Интервальные оптимизационные задачи в теории потребительского выбора

Тарасов А. А. (tarasov alexei@mail.ru)

Дальневосточный государственный университет

1. Введение

Данная работа посвящена интервальным задачам оптимизации и методам моделирования поведения экономических агентов. Теория потребительского выбора является фундаментальным разделом микроэкономики, использующим аналитический аппарат для построения моделей, описывающих и объясняющих процессы принятия решений. К математическим методам теории потребительского выбора относятся аксиоматическая теория предпочтений, теория полезности, методы оптимизации, объективные и субъективные вероятности, а также статистические и эконометрические методы. Важным направлением исследований поведения потребителей является экспериментальное направление, основанное на воспроизведении рыночных ситуаций, проведении опросов и анкетировании респондентов.

В рамках теории потребительского выбора получены результаты, касающиеся ключевых положений микроэкономического анализа: экспериментально выявлены неполнота и противоречивость стандартного подхода к потребительскому выбору [11], выявлены аномалии потребительского поведения [9], построены модели, соответствующие эмпирическим результатам [10], экономисты пришли к консенсусу по многим поведенческим явлениям [7].

В математическом моделировании интервальные методы и модели применяются для анализа неопределенности, возникающей при использовании данных с ошибками, при отсутствии знаний о вероятностных свойствах объекта,

при возникновении ошибок округления в расчетах с конечной точностью [2]. Результатом применения интервальных моделей является точечная оценка решения или область возможных решений. Математический аппарат интервальных вычислений позволяет формулировать интервальные уравнения, интервальные оптимизационные задачи и анализировать интервальные функции [1]. Интервальные методы моделирования пока не получили широкого распространения в литературе и микроэкономическом анализе. Можно отметить теорию интервальных предпочтений [5] и интервальные вероятностные модели [8].

В данной работе рассмотрены методы редукции задач оптимизации с интервальными параметрами к детерминированным (неинтервальным) задачам; эмпирически обосновано введение в стандартную модель потребительского выбора [11] интервальных параметров - цен, дохода, и параметров функции полезности; сформулирована обобщенная задача оптимального потребительского выбора (с интервальными параметрами); приведены методы решения такой задачи и экономическая интерпретация модели.

2. Задачи оптимизации с интервальными параметрами

Рассмотрим задачу нелинейного программирования с интервально-значной целевой функцией f0(x) векторной переменной x = (x1,...,xn)T e Rn и интервально-

значными ограничениями f (x) > 0, i = 1, m :

fo(x)-г-

Целевая функция и ограничения в (1) имеют параметрическую форму fi (x ) = f (x, g i) и непрерывны по векторной переменной и по вектору параметров;

интервальные векторы g. = gn}[g,gt2],...,\gir,gjrзаданы своими нижними и

верхними границами g ik < g ik , где i = 0, m, k = 1, r . Интервальность параметров в

(1) интерпретируется как отсутствие достоверной информации о (независимой) реализации конкретных значений параметров в заданных интервалах изменения. Пусть, кроме того, каждая интервальная функция f (x, gi ),i = 0, n имеет гладкие по x функции-границы: ((з gmin )(Vx )(V gi )(f (x, gmin )< f (x, gi))),

((3grx)(VxXVgt)(f(x,gimax)>f(x,g))); f(x,g)e[f(x),/И], где f(x) = f(x,gmin),

f(x) = f (xx, gmax), i = 0, m. Необходимым условием наличия функций-границ

является монотонность по вектору параметров.

Основной вопрос, возникающий в отношении сформулированной задачи (1) касается определения решения, в частности, понятия экстремума интервально-значной функции и выполнения интервального неравенства. Наиболее часто в ситуациях параметрической неопределенности для функции цели используют так называемые критериальные определения, отвечающие условию полной гарантии (максиминное решение), критерию игрока (максимакс), среднему решению [2]. Применительно к интервальным неравенствам известны сильное , слабое и центральное определения [6]. Всевозможные сочетания данных определений позволяют перейти от интервальной постановки задачи (1) к решению различных детерминированных нелинейных задач оптимизации.

Например, если использовать критерий полной гарантии совместно с сильным определением решения интервальных неравенств в ограничениях (1), получим следующую детерминированную задачу:

~Г, - (2)

f (x )> 0,i = 1, m.

Обобщением указанных методов перехода от интервальной задачи к детерминированной может служить параметрический подход, определяемый соотношениями fipar (x )= f (x, h (g i)), где векторные функции

h(gi)=(hn(gi1),...,hjr(gjr)) фиксируют выбор параметров, i = 0,m,k = 1,r . В частном случае возможно применение взвешивающих линейных функций от границ интервалов (gik) = h(gik,aik) = aikgjL + (1 -aik)gй,aik e[0,1], при этом следует отметить случай ак = ai и согласованный однопараметрический выбор ак = а, где i = 0, m, k = 1, r . Например, для монотонно-возрастающих по вектору параметров функций f (x, gt), выбор а = 1 редуцирует задачу (1) к задаче (2),

f ((h(gi= f (x,gi)= f1{x), где i = 0,m.

Еще один практически важный способ редукции заключается в использовании средних функций, fmed(x)= 0.5(fi(x)+ f (x)), определяемых как

усреднение интервала значений [f (x), f (x)]. Заметим, что возможно

существование функции fmed(x )= f (x, hmed (g i)) для любого i = 0, m при независимости метода редукции hi от значений независимой переменной:

(hmed. (g i))) = 0.

Функции h (gi), i = 0, m выбираются исследователем исходя из априорных

предположений относительно возможных реализаций параметров из соответствующих интервалов. Так как интервальность предполагает отсутствие достоверной информации о принятии параметрами конкретных значений, для получения решения (или набора решений) задачи (1), исследователь должен специфицировать свои ожидания. При этом формирование ожиданий может носить как эндогенный (субъективный), так и экзогенный (объективный) характер.

Укажем некоторые свойства задачи (1). Для множеств Xmm = {x еRn: f(x)>0,i = ГД Xmed. = {xeRn: f (x,hmed.(gt)) >0,i = 1),

Xmax = {x e Rn :~f\4)> 0,i = \m) верно соотношение (xmin с Xmed. с Xmax), следующее из ((x e Xmin ) (x e xmed) (x e Xmax)) (обратное не верно). Решение любой редуцированной от (1) задачи F (g ) = max f0 (x, g 0),

X(g)={ceRn :f (x,gi)>0,i = 1,m), g = (g0,g1,...,gmJ, является непрерывной функцией [11] и ограничено снизу решением Fтт = max f0 (x), сверху - решением

F max = max f0 (x): например, Fmed e [f min, F max ], Fmed. = mmax f0med(x); глобальный

максимум задачи (1) есть Fmax. При сделанных предположениях любая детерминированная задача, редуцированная от задачи (1), разрешима при условии (Xmin Ф0) - утверждение, следующее из непрерывности функции f0 и того, что

при (хmin Ф0) любое допустимое множество - непустой компакт (тогда для задачи maxf0 (x, g0) выполняются условия теоремы Вейерштрасса).

3. Задача оптимального потребительского выбора с интервальными параметрами

Перейдем к задаче оптимального потребительского выбора. Приведем обоснование введения в задачу оптимального потребительского выбора интервальных параметров:

1. Результаты проведенного анкетирования респондентов указывают на ориентацию респондентов при принятии решений не на указываемое точное значение цены конкретного товара, а на указываемый интервал цены. Респондентами также были построены интервалы цен для указанных в анкете

товаров, приведенные в таблице 1. Можно предположить, что влияние на формируемый интервал цен оказывают как объективные факторы (одинаковые для всех потребителей), так и субъективные факторы (знания, ожидания и рассуждения каждого респондента);

2. Анкетирование выявило, что респонденты не всегда уверены относительно количества покупаемого товара: лишь немногие респонденты согласились, что всегда могут указать точное количество приобретаемого товара. Респонденты указали возможный разброс в покупаемых количествах для конкретных товаров. Неопределенность относительно точного количества покупаемого товара можно объяснить тем, что потребители (в частности - респонденты) склонны рассуждать приближенно и не всегда уверены в возможности купить точно желаемое количество товара (например, когда товар продается на развес);

3. В ответах на вопросы анкеты, респонденты согласились, что могут лишь приближенно указать доход и предоставили его интервальную оценку (таблица 2); аналогично и с суммой, направляемой на потребление;

4. Предпочтения респондента могут меняться в некотором диапазоне, что проявляется в принятии различных решений в одинаковых ситуациях во время проведения экспериментов. Можно предположить, что при применении подхода репрезентативного потребителя возможно использование интервальных параметров для описания предпочтений, имеющих некоторый разброс. Результаты анкетирования полностью приведены в [3, 4].

5. Введение интервальных параметров в задачу оптимального потребительского выбора позволяет моделировать неопределенность относительно цен, дохода и предпочтений. Стандартная задача оптимального потребительского выбора является частным случаем задачи с интервальными параметрами (при совпадении нижних и верхних границ интервальных векторов).

Рассмотрим обобщение задачи оптимального потребительского выбора, допускающее интервальность стоимостных параметров (цен товаров и дохода потребителя) и параметров функции полезности:

u(x) - max,

T x (3)

p x < m.

Здесь предпочтения потребителя описываются интервально-значной функцией полезности Кобба-Дугласа u(x)= u(x,z) = x1Zlx2Z2 xzn , параметризованной

(к zi 1 (z2> z2 U [zn, zn F; x = (xi, x2,.-xn J

вектором интервальных параметров z = \[z1,z1j, z2,z2J.., [zn,zn\) ; x вектор количеств потребляемых товаров, xi > 1, i = 1, n (при xi > 1, i = 1, n всегда

верно u(x,z)е [u(x),u(x)]); p = (p15p2,...,pn J - интервальный вектор цен товаров, p i = pi, p ], pt > 0, i = 1, n; m = [m,m - интервальный доход потребителя, m > 0.

Интервальные цены и доход являются экзогенными (объективными) для потребителя, при этом формирование ожиданий - выбор модели редукции задачи - эндогенно (субъективно). Воспользовавшись моделями перехода из п. 2, получаем следующие варианты бюджетного ограничения: (i)

пессимистическое , Xmin = {x е Щ : (pJx < m}, p = (p ,p2,...,pn J; (ii) оптимистическое , Xmax ={xеRn:(p<m}, p = (p1,p2,...,pn); (iii) ожидаемое среднее , Xmed. ={x е Rl: (p + p) x < (m + m)},

pmed. = 0.5(((.1 + p;), + J2),..., (pn + Jn))), mmed. = 0.5(m + m); (iv)

параметрическое ,

Xpar = {x е R+n: (ppar. )x < mpar.},

par.

hp (p)=(hp,1 (p1 ), hp,2 (p 2 ),..., hp,n (p n )J, mPar= hm (m ) . ЗаMеTИM, что )

являются частными случаями (iv) при hp (p) = h(p, a) = ap + (1 - a)p, hm (m) = h(m,1 - a) = (1 - a)m + am и a = 0, a = 1, a = 0.5. На основании таблиц 1-

3, можно предположить, что hp(p)= h(p,ap) и hm (m)= h(m,1 -am) при ap = 0.63,

1 -am = 0.74, где ap и am можно интерпретировать как коэффициенты,

отражающие ожидания потребителя относительно цен и дохода (при проведении анкетирования респонденты занижали товарные цены и завышали доход). Заметим, что выполняется соотношение (хmin с Xmed. с Xmax): оптимистическое бюджетное ограничение дает потребителю максимальную покупательную способность.

Указанные методы редукции применимы к интервально-значной функции полезности u( x) = u (x, z), при переходе к детерминированной функции полезности

u (x) можно использовать методы (i )-(iv): (u(x ))mn = u (x, hz (z ,1)) = u(x);

(u (x))max = u (x, hz (z,0))= u (x); (u (x))med. = 0.5(u(x) + u(x)); (u(x)))ar. = u (x, hz (z )).

Обозначим решение редуцированной от (3) задачи U(z,),m)= maxu(x,z).

)Tx<m

Согласованное применение методов (i) к интервально-значным функциям задачи (3), позволяет получить следующие результаты: Umin = U (hz (z ,1),), m)< U (z,), m) (потребитель- пессимист всегда получает наименьшую полезность), оптимальный выбор потребителя в глобальном смысле есть Umax = U (hz (z ,0),), m) (потребитель- оптимист всегда получает наибольшую

возможную полезность, U(z,), m)< Umax). Решение U(z,), m) непрерывно на компакте [umin,Umax]. При условии допустимости хотя бы одного товарного набора при пессимистическом бюджетном ограничении, (хmin ф 0), задача (3) имеет решение. Заметим, что для непрерывных товаров при ). < ). < со, i = 1, n всегда (хmin ф 0).

В задачах оптимального потребительского выбора (3) модели редукции h = (hp ( ) hm ( ), hz ( )) выбираются исходя из потребительских ожиданий

относительно предпочтений и рынка. При этом осуществляется переход от интервальной задачи (3) к детерминированной задаче оптимизации и получается оптимальное решение в виде непрерывной вектор-функции спроса

x(h) = (h),x2(h),...,xn (h)), хг (h)e \zjn{Pi (z± + {e i )T z)) \zx m[pj {z. + {e i )T z)) 1 J, где

I.I.....1.0.1.....1 , векторы z и z определяются аналогично p и p. При

использовании функций перехода h(a) = (h(p, ap) h(m, am), h(z, az)), a = (ap ,am, ccz), возможно исследование чувствительности x(h(aC) к a: например

(mx%(h(a))) ap = (pi -p±(pi,ap)= ; согласно таблице 3. = 0.38.

В рамках модели возможно нахождение вероятности события потребитель не сможет приобрести ожидаемый объем потребления как геометрической вероятности P(h)=((hm (m)- m)+ eT (p - hp (p)))/((m - m)+ eT (p - p)), где

h = (hp(p).hm(m)), e = (1,1,...,1)T. При hh = h(a), a = (ap,1 -Cm), вероятность

P(h (a ))= P(a) можно определять как P(a ) = 0.5((1 -am )+ap). Введение

вероятности не приобретения желаемого количества товара позволяет выразить характеристики потребителей через отношение к риску: у потребителя-пессимиста P(0,1) = 0 (не любящий риск потребитель, всегда потребляющий больше, чем рассчитывает); у потребителя-оптимиста P(1,0) = 1 (любящий риск потребитель, всегда потребляющий меньше, чем рассчитывает); у нейтрального потребителя P(0.5,0.5)= 0.5 (нейтральный к риску потребитель, с равной вероятностью потребляющий как больше, так и меньше, чем рассчитывает). Согласно эмпирическим данным, P(0.63,0.74)= 0.69 - респонденты в нашей выборке находились между нейтральными к риску и любящими риск

потребителями, при этом склоняясь к оптимистическому бюджетному ограничению.

Заметим, что предположение об интервальности цен не позволяет считать рынок совершенно конкурентным, аргументируя предположение о монополистической конкуренции с широким спектром разнообразия товаров и цен как наиболее адекватной модели современного рыночного взаимодействия.

4. Заключение

В работе рассмотрены задачи оптимизации с интервальными параметрами. Приведены параметрические методы решения таких задач, основанные на переходе от функций с интервальными параметрами к детерминированным функциям путем формулирования дополнительных критериев выбора.

Результаты анкетирования респондентов указали на возможность введения в стандартную задачу оптимального потребительского выбора интервальных параметров - интервальных цен товаров, интервального располагаемого дохода и интервальных параметров потребительской функции полезности - позволяющих моделировать неопределенность потребителя относительно рынка и собственных предпочтений.

Основной вывод работы следующий. Модель оптимального потребительского выбора с интервальными параметрами позволяет до некоторой степени учитывать эмпирические результаты и позволяет делать выводы о свойствах потребителей и свойствах рынка. Интервальные модели поведения потребителей являются перспективным инструментом обобщения теоретических и эмпирических результатов теории потребительского выбора.