Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Динамическая дискретная трехмерная

Динамическая дискретная трехмерная модель порообразования в кремнии

Можаев А.В. (1), Проказников А.В. (prokaznikov@mail.ru) (2),

Тимофеев В.В. (1)

(1) Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова (2) Институт микроэлектроники и информатики РАН

На основе теории клеточных автоматов разработана дискретная компьютерная трехмерная модель многостадийных процессов формирования пористого пространства в полупроводниковых кристаллах при анодировании в растворах плавиковой кислоты. Создан пакет программ, осуществляющих компьютерное моделирование процессов порообразования в глубине полупроводниковых кристаллов с учетом процессов, происходящих на поверхности, а также химических реакций, сопровождающих процессы порообразования. Максимальная фрактальная размерность пористых структур, полученных на основании разработанного алгоритма в рамках предложенной модели, равна 2.68.

1. Введение

В последнее время значительно возрос интерес к исследованиям структур с пониженной размерностью, проявляющих ряд необычных свойств, которыми не обладал исходный полупроводниковый кристалл [1-3]. Простейшими возможностями создания такого материала с пониженной размерностью являются анодирование полупроводника в режиме порообразования или его химическая обработка в специальных составах, приводящие к формированию пористого пространства, которое включает в себя объекты квантовых размеров. Подобная модификация пространственно-структурных характеристик приводит к существенным изменениям физико-химических свойств исходного материала. При плазмохимическом травлении в определенных режимах и составах, содержащих фтористые соединения, происходит структурирование кремния в виде массива изолированных игольчатых объектов на поверхности, то есть также имеет место тенденция к понижению размерности. Одним из наиболее ярких и широко распространенных материалов такого типа является пористый кремний, который служит основой для изучения широкого спектра новых, перспективных для практического использования эффектов. Пористый кремний является хорошим модельным объектом для исследования фото- и электролюминесценции при комнатных температурах, квантово-размерных эффектов, фрактальных явлений, а также для изучения свойств фотонных кристаллов.

Формирование пористого пространства сложной топологии по сути создает новый интересный объект, в котором теснейшим образом переплетаются различные классы явлений как физической, так и химической природы [1-3]. Поверхностные и объемные свойства такого вещества становятся трудно разделимыми. Исследование закономерностей отклика системы электролит/полупроводник на разных масштабах и для различных компонентов позволяет пролить свет на природу явления порообразования. Важным классом проблем, решение которых позволит получать



вещества с заданными характеристиками, является исследование корреляций между структурными особенностями пористого кремния и его физическими свойствами. Фрактальные свойства сформированных пористых пространств обуславливают сложное поведение оптических и электрофизических характеристик структур на основе пористого кремния. Возможность формирования пористых структур с регулярным распределением пор различной правильной формы в поперечном сечении позволяет достаточно легко создавать фотонные кристаллы, то есть объекты для трансформации излучения.

Травление кремния во фторсодержащих средах, наряду с эпитаксией и литографией входит в арсенал методов современной микроэлектроники, позволяющих формировать объекты с пониженной размерностью [1-3]. Базовый элемент электроники - кремний, подвергнутый анодной обработке в растворах плавиковой кислоты, модифицируется в широкий класс веществ с пониженной размерностью, обозначаемых общим названием - пористый кремний. Разновидности пористого кремния, составляющие новый класс веществ, обладают различными физико-химическими свойствами: фото- и электролюминесценцией, адсорбционной чувствительностью, свойствами фотонных кристаллов и т.д. Наличие фото- и электролюминесцентных свойств связано напрямую с понижением размерности исходного полупроводникового кристалла. Адсорбционная чувствительность обусловлена тем фактом, что пористые тела хорошо адсорбируют вещества из окружающей среды благодаря развитой поверхности. Формирование сверхрешеток пор позволяет создавать фотонные кристаллы, которые могут быть использованы в оптических цепях, аналогично обычным электронным цепям. Это позволяет управлять потоками света, что может найти применение в современных информационных технологиях. Перспективным является включение пористого кремния в технологии создания практически бездислокационных структур на пористом кремнии, устойчивых к воздействию радиации и используемых при создании электронных приборов нового поколения, в частности, радиационно-стойких, быстродействующих интегральных схем. Создание массивов квазинульмерных объектов при формировании пористого кремния является результатом самоорганизации, приводящей к образованию множества квантовых точек. Исследование систем, состоящих из квантовых точек, вызывает значительный интерес, благодаря их использованию для создания миниатюрных квантовых оптических генераторов (лазеров). Приближение к пределам миниатюризации классических микроэлектронных приборов усиливает интерес к устройствам, способным обеспечить дальнейший прогресс электроники. Одним из возможных путей такого прогресса является разработка и создание систем, в которых контролируется перемещение определенного количества электронов, вплоть до одного электрона. Создание так называемых одноэлектронных приборов открывает заманчивые перспективы цифровой одноэлектроники, в которой бит информации будет представлен одним электроном.

2. Теоретическая модель

При моделировании кремний рассматривался как кристаллический параллелепипед, у которого выделялась одна из граней - (100) - она считалась поверхностью, взаимодействующей с некоторым активным веществом (раствор HF), что приводило к формированию пористого пространства (далее мы будем называть её просто поверхностью). Весь параллелепипед разбивался на трехмерные клетки, что, в свою очередь, влечёт разбиение поверхности на плоские клетки.



Математическая модель состоит из двух частей: модели процессов, происходящих на поверхности кремния и процессов порообразования в объеме кристалла, причем модель первой стадии процесса динамически задаёт начальные условия для второй.

3. Модель процессов на поверхности кремния

На поверхности моделируются два независимых процесса: блуждание заряженных и незаряженных молекул внешнего вещества, которые могут на некоторое время закрепляться на поверхности кремния и второй процесс - окисление поверхности кремния.

Рисунок 1. Область влияния клеток друг на друга.


Модель первого процесса представляет из себя клеточный автомат. Поверхность кремния разбивается сеткой на квадратные клетки. Эти клетки символизируют собой те места на поверхности, к которым могут прикрепляться молекулы внешнего вещества (в описанном физическом процессе это молекулы плавиковой кислоты, с помощью которой происходит травление кремния). Каждая клетка может находиться в трёх состояниях: без адсорбированной молекулы (состояние 0), с адсорбированной незаряженной молекулой (состояние 1) и с адсорбированной заряженной молекулой (состояние 2). Изначально все клетки находятся в состоянии 0. Смена клеткой своего состояния зависит от состояний близлежащих клеток. В нашем случае выбрана область радиусом в две клетки (рисунок 1) - обозначим её буквой D. Отметим также, что сама клетка не входит в область D. Условием перехода служит количество клеток с различными состояниями в области D исследуемой клетки. Причём эти условия различны для каждого из состояний. Если в некоторый момент времени необходимые условия выполнены, то переход осуществляется с некоторой изначально заданной вероятностью. Ниже приведена таблица этих вероятностей (Таблица 1).

10-5

10-6

Таблица 1. Вероятности изменения клетками своих состояний.



Для описания условий переходов введём некоторые обозначения:

N(i) - количество клеток в состоянии i в области D исследуемой клетки;

BaseCond - условие ( N(1) > 2 или N(2) > 1 );

знак ! - отрицание условия.

pij - вероятность перехода клетки из состояния i в состояние j согласно правилам, описанным в Таблице 1. Отметим, что распадается на ploi и p2oi, т.к. при разных условиях клетка переходит в состояние 1 с разной вероятностью.

Теперь опишем сами условия перехода в зависимости от текущего состояния клетки. Состояние 0:

если N(1)>0 или N(2)>1 клетка с вероятностью p101 переходит в состояние 1;

если N(1)=N(2)=0, то с вероятностью p2o1 клетка переходит в состояние 1. Состояние 1:

если выполнено условие BaseCond, то клетка с вероятностью p12 переходит в состояние 2.

Если клетка не перешла в состояние 2, то с вероятностью клетка переходит в

состояние 0. Состояние 2:

если выполнено условие BaseCond, то клетка с вероятностью p21 переходит в состояние 1.

Если клетка не перешла в состояние 1, то с вероятностью p20 клетка переходит в состояние 0.

Разбиение поверхности на клетки сохраняется и для модели окисления. Однако сама модель намного проще. Клетка может находится всего в двух состояниях: окисленном и неокисленном. Изначально все клетки не окислены. Переход осуществляется только в сторону окисления без всяких условий и с постоянной вероятностью Poxid (это изначально заданная величина - параметр модели).

4. Модель процессов в глубине кремния

Как отмечалось выше, параллелепипед (представляющий собой полупроводниковый кристалл кремния) поделён на клетки, то есть те места, где может образоваться так называемая пустота (пора). Эти клетки могут находиться в двух состояниях - протравленном (образовалась пустота) и непротравленном. Изначально все клетки находятся в непротравленном состоянии. Поры могут зарождаться только на поверхности, для которой моделируются два описаных выше процесса. Зарождение поры (образование пустоты в кремнии) может произойти только при совпадении двух обстоятельств: клетка поверхности уже окислилась и находится в состоянии 2 (с адсорбированной заряженной молекулой). В этом случае пора образуется с некоторой изначально заданной вероятностью Pmin. При этом клетка объёма, расположенная под

клеткой поверхности переходит в протравленное состояние. После зарождения пора может расти (протравливаются рядом расположенные клетки параллелепипеда). Процесс роста поры происходит с некоторой вероятностью, которая зависит от направления роста и характера уже существующей поры. Зависимость от направлений довольно проста: поры чаще растут вниз (т.е. по направлению от рассматриваемой



поверхности), реже - вбок и ещё реже вверх. Эта зависимость задаётся множителем вероятности, так, например, вероятность роста поры вбок умножатется на число, меньшее единицы и большее нуля (оно задаётся как параметр модели). Подобная зависимость связана с выделенным направлением напряженности приложенного к анодируемому образцу кремния электрического поля, которое направлено вдоль нормали к кристаллу Si. Зависимость вероятности травления от формы поры описать несколько сложнее. Физически она слвязана со следующим фактом: травление происходит чаще в более узких порах, ввиду большей напряженности приложенного электрического поля вблизи областей с меньшим радиусом кривизны. Для алгоритмического описания этой зависимости выделим клетку, в которой на данном шаге может образоваться пустота - клетка, как бы, становится частью поры. Назовём её тестовой. Рассмотрим ближайшие клетки для тестовой - их будет 3*3*3-1 = 26. Среди них выберем 9 клеток по направлению, к уже существующей поре, со стороны которой происходит травление тестовой клетки. Пусть из этих 9 клеток уже протравленно k клеток (заметим, что k > 0, т.к. тестовая клетка расположенна вплотную к поре). Итак, чем больше k, тем меньше вероятность роста поры. Причём, зависимость вероятности от k задаётся степенной функцией - степень этой функции является параметром модели.

Выпишем общую формулу вероятности роста поры:

PgrOW ( k, dir ) = [ (PmaX - РтЫ) * ( (k-1)/8 )GrowDeg + ] * M(dir), где

Pmin , PmaX - минимальное и максимальное значения вероятности, которые являются

параметрами модели (Pmin < Pmax );

dir - направление роста, которое может принимать одно из шести значений: вверх -(0,0,-1), вниз - (0,0,1), влево - (-1,0,0), вправо - (1,0,0), вперёд - (0,-1,0), назад - (0,1,0); k - количество соседних (к тестовой клетке) протравленных клеток расположенных по направлению, обратному dir;

GrowDeg - число, характеризующее на сколько вероятность зависит от k (GrowDeg также является параметром модели);

M(dir) - модификатор вероятности в зависимости от направления. Эта функция неотрицательна. Для неё выделяются три вида направлений: вниз - { (0,0,1) }, вверх - { (0,0,-1) } и вбок - { (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0) }. М(вниз) полагаем равной единице (т.е. вероятность не меняется), а М(вбок) и М(вверх) задаются как параметры модели, причем так, чтобы М(вверх) < М(вбок) (это следует из физической интерпретации данных параметров).

Все три этапа единой модели пошаговые: на каждом шаге сначала определяются клетки, которые должны изменить свое состояние, а затем они, как бы одновременно, меняют его. Таким образом, шаг за шагом происходит процесс порообразования. Если его не остановить, то при pmin отличном от нуля, в какой-то момент времени все

клетки параллелепипеда перейдут в протравленное состояние. Поэтому интересно остановить процесс в момент, когда пористая структура будет наиболее сложной.

5. Оценка фрактальной размерности пористой структуры

Вообще говоря, фрактальная размерность вычисляется по формуле: C = - lim 0 ( ln( N© ) / ln© ), где

- диаметр шаров, которыми покрывается структура;



N(£) - минимальное количество шаров с диаметром , необходимых для

покрытия измеряемой структуры.

Для оценки фрактальной размерности получаемых пористых структур применяется метод, состоящий из двух частей.

Первая часть состоит в последовательном вычислении пар величин ln() и ln( N(£) ) для разных . В качестве начального берётся половина длины максимального из рёбер параллелепипеда - это Остальные определяются по формуле: +1=/2.

Уменьшение происходит до тех пор, пока оно не станет меньшим либо равным ребру клетки параллелепипеда. Таким образом получается множество точек с координатами

Вторая часть заключается в нахождении прямой, наиболее приближенной к этому множеству точек. А именно: ищется такая прямая, сумма квадратов расстояний от которой до точек из указанного множества минимальна. Этот процесс сводится к нахождению точки минимума функции G( a, b, c ) = X sqr( a*xi + b*yi + c), где ( xi , yi) -

i-тая точка множества; a, b, c - коэффициенты искомой прямой: a*x + b*y + c = 0.

Причём, можно считать, что выполняется следующее соотношение: a +b = 1.

После нахождения указанной прямой вычисляем тангенс её угла наклона - это и будет приближенная фрактальная размерность пористой структуры.

6. Основные результаты

В данном разделе рассмотрим пример использования программы. Для этого конкретизируем значения параметров и проанализируем полученные результаты.


Задаём параметры: Размер модели: 300*300*100; Времена жизни клеток: 0, 1, 1; Вероятность окисления

поверхности: 0.003; Уровень не ветвления: 20; Модификатор вероятности

отклонения в сторону: 0.7; Диапазон вероятности

возникновения поры: [0.0001, 0.9].

Рисунок 2. Панель управления программой.

Запускается моделирующий процесс и через определенное время на поверхности появляются своего


Рисунок 3. Состояние поверхности: Чёрные клетки без адсорбированных молекул; серые клетки с адсорбированными. незаряженными молекулами; белые клетки с адсорбированными заряженными молекулами.



рода волны из адсорбированных заряженных и незаряженных молекул. Далее ещё некоторое время спустя уже вся поверхность заполняется такими волнами, причём ярко выражены и центры этих волн. Часть поверхности окислилась (рис. 3).

Далее замечаем, что на поверхности по одной зарождаются поры (это можно увидеть во втором режиме программы). Рост пор происходит значительно интенсивнее, чем их зарождение. Поэтому теперь стоит перейти в третий режим программы -боковой срез кремния. В этом режиме можно увидеть, как пора растёт, и какую пространственную форму она принимает (рис. 4).

Отметим, что полученные в этом примере поры очень похожи на те, что были зафиксированы в работе [4] (рис. 5).


Рисунок 5. Фотография поперечного скола образца пористого кремния, представленная в работе [4]. Светлые области на снимке вокруг пор - окисленный кремний.

При несколько других параметрах модели (был изменён модификатор вероятности отклонения в сторону: 0.001 вместо 0.7) были получены поры (рис. 6), очень похожие на те, что опубликованы в работе [5] (рис. 7).

В рассматриваемом примере в процессе роста пористой структуры можно оценить её ёмкостную размерность. Для этого используется режим 4. Как показала работа программы, с ростом структуры увеличивается и её размерность - происходит усложнение пор, они всё более разветвляются. В настоящей работе была получена размерность ~2.48.




Рисунок 7. Фотография поперечного скола Рисунок 6. Боковой срез: Чёрные - образца пористого кремния, представленная в

непротравленные клетки; Жёлтые - работе [5].

протравленные клетки.

Таким образом, был промоделирован процесс порообразования при заданных параметрах. Программа позволила проследить за ходом этого процесса и оценить сложность пористой структуры на различных его этапах. Полученные результаты соответствуют опытным данным, опубликованным в работах [4-5], что указывает на тот факт, что разработанная модель отражает характерные свойства исследуемой системы.

Литература

1. Smith R.L., Collins S.P. Porous silicon formation mechanisms. J. Appl. Physics, 1992, v.72, №8, p. R1-R22.

2. John Y.C., Singh V.A. Porous silicon: theoretical studies, Physics reports, 1995, v.263, p.93-151.

3. Fauchet P.M., Von Behren J., Hirschman K.D., Tsybeskov L., Duttagupfa S.P. Porous silicon physics and device applications: A status report, 1998, v.165, p.3-13.

4. Lehmann V. The Physics of Macropore Formation in Low Doped n-Type Silicon, Journal of Elecrochemical Society, 1993, v. 140, No 10, p. 2836-2843.

5. Foell H., Carstensen J., Christophersen M., Hasse G. A New View of Silicon Electrochemistry, Physica Status Solidi (a), 2000, v.182, p.7-16.



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.