ПЕРЕСТРОЙКА ФОТОЭЛЕКТРОНА ПРИ РАСПАДЕ 1s ВАКАНСИИ В Ne (часть I).

Часть вторая помещена в файле http: zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/070.pdf)

В. Ф. Демехин, Н. В. Демехина (znanie@jeo.ru)

Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения.

В работе показано, что перестройка медленного фотоэлектрона, происходящая при оже распаде внутренней вакансии, не влияет на вероятность поглощения фотона, рассчитанную в одноэлектронном приближении, но приводит к существенному отличию формы спектров фото- и оже- электронов от дисперсионной.

Введение.

В настоящей работе проанализированы результаты следующего эксперимента. Свободные атомы неона облучаются фотонами, прошедшими через щель конечной ширины. В результате ионизации атома и последующего распада внутренней вакансии возникает ион с двумя вакансиями и свободные фотоэлектрон (ФЭ) и оже электрон (ОЭ). Измерение зависимости числа ФЭ или ОЭ от энергий дает спектры ФЭ и ОЭ. Если не учитывать влияние ФЭ на распад внутренней вакансии, то спектры ФЭ и ОЭ имеют одинаковый лоренцевский контур с шириной внутренней вакансии. Однако, в экспериментах при маленьких энергиях ФЭ обнаружена существенная асимметрия линии в оже спектре со смещенной энергией максимума, зависящей от энергии фотона. В работах [1, 2] результатом анализа взаимодействия после столкновения методами общей квантовой теории является сложный контур K-LL оже спектра в аргоне при небольших энергиях ФЭ. После поглощения фотона 1s- электроном в атоме происходит большое число перестроечных процессов, называемых взаимодействием после столкновения (перестройка остова при появлении вакансии, перестройка остова при распаде вакансии, взаимодействие между каналами распада, столкновение ФЭ и ОЭ с электронами остова, взаимодействие фото- и оже-электронов и т. д.). В настоящей работе анализируется влияние на вероятность поглощения фотона и форму спектров ФЭ и ОЭ только одного из процессов - перестройки радиальной части ФЭ при переходе от однодырочного состояния к двухдырочному.

А. Основные положения теории.

1. Собственные дифференциалы и радиационные переходы.

Для описания электрона в сплошном спектре поступим следующим образом. Поместим атом в центр тонкого сферического конденсатора радиуса NR, создающего для электрона скачок потенциала.

Этот дополнительный потенциал V(r) равен нулю для r < NR и V(r) = +°° для r > NR. Решением одноэлектронного уравнения Хартри-Фока в потенциале атома без одного внутреннего электрона (K-1) получим полный ортонормированный набор функций фотоэлектрона, представляющих дискретные состояния i> и имеющих для больших r амплитуду л/2 / NR = д/2/ AE; . Здесь к - волновое число, АЕг - энергетический интервал, который представляет

лл л

состояние i>. Состояния /> являются собственными состояниями гамильтониана h = h0 + V(r), т.е. hi>

= ег-/>. Здесь h0- оператор полной энергии ФЭ в остове конфигурации K .

При ионизации 1s- оболочки (если все функции электронов остова в конфигурации K-1 взяты из основного состояния K0) амплитуда одноэлектронного радиационного перехода

<K-1iD K0> = <iDг 11 s> = Dг = Бгл/дЕ~ (1)

Здесь матричный элемент рассчитан с функцией ФЭ, нормированной в шкале энергий, т.е. с функцией,

имеющей при больших r амплитуду Tzkt .

Для уменьшения обилия состояний на интервале АЕП, возрастающего при увеличении N, из N состояний i>, расположенных на интервале энергий АЕП, образуем N ортонормированных собственных дифференциалов (СД) так, что

~0 >= A X D i г > , А2УД2 = 1, ~j >= X Cj г > , < ~0 \~j >=80j .(2)

iеАЕ„ геДЕп

Мы используем термин собственные дифференциалы , введенный в [3, 4] для суммы радиальных частей i(r) на интервале энергий АЕП, для суммы состояний i> на интервале АЕП. Здесь и далее суммируются состояния из интервала АЕП, окружающего энергию

E(Kln) = E(K0) + со , где соп - средняя энергия фотонов, прошедших через щель шириной АЕП. Состояние поглощаемого фотона опишем собственным дифференциалом

СО n> = X С~г>.

Радиационный переход из состояния K0> не равен нулю только на состояния K-1~°>, причем <K-1 ~0DK0>= AXD2=л/XD2 , где D= XDi .(3)

После поглощения фотона СС n> атом будет находиться в состоянии

*F> = DK0> =<K-1 ~0DK0>K-1 ~0> = X D г K-1i > ,(4)

которое назовем конечным состоянием, возникшим после ионизации атома. Это состояние является

л

смесью собственных состояний (с разными энергиями из интервала AEn) гамильтониана h для ФЭ, что позволяет утверждать, что в результате поглощения фотона каждое состояние K-1i> из интервала энергий AEn, проявится в конечном состоянии с вероятностью D2 . Полная вероятность исчезновения фотона или появления фотоэлектрона

<K- ~0DK> = XD2. Такая интерпретация соответствует общим правилам квантовой механики и

основана в используемой модели на следующих рассуждениях.

Из СД, образованных в (2), только один ( ~0 >) проявится при поглощении фотона, остальные N-1

л

остались как бы в тени. Состояния (2) не являются собственными состояниями гамильтониана h , но

л

<~ h ~J> не равен нулю только между состояниями из интервала AEn. Очевидно, что диагонализация субматрицы векового уравнения (ВУ) на базисе ~J> из интервала AEn, даст снова N собственных векторов />, каждый из которых будет содержать состояние ~0> с амплитудой А- Dt, и, следовательно,

появится в конечном состоянии ¥к> (4) с вероятностью D2. Полная вероятность появления

фотоэлектрона будет равна X D2 .

Следующий шаг состоит в выборе величины AEn настолько маленькой, чтобы предположение о постоянной величине D t (равной среднему значению на интервале AEn), не влияло на точность решения задачи, т.е. чтобы сумма вероятностей проявления N-1 оставшихся в тени спектров ~ J> была равна нулю. В таком случае, для описания процесса исчезновения фотона достаточно вместо п 0> использовать СД, имеющий вид VN ~> = Xi>, и амплитуда радиационного перехода <K-1 ~ D K0>=Dп = DnAAEп .

Эти выражения при постоянном совпадают с п0 > в (2) и с (3).

Спектр состояний ~> является полным для описания поглощения фотонов, т.е. состояние ~> выделяет из системы N состояний внутри AEn всю часть, которая участвует в поглощении. Недостатком собственных дифференциалов ~> является ограничение радиусом R длины радиальной части в состояниях i>.

Переход к сплошному спектру состояний ФЭ осуществим увеличением расстояния до потенциального барьера, и определим ~> как представителя интервала энергий (En,AEn) сплошного спектра в виде

~> = N-1/2 X~>, где (5)

AE = AEn /N, ~ > = M-1/2 X ~ >, AEj = AE, /M, N, М^.(5а)

У состояния ~ > в (5) нет волновой функции, так как оно является смесью состояний из интервала

АЕП, но ему можно приписать функцию ~ (r), которая появляется при расчете матричных элементов.

В случае, когда потенциал для ФЭ постоянный вне атома (это соответствует ионизации отрицательного иона), при N°° получим:

~ (r) = N-1/2 X i (r) = n(r) M1 (Еп, АЕп)

2kn ; ,АЕп

где М1(Еп, АЕп ) = гА sin-r) = sin(2R)

(6) (7)

Здесь n(r) - радиальная часть функции сплошного спектра, нормированная в шкале энергий, кп -волновое число, пкп=АЕп-Я. Число п обозначает количество осцилляций радиальной части на 0<r<R. Радиальные части функций пО (r) ортонормированы. Рис. 1а, на котором показана функции пО (r), позволяет ясно понять условное понятие длины

(/ = 2пкп/АЕп) функции ~ (r), равной расстоянию от ядра до первого узла модулятора М1(Еп,АЕп).

Исходя из интерпретации состояния (5), возникшего после поглощения фотона, как смеси состояний из интервала АЕп, ему можно сопоставить ФЭ со средней плотностью заряда

012345678

и

Рп (r) = -X D (r) (8)

Зависимость рп (r) при Di, постоянном интервале АЕп, представлена на рис. 1б показывает, что при r°° плотность заряда стремится к постоянной величине.

Спектр состояний пО (Еп,АЕп)> можно образовать двумя способами. В первом способе это состояния с равномерным шагом в шкале волновых чисел k. В таком случае амплитуды всех

0.04

ч лЛЛл- лла лЛЛл-

-p(r) = 1 -cosk r--sinnx

-I-1-I-1-I-1-I-1-I-1-Г

0123456 Рисунок 1 . Зависимость от х =

при

2 ЕЕп ki

а) радиальной части, соответствующей

~(Еп,АЕп)>;

б) плотности заряда ~ (r), соответствующей

пО (Еп,АЕп)>.

функций умножаются на одинаковый модулятор (7) и функции ~(r) имеют одинаковую длину , равную 2R. Энергетические интервалы, которые представляют состояния ~ >, растут с ростом энергии ФЭ, как AEn =KJ2En /R. Этот способ удобен при суммировании ~(r) по большому интервалу энергий.

Во втором способе спектр состояний ~ > имеет постоянный шаг в шкале энергий. В таком случае длины функций n~(r) растут с ростом En, а амплитуды осцилляций уменьшаются.

Таким образом, сплошной спектр ФЭ (аналогично будем представлять и сплошной спектр оже электронов) представлен ортонормированным набором дискретных состояний ~(En,AEn)>. Каждому состоянию соответствует функция n~(r) с радиальной частью неограниченной длины, но модулированной

так, что расчет любого матричного элемента с функцией ~(r) дает среднее значение на интервале AEn- и определенное значение при

л

AEn 0. Например, для ~> с равномерным шагом в шкале к одноэлектронная энергия <~h ~> = En+AEn2/48En, где En располагается внутри интервала AEn так, что

AE+/AEn = 1 + AEn/En. Здесь AE,+ и AE~ - доли интервала AEn, расположенные выше и ниже En,

л

соответственно. В случае n~>, образованных с равномерным шагом в шкале энергий, <n~h n~> = En, где

энергия En расположена посередине интервала AEn.

Неравенство Шварца (Ah) >0, характеризующее флуктуации статистического распределения

л 2 л2

среднего квадратичного отклонения энергии ФЭ в обоих случаях имеет значение: (Ah) = <n~h n~> -

<~h ~> = AEn /12. Поэтому мы принимаем состояния ~> собственными состояниями оператора h0

при AEn- 0, так как для собственных состояний (Ah) = 0.

В дальнейшем сплошной спектр будет описан набором СД трех сортов.

1. СД нулевого приближения имеют функции ~0( r ) = n(r)j AE n и ограничены длиной R = nkn/AEn.

2. СД первого приближения равен ~1 >= AE~1/2 X ~ > с радиальной частью ~(r) из (6) с yi1(En,AEn).

iEAEn

3. Точные СД ~ >= An X Di > с радиальной частью ~(r) = An j DEE(r)dE, исключающие

ieAEn AEn

радиационные переходы на оставшиеся в тени спектры ~ 7>.

Здесь следует обратить внимание на то, что наблюдаемыми являются собственные значения

л

оператора h0, но в измерительной аппаратуре всегда есть щели (ширина щели может быть сколь угодно малой, но не равной нулю) или поглощаются фотоны с конечной длиной цуга волны, и, следовательно, измеряются состояния, описываемые собственными дифференциалами n~ >.

2. Распад внутренней вакансии.

Рассмотрим распад вакансии, возникшей в результате поглощения фотона 1s электроном в атоме Ne. Обозначим основное состояние K0>, а состояние, возникающее после поглощения фотона - -1пр> =К-1пр>. Процесс образования состояния К 1пр> пока не анализируем, и вследствие этого функции ФЭ в дальнейших записях этого раздела отсутствуют. При учете корреляций N1l1 и N2l2 электронов остова К-1> в ряду возбуждений

N1l1N2l2 - ese l есть такие, для которых возбуждения в состояния ese l можно описать коротким рядом конфигураций теп^ с локализованными внутри атома радиальными частями функций те и Ые (базис естественных орбиталей, см., например, [5]). Этот тип корреляций (он присутствует и в конфигурации К0>) уточняет взаимное расположение N1l1 и N2l2 электронов. Взаимодействие N1l1N2l2 - 1 sel с электроном el> в состояниях сплошного спектра интерпретируется как безрадиационный переход (оже распад внутренней вакансии) с появлением одного электрона el> в свободном состоянии. Влияние именно этого типа корреляций на вероятность поглощения фотона и на форму спектров ФЭ и ОЭ исследовано в настоящей работе.

а) Распад в один канал.

Проанализируем возможность перехода от дискретного спектра ~> к сплошному с помощью собственных дифференциалов на примере безрадиационного распада 1s- вакансии в Ne за счет корреляций 2s2-1sEs.

Введем обозначения: К0> = 1s22s22p6>, К-1> = 1s12s22p6>, K-s> = Ь^°2р^>. Одноэлектронные функции в К0> получим в ХФ приближении и используем для описания остова в

-1 -2

конфигурациях К > и К >.

Радиальные части Es = 3s, 4s, 5s, ..., Еь..., Ет,... получим решением того же одноэлектронного ХФ уравнения, что и для 2s- электрона в конфигурации К0>, но с дополнительным потенциальным барьером для Ет- электрона V(r) = ar при очень маленьком а. В таком случае получим дискретные состояния Ет>. Радиальные части функций Ет(г) образуют полный ортонормированный набор и являются

лл л

собственными функциями оператора h(r) = h0(r) + V(r). Собственные значения этого оператора есть ет -

энергии ОЭ. Спектр состояний К-Ет> диагонален (<К-ЕтН К-Еп> ~ 8пт) вследствие того, что радиальные части Ет(г) получены в одном потенциале.

Энергию состояния К > обозначим \У(К ). Спектр состояний К Ет> возьмем с равномерным шагом 8Ет в шкале энергий и обозначим \У(К~2Е) = \¥(К-1) ± г'8Ет, где i = 1/2, 3/2, 5/2, ... Таким образом, спектр состояний К Ег> симметрично окружает энергию состояния

К-1>. Матричный элемент взаимодействия <К-2Е1 Н К-1> = V ЪЕт примем постоянным.

Результаты решения ВУ на базисе состояния K > и спектра состояний K Em> проанализируем в

2 ~

терминах состояния спектра K Em>, возмущенного распадным состоянием K > в зависимости от W(K

2 2 ~

Em) W(K ) = Aex = Yx, где состояние K Em> фиксировано, а энергия состояния K > изменяется.

1. Функция возмущенного спектра становится двухконфигурационной:

K 2Em (х)> = ATOEm K 1> + K 2EX>], (9)

Здесь A2[a25Em + 1]= 1, IXVoEm = 1 и £x> = Xp7E>

При OEm 0 Ax 1, ocx (x2 + 1) 1/2/nV, Y = nV2.

2. Энергия состояния K 2lEem(х)>, происшедшего от состояния K 2Em>, сдвигается на величину 0ех =

Aх0Em На рис. 2 показана зависимость Ах от х, и видно, что уровень с энергией, большей W(K 1), увеличивает свою энергию, а уровень с энергией, меньшей W(K 1) уменьшает. Уровень, соседний с распадным состоянием K 1>, сдвигается на наибольшую величину, равную ±0Em/2. Анализ численных результатов показал следующую зависимость Ах от х: Ах = n arctg(1/x).

3. Энергию состояния (9) представим в виде

W(K 2Em (х)) = A2([W(K 2) + em] + ax20Em[W(K 1) + AeJ} +

+ Ax2[ ax20EmAex + 2oix~JMm V + Оех]. (10)

Здесь V = <K 2JExHK 1>, em(x) = (em + 0em(x)) = X(AxP/)2ej, и em(x) одноэлектронная энергия ОЭ в

возмущенном состоянии K 2Em(х)>, em энергия ОЭ в невозмущенном состоянии K 2Em>.

2 ~

Первое слагаемое в (1 0) равно энергии невозмущенного состояния K Em>. Второе слагаемое равно

сдвигу энергии (0ex) состояния K Eem(х)> относительно K Em>. Анализ решения ВУ показал, что ахл/0Em V = oc20EmAex, и, следовательно, полный сдвиг

Oex = [A x + Ax] 0Em,(11)

где A x = A2a2Aex, AxOEm = Z(AxpjX)2(ej em). (11а)

j~ Из (11) следует, что полный сдвиг энергии состояния K 2Em(х)> относительно энергии состояния

K 2Em> состоит из двух частей: Ax0Em изменение одноэлектронной энергии ОЭ и A x0Em изменение

полной энергии за счет примеси состояния K 1>. При 0Em -> 0 и обозначении Aex/Y = x A x = x/[n(x2

+ 1)].

0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50

-3 -2

-- Ax = 1 arctg(1/x) п

.......Д = -

x п(х2+1)

т

J . I . I . I

2 3 4 5

Рисунок 2. Зависимость от х = Дет/у: (штрихи) разности (Дх) полных энергий возмущенного состояния К Ет> и невозмущенного К Ет >; (линия) разности (Д'х) одноэлектронных энергий ОЭ в возмущенном и невозмущенном состояниях; (точки) вклада (Д х) в полную энергию возмущенного состояния от примеси распадного состояния К-1>. Для правой части рисунка энергия К-1> меньше энергии К-2Е >.

На рис. 2 приведены рассчитанные зависимости Д х и Д'х. Их сумма совпадает с Дх, найденной как разность полных энергий состояния К-2Ет> и состояния К-2Ет (х)>, полученных при решении ВУ. Полученные выше соотношения позволяют при 8Ет - 0 записать (9) в виде

£Е >+ х|ЕХ>

К-2Е~т (х)> = К-1> + К-2>

х2 +1

(12)

Здесь одноэлектронные энергии для функций £ЕХ > и ЕХ > одинаковы и равны е'т(х), радиальные части

этих функций нормированы на 1. Функция £ЕХ> = X > - является симметричной относительно

новой энергии е'т(х) суммой функций Ek>, т.е. <К 2kEX/ Н|К 1>=0, <£Ех ЕХ> = 0 и <kE h kEX> = е'т(х).

Обратим внимание на отличие проанализированного решения ВУ от решения Фано [6]. Исходная разница состоит в том, что у Фано состояния К Ет> нормированы на

8- функцию Дирака, а у нас - на единицу. Вид функции (12) после сокращения на л]8Ет совпадает с полученным в работе [6]. Однако, как мы предполагаем, в функциях работы [6] одноэлектронная энергия ОЭ в состоянии К-2Ет(х)> не зависит от разности (х=ДеХ/у) энергий состояний К-1> и К-2Е~т>.

Следовательно, интеграл неортогональности функции Фано для состояния К-2Ет(х1)>, возмущенного уровнем К-1>, отстоящим на х1, и функции для состояния К-2Ет (х2)>, возмущенного уровнем К^1>, отстоящим на х2, при 8Ет - 0 равен

2~ 2~ < Е kE >+ x,x2 < >

<К-2Е~:(х1)К-2Е~:(х2)> =-, 22 J 22 Х2 ,(13)

(x2 + 1)(x2 +1)

и в функции Фано <kEx kEx2> = <E E > = 1- Анализ радиальной части Ex(r) в (9) и (12) показал, что

<kEx;ikEx;>=<ex;iex;> = R J dr. cosn( AA2) 1, где r5eot=nrn .(14)

Величины (13) из функции Фано и из (12) отличаются за счет того, что в (12) одноэлектронные энергии зависят от x. Например, для х1 = 1 и х2 = -1 у Фано <Е6 (х1)Е 6(х2)> = 0, а у нас 0.61; для х1 = +0 и х2 = -0 у нас <Е6 (х0Е6 (х2)> = 0, а у Фано 1.

Таким образом, состояние К En>, возмущенное распадным состоянием К >, имеет полную

энергию W(K-2En) + Ах8Еп, зависящую от x=Aex/y. Одноэлектронные энергии ОЭ в возмущенных состояниях также зависят от х и равны ет + А'х8Еп (см. рис.2).

б) Распад в несколько каналов.

Для учета N1l1N2l2 - 1 se/ корреляций в остове К-1> Ne надо учесть взаимодействие состояния К-1> со спектрами состояний остова K/2Elp>: 1s22s02p6Es, 1s22s12p5(1P,3P)Ep, 1s22s22p4(1D)Ed и 1s22s22p4(1S)Es. Состояния El- электронов в сплошном спектре представим дискретным спектром СД нулевого приближения с дополнительным потенциалом V = °° для r > MR. Обозначим матричные элементы,

л

-1 -2

соответствующие этим пяти каналам распада 1s вакансии VEC Н|КР Elp>. Они рассчитываются с функциями Elp(r) сплошного спектра, нормированными в шкале энергий. Для описания радиационного

2 2 5 -1

2p- 1s перехода (излучение Ка- линии) учтем спектр состояний 1s 2s 2p соа = 2p соа, где энергии фотонов Сба проквантованы так же, как и Elp>. Матричный элемент, соответствующий радиационному переходу 2p- электрона в 1s- состояние с излучением фотона (ССа) с энергией

л

E( ССа) = E(1s-1) - E(2p-1), обозначим V0 = <2p-1ССа| D 1s-1>.

Из состояний с одинаковыми полными энергиями (Е) из этих шести континуумов образуем (при MR - 00) шесть модифицированных континуумов [7] так, что один из них

i ¥1 (Е)> =A

ХХК-2E~lp >+ V)2p 1ССа>

pp 1

AVpp? >, A2X Vp2= 1.(15)

0 Р

Здесь p > обозначает конфигурацию после распада вакансии. Остальные пять модифицированных

континуумов

> = XCpp > и piV > = AXVpCpj = 61 (16)

В таком случае состояние К 1> взаимодействует только с континуумом хт/1 (Е)>, причем

< (£)hk-1> = alvp2 = v = vVBE и v2 = !vp2.(17)

При построении (15) и (16) не учтено взаимодействие между базисными континуумами kp Elp>. Влияние этого взаимодействия на контур фото- и оже- линий требует специального исследования.

Итак, дискретное состояние k-1> возмущает только модифицированный континуум ЦР, (E)>, и, в соответствии с разделом 2а, получим уточненные состояния остова (записываем только для безрадиационных переходов)

Ф(Е)> = Ф(Е)>л/оЕ = осе

5EK-1 >+ЕVtK-2 > (у|AE/p > +AeE/p >)

(18)

При 8E-0 здесь Oe = V/л/Ae2 + у2 , Ae = E( x¥ 1(E)) E(K-1), < kE/p E/p >= 0,

< E/p E/p >= 1, < kE/p kE/p >= 1, < Ф (E) Ф (E)> = 1, 2y=r=2nV2 = 2п X Vp2 полная ширина

внутренней вакансии.

3. Базисные конечные состояния.

Для описания промежуточных состояний K-1 n> (ион K 1> и фотоэлектрон n р), возникающих после поглощения фотона, получим радиальные части функций ФЭ в потенциале остова K-1>. Для en>0 спектр ФЭ представим спектром собственных дифференциалов n > с AEn<<y.

Для описания базисных конечных состояний (изолированный ион Kp 2> и изолированные от иона и

друг от друга ФЭ и ОЭ) решением соответствующих уравнений ХФ в потенциале остова Kp > получим радиальные части функций m(r) для фотоэлектрона и функций E/p(r) для ОЭ. Состояния сплошного спектра охарактеризуем СД, причем для ФЭ это состояния m > с AEm<<AEn, а для ОЭ состояния Em >, представляющие интервал энергий 8Ет, одинаковый во всех каналах распада.

В конфигурациях Kp m Em > индекс р характеризует все квантовые числа двух вакансий в ионе Kp

>, а также резонансные энергии и квантовые числа ОЭ, которые в записях отсутствуют. Взаимодействие между ФЭ и ОЭ и влияние этих электронов на функции остова в состояниях K n > и Kp m Em > не

л

учитываем. Состояния Kp m Em > являются собственными состояниями гамильтониана H0 (при AEm0,

л

8Em0), и полная энергия этих состояний равна W(Kp ) + е(ФЭ) + е(ОЭ). Гамильтониан H0 отличается

л

от полного H отсутствием оператора (1/r12) кулоновского отталкивания ФЭ и ОЭ.

Часть состояний Kp m Em > с одинаковыми m>, но с разными энергиями em для ОЭ, назовем

2 ~ - 1

спектром состояний Kp m Em >. Спектр промежуточных состояний K n> и набор спектров базисных конечных состояний в одном из каналов распада изображены на рис 3а. При этом выбором энергий ОЭ