Метод частиц для уравнения Шредингера

Барабан А. П., Ванюшов М. Б., Семыкина Е. А. (semykina@home.ru)

Санкт-Петербургский Государственный Университет, Научно-Исследовательский Институт Физики

1. Введение

Проблема построения метода частиц для решения уравнения Шредингера сама по себе имеет, вообще говоря, чисто академический интерес, поскольку для большинства мыслимых потенциалов существуют мощные аналитические или приближенные методы его решения. Существует, однако, широкий класс задач, описываемых уравнением Лиувилля, для которых указанная проблема актуальна. Попытка построения численного метода решения уравнения Лиувилля для задачи квантового транспорта предпринята в [1], однако физический смысл предложенного метода не прозрачен, а вычислительные мощности, требуемые для его реализации, велики. Красивая попытка численного решения уравнения Лиувилля путем обобщения метода частиц для уравнения Больцмана была предпринята Н. А. Банновым [2], однако ему не удалось разрешить противоречие между предположением об отсутствии взаимодействия между частицами и наличием аннигиляции (квази) частиц и античастиц.

Поскольку в случае отсутствия взаимодействия между частицами уравнение Лиувилля сводится к уравнению Шредингера, разумно построить метод частиц для решения уравнения Шредингера, имея в виду его дальнейшее обобщение на уравнение Лиувилля. Это предъявляет определенные требования к методу, а именно:

(a) прозрачность с точки зрения физического смысла и

(b) реализацию многочастичным методом Монте-Карло, либо реализацию одночастичным методом Монте-Карло, допускающую последующий переход к многочастичному методу.

Прозрачность метода с точки зрения физического смысла обеспечит естественное включение взаимодействия между частицами. Необходимость возможности перехода к многочастичному методу очевидна.

В данной работе предлагается метод частиц для решения уравнения Шредингера, построенный с учетом приведенных выше требований. Метод основан на формулировке квантовой механики в терминах интеграла по траекториям (ИТ), предложенной

Фейнманом [3]. Преимуществом такого подхода, помимо относительного снижения требований к вычислительной мощности, является ясный физический смысл метода. Метод реализован многочастичным методом Монте-Карло для удобства перехода к решению уравнения Лиувилля.

2. Постановка задачи

Целью настоящей работы является:

i. Построение метода частиц для решения уравнения Шредингера, удовлетворяющего следующим требованиям:

Ясный физический смысл;

Удобство реализации;

Возможность перехода к построению метода частиц для решения уравнения Лиувилля.

ii. Реализация построенного метода методом Монте-Карло.

iii. Тестирование метода на модельных задачах, решаемых аналитически.

3. Метод частиц для уравнения Шредингера

Сутью метода частиц является замена исходного ансамбля, образованного, например, парами (x, p) координат и импульсов реальных частиц, модельным ансамблем, образованным парами (x\ p) координат и импульсов неких абстрактных объектов, обычно называемых (квази) частицами. В качестве примера взят ансамбль координат и импульсов реальных частиц, но, в принципе, это могли быть любые характеристики любых физических объектов или даже объектов абстрактных, если речь идет о решении абстрактной математической задачи, например, при решении интегрального уравнения методом Монте-Карло. Общим моментом является именно замена исходного ансамбля упрощенным. Свойства объектов, образующих эти два ансамбля должны быть связаны таким образом, чтобы полученное решение было адекватным.

Перейдем к построению метода частиц. В квантовой механике частица (реальная) не обладает определенной траекторией. Вклад в волновую функцию частицы, определяющую вероятность найти частицу в определенной области пространства, дают все возможные траектории. С определенной, пусть малой, но ненулевой, вероятностью при измерении положения частицы может быть реализована любая из возможных траекторий. Эта вероятность максимальна для минимизирующей действие классической траектории. Таким образом, если мы в последовательные моменты времени t1,...,tN будем измерять координату частицы, то ее путь будет представлять собой ломаную линию (рис. 1). При этом, если мы устремим промежуток времени между измерениями к нулю, то, в полном соответствии с соотношением Гейзенберга, не получим непрерывной линии. Путь

t1 t2 t3 (...) t. t

Рисунок 1. Семейство траекторий частицы.

Исходя из вышеизложенного, в качестве исходного ансамбля при решении уравнения Шредингера методом частиц, основанном на ИТ, целесообразно выбрать ансамбль, образованный всеми возможными траекториями, в том числе и классически запрещенными. Вероятность реализации какой-то конкретной траектории дается выражением:

const e( ih) s [ x (t)] (1)

Здесь S[x(t)] обозначает действие вдоль траектории x(t). Мы не можем использовать исходный ансамбль для решения уравнения Шредингера методом Монте-Карло ввиду бесконечного количества траекторий даже на сетке (существует бесконечное (счетное) число способов соединить два узла сетки линией, произвольное число раз проходящей через произвольное число узлов, даже если число узлов конечно). При этом построить удовлетворительное правило для отбора нужных траекторий затруднительно. Перейдем к построению упрощенного ансамбля.

Введем на координатном пространстве сетку xi. Ограничим наше рассмотрение кусочно-линейными траекториями xi(ti) с фиксированным шагом At. Вклад такой траектории в ИТ легко рассчитать, в том числе численными методами. Кроме того, для любой конечной области число таких траекторий (на сетке) конечно и невелико, следовательно, нет

частицы, изображенный на рис. 1 следует понимать в том смысле, что в момент времени t1 реализована вероятность для частицы следовать по траектории p1, в момент времени t2 -по траектории p2, и т. д.

K(b, a) = lim 1 ff f e( h)S[b ... **=L где A = = 2ПШ At° AJJ J AAA V У

И в пределе At 0 мы получим:

K (b, a) = f e(l1 h) S [b,a ] ) (3)

Заметим, что (3) в точности совпадает с выражением, использованным Фейнманом [10] при определении ИТ, таким образом, нет необходимости ни доказывать сходимость метода частиц, ни даже обосновывать существование предела. Предел существует и сходимость имеется автоматически в тех же условиях, в которых применим подход ИТ. Корректное обоснование предельного перехода и формулировку условий применимости метода можно найти, например, в [4], для нас же важно лишь то, что для любого мыслимого потенциала эти условия выполнены. 3.1. Формфакторы

Видно, что модуль амплитуды (3) равен единице во всей классически доступной области. Таким образом, прямое использование амплитуды (3) приводит к абсурдному результату. Для разрешения противоречия обратимся к физическому смыслу амплитуды (3). K(b,a) дает вклад выбранной нами траектории в суммарную амплитуду перехода из точки a в точку b. Вклады различных траекторий (в классически доступной области) различаются только по фазе. В зависимости от того, как быстро меняется фаза амплитуды (3), ближайшие траектории суммируются или, наоборот компенсируют друг друга. Таким образом, мы обязаны учитывать не отдельную траекторию, выбранную нами в соответствии с описанными выше соображениями, а сумму вкладов траекторий, лежащих в непосредственной близости друг от друга.

Решение задачи отбора траекторий сводится к определению формфакторов G(x,p). В методе частиц для уравнения Больцмана формфактор присутствует в уравнении, связывающем транспортное уравнение для полного и сокращенного ансамблей. Физический смысл формфактора в методе частиц для уравнения Больцмана можно интерпретировать следующим образом. Частица (реальная), находящаяся в точке фазового пространства (x0,p0) е supp(Gi(x,p)), с весом Gi(x0,p0) дает вклад в i-ю квазичастицу. В классическом случае о формфакторе можно говорить как о форме квазичастицы.

необходимости в дополнительном отборе траекторий при практической реализации метода.

Для выбранного нами сокращенного ансамбля ИТ будет записываться следующим образом (m - масса частицы):

В классическом случае формфакторы определяются в фазовом пространстве и их выбор, вообще говоря, ничем, кроме вычислительных проблем, не ограничен. Если бы мы строили метод частиц для квантовой задачи, основываясь, как и в классическом случае, на использовании сокращенного ансамбля частиц, то очевидным ограничением был бы запрет на дельтаобразные формфакторы. Мы же используем сокращенный ансамбль траекторий. Определим смысл формфактора и требования к нему в нашем случае. Если в методе частиц для уравнения Больцмана формфактор определялся на, в общем случае, шестимерном, фазовом пространстве, то в нашем методе он определяется как функционал на гильбертовом пространстве траекторий - непрерывных функций (понятно, что в данном случае говорить о форме квазичастицы бессмысленно). Эквивалентом дельтообразного формфактора в этом случае будет учет одной единственной траектории, что, как мы видели выше, приводит к абсурдному результату. Здесь сразу становится ясно, что формулировка метода на основе концепции ИТ, помимо чисто вычислительных преимуществ, гораздо прозрачнее с точки зрения физического смысла. Таким образом, нам необходимо определить понятие близлежащих траекторий , сумму вкладов которых мы будем вычислять. В принципе, можно учитывать все траектории, лежащие внутри узкой трубки в фазовом пространстве. К сожалению, учесть все траектории, лежащие внутри, пусть достаточно узкой, трубки, для произвольного потенциала затруднительно. Другим вариантом является суммирование траекторий, заканчивающихся в некоторой окрестности конечной точки (b-Р, Ь+Р). Такую сумму вычислить нетрудно:

+8 b+Р

K(b, a) = J dp J e{ilh)s[b+p,a]Dx(t) (4)

-8 a

Таким образом, вместо (3) в дальнейших вычислениях в качестве вероятности реализации (квази) траектории мы будем использовать выражение (4). 3.2. Замечание о формфакторах

Вообще говоря, использование в качестве формфактора множества траекторий, заканчивающихся в конечной окрестности определенной точки, предполагает, что в результате измерения мы обнаруживаем частицу в ограниченной области пространства. Как показано в [5], это означает, что с ненулевой вероятностью импульс частицы может приобретать любые значения, что при переходе к построению метода частиц для решения уравнения Лиувилля создаст трудности при расчете функции Вигнера. Для того, чтобы обойти эту проблему, построим разбиение единицы на координатном пространстве ni(x) и для xi, являющегося центром i-й ячейки координатного пространства учтем все

траектории с весом ni(x). Если затем составить последовательность из наборов ni(x) такую, что ri(x) стремится к прямоугольнику с центром в xi, в пределе получим (4). 3.3.Процесс измерения и формулировка метода частиц

Мы построили упрощенный ансамбль траекторий. Было бы заманчиво обобщить метод частиц для классической задачи, определяя, какая из возможных траекторий будет реализована при измерении через момент времени At, и повторяя процедуру заранее заданное число шагов (цикл по времени). Однако, мы сталкиваемся с проблемой измерения в квантовой механике. Определяя, какая из возможных траекторий будет реализована, мы, фактически, производим измерение состояния (квази) частицы. В [6] показано, что, осуществляя предельный переход At -0, мы столкнемся с парадоксом Зенона: повторяющееся (в предельном случае непрерывное) измерение квантовой системы препятствует ее переходу в другое состояние . Таким образом, при формулировке метода частиц нам необходимо корректно обойтись с моделированием процесса измерения.

До текущего момента мы нигде не использовали особенности задачи транспорта носителей. В реальном эксперименте акты измерения происходят на границах области моделирования. Таким образом, измеряя состояние (квази) частицы внутри области моделирования, мы вносим существенные искажения в систему, и эти искажения тем более существенны, чем более существенен квантовый характер задачи. Ничто, однако, не мешает использовать введенное выше разбиение xi, и шаг At для маркировки траекторий. Следовательно, вводя сетку на координатном пространстве и шаг по времени, мы фактически ввели сетку на пространстве траекторий. Ячейки сетки нумеруются мультииндексом (xiL,..., xiN), где N - число узлов пространственной сетки, через которые проходит данная траектория, а xi - номера этих узлов. Введем расстояние в пространстве траекторий как квадрат модуля амплитуды, вычисленной в соответствии с (4). Следовательно, мы определили пространство траекторий t и сетку на нем. В предложенной формулировке процесс транспорта носителей через систему, описываемую уравнением Шредингера с заданным потенциалом описывается движением (квази) траектории в пространстве траекторий с расстоянием, заданным (3), под действием случайной силы. Начальным граничным условием будет классическая траектория. Таким образом, корректная формулировка метода частиц для уравнения Шредингера состоит в том, что ансамбль траекторий в t заменяется упрощенным ансамблем квазитраекторий, заданных на введенной в t сетке. Корректность замены обоснована корректностью предельного перехода в (2, 3). В соответствии с выбранными выше формфакторами расстояние между квазитраекториями описывается (4).

3.4. Замечание о процессах рассеяния и обобщении метода на уравнение Лиувилля

При решении уравнения Больцмана методом частиц обычно механизмы рассеяния не входят в потенциал, а учитываются отдельно. Это, очевидно, можно сделать как для классической, так и для квантовой задачи вследствие аддитивности потенциала. Тогда процесс рассеяния можно рассматривать как измерение. Это может быть либо реальное измерение, например, регистрация фотона, испущенного в процессе электролюминесценции [7], либо фиктивное измерение, которое, однако, имеет место как акт измерения, так как центры рассеяния мы рассматриваем отдельно от ансамбля носителей.

Также можно рассматривать как акты (само) рассеяния процессы, описываемые правой частью уравнения Лиувилля. Для обобщения предложенного метода на уравнение Лиувилля, следовательно, необходимо корректно описать выбор пар взаимодействующих частиц при таком (само) рассеянии в терминах пространства траекторий.

3.5. Замечание о начальном условии

При реализации методом Монте-Карло начального условия на сетке мы сталкиваемся с проблемой выбора квазитраекторий вблизи точек поворота. Рассмотрим простейшую ситуацию - прямоугольный потенциальный барьер. Если частица на очередном шаге подходит к барьеру на такое расстояние, что через At классическая траектория приведет ее в ту же точку после отражения (или любую другую, но с той же стороны от барьера), то при использовании постоянных промежутков At наиболее вероятная классическая траектория с отражением будет просто исключена из рассмотрения. Коэффициент пропускания барьера, таким образом, будет завышен. Введение плавающего At, являющееся, вообще говоря, разумной мерой, не решает проблемы, так как приблизительно в половине случаев просто приведет к бесконечному измельчению At и, в конечном итоге, к зависанию алгоритма.

Выйти из этой ситуации можно, если использовать для соединения пары точек ((xi,ti),

(xi+1,ti+1)) вместо прямых отрезки классических траекторий [3]. Тогда можно было бы

сказать, что действие S в (3) - это наименьшее значение интеграла от лагранжиана, взятого вдоль всех траекторий, проходящих через ((xi,ti), (xi+1,ti+1)). К сожалению, в [3] не

указано, что делать, если переход из (xi,ti) в (xi+1,ti+1) является классически

запрещенным. Например, если обе или одна из точек находится в классически запрещенной области (под барьером), то классической траектории, соединяющей их, не существует, а минимум интеграла от лагранжиана определить не представляется возможным, так как этот интеграл комплексный. В этой ситуации мы поступим

следующим образом. Для классически запрещенной области в наших целях в качестве классической траектории возьмем траекторию, являющуюся формальным решением классических уравнений движения с комплексным временем. Соответственно, будем говорить не о минимуме интеграла от лагранжиана, а о минимуме модуля этого интеграла. Таким образом, в качестве сокращенного ансамбля вместо кусочно-линейных траекторий мы выберем набор отрезков классических траекторий, соединяющих узлы сетки. Выбор формфакторов остается прежним, расстояние между траекториями также задается (4). 3.6. Реализация метода частиц

Имея в виду дальнейшее обобщение метода на решение уравнения Лиувилля, будем реализовывать метод частиц многочастичным методом Монте-Карло. Сформулируем алгоритм:

Параметры. Параметры сетки в пространстве траекторий - сетка в координатном пространстве xi (вообще говоря, не обязательно равномерная) и At.M-

максимальное число узлов пространственной сетки, через которые проходит квазитраектория. Число итераций N - количество определений смещения каждой траектории под действием случайной силы, моделируемой методом Монте-Карло. Этот параметр - аналог числа интервалов по времени в классической задаче. Инициализация алгоритма. После задания граничных условий и потенциала каким-либо приемлемым способом исходное состояние системы (начальное условие) генерируется методом Монте-Карло. Например, если рассматривается задача о рассеянии волнового пакета на потенциальном барьере, то при инициализации будут сгенерированы K квазитраекторий, распределенных по энергиям в соответствии с видом пакета. Это можно рассматривать как некий аналог квазичастиц в классической модели.

Расчет таблицы расстояний. Для набора мультииндексов, нумерующих квазитраектории, рассчитываются расстояния до квазитраекторий, соответствующих классическим траекториям. Этот шаг необходим для уменьшения вычислительной сложности задачи - каждое расстояние рассчитывается только один раз. Аналог этого шага в классической модели - расчет таблицы вероятностей.

Эволюция системы. После инициализации для каждой квазитраектоии (цикл по траекториям) методом Монте-Карло определяется расстояние, на которое она сместится в пространстве траекторий на очередном шаге. Процедура повторяется заранее заданное число итераций N.

D = exp

f 2dJ 2m(U - E)Л v h J

На рис. 2 представлены результат расчета (точки) и точное решение (сплошная линия). Видно, что разработанный нами метод демонстрирует хорошее согласие с точным решением.

О) .0

ю к

и > с о . с

е-е-

о

1£

0,9 0,8 j 0,7 0,6 -0,5 -0,4 0,3 -0,2 -0,1

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1,2 1,4 1,6 1,8 2

энергия E

Рисунок 2. Рассеяние на прямоугольном потенциальном барьере.

Таким образом, нами построен метод частиц для решения уравнения Шредингера. К его достоинствам можно отнести удобство реализации и физическую прозрачность (требование (a) выполнено). Метод реализован многочастичным методом Монте-Карло, следовательно, требование (b) выполнено. Для перехода к построению метода частиц для уравнения Лиувилля потребуется реализовать механизм выбора пар взаимодействующих частиц.

Сохранение информации. В зависимости от того, какую задачу необходимо решить, возможно сохранение той или иной информации. В общем случае необходимо и достаточно после каждой итерации сохранять информацию о функции распределения.

Протестируем предложенный метод на модельной задаче.

4. Результаты и обсуждение

В качестве примера рассмотрим рассеяние на прямоугольном потенциальном барьере. Данная задача подробно рассматривается в любом задачнике по квантовой механике. Коэффициент пропускания D прямоугольного барьера шириной d и высотой U равен:

Литература

1. C. Jacoboni and L. Reggiani, Rev. Modern Physics, 55, 654, (1983)

2. Баннов Н., частное сообщение

3. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям , М., Наука , 1962

4. Маслов В. П. Квантование термодинамики и ультравторичное квантование , Институт компьютерных исследований, 2001

5. И. фон Нейман Квантовая механика , ИО НФМИ, 2000

6. М. Б. Менский Квантовые измерения и декогеренция , М., Физматлит , 2001

7. Baraban A P, Semykina E A, Vaniouchov M B, Semicond. Sci. Techn. , v.15, N6, 2000,

p.546-550.