Принципы построения и оптимизации модели смесей

однотипных компонентов

Терёшкин Е. В. (teresh@lipetsk.ru)

Липецкий государственный технический университет

На некоторых производствах приходится сталкиваться с составлением и расчетом смесей однотипных компонентов. Ярким примером является мукомольное производство, где формирование зерновых смесей является одним из важнейших этапов технологического процесса и позволяет обеспечить устойчивую работу мукомольного завода, увеличение выработки муки высоких сортов, улучшение ее качества, правильно и равномерно использовать имеющееся зерно.

На сегодняшний день существует ряд различных методов и критериев оптимальности для расчета помольных партий, например, описанных в [1-3, 14]. Общим для всех них является то, что параметры смеси определяются исходя из закона аддитивности как средневзвешенные величины.

Однако, в [1, 4] отмечается, что расчет некоторых характеристик зерновой смеси, среди которых количество клейковины, как средневзвешенных величин дает пессимистический результат .

Таким образом, определение более точной аналитической зависимости значения клейковины смеси от значений клейковины и массовых долей компонентов приведет к возможности рассчитывать помольные партии с большей точностью. А это, в свою очередь, должно способствовать более рациональному использованию сырьевых ресурсов.

Для исследования были использованы промышленные данные, собранные за полгода на ОАО Подгоринский мукомольный завод , г. Липецк. Для анализа использовались значения количества клейковины и массовых долей компонентов и значения количества клейковины смеси, составленной из этих

компонентов. Исследовались только четырехкомпонентные смеси, так как их подавляющее большинство (порядка 80%).

Рассмотрим задачу определения зависимости клейковины смеси от значений клейковины компонентов и их массовых долей более детально. Имеется несколько видов (сортов) зерна. Это зерно смешивают, образуя помольную партию. Обозначим каждый компонент смеси (отдельно взятый вид или сорт зерна) как объект Oi, а помольную партию как объект O. Каждый

объект Ot характеризуется измеряемыми параметрами ki и mi, где ki -

клейковина, а mt - массовая доля i -го компонента смеси. Объект O

характеризуется измеряемым параметром K - клейковиной смеси. Требуется по промышленным данным K, ki, mi определить, как зависит клейковина всей

смеси от клейковины и массовой доли однотипных компонентов смеси, то есть построить функцию регрессии:

K = F (ki, mt). (1)

Однако, учитывая специфику процесса смешивания однотипных компонентов, стандартными методами [5-10, 15-18] регрессионного анализа решить поставленную задачу не представляется возможным. Основной трудностью для параметризации модели является невозможность однозначного ранжирования исходных факторов.

Главной трудностью, с которой приходится сталкиваться при параметризации модели, является невозможность однозначно определить какой из n объектов Oi будет O1,O2...On. Следовательно, нельзя однозначно ранжировать параметры ki и mi и построить модель регрессии, объективно и

математически обоснованно учитывающую особенности описываемого явления.

Рассмотрим особенности процесса формирования зерновых смесей и определим требования, которым должна удовлетворять разрабатываемая модель, для учета этих особенностей.

Главной особенностью рассматриваемого явления является то, что все компоненты смеси одной и той же физической природы и различаются только количественными значениями определенных качественных показателей. В рассматриваемом случае таким качественным показателем является клейковина. Из этого следует заключить, что и природа влияния компонентов на результирующий показатель должна быть одной и той же.

На основании этого факта закономерно предположить, что вклад каждого компонента в значение клейковины смеси определяется массовой долей данного компонента и значением его клейковины, причем структура его математического описания для каждого компонента должна быть одной и той же.

Другой принципиально важной особенностью является то, что вклад каждого компонента в значение клейковины смеси нельзя считать абсолютным . Дело в том, что влияние каждого компонента на значение клейковины смеси определяется не только значением его параметров, но и значением параметров остальных компонентов. Из этого следует, что определение влияния каждого компонента в отдельности не имеет смысла.

Третьей особенностью является то, что число компонентов смеси может быть различным. Поэтому структура модели не должна зависеть от числа компонентов.

На основании перечисленных особенностей формирования зерновых смесей определим требования, которым должна удовлетворять разрабатываемая модель: а) структура математического описания влияния должна быть одинаковой для каждого компонента; б) нужно учитывать влияние каждого компонента не в отдельности, а в их совокупности; в) структура модели не должна зависеть от числа компонентов.

Таким образом, необходимо разработать метод, который позволит учесть перечисленные особенности при построении модели.

В [11] говорится о таких методах преобразования исходных данных, которые подчинены некоторым частным целевым установкам, но не могут быть формализованы в терминах вероятностно - статистической теории. В этих методах процедура выбора целевой установки, подходящей именно для данной конкретной задачи практически не формализована и носит эвристический характер, то есть, как правило, обуславливается лишь опытом и интуицией исследователя.

Одним из таких методов является экспертно - статистический метод построения единого сводного показателя [11]. Он применяется в ситуациях, когда приходится сравнивать между собой и упорядочивать по некоторому не поддающемуся непосредственному измерению свойству ряд объектов.

Так как значения параметров ki и mi каждого объекта, с одной стороны,

тесно взаимосвязаны, а с другой стороны, по отдельности не характеризуют физическую сущность процесса смешивания, то целесообразно будет охарактеризовать каждый объект Oi единым сводным показателем coi.

Поэтому, закономерным шагом будет представить вспомогательный параметр как функцию от реально измеряемых параметров.

со, = f (ki, mt). (2)

Так как все компоненты смеси обладают одной и той же физической природой, то вид функции f (ki, mt) должен быть одинаковым для всех i. В

связи с необходимостью учитывать влияние не каждого компонента в отдельности, а их совокупности, общий сводный показатель должен объединять функции f (ki, mi) для всех i. Формально общий сводный показатель должен

выглядеть следующим образом:

w = F (со,) = F [f (k, mt)] (3)

Таким образом, от модели вида (1) переходим к модели вида

K = G (w). (4)

Так как может быть несколько сводных показателей, то параметр w в формуле (4) в общем случае будет иметь вид: w = (w1,...,w}wp), где p -

число используемых сводных показателей.

Для решения поставленной задачи на основе априорной информации было составлено пять сводных показателей:

w1 = K = V ki * mi

w2 =S

K - k

=S km (5)

i ki

w5 = V ki * cos(mi).

Теперь, используя вспомогательные факторы (5) требуется определить вид функции G(w). В вязи с отсутствием какой-либо информации о виде

искомой зависимости, регрессию будем восстанавливать в классе полиномов. Таким образом, переходим от общей модели (4) к модели вида

K = Pn (w), (6)

где Pn - полином n -й степени от пяти вспомогательных факторов

w = (w w5).

Критерием адекватности будем считать среднее абсолютное

K - к,

отклонение, определяемое как e б = --, где n - число экспериментов.

Так как содержание клейковины измеряется с точностью до 0,1, то и средняя абсолютная ошибка предсказания модели не должна превышать 0,1. Требовать большей точности не имеет смысла.

Так как, вспомогательные факторы являются функциями от одних и тех же измеряемых параметров, закономерно предположить, что они не будут независимыми. Подтверждение тому является приведенная в таблице 1 корреляционная матрица.

Таблица 1.

Парные коэффициенты корреляции вспомогательных факторов

Однако, хотя явление мультиколлинеарности факторов и является нежелательным, в [10, 16] говорится о допустимости таких моделей.

Минимальное значение среднего абсолютного отклонения, равное 0,085, достигается при использовании полиномов 4-й степени (125 членов) и 5-й степени (251 член). Очевидно, что для дальнейшего исследования целесообразно использовать полином 4-й степени.

В процессе исследования была выявлена следующая особенность: минимальное значение среднего абсолютного отклонения наблюдается при разном числе членов, в зависимости от порядка их включения в модель. Возможно, это объясняется взаимным влиянием членов модели на общий результат. Хотя аналитически определить это взаимное влияние не представляется возможным, но, принимая этот факт во внимание, можно уменьшить число членов модели без изменения ее точности. Для этого воспользуемся понятием структуры, описанной в [12]. Подробно процесс

оптимизации разработанной модели описан в [13]. Используя такой подход удалось уменьшить число членов модели с 125 до 80 без ущерба для точности.

На рис. 1 приведено сравнение промышленных значений клейковины смеси со значениями, рассчитанными как средневзвешенные (средняя абсолютная ошибка равна 0,33), а на рис. 2 - со значениями клейковины, рассчитанными с использованием разработанной модели (средняя абсолютная ошибка равна 0,085).

Рис.1. Сравнение промышленных значений клейковины смеси (К) со значениями, рассчитанными как средневзвешенные (Кср).

Рис.2. Сравнение промышленных значений клейковины смеси (К) со значениями, рассчитанными с использованием разработанной модели (Красч).

Теперь определим, какое практическое значение имеет разработанная модель. На рис. 3 приведено распределение использованного зерна (по массе) в соответствии со значениями содержания клейковины для смесей, составленных технологом на мукомольном заводе, и смесей, рецептура которых была рассчитана аналогичным методом, но с использованием разработанной аналитической зависимости.

Рис.3. Распределение использованного зерна (по массе) для смесей, составленных технологом (М), и смесей, рецептура которых была рассчитана с использованием разработанной аналитической зависимости (М2).

Из диаграммы видно, что составление рецептуры помольных партий с использованием разработанной модели позволяет более экономно расходовать зерно с высоким содержанием клейковины. Расчет показывает, что за счет более точного определения зависимости значения клейковины смеси от значений клейковины и массовых долей компонентов в среднем удалось

сэкономить около 6% зерна 3-го класса (содержание клейковины 23% и выше) за счет использования зерна 4-го класса.

Литература

1. Панкратов Г.Н. Научные основы совершенствования технологий мукомольного производства: Дисс. ... д.т.н. - М., 2001.

2. Шаззо А.Ю., Усатиков С.В. Нелинейная оптимизация состава помольных партий зерна по показателям, подчиняющимся закону аддитивности Изв. Вузов. Пищ. Технология, 1998, №4, - С. 47-52.

3. Морев С. Н. Исследование технологического процесса составления помольных смесей зерна с использованием ЭВМ: Автореферат дисс. ...к.т.н. - М., 1975.

4. Егоров Г. А. Управление технологическими свойства зерна. - М., 2005.

5. Айвазян С. А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. -

М., 1985.

6. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: основы моделирования и первичная обработка данных. - М., 1983.

7. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. - М.,

1986.

8. Львовский Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул.

- М., 1988.

9. Крамер Г. Математические методы статистики. - М., 1975.

10. Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. В 2-х кн. - 1982.

11. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности. / Под ред. С.А. Айвазяна. - М., 1989.

12. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. - М.:

Наука, 1979. - 448 с.

13. Терёшкин Е.В. Моделирование биологического эффекта, возникающего при смешивании зерна разного качества Информационные технологии моделирования и управления 2006, №3, с 407-411.

14. Hayta M., Cakmakli U. Optimization of wheat blending to produce breadmaking flour J. Food Process Engg, 2001, Vol. 24, N3, - P. 179-192.

15. Applied regression analysis: a research tool. - 2nd ed. / John O. Rawlings, Sastry G. Pentula, David A. Dickey. - Springer, 2001. - 659 p.

16. Mason R.L., Gunst R.F., Hess J.L. Statistical design and analysis of experiments. - Wiley, 2003. - 752 p.

17. Hardle W., Simar L. Applied multivariate statistical analysis. - 2003. - 488 p.

18. Faulkner L.L., C.R.Rao, G.J.Szekely. Statistics for the 21st century. Methodologies for the future. - M.Dekker, 2000. - 483 p.