Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Математическое моделирование волны

1 2

Математическое моделирование волны термоядерного горения при ИТС, инициированной несферическим смещённым относительно центра

мишени игнитором

Самарский А.А.(1), Губинская Н.Б.(2), Гуськов С.Ю. (3), Демченко В.В. (4), Змитренко Н.В.(1), Ильин Д.В. (2), Левковский А.А (2), Розанов В.Б. (3), Шерман В.Е.(8иегтап@У88325.8рЬ.е(Си) (2)

(1) Институт математического моделирования РАН (2) Санкт-Петербургский институт машиностроения (ВТУЗ-ЛМЗ) (3) Физический институт им.П.Н.Лебедева РАН (4) Московский физико-технический институт (государственный университет)

1. Введение

Разработанный ранее авторами кинетико-гидродинамический программный комплекс ТЕРА [1] предназначен для математического моделирования кинетики энерговыделения и волны горения в мишенях при инерциальном термоядерном синтезе (ИТС). Входящий в его состав блок гидродинамики плазмы лазерной мишени рассчитывает временную эволюцию сферически симметричной DT - плазмы в переменных Лагранжа в одножидкостном двухтемпературном приближении.

В последнее время большое внимание уделяется двухстадийному процессу инициирования волны термоядерного горения в DT топливе (fast ignition) [2-4], при котором вначале формируется область высокоплотной, но относительно холодной плазмы, а затем внутри неё при помощи дополнительного энергетического импульса образуется высокотемпературная подобласть, называемая игнитором. Такой подход позволяет существенно снизить требования к профилированию и стабильности основного лазерного импульса, мало изменяя при этом коэффициент усиления мишени.

Рассматриваются различные механизмы создания игнитора: с помощью потока быстрых электронов, образующегося при воздействии на вещество лазерного излучения, в исходной работе [5], с использованием пучков многозарядных ионов [6], с помощью пучка протонов, ускоренных лазерным импульсом релятивистской интенсивности в специальной мишени, расположенной в непосредственной близости от ТЯ мишени [7]. Как правило, при использовании любой схемы быстрого поджига



форма игнитора и основной плазмы мишени перестает быть сферически симметричной, что может сказаться на эффективности выгорания ТЯ топлива, в частности увеличить критическую энергию игнитора, необходимую для поджига мишени. Систематическое изучение этих эффектов до настоящего времени не проводилось. В связи с этим возникла необходимость разработки дополнительного двумерного гидродинамического блока для расширения возможностей программного комплекса ТЕРА при моделировании кинетики энерговыделения в схеме быстрого поджига. Представленная работа посвящена разработке и тестированию такого блока на примере оценки влияния несферичности и нецентральности игнитора в конкретной мишени.

2. Физическая и математическая модели

Рассматривается задача термоядерного горения плотной осесимметричной высокотемпературной дейтериево-тритиевой плазмы. Как и ранее в программе ТЕРА используется гидродинамическое одножидкостное двухтемпературное приближение, включающее процессы электронной и ионной теплопроводности, электрон-ионной столкновительной релаксации и выделение энергии за счёт термоядерных реакций. На первом этапе разработки 2D гидродинамического блока программы ТЕРА с целью выявления в чистом виде эффектов, связанных с несферичностью и смещением игнитора относительно центра мишени, мы ограничиваемся приближением локального термоядерного энерговыделения: энергия а - частиц локально передаётся электронной составляющей плазмы, а нейтроны не взаимодействуют с веществом мишени и свободно её покидают. В дальнейшем предполагается совместное использование нового гидродинамического модуля и кинетического блока расчета переноса энергии термоядерными частицами по методу Монте-Карло программного комплекса ТЕРА. С этой целью математическое моделирование гидродинамики плазмы с самого начала происходит в переменных Эйлера.

Исходная система уравнений включает уравнение непрерывности для массы (1), законы сохранения для радиальной (2) и тангенциальной компонент импульса (3), законы сохранения для полной энергии плазмы (4) и ее ионной составляющей (5), и в переменных Эйлера (r,#) сферической системы координат имеет следующий вид [8]:



dp 1 d(r2pU) 1 d(sin 9рV) п

- + ------ +------- = 0 (1)

dt r dr r sin 9 д9

dpU + J d[r2(pU2 + P)] + 1 d(sin 9pUV) = 2P dt r2 dr rsin 9 d9

dpV + J d(r2 pUV) + 1 d[sin 9(pV2 + P)] = cos 9P dt r2 dr rsin 9 d9 rsin 9

dpE + J d[r2U(pE + P)] + 1 d[sin 9V(pE + P)] dt r2 dr rsin 9 d9

J d[(We)r] + d[sin 9(We)9 ] + J d[r2(Wi)J + d[sin 9(Wi)9 ]

r2 dr rsin 9 d9 r2 dr rsin 9 d9

psL + 1 d(r2Upsi) + 1 d(sin 9Vpsi) + 1 d(r2U) + 1 d(sin 9 V) ] = dt r2 dr rsin9 d9 i r2 dr rsin9 d9

= Q (T T) +1 d[r2(Wi}r] + J d[sin9(Wi)9]

ei e i 2

r dr rsin 9 d9 где p - плотность; U - радиальная компонента скорости; V - тангенциальная

компонента скорости; si - ионная удельная внутренняя энергия; se - электронная

удельная внутренняя энергия; E = se+ si + (U2+V2)/2 - полная удельная энергия;

P=(y-1)p( se+ Si) - давление; у=5/3 - показатель адиабаты; Pi=(y-1)psi - ионное давление;

We,i - тепловые потоки за счёт электронной и ионной теплопроводности:

We = kegradTe

Wi = kigradTi , где Te, Ti соответственно электронная и ионная температуры.

Коэффициенты электронной и ионной теплопроводности с учетом вырождения электронного газа имеют вид [9]:

1 1 2 :

Э ... m5/2

эрг

9.83 * 1019 * T52

k1 =------- [--]

ln Aei см * с * кэВ

k = 2.54716 *1017 * p*Te [ эрг 2 ln Л F см * с * кэВ

T2 + 8 862 *10 5 * p4/ 3 (6)

ln Л.,= 0.5ln[1 + 3.59*104 * Te + 8 862 10-p-];

ln ЛF = ln[1 + 5.27 * (0.39 + 51* T /(p)1/3];

эрг

ln Л t = 0.5ln[1 + 4.3993*104 * Tt 3/ p];

k. = 2.51967 *1018 *(T.)5/VlnЛ. [-i--];

см * с * кэВ



Qei - коэффициент электронно-ионного обмена:

Qei = 5.63*1024 3/2Р *lnЛei 3 [ 3 эрг ]; (7)

ei Te3/2 +1.262*10-3 р см3* с * кэВ

Qtn - локальное энерговыделение за счёт передачи энергии электронам от термоядерных а - частиц [10]:

(1 + 0.0208Т1/3 + 0.142Т2/3 + 0.0207T + 0.0149Т4/3 + 0.00553Т5/3)

QTN = 2.22*1029 р2

r2/3exp - 1T9I-0.00579T21 + 0.254*(1 + 0.012T)T-3/2 expf-65

см * с

В выражениях (6) -(8): [Ti ] - кэВ , [Te ] - кэВ , [р] - г/см3.

3. Метод решения задачи

В представленной выше системе уравнений, можно выделить две основные части: во-первых, квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка, имеющие в линейном приближении гиперболический тип, связанные с описанием высокотемпературной плотной плазмы как сплошной среды, в которой выполняются три основных закона сохранения: массы, количества движения и полной энергии; во-вторых, уравнения, имеющие в линейном приближении параболический тип, обусловленные процессами электронной и ионной теплопроводности. Эти уравнения имеют различные характеристические свойства, и для них эффективны различные схемы численного решения. Поэтому для решения исходной системы уравнений применён метод расщепления по физическим процессам, когда в течение одного временного шага отдельно и последовательно учитываются различные по своей физической природе наблюдаемые явления.

Такой подход позволяет, с одной стороны, для каждой из подсистем уравнений выбрать наиболее эффективный метод численного решения, а, с другой стороны, не нарушает на каждом полном временном шаге таких важных свойств конечно-разностных задач, как аппроксимация и устойчивость, что при стремлении временного интервала к нулю гарантирует сходимость численного решения в выбранном конечномерном пространстве к следу решения исходной системы уравнений с частными производными.

Для решения гиперболической части исходной системы уравнений, записанной в форме Эйлера, используется явный численный метод первого порядка точности по пространственным и временной переменным, который основан на вычислении гидродинамических величин в точках пересечения характеристик с нижним



временным слоем с помощью интерполяции по значениям этих параметров в узлах разностной сетки [11]. Схема является двухслойной по времени, шаблон состоит из шести точек, пять из которых расположены на известном нижнем слое в виде креста (для пространственно двухмерной декартовой системы координат), а шестая - над центральной точкой креста на верхнем неизвестном временном слое.

Необходимое условие устойчивости состоит в требовании, чтобы характеристики, выпущенные из верхней точки шаблона по разным пространственным направлениям и продолженные до пересечения с предыдущим временным слоем, пересекли его внутри шаблона и не выходили за его границы. На основании этого условия выбирается временной шаг для перехода с известного нижнего временного слоя на верхний, который определяется как минимальное значение временного шага по всем пространственным узловым точкам сетки для рассматриваемого момента времени. Схема тестировалась на различных гидродинамических задачах, имеющих аналитическое решение, и во всех случаях наблюдалась сходимость численных решений при измельчении сетки к следу точного решения дифференциальной задачи

[12].

Для решения параболической части исходной системы уравнений, связанной с процессами электронной и ионной теплопроводности, был применён метод расщепления по пространственным направлениям с итерациями по нелинейным коэффициентам теплопроводности, (см., например, [13], [14]). Оператор Лапласа в параболической подсистеме разбивается на две части в соответствии с пространственными направлениями и вторые частные производные по ним аппроксимируются по трём точкам на верхнем слое. Коэффициенты теплопроводности вычисляются по значениям температуры, взятым с последней выполненной итерации. В результате разностная задача представляет собой систему линейных уравнений с трёхдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки. Диагональное преобладание как условие устойчивости выполнено. Затем аналогично всё повторяется для другого пространственного направления и этим завершается одна итерация. После этого по всем пространственным узловым точкам для данного момента времени сравниваются значения температуры на двух последних итерациях. Если их разность составляет меньше процента, то переходят к следующему временному слою, если нет, то делают ещё одну итерацию и так до тех пор, пока разность по всем узловым точкам не будет превышать одного процента. Как правило, для сходимости требуется не более двух итераций. Метод имеет второй порядок



точности по пространственным переменным и первый по времени и является безусловно устойчивым при замороженных коэффициентах.

Процесс электрон-ионной релаксации учитывается после теплопроводности по итерационной схеме, когда разность электронной и ионной температур берётся с верхнего слоя, по времени релаксации осуществляются итерации до сходимости численного решения. Для окончания итерационного процесса требуется не более одной-двух итераций.

4. Результаты численного моделирования

В качестве базового варианта для оценки влияния несферичности игнитора была выбрана однородная сферическая DT мишень с внешним радиусом Я=300мкм и плотностью р=100 г/см3 (рЯ=3г/см2). Ранее возможность быстрого поджига такой мишени центральным сферическим игнитором подробно исследовалась с помощью программного комплекса ТЕРА [15]. Было показано, что существует минимальная энергия игнитора Eig, необходимая для эффективного поджига мишени, зависящая только от температуры мишени. При температуре мишени T = 1 кэВ минимальная энергия поджига составляла Eig 20кДж, соответствующие оптимальные параметры игнитора rig = 35 мкм, Tig=10 кэВ. Учитывая, что несферичность игнитора безусловно должна ухудшить показатели поджига, в настоящей работе энергия базового сферического игнитора была выбрана с небольшим запасом, при том же радиусе температура игнитора была увеличена: Tig=12 кэВ, Eig25 кДж.

Радиус области интегрирования равнялся 1200 мкм. Пространство между внешними границами мишени и области интегрирования было заполнено малоплотной р = 10-2 г/см3 и относительно холодной (T = 10-2 кэВ) DT плазмой. На внешней границе области интегрирования ставились условия, отвечающие разреженной среде: плотность р = 10-3 г/см3, температура T = 1 эВ. Считалось, что в начальный момент плазма покоится.

Несферический, смещенный относительно центра игнитор имел форму полуэллипсоида вращения той же температуры и объема, а, следовательно, массы, и энергии, что и в сферически симметричном случае, с соотношением между малой и большой полуосью 1:8. При этом ось симметрии полуэллипсоида вращения совпадали с осью сферической системы координат, центр плоской круговой грани находился в центре системы координат, а сама грань принадлежала плоскости (г,ф) сферической системы координат с 9=90°.



Как было показано ранее [15], при сферическом игниторе с энергией выше критической энергии поджига картина ТЯ горения практически не зависит от параметров игнитора. Процесс формирования ТЯ вспышки длится несколько десятков псек, после чего мишень выгорает и разлетается за время порядка 200 псек. Общее количество образующихся нейтронов составляет Nn ~ 2.8*1020, что соответствует примерно 20% выгоранию ТЯ горючего в близком согласии с полученным в [15] выражением для степени выгорания g: g (pR) 2/3 / 7.9 . Максимальная мощность термоядерного горения наступала вблизи 100псек и составляла ~6*1030 нейтронов/сек. График зависимости числа термоядерных нейтронов от времени для данной мишени приведён на Рис.1.

N (1020)

t, нс

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Рис.1. Зависимость числа термоядерных нейтронов от времени для мишени со сферически симметричным центральным игнитором.

По-другому развиваются физические процессы, для игнитора, имеющего форму вытянутого полуэлипсоида с соотношением полуосей 1:8. В этом случае наблюдается активное перемещения плазмы за фронтом волны, образующейся после распада разрыва, от участков с большей кривизной фронта в сторону более гладких. Это приводит к временному снижению скорости ТЯ реакций в мишени от начального значения ~ 5.5*1027 нейтронов/сек до минимума, которой наблюдается около 150 псек и составляет приблизительно 3.5*1027 нейтронов/сек. Результатом отклонения



массовых потоков является , образование локальных областей повышенного давления, ускоренное движение более пологих участков фронта и сферизация ударной волны при сложной картине течения в центральной части игнитора (см. Рис.2-4, на которых приведены изолинии распределения плотности DT плазмы в мишени при t= 10псек, t= 50псек и t= 150псек соответственно.)


Рис. 2. Распределение плотности р(г/см3) мишени с игнитором в форме

полуэлипсоида вращения с отношением полуосей 1:8 в момент времени t=10псек.


-1 о 1

Рис. 3. Распределение плотности р(г/см3) мишени с игнитором в форме

полуэлипсоида вращения с отношением полуосей 1:8 в момент времени t=50псек.



1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

/ Т40

У у/ / / Т20

С/ /

/ / ~-2 SN. \ \\\

/if ш / г> ю ст \\\

1 /I 1 1(1

if /\в \NH I ш i \/ iii i wiii

-3-2-10123

Рис. 4. Распределение плотности р(г/см3) мишени с игнитором в форме

полуэлипсоида вращения с отношением полуосей 1:8 в момент времени t=150псек.

После этого начинает формироваться и усиливаться волна ТЯ горения, но достижению такой же интенсивности, как для начального сферически симметричного игнитора, мешает выход ударной волны на границу мишени по направлению большой полуоси и гидродинамический разлет мишени. В итоге максимальная мощность составляет лишь 8.5*1027 нейтронов/сек и достигается в момент времени t ~ 450псек. В этот момент времени картина горения близка к сферической симметрии. В дальнейшем скорость ТЯ реакций уменьшается в связи с разлетом мишени. На Рис.5. представлено количество термоядерных нейтронов как функция времени. Общее количество образующихся нейтронов примерно в 100 раз меньше, чем в случае сферического игнитора Nn ~ 3.2*1018.




Рис.5. Зависимость числа термоядерных нейтронов от времени для мишени с

игнитором в форме полуэлипсоида вращения с отношением полуосей 1:8.

5. Заключение

Как показали первые результаты численного моделирования волны горения при быстром поджиге мишени с помощью разработанного двумерного гидродинамического блока, коэффициент усиления по энергии существенно зависит от формы и начального положения игнитора. Волна ТЯ горения при смещенном относительно центра мишени, существенно несферическом игниторе спонтанно сферизуется, но динамика сферизации приводит к значительной задержке в формировании ТЯ вспышки. Как результат, при определенных условиях время формирования становится сравнимым с временем инерционного удержания и коэффициент усиления по энергии уменьшается на несколько порядков при одинаковой по сравнению со сферически симметричным случаем начальной энергии и массе игнитора. Для получения зависимости критических параметров игнитора от его формы и месторасположения требуется проведение дополнительных исследований.

Работа поддержана грантами РФФИ 04-01-00416-а и 05-08-01355-а.





1 2
© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.