использовании равномерных сеток. Для адекватного учёта поведения параметров в областях больших градиентов вводится сгущение сетки в радиальном направлении вида

N A N + A N N sin( n(2n - N*) 2 2 I 2N*

если n > N*

если n < N*

где A - произвольное целое число, задающее отношение наибольшего шага к наименьшему, N* - номер сеточного узла, с которого вводится неравномерная сетка. Предиктор разностной схемы имеет вид

- j+1 -j

Un,m,k - Un,m,k At

f - j

n+1,m,k -F n,m,k E n,m+1,k E n,m,k Gn,m,k+1 Gn,m,k JT

-j -j

Gn,m,k+1 Gn,m,k -- + + H n,m,k

а корректор

- j+1

U n,m,k -

-j - j+1

Un,m,k + Un,m,k At

f -j+1 F

En,m,k E n,m-1,k Gn,m,k Gn

n,m,k F n-1,m,k En,m,k E n,m-1,k G n,m,k G n,m,k-1 --

+ I + H n,m,k

II этап. Решение уточняется с использованием вязкой части уравнений Навье-Стокса и энергии:

где

3 gradj ju div V j + 2Div f /и S

f V 1 - - j 2 - - 2U grad---Vx rotV I-/VdivV- q

Вязкая подсистема интегрируется при помощи метода прогонки:

- j+2 - j+1 т- -- Un,m,k Un,m,k r j+2

Ut = K, -= Kj+2

Для расчёта вязкой подсистемы уравнений используется неявная разностная схема. Для её описания представим вязкую часть уравнений количества движения и энергии в

+ BMr + + CF + D,

f d F d f d F d f

duF d F

где A, B, C - коэффициенты при вторых производных, первых производных и самой функции соответственно, слагаемое D содержит все оставшиеся члены уравнений со смешанными производными и свободными членами. Используя выражения конечно-разностных аналогов производных для сетки с переменным шагом, записывается разностный аналог уравнения, оставляя для каждого уравнения в качестве неизвестных целевые функции на новом временном слое в радиальном направлении. Все значения остальных функций считаются известными и берутся с текущего временного слоя.

Для получения решения на (j + 2) -ом слое при заданных граничных условиях интегрирование одномерных уравнений сводится к последовательному решению отдельных разностных уравнений с трёхдиагональной матрицей методом прогонки. Эти уравнения имеют стандартный вид:

AJn+1 - Bnfn + CJn-1 = Dn, 0 < n < N,

где в качестве целевой функции f рассматривается любая из неизвестных функций; /0 и fN

заданы или определяются из граничных условий.

Таким образом, в вязкой части последовательно решаются разностные уравнения движения, записанные неявно относительно искомых параметров. Затем с использованием полученного поля скоростей решаются уравнения энергии и диффузии. Применение описанной процедуры уменьшает ограничение на шаг интегрирования по времени, связанное с вязким критерием устойчивости.

III этап. Для интегрирования уравнений диффузии метод прогонки применяется в сочетании со специальной неявной разностной схемой, используемой для аппроксимации источниковых членов. При этом сначала при помощи неявного метода Ньютона совместно решается система разностных уравнений с источниковыми членами

р8 = Wt i=1,2,3,6. d t

IV этап . Затем учитывается диффундирование компонентов смеси:

d у dt

+ div U1 = 0.

Уравнения последней системы решаются последовательно и независимо друг от друга методом прогонки.

Предложенный метод расщепления уравнений диффузии позволяет рассчитывать химически неравновесные течения в широком диапазоне значений параметров набегающего потока вплоть до высот полёта, где реализуется околоравновесный режим протекания химических реакций.

Для исследования течений около удлиненных тел используется разделение всей области интегрирования на ряд взаимно перекрывающихся подобластей (рис.3) и последовательный расчёт в каждой из них. Сначала задача решается в окрестности затупления. Затем центр сферической системы координат переносится по оси тела. Выстраивается новая расчётная область, где на левой границе области задаются жесткие граничные условия из уже рассчитанной области, на выходных границах - мягкие граничные условия вида линейной экстраполяции искомых функций, на теле - условия прилипания и температура стенки, на ударной волне - нестационарные соотношения Рэнкина-Гюгонио. Решение в полученной области устанавливается, и описанная процедура построения новой расчётной сетки повторяется. Описанное разделение области возможно в силу слабой передачи возмущений вверх по потоку при обтекании тел сверхзвуковым набегающим потоком вязкого газа [6], и позволяет проводить расчёт длинных затупленных тел.

Рис. 3. Разделение физической области интегрирования.

Из-за большой сложности уравнений Навье-Стокса невозможно получить аналитическое выражения устойчивости для схемы Мак-Кормака. Однако практическое применение предложенного численного метода показало возможность использования, без потери устойчивости счёта, эмпирической формулы

At = (7&КФЛ,

где о - коэффициент запаса (сг=0.8); AtK<1>JI определяется по критерию Куранта-Фридрихса-Леви для линейных гиперболических уравнений в частных производных [2].

Перед очередным шагом по времени для всех точек сетки рассчитывается шаг интегрирования At. Затем наименьшее значение шага используется для получения решения на следующем временном слое.

Анализ результатов

Сравнения результатов расчетов, проведенных по данному численному методу, с экспериментальными и расчётными данными других авторов для осесимметричного неравновесного обтекания сферически затупленных конусов приводятся в работах [3,4].

В настоящем пункте представлены результаты расчётов неравновесных пространственных течений при помощи предложенного в данной работе численного метода. Были проведены расчёты обтекания сферически затупленного конуса с углом полураствора 0 =7°, радиусом носка Rn =5.08 см, общей длиной равной 50.8 см.. Параметры набегающего потока при этом соответствуют условиям полёта с гиперзвуковой скоростью при больших углах атаки: высота полета равна53.3 км, число Маха M- =20, угол атаки а =20°. Температура поверхности тела принималась постоянной и равной 3600 К.

Для указанного режима использовалась следующая расчётная сетка: количество узлов поперёк ударного слоя составляло N =40, сгущение сетки вводилось в обоих направлениях (к телу и ударной волне) с соответствующими параметрами A1 =10, N.=20, A2=5; параметры сетки по координате в принимались M =46, Ав=2 ; по координате p - К =37, Ap=5 .

На рис.4-11 приведены распределения безразмерных концентраций компонентов смеси п поперёк ударного слоя для сечения, находящегося на расстоянии от носка, равном

10 калибрам. Сравнение полученных результатов проводилось с данными работы [9], причем в расчетах работы [9] принималось, что концентрации компонентов на поверхности тела равны концентрациям в невозмущённом потоке.

На рис.4,5 представлены распределения концентраций атомарного кислорода O в поперечном сечении и свидетельствующие об образовании с подветренной стороны тела диссоциированного слоя довольно большой толщины. Линии равных концентраций на рис.4,6,8 соответствуют данным работы [9]. Максимальная концентрация O с подветренной стороны тела примерно в два раза превосходит наибольшее значение концентрации с наветренной стороны. Расположение изолиний концентрации атомарного кислорода O [9] также подтверждает сильную диссоциацию молекулярного кислорода с подветренной стороны тела (см. рис.4). То же самое можно сказать о распределении концентрации молекулярного азота N2 (рис.6).

Рис. 6. Молекулярный азот N2[9]. Калибр 10. Расчётный режим 3. Н=53.3км, M=20.

Рис. 7. Молекулярный азот N2. Калибр 10.

Расчётный режим 3. Н=53.3км, M=20.

Рис. 10. Ионы окиси азота NO+. Калибр 10.

Расчётный режим 3. Н=53.3км, M=20.

Рис. 11. Окись азота NO. Калибр 10.

Расчётный режим 3. Н=53.3км, M=20.

Распределение концентраций NO + и NO показывает (рис.10,11), что с наветренной стороны тела максимальная концентрация NO больше, чем с подветренной, а максимальная концентрация NO+ - меньше. Соответствующие линии равной электронной плотности приведены на рис.10. Они свидетельствуют о том, что в рассматриваемом случае максимальная степень ионизации газа с подветренной стороны тела всего в три раза меньше, чем с наветренной стороны. С другой стороны, ионизованный слой с подветренной стороны имеет значительно большую толщину (примерно в 13 раз), чем с наветренной.

Окись азота NO (рис.11) для рассмотренного режима с большим углом атаки образует тонкий слой максимальных концентраций с наветренной стороны. С подветренной же стороны в отрывной зоне наблюдается локальное снижение концентрации окиси азота и повышение концентрации ионов окиси азота (рис.10,11). Наличие локальных максимумов концентраций с подветренной стороны объясняется влиянием интенсивного поперечного течения газа для большого угла атаки. Отрыв поперечного потока для рассмотренного режима наблюдается на расстоянии примерно соответствующем четырём калибрам от носка. Причем расчёт отрывной зоны оказался возможен только с использованием полных уравнений Навье-Стокса.

Из приведенных результатов следует, что ионизация и диссоциация газа, находящегося в следе за телом, происходит преимущественно с подветренной стороны тела. Поэтому адекватное моделирование неравновесных течений газа с учетом химических превращений вблизи подветренной стороны тела имеет весьма важное значение. Поперечное течение газа в отрывной области на подветренной стороне тела в значительной степени влияет на протекание химических реакций в этой зоне. Если для вычисления действующих на тело аэродинамических сил и моментов высокая точность расчета движения газа за телом и протекающих там химических реакций не требуется, то для детального изучения структуры течения и химического состава газа в следе за телом точность описания газодинамических и химических процессов в зоне отрывного течения с подветренной стороны тела приобретает решающее значение.

Анализ полученных результатов свидетельствует о возможности применения предложенного метода для расчёта параметров химически неравновесного вязкого ударного слоя, включая характеристики прибортовой плазмы. Затраты машинного времени остаются приемлемыми для использования программного комплекса в инженерной практике.

Литература

1. Агафонов В.П., Вертушкин В.К., Гладков А. А., Полянский О.Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. - М.: Машиностроение, 1972. - 344 с.

2. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М.: Мир. 1990. Т. 1. - 392 с., Т.2. - 336 с.

3. Забарко Д. А., Котенёв В.П. Численное исследование ламинарных течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, cер. Естественные науки , 2006. № 1, стр. 77-95.

4. Забарко Д.А., Котенёв В.П. Численное исследование течений вязкого химически реагирующего газа около затупленных тел в рамках уравнений Навье-Стокса Космическая наука и технология. Человек и космос, Киев (НКАУ, НАНУ), 2005. Т. 11,- № 11, стр. 36-42.

5. Кань Сань-Вук. Неравновесное ионизованное гиперзвуковое течение около затупленного тела при низких числах Рейнольдса РТК. 1970. Т. 8, - № 7. - C. 98-105.

6. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. - М.: МГУ, 1980. - 248 с.

7. Котенев В.П., Сахаров В.И., Тирский Г.А. О расчёте сверхзвукового обтекания пространственных затупленных тел химически неравновесным потоком газа Журнал вычислительной математики и математической физики, 1987. Т. 27, № 6. -

C. 411-415.

8. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1975. - 327 с.

9. Bhutta B.A., Lewis C.H. Nonequilibrium Lamihar Boundary Layer Flows of Ionized Air Journal of Spacecraft and Rockets, 1989. - №3, 158-166 p.

10. Blottner F.G., Nonequilibrium Laminar Boundary Layer Flow of Ionized Air Rept. R64SD56, Space Sciences Laboratory, General Electric Co. - Philadelphia, Pa. - Nov.

1964.

11. Rakich J.V., Bailey H.E, Park C. Computation of Nonequilibrium, Supersonic Three-Dimensional Inviscid Flow over Blunt-Nosed Bodies AIAA Journal, 1983. V. 21,

- № 6, 834-841 p.