Биспектральный анализ нелинейных эффектов при исследовании движения кантилевера в динамическом режиме

Галимуллин Д.З. (galimullin d.z@mail.ru)(1), Сибгатуллин М.Э. (1), Салахов М.Х. (1), Чукланов А.П. (2), Бухараев А. А. (2)

(1) Казанский государственный университет (2) Казанский физико-технический институт КазНЦ РАН

1. Введение

Большинство процессов, описывающих динамику и взаимодействие локальных подструктур в общей системе, являются нелинейными и достаточно сложными [1,2]. Это связано с тем, что целое в таком случае является чем-то большим, нежели просто объединением составляющих частей. Когерентные эффекты приводят к взаимосвязанному поведению и перераспределению общей энергии между основными и возникающими дополнительно частотными составляющими.

Изучение поведения одного нелинейного осциллятора или их ансамбля традиционно основано на полиспектральном фурье-анализе [1-4]. Спектр высшего порядка позволяет получить необходимую фазовую информацию и провести различие между независимыми или возникающими вследствие нелинейных взаимодействий частотными компонентами сложного спектра. Этот подход применим к большинству исследуемых систем, но только в том случае, если они считаются стационарными в течение некоторого промежутка времени. Значительное количество работ посвящено применению полиспектрального анализа для изучения нелинейных взаимодействий в различных областях науки [1,3-4]. Разработан ряд статистических тестов, позволяющих оценить стационарность, асимметрию и эксцесс исследуемого процесса [5].

Для реальных систем взаимодействие между локальными подсистемами приводит к временной зависимости характеристических частот. Фазовая связь между когерентными модами осциллятора может значительно изменяться с течением времени. При исследовании таких данных полиспектральный фурье-анализ с использованием усредняющего по временной или пространственной координате окна не является эффективным. Это связано с тем, что моменты высших порядков исследуемого сигнала характеризуют общие, а не локальные характеристики процесса. Необходим метод, позволяющий учесть временную эволюцию коррелированных структур.

влияние дискретизации и случайных ошибок приводит к необходимости проведения регуляризации [3]. Для преодоления указанных недостатков в работах [10-12] были введены вейвлетный биспектр и бикогерентность для исследования взаимодействий между отдельными осцилляторами. Обобщение биспектра на вейвлетное преобразование дает

возможность анализировать такие принципиально нелинейные явления, как временная динамика фазовой связи между различными гармониками в сигнале [10], а также выделять в наборах пространственно-временных данных короткоживущие структуры.

В данной работе предложена методика, основанная на биспектральном вейвлет-анализе, позволяющая детектировать взаимодействие двух и более компонент системы, оценивать величину коэффициента нелинейности и временной интервал, на котором бикогерентность любой пары частотных мод становится ненулевой. Влияние искажающих факторов устраняется пороговым фильтром. Показано, что статистика высших порядков, основанная на вейвлет-анализе, может быть с успехом использована для изучения поведения систем, обладающих нелинейной динамикой, и выделения когерентных структур. Эффективность биспектрального анализа продемонстрирована на данных, описывающих колебания кантилевера атомно-силового микроскопа (АСМ) в динамическом режиме.

2. Теория

2.1 Непрерывный вейвлет-анализ

По определению [10], непрерывное вейвлет-преобразование сигнала f (x) е L2(d ) имеет следующий вид:

где a и b - масштаб и сдвиг соответственно, ц/ - вейвлетобразующая функция, * означает комплексное сопряжение. Вейвлетный спектр описывает динамику исследуемой системы для

Ряд научных работ направлен на развитие метода по расчету полиспектров с использованием частотно-временного динамического окна [6-9]. Однако существует несколько ограничений на использование таких алгоритмов, в частности, требуется точное определение характерного временного масштаба с учетом неизменности его во времени. Возникает и значительная сложность при нормировке полученного полиспектра, поскольку

каждого временного масштаба a в любой момент времени b . Нормировочный коэффициент Cw определяется соотношением:

J w

-CO I I

где tf/(w) - фурье-образ вейвлета у(x). Условие конечности константы Cw ограничивает класс функций у/(x) е L2(□ ), которые могут быть использованы в качестве базисных вейвлетов. Из соотношения (2) очевидно, что (f/(w) должен быть равен нулю при w =0 и, следовательно, вейвлет должен иметь нулевое среднее. Практически любая функция, удовлетворяющая условию (2), является вейвлетом, поэтому возможно подобрать вид вейвлетобразующей функции в зависимости от конкретной задачи. Каждая базовая вейвлетная функция у/ характеризуется различными свойствами, что позволяет, используя разные вейвлеты, выявить все особенности анализируемого сигнала.

В нашей работе используется комплексный вейвлет Морле [11], который представляет собой синусоидальную функцию, модулированную функцией Гаусса, и записывается в виде :

ц/(x) = exp (zw0x) exp(-x2 / 2). (3)

Выбор параметра w0 = 2;г дает следующее соотношение между временным масштабом a вейвлет-преобразования и частотой Фурье:

a = 1/ f . (4)

Вводя дополнительный множитель в показатель экспоненты для соотношения (3) можно повысить частотную избирательность фильтра на основе вейвлета Морле.

2.2 Биспектральный вейвлетный анализ

Оценка плотности мощности, получаемая с помощью различных спектральных методов, полезна в определении вклада каждой спектральной компоненты в общий спектр сигнала временного ряда. Однако информация о наличии возможной связи различных частотных компонент между собой при этом не выявляется. Для получения такого рода информации используется полиспектральный анализ, который позволяет детектировать нелинейные эффекты и характеризовать их типы. В частности, вейвлетный биспектр исходного сигнала определяется следующим соотношением [10]:

B(f1, f2) = j W\f3, b)W(f2, b) W(f1, b)db, (5)

где частоты удовлетворяют сумме f = f2 + f1. Вейвлетный биспектр есть мера фазовой связи на интервале времени T , которая проявляется между компонентами вейвлетного

3. Исследование колебаний кантилевера в динамическом режиме

Динамический режим представляет собой один из методов АСМ, основанный на регистрации различных параметров колебаний кантилевера (например, амплитуда, фаза и т. д.) [13]. Если колебания происходят вблизи резонансной частоты, то изменение их амплитуды или фазы при сканировании образца позволяет фиксировать даже незначительные изменения силы взаимодействия иглы с исследуемой поверхностью. Движение кантилевера в динамическом режиме описывается в общем случае моделью осциллятора с квадратичной нелинейностью [14]. В данной работе исследуется колебательный режим осциллятора (Рис.1) для случая значительной амплитуды колебаний,

спектра на частотах f1, f2, f. Если фазы одного из трех компонентов являются суммой или

разностью двух других, биспектр покажет значимую величину. Таким образом, биспектр имеет ненулевой результат только тогда, когда фазы трех частот связаны. В частности, это проявляется в случае квадратичного взаимодействия, когда исследуемый временной ряд представляет результат произведения двух гармонических сигналов.

При анализе сигналов удобно пользоваться также понятием вейвлетной бикогерентности, которая определяется как нормализованный вейвлет-биспектр:

biff) - , B(f1,f2) (6)

j W C/1, b)w (f2, b)2 db\\w (f3, b)2 db

\ tt

и принимает значения в интервале [0,1]. Для устранения эффектов, связанных с наличием

шума, краевых эффектов и ограниченностью спектрального диапазона сигнала, большинством исследователей проводится регуляризация соотношения (6) путем добавления в знаменатель малой константы s [4]. Недостаток такого подхода состоит в смещении истинной оценки бикогерентности и необходимости подбора оптимального значения s для набора исследуемых частот. Более рациональным представляется проведение фильтрации с использованием пороговой функции перед расчетом бикогерентности. За величину порога наиболее удобно принять значение полного (суммированного) биспектра:

в,- Ц li (в ал ))2, (7)

где N - общее количество слагаемых в выражении (7).

Рис.1. Кантилевер как модель гармонического осциллятора. Рабочая область колебаний представлена жирной чертой на оси абсцисс.

Исследования проводились на АСМ марки Solver P47 (NT-MDT, г. Зеленоград). Экспериментальные данные представляли собой записи колебаний зонда кантилевера CSG12 в динамическом режиме (Рис.2).

Рис.2. Реализация колебаний кантилевера в бесконтактном режиме на малом временном интервале. Напряжение на пьезомодуляторе равно: А) 2 В, Б) 0.2 В.

когда возможно возникновение нелинейных эффектов, связанных как с наличием внешних сил, так и с особенностями строения кантилевера.

Поверхность Колебания кантилевера

А

120 100 80 60 40

Б

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Рис .3. Фурье-спектры исходных временных реализаций. Напряжение на пьезомодуляторе: А) 0.2 В, Б) 2 В.

Изучение полученных спектров дает возможность предположить, что резонансная частота колебаний зонда несколько меньше заявленной величины и составляет 7.2 кГц.

Для диагностики режимов колебаний с использованием нелинейной динамики были восстановлены фазовые портреты (Рис.4) по методу Такенса [15]. Расчет времени задержки T производился по первому минимуму автокорреляционной функции исходной временной последовательности.

Система демонстрирует устойчивые стационарные колебания в каждом из случаев. Можно выделить квазипериодические процессы в трех основных режимах, которые, очевидно, соответствуют характеристическим гармоникам. Для случая большей амплитуды режимы характеризуются увеличением нерегулярности колебаний в системе, аттракторы

Колебания происходили на достаточно большом расстоянии от поверхности, следовательно, взаимодействием зонда с поверхностью можно было пренебречь. Напряжения на пьезомодуляторе, возбуждающем механические колебания кантилевера, отличались в 10 раз и составляли 2 и 0.2 в., резонансная частота колебаний по паспортным характеристикам была равна 8.27 кГц.

Поскольку уменьшить минимальный временной интервал между отсчетами было невозможно из-за особенностей работы АСМ Solver P47, то граница доступного для исследований спектрального диапазона ограничивалась величиной порядка 7,7 кГц.

Фурье-спектры исходных реализаций, представленные на рис.3, имеют достаточно сложный спектральный состав. Можно выделить ряд гармоник, которые присутствуют на обоих спектрах, что позволяет сделать вывод о том, что они являются характеристическими для системы.

представляет собой широкие ленты в пространстве. Фазовый портрет однороден и сильно зашумлен.

1.6 А (г)

О.о

А

1.05

.

0.95

Б

0.4 0.6 0.8

1.2 1.4 1.6

0.85

0.95

1,05 1.1

Рис.4. Восстановленные фазовые портреты исходных временных реализаций. Напряжение на пьезомодуляторе: А) 0.2 В, Б) 2 В.

Воспользуемся для анализа возможности формирования и взаимодействия когерентных структур вейвлетной бикогерентностью. На рис.5 представлены проекции бикогерентности на оси частот.

3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 / Гц

3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700 3800 /.Гц

Рис.5. Проекции бикогерентности исходных временных реализаций. Напряжение на пьезомодуляторе: А) 0.2 В, Б) 2 В.

Из анализа рис.5(А) видно, что корреляция между различными временными масштабами мала и наблюдается хаотическое распределение частотных составляющих. Максимум бикогерентности (рис.6(А)) достигается на частотах 3.7 кГц, 3.43 кГц, что

Рис.6. Бикогерентность исходных временных реализаций. Напряжение на пьезомодуляторе: А) 0.2 В,

Б) 2 В.

Следует отметить, что путем восстановления фазового портрета мы можем получить информацию о количестве стационарных режимов колебаний, а через расчет бикогерентности - значения характеристических мод.

4. Заключение

В данной работе рассмотрены основные принципы статистики высших порядков на основе непрерывного вейвлет преобразования. Предложен алгоритм расчета бикогерентности с использованием фильтрации по порогу, который позволяет избежать

соответствует наличию гармоник на 7.4 и 7.2 кГц. В случае значительных по амплитуде колебаний (рис. 5(Б)) можно выделить наборы частот в области 3.4 кГц, связанных с гармониками на 3.72 и 3.77 кГц, которые, в свою очередь, указывают на связь с более высокими частотами. Величина бикогерентности (рис.6(Б)) на этих компонентах близка к единице. Здесь происходит группировка частот, что приводит к уширению траектории аттрактора в реконструированном фазовом пространстве. Таким образом, с помощью биспектрального анализа удается выделить когерентные структуры, формирующиеся в системе со значительными по амплитуде колебаниями. Возникновение их может быть обусловлено наличием собственных мод зонда кантилевера при движении, как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскости.

вычислительной неустойчивости в случае плохо обусловленной оценки. Проведено исследование процесса колебаний зонда кантилевера АСМ в динамическом режиме для различных величин напряжений на пьезомодуляторе. Результаты показали наличие нескольких квазипериодических режимов колебаний и существование связи между отдельными частотными составляющими на изучаемом временном интервале.

Литература

[I] G. Kerschen, K. Worden, A.F. Vakakis, J.C. Golinval Past, present and future of nonlinear system identification in structural dynamics Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 20, 505-592.

[2] A. Gallego, C. Urdials, D.P. Ruiz, Nonlinear Dynamics, 19, 273-294 (1999).

[3] Ch.L. Nikias, A.P. Petropulu Higher-Order Spectral Analysis, PTR Prentice Hall, Englewood

Cliffs NJ, 1993.

[4] W.B.Collis, P.R.White, J.K.Hammond Higher-order spectra: the bispectrum and trispectrum Mechanical Systems and Signal Processing, 1998, 12(3), 375-394.

[5] L. Persson Statistical tests for regional seismic phase characterizations Journal of Seismology, 2003, 7, 19-33.

[6] M. Helbig, G. Griessbach, B. Schack, H. Witte Application of time-variant bispectrum in biosignal analysis Med. Biol. Eng. Comput., 1999, 37(2), 392-393.

[7] J. Jamsek, A. Stefanovska, P. McClintock, I. Khovanov Time-phase bispectral analysis Physical Review E, 2003, 68, 016201, 1-12.

[8] B.Balachandran, K.A.Khan Spectral analyses of non-linear interactions Mechanical Systems and Signal Processing, 1996, 10(6), 711-727.

[9] H. Witte, B. Schack, M. Helbig, P. Putsche, C. Schelenz, K. Schmidt, M. Specht Quantification of transient quadratic phase coupling within EEG burst pdtterns in sedated patients during electroencephalic burst-suppression method J. Physiol., 2000, 94, 427-434.

[10] А.А Короновский, А.Е. Храмов Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения, М., Физматлит, 2003, 176 с.

[II] А.А. Короновский, А.Е. Храмов Исследование когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью вейвлетной бикогерентности Физика

плазмы, 2002, 28(8), 722-737.

[12] А.А. Короновский, А.Е. Храмов, Ю.И. Левин Исследование процессов структуро-образования в электронном пучке с виртуальным катодом с помощью вейвлетной бикогерентности Письма в ЖТФ, 2002, 28(13), 57-65.

[13] В.Л. Миронов Основы сканирующей зондовой микроскопии, Ниж. Новгород, изд-во инст. физики микроструктур РАН, 2004, с. 114.

[14] M. Tsukada, N. Sasaki, R. Yamura, N. Sato, K. Abe Features of cantilever motion in dynamic-mode AFM Surface Science, 1998, 401, 355-363.

[15] Н.Б. Игошева, А.Н. Павлов, Т.Г. Анищенко Методы анализа сердечного ритма, Саратов, изд-во ГосУНЦ Колледж , 2001, с. 120.