Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Подход к описанию

1 2

Подход к описанию динамики неравновесных систем

Сомсиков В.М. (nes@kaznet.kz) Институт ионосферы, Алма-Ата, Казахстан

1. Введение

Возможность построения непротиворечивых физических теорий обусловлена строгой взаимосвязью законов динамики элементов с законами поведения состоящих из них систем. Нарушение этой взаимосвязи свидетельствует о наличии в физических теориях внутренних противоречий. Проблема необратимости, поставленная Больцманом более 100 лет назад - яркий пример таких противоречий [1-4]. Ее суть состоит в том, что необратимость эволюции неравновесных систем не согласуется с обратимостью динамики элементов системы, вытекающей из уравнения Ньютона. Все предлагаемые решения этой проблемы до сих пор вызывают споры [2, 3]. Одна из основных причин такого положения может заключаться в существовании ограничений на область применения формализмов классической механики. К таким ограничениям, прежде всего, относятся требования замкнутости и потенциальности сил взаимодействия систем, использованные при построении формализма Гамильтона [5]. Но в природе все системы открыты, а образование организованных структур обусловлено диссипацией, которая не имеет места в гамильтоновых системах [2, 5]. Этим продиктована необходимость расширения рамок применения аналитических методов механики, путем устранения таких ограничений.

С целью поиска подхода к решению этой задачи, мы изучали динамику систем жестких дисков. В используемой модели силы между дисками непотенциальны [6-7]. Поэтому для их исследования понадобилось так модифицировать канонические уравнения Лагранжа, Гамильтона и Лиувилля, чтобы они были применимы для анализа свойств динамики непотенциально взаимодействующих систем. Модификация этих уравнений заключалась в их выводе из принципа Даламбера при условии, что действующая на выделенную равновесную подсистему сила непотенциальна [7]. С помощью модифицированного уравнения Лиувилля было показано, что непотенциальность сил взаимодействия систем является необходимым условием существования необратимой динамики. Для неравновесных систем жестких дисков это условие выполняется [7].

Но, как известно, фундаментальные силы потенциальны. Поэтому возникла необходимость обобщения результатов исследований дисков на системы потенциально взаимодействующих элементов. Трудность поиска такого обобщения состояла в том, что для этого нельзя использовать канонический формализм классической механики. Нужно было найти такой подход к его построению, который опирался бы только на ее основные постулаты и законы. Этот подход был найден. В его основу положен тот факт, что неравновесные системы могут быть представлены совокупностью перемещающихся относительно друг друга взаимодействующих равновесных подсистем [8]. Учет обмена энергией между подсистемами выполнялся с помощью уравнения взаимодействия подсистем, полученного непосредственно из закона сохранения энергии. Это уравнение включает в себя как параметры динамики отдельных элементов, так и коллективные параметры равновесных подсистем. Поэтому оно позволяет изучать взаимосвязь свойств динамики отдельных элементов со свойствами динамики их систем без использования условия транзитивности системы и вероятностных закономерностей [4]. С его помощью были выявлены важные коллективные свойства систем. В частности, удалось определить природу непотенциальности сил взаимодействия подсистем, обеспечивающих трансформацию энергии их относительного движения во внутреннюю энергию. Опираясь на это уравнение, получены модифицированные уравнения Лагранжа, Гамильтона и



Лиувилля для взаимодействующих подсистем с учетом непотенциальных сил взаимодействия.

Ниже мы последовательно изложим предлагаемый путь расширения рамок формализма классической механики и полученные при этом результаты.

2. Уравнение динамики одной системы

Рассмотрим, как из закона сохранения энергии можно получить уравнения динамики элементов и их системы. Затем, с их помощью получим уравнение для взаимодействующих систем и исследуем некоторые особенности динамики неравновесных систем.

Пусть система состоит из N элементов. При условии однородности времени для энергии E выполняется условие:

dE/dt = 0 (2.1)

В неоднородном пространстве при наличии взаимодействия частиц энергия системы зависит, как от скоростей элементов, так и от их координат. То есть, E = E(r, v), где r, v -совокупность координат и скоростей частиц. В этом случае уравнение (2.1) имеет место только тогда, когда энергия зависит от двух аддитивных частей. Одна часть должна быть функцией скорости, а вторая -координат. Тогда энергию системы можно представить так: E = <р[T(v2) + U (ri )]= const. Чтобы функция <р сохраняла свою постоянную

величину при изменении координат и скоростей, она должна быть линейной. Такая функция путем масштабных преобразований и переходом в нужную систему координат

всегда может быть приведена к виду E = T + U, где T = T (vf ) , vi - скорость i -го элемента, U = U (r) [12]. Величина T -это кинетическая энергия системы, а U -ее потенциальная энергия. Т.о., согласно уравнению (2.1), в неоднородном пространстве должна быть постоянной сумма кинетической и потенциальной энергий системы.

Пусть имеется одна движущаяся элементарная частица с массой m и скоростью v. Тогда ей можно поставить в соответствие кинетическую энергию: T(v2) = mv2/2 и потенциальную энергию U (r), так что при этом полная энергия частицы E = mv2/2 + U (r) = const . В этом случае из уравнения (2.1) будем иметь:

v(mv +dU/ dr) = 0 (2.2)

Уравнение (2.2) это уравнение баланса кинетической и потенциальной энергий. Так как (2.2) должно выполняться при любых значениях скоростей, то иметь место уравнение:

mv = -dU/ dr (2.3)

Это уравнение Ньютона (УН). Оно связывает ускорение частицы с силой, определяемой неоднородностью пространства. Правая часть (2.3) - активная сила. Левая часть -инерциальная сила [5]. Силы равны по величине и противоположны по знаку. Частица движется вдоль градиента потенциальной функции. Работа сил при движении частицы по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю. Поэтому динамика частицы обратима.

Пусть дана система N потенциально взаимодействующих элементов в неоднородном пространстве. Массы элементов примем равными 1. Потенциалы полей элементов во всех точках пространства аддитивны. Поэтому сила, действующая на каждый элемент, равна сумме сил всех элементов и силы, обусловленной неоднородностью пространства. Сила между двумя элементами центральная и определяется расстоянием между ними.

Представим энергию системы в виде суммы кинетических энергий элементов -

TN = Х?=1 mv2 /2, их потенциальных энергий в поле внешних сил - UNv, и потенциальной



энергии взаимодействия между собой UN (rtj ) = X . +1 Xi 1Ujj (rjj), где vi - скорость i -

го элемента; rr r { -r. расстояние между i и j элементами. Т.о., E EN + Uenv

TN + UN + Uenv = const. Производная по времени от энергии имеет вид: E EN + U

0, где En 2>Дтл>. X J-j); Uem Х^Г ; F (ry ) fUvjdr , F/- ) dUenvIfr, . Отсюда (2.1) для системы будет иметь вид:

Обозначим F mv& + X F + Ееш. Тогда (2.1) запишется так: E X viFi 0.

Согласно определению [5], Fi - эффективная сила для i -го элемента. Это равенство

можно трактовать, как ортогональность вектора эффективных сил к вектору скоростей элементов системы [5]. Если на систему не накладывается никаких связей и ограничений, то выполняется условие Fi 0. Действительно, не существует вектора

перпендикулярного ко всем направлениям в фазовом пространстве. Тогда из (2.4) получим:

mvt -XN,1Fj -рГ (2.5)

Это УН для элементов системы в неоднородном пространстве [10]. Видим, что динамика каждого элемента системы определяется суммарным градиентом его потенциала взаимодействия со всеми элементами системы и с внешними силами.

Получим уравнение движения системы как целого во внешнем поле. Известно [12], что движение системы в однородном пространстве характеризуется двумя интегралами энергии - энергией движения центра масс и суммарной энергией движения частиц внутри системы относительно центра масс, которую назовем внутренней энергией системы. Поэтому уравнение (2.4) целесообразно записать так, чтобы в нем энергия была разбита

на эти два интеграла. Для этого воспользуемся равенством: TN XN 1 mv] J2 = (mj2N)Vn +

X j-i+1X 1 vj} (а), где VN = RN =(1/N)Xi 1 г -скорость движения центра масс системы; RN - координаты центра масс системы; vij &. Энергию системы запишем в новых обозначениях: EN = TN + EN, EN TN + UN. Тогда уравнение (2.5) примет вид:

N N N N N N

vnmnvn+xn i+1 x 1 1 vj (m*jiN+pj )=- x; 1 vi Fr (2.6)

где TN = VnMnVn ; Mn mN; EN + &N = v4 (m&j/N + Fj ).

Член TN в (2.6) определяет изменение кинетической энергии движения системы как целого, а член EN - изменение внутренней энергии. Правая часть определяет

изменение энергии системы в результате работы внешних сил.

Перейдем в уравнении (2.6) к обобщенным независимым переменным. Для этого представим скорость движения элементов системы в виде суммы скорости их движения относительно центра масс системы - ~ , и скорости движения центра масс - VN. Т.е.

vi VN + ~ . В этих переменных будем иметь: TN Xi 1 mv2 /2 = (m/2N)VN2 + VNmX - vi

mvi /2. Но так как Xi 1vi 0, то TN = (m/2N)VN + Xi 1 mvi /2. Следовательно,

X,A 1 mvi2/2= (1/2N)XN .+1 XN-mvj . Т.о., кинетическая энергия относительного движения

частиц системы совпадает с их суммарной кинетической энергии движения относительно центра масс. Учтем, что rij ~ =~ -~, где ~,т, -координаты элементов относительно



центра масс системы. Отсюда: un (ry )= UN (~ ) = UN (~ ). Т.е. X j=,+1 vi/i/- ) =

Xf-1 ~ F(ri ), где F = dUNId~ = Xyl-y=1 dUNjdrij . Обобщая соответствующие равенства

для кинетической и потенциальной энергии системы, получим вместо (2.6):

Vn(MnVn + ) + XN=1 m~.(~ + F(~)i) = -XN=1 ~ РГ(R,~) (2.7)

Здесь F0e v = Fienv(R,~) . Уравнение (2.7), определяет баланс энергии системы в

неоднородном пространстве. Из него следует, что работа внешних сил идет не только на изменение скорости системы, как это было бы, если бы (2.7) выводилось непосредственно из УН, но и на изменение ее внутренней энергии.

Учтем, что Fenv = Fenv (R + ~) , где R расстояние от источника силы до центра масс

системы. Пусть имеет место неравенство R >> ~. Тогда силу Fenv можно разложить по малому параметру. Сохраняя в разложении члены нулевого и первого порядка малости, запишем: Fenv = Fenv + (V- Fenv) ~ = + (V- Fenv)00 ~. Принимая во внимание, что

Xi=1 ~ = Xi=1 ~ =0 и Xi=1 F7 = 7 = FT, будем иметь:

Vn(MnV&n + Fr) + XN=1 m~i(~ + F(~)i) * -(V-Fenv)10X ~ ~ , (2.8)

Сила F0env зависит от R и является потенциальной. Правая часть имеет первый порядок малости, так как, несмотря на условие R >> ~ , величины ~ = ~ не малы.

Если (V-Fenv)i0=0, т.е. внешнее поле однородно, то в (2.8) переменные разделяются, и мы будем иметь два УН:

MnVn =- F0env (2.9), m~ =-F (~) t (2.10)

Уравнение (2.9) это уравнение движения системы как целого во внешнем поле [10], а (2.10) - уравнение движения элементов системы [11, 12]. Из них следует, что в однородном внешнем поле меняется только T tr , а E ins сохраняется. Изменение

определяется только внешними силами и не зависит от сил между элементами. Система эквивалентна элементарному телу с массой, равной сумме масс частиц. Движения элементов системы не зависит от внешнего поля, и определяются только силами из взаимодействия.

Т.о., если в (2.1) энергию частиц представлять в виде внутренней энергии и энергии движения их системы как целого, то удается получить уравнение, характеризующее взаимосвязь динамических параметров элементов с коллективными параметрами их систем.

3. Уравнение взаимодействия двух подсистем

Анализ динамики систем, путем их разбиения на подсистемы, в рамках аналитических методов механики сталкивается с принципиальной трудностью, так как эти методы основаны на использовании обобщенных координат. Поэтому такое разбиение приемлемо только для изучения равновесных систем [4, 5, 12]. Но оказывается, что, представив энергию подсистем в виде внутренних энергий и энергий их относительного движения, удается получить уравнение динамики с разделенными независимыми переменными.

Замкнутую неравновесную систему можно представить совокупностью перемещающихся относительно друг друга равновесных подсистем [8]. Тогда коллективные свойства системы будут отображаться характером преобразования энергии между подсистемами.



Пусть система состоит из двух взаимодействующих равновесных подсистем - L и K. Роль внешних сил для одной из подсистем будут играть силы ее взаимодействия с элементами другой подсистемы. Это эквивалентно тому, что правая часть уравнения (2.4) для одной подсистемы определяется силами со стороны другой подсистемы. Пусть все элементы будут одинаковыми и иметь массу 1, причем L - число элементов в L

подсистеме, а K - в K -подсистеме, т.е. L + K = N. Vl = (1/L)X=1 vi и Vk = (1/K)X=1 v, -это скорости подсистем относительно центра масс системы. Пусть центр масс системы покоится, т.е. и LVL + KVK =0. Представим энергию системы так: EN = EL + EK +Umt = const, где EL и EK энергии подсистем, а Umt - энергии их взаимодействия. Согласно (2.6), энергию каждой подсистемы можно записать так: EL = TLr + E , EK = TKr + Ens, где = LmVl /2, T=r = KmV2 /2, а Eins - внутренняя

нергия E состоит из кинетической энергии движения элементов относительно центра масс - Tms, и энергии взаимодействия - Ums, т.е. Eins = Tins + Ums, где

Ur = XLh=,+1XtX* ), Ur = XK==k+1 X===1 UiKJK Ks,). Энергия Umt определяется

так: Uint = X= =1 XLj=1UjIjK(rLL=K). Субиндексы s=,jL,i=,iL определяют принадлежность элементов к соответствующей подсистеме. В равновесии Ttr =0. Следовательно, при стремлении системы к равновесию, энергия T tr каждой подсистемы должна

трансформироваться в ее внутреннюю энергию.

Уравнения динамики L и K подсистем выводится так. Дифференцируем энергию системы по времени. Чтобы получить уравнение для L - подсистемы, слева в полученном выражении оставляем только те члены, которые определяют изменение кинетической и потенциальной энергии взаимодействия между собой элементов L -подсистемы. Справа соберем все остальные члены. Объединим их так, чтобы каждая группа содержала члены с идентичными скоростями. Согласно уравнению (2.5), члены, содержащие скорости элементов K -подсистемы, исчезают. В правой части остаются только члены, определяющие изменение потенциальной энергии взаимодействия элементов L -подсистемы с элементами K -подсистемы. Аналогично получим уравнение для K -подсистемы. Будем иметь:

X vL mv, +XL X-1 vL L Fi L =-XL vL F= = (3.1)

XK v= mv= +X= X -1v = F= = =X= v= FL (3.2),

где FK ( R= , rh )= X=K=1 , Fl ( RL , r= )= X =1 F4h , R= = (1/K)Xl =1 rK , R = (VL)Xll =1 rL

F LK , FjLK - это силы, между соответствующей частицей одной подсистемы со всеми частицами другой подсистемы. Их работа определяет изменение энергии подсистем.

Представим в (3.1, 3.2) скорости элементов так vi = ~ + V. Тогда используя равенство (а), вместо (3.1, 3.2) будем иметь:

VL [MlVl +Ч>] + +1 XI-1 [m\JL + F1 ]} = -ф (3.3)

v= -4<] + X ==+1X[mWK + F=s= ]} = Ф= (3.4)

Здесь = X L=1 F=, ф l =XLl=1 ~lf= , ф = =XK=~s=FL:, Lm = Ml , Km=M=.

Назовем (3.3, 3.4) уравнениями взаимодействия систем (systems interaction- SI) [9]. Подсистемы L и K можно рассматривать, как структурированные частицы.

В левых частях первые члены SI определяют изменение энергии движения подсистем - T tr , а вторые - их внутренних энергий - Eins . Все активные силы, входящие в



левые части, могут быть выражены через градиент от скалярных функций. Т.е. сила V является потенциальной частью силы взаимодействия подсистем. Так как подсистемы равновесны, то *¥ центральная сила и зависит от расстояний между их центрами масс, т.е. vp = vp (), где rLK RL - RK . Ее работа определяет изменение скоростей подсистем.

Работа сил, входящих в правые части SI, обусловлена движением элементов относительно центра инерции одной подсистемы в суммарном поле сил другой подсистемы. Эти силы преобразуют энергию движения подсистем в их внутреннюю энергию. Как и в случае движения системы в неоднородном внешнем поле (см. уравнение (2.8)), при RL >> ~l , RK >> ~k эту работу можно оценить путем разложения силы в ряд

Тейлора. В общем случае эти силы непотенциальны и не могут быть градиентом скалярной функции.

4. Некоторые свойства динамики взаимодействующих подсистем

SI определяет баланс T tr и E n . Энергия T tr характеризует неравновесность системы, в то время, как E n характеризует ее степень равновесности. Правая часть SI

определяет скорость преобразования одного типа энергии в другой. Известно, что статистические закономерности равновесных систем полностью определяются одним интегралом энергии [8]. Согласно SI, для описания неравновесных систем, энергию

и E . Т.е. неравновесные системы характеризуются уже двумя

интегралами энергии. Так как SI содержит в себе параметр, характеризующий меру неравновесности системы, оно позволяет изучать эволюцию системы к равновесию.

Опираясь на SI, рассмотрим несколько важных случаев динамики систем.

Пусть vp =0, VL VK 0. В этом случае первые члены SI равны нулю. Система

равновесна. Ее полная энергия равна сумме внутренних энергий подсистем. Систему можно рассматривать, как совокупность невзаимодействующих подсистем. Это было использовано Гиббсом при создании статистической механики равновесных систем [4,8].

Пусть теперь скорости элементов относительно центров масс их подсистем равны нулю и не меняются при взаимодействии подсистем (это приближение твердого тела). Тогда правые части, а также вторые члены левой части SI равны нулю, а SI преобразуется в УН для двух твердых тел.

Представим п.ч. (3.3, 3.4) так: Ф l 1 Ф Ч (RK , ~l , ~ ), Ф K XKlK 1 Ф K (RL , ~к , ~к ).

Если размеры подсистем много меньше расстояний между ними, то ФL (RK )~1L

fKX 1 ~ 0 и фк*xu к(rl)tik кxk~j, 0. в этом случае (33,34) -

уравнения для двух твердых тел, что соответствует однородности внешнего поля сил.

Учтем что vi VN + ~ и Xl 1 =(VL)Xll il +1 XL-11 mvLjLv4jL ; UL = Х-, 1 FiL\ =

XL]L 4 +1 ХГ 1 FLjiv4jL , FL Xj fULJ f~l . Тогда (3.3, 3.4) примет вид:

VL [MlVl +Ч ]+ ET -Ф l (4.1), Vk [MkVk-V ]+ ET Ф k , (4.2)

где E,ns = XL 1 ~ (m~ + F ), Eins = ~ (m~ + F ).

Введем в уравнения (4.1, 4.2) обозначения: FL -V - Fdls, FK -V - Fds, где (ELns +Фl)/ vj, Fdls -VK (ET -ФK )/ VK2. Тогда их можно будет записать так:

MlVl -V - aLVL (4.3), MkVk -V - aKVK (4.4),



где коэффициенты aLK =- (Eins= ±ФLK)/ Vl2= - отношение поглощаемой в единицу

времени энергии движения к полной кинетической энергии соответствующей подсистемы. Т. о, силы взаимодействия подсистем разбиваются на потенциальную и непотенциальную части, а а соответствует коэффициенту трения. Непотенциальная часть силы эквивалентна диссипации. Уравнения (4.3, 4.4) можно трактовать, как уравнения взаимодействия структурированных частиц с внутренними степенями свободы. В них T tr трансформируется, как в потенциальную энергию относительного движения такой частицы, так и в E ns .

Выполним в уравнениях (4.1, 4.2) замену: Vl = KVLK /N, V= =-LVLK /N, где Vlk = RLK = Vl - V= . Так как центр масс системы неподвижен, то получим:

Vl= (MrVlk +)+ ELn + EE=ns = ф (4.5)

Здесь Mr = mKL / N, Ф = -Ф L +Ф = .

В уравнение (4.5) первый член определяет изменение Ttr . Второй и третий члены определяют изменения Eins. Правая часть (4.5) определяет изменение Eint . Очевидно, что

для равновесной системы нет относительного движения подсистем и нет изменения их энергии. Тогда первый член и правая часть (4.5) равны нулю. Получаем два независимых уравнения, определяющих движения элементов подсистем относительно их центров масс. E подсистем монотонно увеличивается за счет энергии T . Т.е., происходит

монотонное убывание относительных скоростей подсистем. Поясним это.

Пусть дана равновесная система. Разделим ее на подсистемы. Из условия равновесности системы следует, что относительные скорости подсистем, а также силы между ними равны нулю. Но при отсутствии внешних сил к подсистеме, она не может начать двигаться. Действительно, в этом случае возникновение движения подсистемы было бы возможно только за счет ее внутренней энергии. Но это исключено вследствие закона сохранения импульса подсистемы. Т.е. если система в какой-то момент стала равновесной, то при отсутствии внешних сил она останется в равновесном состоянии.

Пусть теперь неравновесная система представляет собой две движущиеся равновесные подсистемы. Тогда относительная скорость подсистем не может увеличиться за счет энергии их взаимодействия, так как эта энергия сама определяется их относительными скоростями. Как и в предыдущем случае, скорость относительного движения подсистем не может увеличиться за счет внутренней энергии равновесных подсистем.

Т. о., SI характеризует движение системы к равновесному состоянию в результате перехода энергии относительного движения подсистем во внутреннюю энергию. В случаях, когда можно пренебречь изменением внутренних энергий подсистем, SI сводится

5. Уравнения Лагранжа, Гамильтона и Лиувилля для взаимодействующих

Канонические уравнения Лагранжа, Гамильтона и Лиувилля, следуют из интегрального принципа Гамильтона [5]. В свою очередь, интегральный принцип Гамильтона вытекает из дифференциального принципа Даламбера при условии потенциальности активных сил. Уравнение Даламбера строится исходя из УН. Вариации работы активных сил взаимодействия элементов равны вариациям работы сил инерции элементов.

Если система равновесна, то использование УН для вывода принципа Гамильтона оправдано. Действительно, при равновесии нет относительного движения подсистем, их



внутренняя энергия не меняется, SI для подсистемы совпадает с суммой УН для ее элементов и уравнение Лагранжа можно выводить, как на основе УН, так и SI.

Но для неравновесных систем уравнение Лагранжа следует выводить, опираясь на SI, так как неравновесность эквивалентна неголономным связям, определяющим перераспределение энергий между подсистемами. Действительно, динамика неравновесной системы определяется неоднородным уравнением (4.5). Правые члены (4.5) являются внешними полигенными силами. Воспользовавшись вариационными методами исчисления, а также методом неопределенных множителей Лагранжа, эти силы можно преобразовать в неголономные связи, сведя, тем самым, уравнение (4.5) к однородному. Тогда задача сведется к описанию равновесной системы с неголономными связями. Если же уравнение Лагранжа выводить с помощью УН, то эти связи останутся неучтенными. Причина заключается в том, что УН не учитывает изменения внутренних энергий подсистем, обусловленное непотенциальными силами. Т.о., уравнения Лагранжа, Гамильтона и Лиувилля для неравновесных систем необходимо выводить, опираясь на SI.

Пусть дана приготовленная неравновесным образом замкнутая система, состоящая из N элементов. Представим ее совокупностью R перемещающихся относительно друг друга равновесных подсистем. Предположим, что R =2. Получим уравнения Лагранжа, Гамильтона и Лиувилля, опираясь на SI.

Принцип Даламбера утверждает, что виртуальная работа эффективных сил, включающая в себя силы инерции и активные силы, для всех обратимых виртуальных перемещений, совместимых с заданным типом ограничений, равна нулю [5]. Для нашего случая замкнутой неравновесной системы этот принцип будет звучать так: виртуальная работа всех сил взаимодействия равновесных подсистем, совокупностью которых представлена замкнутая неравновесная система, равна нулю .

Силы, определяющие перераспределение энергии в равновесной системе состоят из инерциальных сил движения элементов и сил их потенциального взаимодействия. Динамика подсистем определяется силами их взаимодействия, содержащих потенциальную и непотенциальную части. Если на систему не наложено внешних ограничений, то виртуальные перемещения элементов и подсистем можно совместить с реальными перемещениями [5]. Так как виртуальная работа всех сил определяется уравнением (4.5), то:

SWlk =5Rlk (MRVLK + V) + Х^ А К + FL )+ Xl 1Ук (m~iK + FK ) + XL 1

-Хкк 1 К ук =0 (5.1).

где SriL - виртуальное перемещение iL -го элемента L -подсистемы; УГ1к - виртуальное

перемещение iK -го элемента K - подсистемы; 5RLK - относительное перемещение подсистем. Это уравнение Даламбера для неравновесной системы.

Первые три члена в (5.1) определяют виртуальные изменения энергий подсистем. Последние два члена определяют виртуальную работу по перемещению элементов одной подсистемы, в поле сил элементов другой подсистемы. Т. е. они определяют изменение внутренних энергий подсистем. Черта над 5W означает, что это просто дифференциальная форма, которая не сводится к вариации от скалярной функции.

Преобразуем уравнение (5.1), умножив его на dt и проинтегрировав по времени в интервале t t1 до t t 2 . В результате получим:

£ WLKdt = f{(MRVLK +VWlk .К + FL У*,. + XKK 1(mTTlK + FK )STK + Х-, 1 FlS~i

-Хкк 1 } dt=0 (5.2)



Первые три члена перепишем так: К/[Х^ MRVL=/2 + ULK]dt -[XL=1 MrVlk5Rlk;

к(2[х;=1 к/2+ul]dt-[xll=1 чк];2; i;2[x=k=1 m~2/2+u= ]dt -[x=k=1 m~i=к];2.

Последние два слагаемых в (5.2) не являются полными дифференциалами от какой-либо скалярной функции. Т.е. активные силы взаимодействия подсистем в общем случае нельзя представить в виде градиента от силовой функции. Такие силы называют полигенными.

Потребуем [5], чтобы на концах интервала t1 ч-12 виртуальные перемещения обращались в ноль. Тогда уравнение (3.2) можно переписать так:

8S = f 5W=Kdt = f{XN=1[d/dt53/dv, -дЗ/un + Fn }Srndt (5.3.)

Здесь S -действие, 3 =X =1[mv2/2 + Un ]-Лагранжиан, Fn = - F= . Пользуясь

тем, что все переменные являются независимыми, мы для упрощения перешли от индексации по подсистемам к сквозной индексации для элементов всей системы, соблюдая при этом соответствие новой индексации с принятой в уравнении (5.2).

Т. о., действие неравновесной системы складывается из членов, описывающих динамику подсистем как целого, внутреннюю динамику элементов подсистем и члена, описывающего взаимодействие подсистем.

Из условия независимости обобщенных переменных следует, что

d/dt {d3/dvn)-d3/dvn =-Fn (5.4)

Это искомое уравнение Лагранжа для неравновесной системы.

При отсутствии относительного движения частиц внутри подсистем, а также при условии равновесности системы, работа непотенциальных сил равна нулю. В этих случаях правая часть (5.4) равна нулю. Тогда уравнение Лагранжа становится каноническим.

Уравнения (4.1) и (4.2) выводились независимым друг от друга образом из условия равенства нулю суммарного изменения энергии системы. Это позволяет сразу написать уравнение Лагранжа для каждой из подсистем.

d/dt (33l/3v1l )-d3LjdriL = - F= , d/dt (33=/dviK)-33=/driK = FL (5.5)

Здесь 3L и 3 = - функции Лагранжа для подсистем.

Перейдем от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона. Дифференциал для 3 имеет вид: d3 = Xf=1( 3/5vn dvn + S3/drn drn) + 33/dt dt. Используя преобразование

n=1 4 n n I n n

Лежандра, получим: dPnvn -3] = Xf=1[vndpn - (d3drn )drn] - (d3dt)dt. Так как. ddt = - dH/dt, где H = d[Xf=1 Pnvn - 3], то будем иметь:

dH/drn =-pn - Fn (5.6); dpn = vn (5.6)

Это уравнения Гамильтона для неравновесной системы. Соответствующая составляющая непотенциальной части силы взаимодействия подсистем вошла в правую часть уравнения (5.6) аддитивно с компонентой потенциальной силы взаимодействия. Аналогичным образом могут быть получены уравнения Гамильтона для подсистем.

Получим уравнения Лиувилля для подсистем и для всей системы. Возьмем обобщенный вектор тока L -подсистемы в фазовом пространстве JL = (vn, pn). Из

уравнений Гамильтона следует (здесь индекс n соответствует только частицам L -подсистемы):

divJL = XL=1( dvjdr +dpjdpn) = -XL=1 dFn=/dpn (5.7)

Дифференциальной формой закона сохранения числа элементов является уравнение непрерывности: d/L/ dt + div(fLJL ) = 0, где fL = fL (r, p, t)-нормированная функция распределения элементов L - подсистемы. Из уравнений непрерывности и (5.7) имеем:



d/Jdt = d/Jdt + Xn=1 (vn d/jdrn + pn d/Jdpn) = d/Jdt + div(/lJl ) - fLdivJL =

- fLdivJL = fL Xn=1 dFn=/dpn . Т.о., модифицированное уравнение Лиувилля имеет вид:

d/Jdt = fL XL=1 dFn=/dpn (5.8)

Из (5.8) получаем функцию распределения для L подсистемы:

/l = const exp j{XL=1 dFn=/dpn }dt; (5.9)

Отсюда следует, что функция распределения подсистемы зависит от времени, если действующая на подсистему сила зависит от скоростей ее элементов.

Если неравновесная система представлена совокупностью равновесных подсистем, то ее функцию распределения может быть представлена произведением функций распределения подсистем. В данном случае функция распределения системы равна: fN = fLf= . Отсюда, зная функции распределения подсистем, получим:

d/f/dt = /=/l dFjdpn = ff dFjdpn . (5.10)

Наличие правой части в (5.10) при отсутствии внешних сил обусловлено тем, что мы определили функцию распределения системы через функции распределения подсистем, в энергию которых не входит энергия их взаимодействия. Правая часть (5.10) будет отлична от нуля до тех пор, пока энергия взаимодействия подсистем не перейдет в их внутреннюю энергию. Если функцию распределения системы определять исходя из задания скоростей ее элементов относительно центра инерции системы, то, как в равновесном, так и в неравновесном случаях, для нее будет справедливо каноническое уравнение Лиувилля. Т. о, используемое определение функции распределения позволяет принять во внимание ограничения на динамику, обусловленные неравновесностью системы. Это определение согласуется с определением энтропии неравновесной системы, [8]. Энтропия системы определяется энергиями относительного движения подсистем [9].

Т.о., уравнения SI и модифицированные уравнения Лиувилля, Лагранжа и Гамильтона, описывают эволюцию системы к равновесию.

6. Заключение

Неравновесная система представляет собой совокупность перемещающихся равновесных подсистем. Их динамика описывается не УН, а SI, так как SI учитывает преобразование энергии относительного движения подсистем в их внутреннюю энергию.

Согласно SI, динамика подсистем, в отличие от динамики элементов, не симметрична относительно обращения времени. Это обусловлено монотонным увеличением внутренней энергии подсистемы за счет энергии их относительного движения в результате работы непотенциальных сил взаимодействия подсистем. Обратный процесс невозможен из-за невозможности увеличения полного импульса подсистемы за счет энергии ее частиц. Т.о., сущность непотенциальности сил обусловлена тем, что коллективные силы взаимодействия подсистем содержат непотенциальную часть.

Из SI вытекает механизм необратимости. Замкнутая, неравновесным образом приготовленная система представима совокупностью перемещающихся относительно друг друга равновесных подсистем. Энергия их относительного движения, в результате работы непотенциальной части сил между подсистемами, необратимо трансформируется в их внутреннюю энергию. В результате система приходит к равновесию, характеризуемому отсутствием относительного движения подсистем. Первый закон термодинамики следует из того, что работа сил взаимодействия подсистем изменяет как энергию их движения, так и их внутреннюю энергию. Второй закона вытекает из условия необратимой





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.