

-Reconstruction- Raster

tomography NxN:

Amount of projections M:

Angular pitch Q: -Algorithm- С Reverse projection < Filtration by convolutio С Waveletfiltration Г Art Г ILST

12.0

W Normalization.

Reconstruction

- :iM:. -

-Turn of a system- V 7 X

21.00 -22.00 0.0

-Erroi-

3.727%

To calculate

-Area of errors- The absolute error.

To calculate I


Рис. 2.15. Метод обратной проекции с фильтрацией сверткой (погрешность 3.727 %, ядро Рамачандрана).




Рис. 2.16. Метод ART (погрешность 5.905%, 10 итераций).

Noise level

-Noise level- Г ПГо smooth:

2.100

В программе предусмотрена возможность наложения на проекции шумы (Меню Options , строка Noise level ). Амплитуда шума определяется как заданный процент (Рис.2.18.) от текущего значения проекции.

пользователем

Рис. 2.18. Наложение шумов.

Студенту предлагается провести серию экспериментов, накладывая на проекции шумы, сделать сравнительный качественный и количественный анализ полученных результатов. Ниже для примера приведены результаты восстановления с 2% шумом.

Г,о Qpi nn Mplp

1 агагпЕИвге аг a prqacliDn чпоревшп: *

Л nnqln-

Proia>

Raster

tCrrt0grOf)Hr/W*l. projections M

Alqciilhrn

йкш projector!

? FlHrtlionbyCOrWOlyliDn

-чад

-0.40

Г

Оло

Q ! г .11 11II -v.

Error

iOl eirora


Рис. 2.17. Метод обратной проекции с фильтрацией сверткой (15 проекций, погрешность 33.319%, шум 2%,

Рис. 2.18. Метод ART (10 итераций, погрешность 6.376%, шум 2%, для сравнения см. Рис. 16.).



Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ ядро Рамачандрана, для сравнения см. Рис. 2.15.).


Рис. 2.19. Абсолютная погрешность (поле ошибок). Разность между идеальной моделью и восстановленной методом обратного проецирования.

Помимо информации об общей погрешности восстановления, пользователю предоставляется возможность визуально оценить абсолютную погрешность каждого элемента восстановленного объекта The absolute error (Рис.2.13.).

Абсолютная погрешность выводится в виде некоего поля ошибок (Рис.2.19.).

Set-up of an image

Ц-Set-up of an image- Г Points w Site r C-r с

w Triangulation e Axes Г Halftints

Рис. 2.20. Параметры отображения.

Студенту предоставляется возможность максимально визуализировать результаты численного эксперимента, изменяя параметры отображения восстановленного объекта (Меню Options , Set-up of an image...) (Рис.2.20.) Points-отобразить объект точками (Рис.2.21.) (при этом существенно экономятся вычислительные ресурсы); Triangulation-триангуляция объекта; Halftints - отобразить объект полутонами (Рис.2.22.); Site -отобразить сетку; Axes - показать оси координат; Grid -показать основание.

Щ Toi

Parameters ol a projectio

Samples I-

on q projection: \ ~

20.0

Nucleus NucleusRam *w\ Convolution

tomography NxN: ш z I

Amount ot I--j I

projections M1: 5 3 1

Angular pitch Q: I-O Algorithm

Reverse projection (* Filtration by convolution

Wavelettiltration Г Art Г ILST

Norn

Reconstruction

Set-up oF a

Set-up ot an image-

17 Points Г Site Г Grid

Triangulation / Axes Halftints

1:° .эдг/

Рис. 2.21. Отображение объекта точками.

F е Opiiona Help

Parameters ol n projection

SsnipliK I--r

on a projection: 3

Turn angfe: И'

Proectici

ЦисИчв) NiKleua F tarn

Fteconstuction

Amount Ol I--i

projections M: jj

Angular pitoti 0: Atgorflim

t~ UttvHrae piujeutiuii f Fitlration by convolution Г Wavelet hltrouon Г Art

f 1ST

17 Normalization.

- с w


Рис. 2.22. Отображение объекта полутонами.

Вывод

Создано обучающее программное обеспечение, которое позволяет путём моделирования, познакомить студентов с некоторыми алгоритмами вычислительной томографии и условиями проведения томографического эксперимента. Программа сопровождается учебным пособием, оформленным в виде справочного модуля.



В настоящее время программа успешно используется для обучения студентов в курсе Оптические методы диагностики плазмы .

Благодарности

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ и Американского фонда гражданских исследований и развития (CRDF).

Литература

[1] Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М: Мир, 1990. [2] Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. М: Мир, 1983.

[3] Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. СПб: Политехника, 2003.

[4] Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника,

2001.

[5] Пикалов В.В. и Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск, Наука,1995. [6] Синков М.В., Терновой К.С, Введение в современную томографию. Киев, Научная мысль, 1983. [7] Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Компьютерная томография и физический эксперимент УФН, 1983. Т. 141. № 3. С. 469.

[8] Denisova N.V. Fan tomography of gas and plasma because method maxima of an entropy Optics and spectroscopy, 83, pp. 1019-1024 (1997).



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.