Опытное трассирование автомобильной дороги с использованием пространственных кривых Безье

Елугачёв П.А. (Elugachev@mail.ru)

Томский Государственный Архитектурно - строительный Университет

Современный этап проектирования автомобильных дорог с использованием систем автоматизированного проектирования (САПР) не может не опираться на передовые методы и технологии моделирования во всех областях, включая и трассирование. Возможно, в скором времени, методы пространственного моделирования вытеснят раздельное трассирование.

В статье рассматривается пространственная модель, построенная на основе математического аппарата Безье. Оцениваются возможности использования пространственной кривой при моделировании сложных очертаний трасс автомобильных дорог. Определяются области варьирования управляющих узлов (узлов структурного многоугольника) и их сочетаний.

В ходе математического и геометрического моделирования [4,6,7] было установлено, что общий вид программного модуля должен иметь 3 рабочие проекции. Первая и вторая (XY, XZ) - соответственно план и продольный профиль, выступают в качестве стандартных проекций при проектировании автомобильных дорог. Однако, нужно отметить что в нашем случае, при пространственном трассировании кривая проецируется на плоскость XZ, не как упрощенно-вытянутая линия описываемая функцией Z=f(s), когда s=x, а как плавно-непрерывная линия (сплайн).

Проекция ZY взята в качестве картинной плоскости, о которой в своей работе говорил Дзенис П.Я. [5]. Им установлено, что безусловно, зрительно плавными являются все пространственные кривые, которые проектируются на плоскость, перпендикулярную линии взгляда, в прямую линию или кривую малой кривизны. В связи с этим П.Я. Дзенисом предложен метод исправления зрительно неясных участков по фронтальным проекциям. Такие плоские сечения позволяют легче обеспечить зрительную плавность и ясность дороги, поэтому в некоторых странах, например в Венгрии, они рекомендуются как наиболее целесообразный вид сочетания элементов плана и продольного профиля.

Кроме проекций, модель должна иметь 3D - вид, для простоты восприятия и анализа кривой. Таким образом, графическая основа модели должна состоять из четырех окон, трое из которых являются функциональными, а одно визуальным (3D - вид). Общая геометрическая схема модели приведена на рис. 1

Рис. 1. Геометрическая схема модели

Далее для тестирования, дискретную модель трассы, построенную в системе автоматизированного проектирования автомобильных дорог (САПР АД) IndorCAD/Road, импортируем в специально разработанную модель (сформулированную на основе тех методов и выводов, которые были сделаны ранее), общий вид которой представлен на

рис. 2.

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Продольный профиль I пространственная кривизна, кривизна в профиле . кручение! Кривизна в плане, кривизна в плс

284.8

X:-113113 Z: 253.Э1

Рис. 2. Общий вид модели пространственной кривой Безье

Здесь кривая представлена в качестве ломаной состоящей из множества элементарных отрезков, начальные и конечные точки которых, определены как dx, dy, dz (пространственное расположение). Длина отрезков составляющих кривую соответствует шагу разбивки пикетажа в САПР АД IndorCAD/Road. В качестве импортируемой кривой выступает кривая, отображаемая в программном модуле черным цветом.

Далее дискретную модель существующей трассы (созданной в САПР АД) будем называть базис (черная линия), а модель пространственной кривой Безье - модель (красная линия).

Сопоставим базис и модель. При максимальном приближении двух кривых длина базиса в 3D 1079,22 м., длина модели в 2D 1099,46 м. (невязка за счет разнородности функций трассы (ломаная) и модели (сплошная кривая)).

Трассирование начинается с выставления начальной 1 и конечной 6 точек кривой в плоскости XY (план). Затем касательную линию 1-2 к начальной точке 1, совмещаем с очертанием трассы, таким же образом касательную 6-5 к точке 6, совмещаем с очертанием трассы. Регулируем положения точек 3 и 4, в плоскости XY, тем самым, добиваясь точного попадания очертания модели к существующей трассе. При наложении базиса и модели в плане, как правило, мы не наблюдаем совпадения очертаний в проекциях ZY, XZ. Для их наложения необходима возможность корректировки только по одной координате. При этом условии модель кривой ложится на очертание трассы. Прилипание к горизонтальной оси рабочего окна достигается нажатием клавиши Alt, к вертикальной оси нажатием Ctrl.

Пространственная кривая Безье, лежащая в основе программного модуля, позволяет моделировать трассы автомобильных дорог любых конфигураций. Примером этому могут служить исследования проведенные авторами данной работы. В качестве объекта исследования были выбраны одни из сложных конфигураций трасс автомобильных дорог, такие как серпантины 1, 2 - го рода, левоповоротные рампы малого радиуса, близкорасположенные кривые с обратно-направленными радиусами. Во всех случаях наблюдалась простота работы с моделью кривой. Количество управляющих параметров (узлов) позволяет подбирать разные конфигурации, что делает пространственную кривую Безье удобной с точки зрения пластических свойств. Кроме того, пространственная кривая позволяет трассировать участки отмеченные двумя центрами кривизны, как в случае с разнонаправленными, смежными радиусами. Причем два центра кривизны могут быть как в проекции плана, так и в проекции продольного профиля одновременно (см. рис. 3 г, д). Ниже на рис. 3 приведены случаи трассирования автомобильных дорог.

:. .а н н . -1 □ т а . э .a tii-i

Рис. 3. Моделирование сложных сочетаний кривых в плане на автомобильных

дорогах, с использованием пространственных кривых, где а) серпантина I - го рода; б) серпантина II - го рода; в) левоповоротная рампа малого радиуса; г) смежные разнонаправленные радиусы, с двумя центрами кривизны в плане; д) смежные разнонаправленные радиусы, с двумя центрами кривизны в плане и профиле.

Кроме рабочих окон, в модели присутствуют графики кривизны, нарастания центробежного ускорения и кручения. На рис. 4 указаны графики, посредствам которых осуществляется контроль и наблюдение за пространственной кривой.

Рис.4. Графики применяемые для анализа в программном модуле Bezier.

а) продольный профиль, б) пространственная кривизна, в) кривизны в профиле, г) кручение, д) кривизна в плане, е) кривизна в плоскости XZ, ж) нарастание центробежного ускорения

Пространственная кривая Безье в модели ограничена 6 точками, как и говорилось ранее. Регулирование её конфигурацией заключается в перемещении узлов структурного многоугольника в одной или нескольких проекциях.

Точки A и F являются точками, ограничивающими отрезок кривой, назовем их точками начала и конца кривой. К точкам A и F проведены касательные, ограниченные точками B и E соответственно. В случае пересечения касательных, получается некоторая точка T, для удобства понимания и проведения аналогии с тангенциальным ходом, при традиционном (раздельном) методе трассирования, логично её принять за вершину кривой [2,4]. Тогда точки B и E будут средними тангенсами угла ATF, а точка начала кривой А и точка конца кривой F будут большими тангенсами, перпендикуляр от точек C и D к большим тангенсам будет называться нормалью, согласно терминологии, данной д. т. н., В. Н. Бойковым.

В целом геометрическая схема пространственной кривой Безье, не изменится в отличие от её плоского аналога. Однако кривая будет раскладываться на три проекции, а узлы, управляющие конфигурацией кривой, будут иметь возможность изменение как по координатам x, y, так и по координате z (см. рис. 5).

Логично, экспериментальным путем выявить те закономерности (для установления порядка работы с пространственной кривой), которые в большей степени влияют на получения той или иной конфигурации.

В качестве эксперимента построим кривую, имеющую вид как показано на

рис.2.

Отметим, что при пространственном трассировании в программном модуле Bezier, начало кривых в плане и профиле всегда совпадают, что является одним из условий ландшафтного проектирования [1,2,8,9]. Обратим внимание на график кривизны в плане. Он характерен двумя экстремумами кривизны и седловиной между ними. При трассировании такой кривой на закруглении возникает неравномерность нарастания центробежного ускорения, оно то возрастает, то понижается (рис. 4 ж). Такое изменение, с точки зрения ландшафтного проектирования не рекомендуется. Для того чтобы исключить седловину нужно точки 3 и 4, свести по радиусу, проходящему через точки 2 и 5 (см. рис.6).

Далее при наблюдении за кривизной в плане видно, что график аналогичен закруглению, построенному по традиционной схеме (клотоида-дуга-клотоида). То есть ярко выражена кривизна для переходной и круговой кривой (см. рис. 4, б).

В. С, D. Е.

Рис. 5. Геометрическая схема пространственной кривой Безье

Было отмечено, что при смещении точек 3 и 4 по условному радиусу в плоскости XY, наблюдается уменьшение (на графике кривизны в плане) участка с постоянной кривизной и в результате мы можем получить кривую с одним экстремумом кривизны, плавно нарастающим и также плавно сходящим. Заметим, что сближение и нарастание экстремумов будет происходить до момента совпадения координат точек 3 и 4. Теперь чем далее мы будем разводить точки 4 и 3 тем сильнее будем увеличивать излом трассы, повышая кривизну на локальном участке.

Кривизна в плане

Рис. 6. Схема построения узлов структурного многоугольника, для получения постоянной кривизны в центральной части закругления.

Результатом исследований является необходимость проработки модели, которая позволила бы максимально выгодно приблизить понятия пространственной кривой Безье к понятиям тангенциального хода, но с точки зрения пространства. Необходимо закрепление вершины угла и введение понятий тангенсов и нормали.

Для простоты восприятия закругления, предполагается разложить пространственную кривую на две проекции: план и профиль (см. рис. 7).

Рис. 7. Представление пространственной кривой Безье в виде разложения на проекции: план и профиль, где:

- тангенциальный ход и кривая в пространстве,

- - - - проекция кривой и тангенциального хода на плоскость XY (план),

- проекция кривой на плоскость XZ.

Соответственно при таком условии процесс трассирования не отличается от традиционного. Трассируем в плане, используя термины тангенциального хода, выстраиваем нивелировочные отметки в соответствии с условиями, нормами и требованиями. При этом мы оперируем сплошной линией, сплайном, а не разрозненными отрезками функций. Мы можем наблюдать за графиками пространственной кривизны и кручения. Таким образом, дальнейшая разработка метода пространственного трассирования автомобильных дорог кривыми Безье, ведется в области алгоритмизации технологии, подбором параметров управления с учетом удобства и простоты, в соответствии с существующими нормами и правилами. Дальнейшие статьи будут направлены на описание усовершенствованной модели Bezier, с учетом сложившейся методологии в трассировании при проектировании автомобильных дорог.

Литература

1. СНиП 2.05.05-85. Автомобильные дороги. Госстрой СССР. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1986. - 56 с.

2. Бабков В.Ф. Ландшафтное проектирование автомобильных дорог. - М.: Транспорт, 1980. - 189 с.

3. Бойков В.Н., Елугачёв М.А., Елугачёв П.А. Применение кривых Безье при трассировании автомобильных дорог. - Наука и техника в дорожной отрасли, №3 -2005, стр. 17-20.

4. Бойков В.Н., Шумилов Б.М., Елугачёв П.А. Пространственное трассирование автомобильных дорог: аспекты математической реализации. УФ МАДИ (ГТУ) - М.: Сб. Научных трудов, 2005. - с. 21-34.

5. Дзенис П.Я., Рейнфельд В.Р. Пространственное проектирование автомобильных дорог. - М.: Транспорт. - 120 с.

6. Елугачёв П.А., Эшаров Э.А., Бойков В.Н. Шумилов Б.М. Проблемы описания протяженных объектов криволинейного очертания на примере трасс автомобильных дорог в ГИС и САПР в сб. нуч. материалов 3-ей Всероссийской конференции молодых ученых: Фундаментальные проблемы новых технологий в 3-ем тысячелетии. Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2006. - С. 609-612.

7. AASHTO. A policy on geometric design of highways and streets. - American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington, D.C., 1990. -

1044 pp.

8. FG-Forschungsgesellshaft fur das Strassenwessen: Richtlinien fur die Anlage von Landstrassen (RAL), Teil 3: Knotenpunkte (RAL-K), Abschnitt 1:Plangleiche Knotenpunkte (RAL-K-1, 1976).