Простая функция насыщения поляризации, учитывающая инерционность диэлектриков

Лукичёв А.А. (Lukichev@ascnet.ru), Ильина В.В., Щекина Г.Б. Институт геологии и природопользования ДВО РАН

На основе кинетического уравнения получена простая экспоненциальная функция, описывающая насыщение поляризации нелинейных диэлектриков во внешнем электрическом поле. Совмещение релаксационной функции и функции Ланжевена позволило получить функцию насыщения, зависящую от времени. Предложена функция, позволяющая построить зависимость поляризации от напряжённости внешнего поля для нелинейного диэлектрика, а также промоделировать петлю гистерезиса.

В настоящее время существуют две функции, описывающие процесс перехода диэлектрика в равновесное состояние после наложения на него (или снятия) внешнего электрического поля. Функция релаксации описывает изменение поляризации во времени, функция Ланжевена в зависимости от напряженности внешнего поля.

Функция релаксации или функция возврата поляризованного диэлектрика в равновесное состояние после отключения внешнего воздействия имеет стандартный вид [1,2]:

P(t) = Poe т, (1)

где P(t) - поляризация, Po - множитель, зависящий от амплитуды внешнего воздействия

и свойств диэлектрика, т - время релаксации, t - время. Обычно используется функция релаксации вида (1), но некоторые авторы [3] используют функцию перехода диэлектрика

в равновесное состояние после включения внешнего воздействия:

P(t) = Po (1 - e т) (2)

Принципиальных различий функции (1) и (2) не имеют, поскольку обе являются решениями дифференциального уравнения первого порядка, с различными начальными условиями.

Для описания изменения поляризации в зависимости от амплитуды внешнего поля в диэлектриках используется заимствованная из теории магнетизма функция Ланжевена [4,5]:

L(a) = cth a - - a

где a =-, p - дипольный момент элементарного диполя в диэлектрике, E -

напряженность внешнего электрического поля, k - постоянная Больцмана, T -температура. Эта функция получена методами статистической физики и представляет собой среднюю проекцию диполя в диэлектрике на направление внешнего поля. При выводе считалось, что распределение диполей по направлениям подчиняется распределению Больцмана. График функции Ланжевена показан на рис.1. Недостатком

функции (3) является ее сложность, что создает ряд проблем, например, при определении состояния системы в точке a = 0.

Авторы настоящей работы предлагают более простую функцию насыщения. Используем

макроскопический подход. По аналогии с выводом кинетического уравнения Больцмана [6], считаем, что скорость возврата системы в равновесное

10 20 30

Рис. 1

1 - функция Ланжевена,

2 - экспоненциальная функция насыщения.

состояние пропорциональна величине отклонения системы от этого состояния. Кинетическое уравнение имеет вид [6]:

dt т

здесь fo - равновесная функция распределения, f - неравновесная функция. Это

уравнение содержит постоянную т, определяющую временную инерционность системы. Для того чтобы описать зависимость поляризуемости от напряженности внешнего поля в уравнении (4), произведем замену переменной. Будем рассматривать зависимость не от времени, а от напряжения внешнего поля. Считаем, что при увеличении внешнего поля на величину АЕ, равновесным будет считаться состояние системы Р(Е+АЕ). Состояние Р(Е) становится неравновесным. Скорость релаксации системы в равновесное состояние

пропорциональна величине АР=Р(Е)-Р(Е+АЕ), т.е. равна -. Далее, по аналогии с (4),

запишем кинетическое уравнение, описывающее процесс насыщения диэлектрика при изменении внешнего поля:

P(E) = Ps e

здесь Ps - насыщенное значение поляризации. Функция (6) описывает возврат системы в

равновесное состояние после отключения внешнего поля. Математический смысл

коэффициента s очевиден, это значение поля, при котором P(E) = -. Для нулевых

начальных условиях функция насыщения примет вид:

P(E) = Ps (1 - е ~s ), (7)

т.е. это переход системы в равновесное состояние после включения внешнего воздействия. Графики функций (6) и (7) для различных значений s показаны на рис. 2.

И функция Ланжевена, и полученные нами экспоненциальные функции насыщения (6) выведены без учета инерционности системы и от времени не зависят. Формально можно что они описывают безинерционный процесс, т.е. каждому значению напряженности внешнего

1 2 3

a - график функции (6), b, c, d, е, f - графики функции (7) для различных значений s. сказать, Цифрами обозначена величина s, о. е.

поля ставится в соответствие значение функции насыщения. Для учета временных свойств системы необходимо совместное решение двух уравнений:

P = Ps (1 - е s )

[P = Pe (1 - e т )

здесь PE - равновесное значение поляризации при фиксированном Е, к которому стремится система. Допустим, что значению внешнего поля E1 функция насыщения (7) ставит в соответствие равновесное значение поляризации PE (E1). Система будет

dP( E ) = P( E) - P( Eo) dE s

где s - коэффициент, определяющий отклик материала и имеющий размерность напряжённости поля [В/м]. Решение этого уравнения, соответствующее ненулевым начальным условиям, будет [7]:

релаксировать к этому значению с постоянной времени т, т.е. P(t) = PE(E-)(1 -e т), где

- E-

PE = Ps (1 - e * ) . Или, в общем виде:

- E - L

P(t,E) = Ps (1 -e * )(1 -e т) (10)

Если в систему (9) вместо (7) подставить функцию Ланжевена, то получаем выражение (10) в другом виде:

P(t,E) = PsL(a)(1 -e т) (11)

Реакция материала на выключение поля будет иметь следующий вид:

P(t, E) = Ps (1 - e * ) e т (12)

или

E -1

P(t,E) = PsL(a)(1 -e * )e т (13)

где Ео - напряжённость поля в момент отключения.

Таким образом, мы получили искомые функции насыщения, учитывающие инерционные свойства диэлектрика.

Заключение

Очевидным недостатком предложенной нами экспоненциальной функции является отсутствие явной зависимости от температуры. Этот недостаток можно устранить, вводя зависимость * = f (T), но этот вопрос требует отдельного рассмотрения. Безусловным достоинством полученной функции является её простота.

Общим недостатком экспоненциальной функции и функции Ланжевена является их однополярность. Эти функции не описывают реакцию на внешнее воздействие с отрицательной амплитудой. Этот недостаток можно обойти, вводя искусственную функцию:

P(t) = sign(E(t))Ps (1 -e * )(1 -e т ) (13)

здесь E(t ) - внешнее знакопеременное воздействие.

Рис. 3.

Функция (13) в зависимости от E(t), цифрами обозначена величина Е0 (о.е.).

б

Рис. 4.

Петля гистерезиса, построенная с помощью функции Ланжевена (а) и экспоненциальной функции насыщения (б).

На рис. 3 представлены графики функции (13) для гармонического внешнего воздействия E (t) = Eo sin at.

Сделанное нами предположение о пропорциональности скорости возврата системы в равновесное состояние величине отклонения от этого состояния справедливо только для малых отклонений [6]. В нашем случае это не выполняется, приближение достаточно грубое. Но это приближение позволило нам получить простую функцию насыщения, достаточно хорошо совпадающую с более точной функцией Ланжевена. Из рисунка 1 видно, что отклонение экспоненциальной функции от функции Ланжевена составляет не более 5%, что не превышает точности типового эксперимента. Кроме того, из опыта описания гистерезисных явлений следует, что для некоторых материалов экспоненциальная функция является более точной. На рис. 4 показаны результаты моделирования петли гистерезиса с помощью функции Ланжевена и предложенной

экспоненциальной функции насыщения. Как видно из рисунка, функция Ланжевена в области насыщения растет достаточно медленно, чем и обусловлен зазор на горизонтальных участках петли. На практике такая форма петли наблюдается только у материалов с невысокой поляризацией.

Экспоненциальная функция хорошо воспроизводит гистерезис, наблюдаемый на практике для материалов с высокой проницаемостью, в первую очередь для сегнетоэлектриков.

Полученные нами функции применимы как к нелинейным диэлектрикам, так и к магнетикам.

Литература

1. Губкин А.Н. Релаксационная поляризация диэлектриков. Известия вузов. Физика, 1979. № 1. С. 56-73.

2. Лукичёв А.А., Костюков Н.С. Применение теории гармонических колебаний для описания релаксационной поляризации. Вестник АНЦ. Сер. 2: Вып. 3. Благовещенск, 2002. С. 13-19.

3. Физическая энциклопедия. В 5 т. М.: Советская энциклопедия, 1988, Т.1. С. 606.

4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. 616 с.

5. Поплавко Ю.М. Физика диэлектриков. Киев: Вища школа, 1980. 400 с.

6. Губкин А.Н. Физика диэлектриков. М.: Высшая школа, 1971. 174 с.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1978. 831с.