Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Ресурс сверхпластической деформации

РЕСУРС СВЕРХПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ В МОДЕЛИ КООПЕРИРОВАННОГО ЗЕРНОГРАНИЧНОГО ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ

Пшеничнюк А.И. (aipsh@anrb.ru)

Институт проблем сверхпластичности металлов РАН, г.Уфа

Большие деформации до разрушения являются тем отличительным признаком, который определил содержание физического явления названного сверхпластичностью (СП). Величина этих деформаций - иначе ресурс СП - начиная с работы Харта [1], ставится в прямую зависимость от величины коэффициента скоростной чувствительности m = d ln о / d ln £ . Работа [ 1 ] рассматривает разрушение как формирование макроскопической шейки из начального геометрического несовершенства образца - прообраза шейки, причем при больших m начальная неоднородность долго не развивается в шейку, что и обеспечивает большие деформации. Однако изначально присущее образцу локализованное геометрическое несовершенство трудно примирить с наблюдаемым в экспериментах по растяжению образцов явлением бегающей шейки. Этим объясняются попытки формального введения в рассмотрение не геометрического, а деформационного дефекта неизвестной природы [2]. После обнаружения высокоскоростной СП оказалось, что большие удлинения могут достигаться и при небольших значениях m < 0,3. Т.е. высокое (по крайней мере в начальном смысле) значение m не является необходимым для получения больших деформаций. В недавних экспериментах на керамике [3] был установлен еще более удивительный факт. Оказалось, что и высокие (m~1) значения не гарантируют больших деформаций, т.е. условие m>mc потеряно и как достаточный признак СП. И хотя предельные деформации определяются формированием шейки, феноменологическое описание ее развития становится не убедительным: не гарантируют высокие m больших удлинений. В предложенной недавно модели [4] необходимым и достаточным условием СП является формирование полос кооперированного зернограничного проскальзывания (КЗГП). В рамках этих представлений ставится вопрос о расчете предельных деформаций.

Будем рассматривать плоский образец как двумерную область, заданную в начальный момент времени в координатах (x,z) неравенствами x < r0, z < /0. Здесь r0 -

полуширина образца, l0 - половина его длины. Деформация растяжения вдоль оси z осуществляется сдвигами вдоль двух систем полос КЗГП, ориентированных под 450 к оси растяжения [4]. Если в данный момент времени t полное число полос в образце равно M(t) и скорость сдвига в отдельной полосе - V, то мгновенная скорость, с которой увеличивается длина образца, определяется очевидным соотношением

= (t). (1)

dt 42

Разрушение образца происходит при локализации деформации в некотором сечении и необратимом развитии шейки'. Т.е. продолжительность процесса определяется степенью однородности профиля поперечного сечения образца - разнотолщинностью. Скорость изменения любого поперечного сечения в полной аналогии с выражением (1 ) определяется числом полос КЗГП, пересекающих данное сечение. Зададим пространственное распределение полос вдоль оси z функцией n(z,t) нормированной на полное число полос M(t)



l (t)

M(t) = J n(z, t)dz .

-i (t)

Если r(z,t) - поперечный размер образца в сечении с координатой z в момент времени t, то аналогично (1):

dr (z11 = Vb J n( zt) dz, r (z,0) = r0. (2)

dt 42 (t)

v z-r ( z ,t)

где интеграл в правой части и определяет число полос, пересекающих сечение с координатой z. Уравнение (2) описывает коррелированное поведение близко расположенных сечений: в этом случае ряд полос, пересекающих то и другое сечение оказывается общим. При однородном распределении полос по длине образца скорость изменения поперечных размеров не зависит от выбранного сечения и формирования шейки не происходит. В этом случае n(z, t) = M(t)/2/(t), (2) сводится к условию

несжимаемости d[/(t)r(z, t)]/dt = 0 и описывает однородное изменение поперечного сечения. Если масштаб неоднородности распределения полос много меньше текущей ширины, то, поскольку длина интервала интегрирования в (2) равна 2r(z,t), такая неоднородность будет сглажена интегрированием и слабо скажется на величине r(z, t) . И только лишь когда характерный масштаб неоднородности по порядку величины сравним с текущей шириной формируется значимая локализация течения. Т.е. при больших деформациях (или изначально узком образце) мелкомасштабные неоднородности в распределении полос могут приводить к существенной разнотолщинности. Кроме того с увеличением длины образца возможностей для неоднородного распределения полос становится больше (как в силу увеличения базы, на которой распределены полосы, так и в силу возможного уменьшения абсолютного числа полос из-за накопления поврежденностей в материале) и вероятность появления шейки возрастает.

Будем рассматривать уравнение (2) как стохастическое уравнение определяемое

случайным процессом n(z,t). Из условия несжимаемости следует, что

l(t)

J r (z, t)dz = 2/0,

-l(t)

тогда пространственное среднее от случайной величины r(z,t) равно

1 l(t) l0

r(t)=щ j,)r (t )dz=r0 -fa

и через кинематику растяжения однозначно определяется условиями эксперимента. При постоянной скорости захватов /(t) = V0 [l(t)=l0+V0*t]; при постоянной скорости

деформации /(t (t) = £= const [/(t) = l0exp(£t) = /0 exp(e(t))]. С другой стороны

/ (t)

зависимость l(t) определяется полным числом действующих полос и скоростями сдвига в них (1). Введем вероятность образования полосы в момент времени t - p(t). Полное число полос M(t) будем считать детерминированной величиной не отличающейся от среднего. Если d(t) - размер зерна в момент времени t, то число потенциально возможных мест для полос равно 2l(t)/d(t) и среднее число полос на всей длине

M (t) = p(t). d(t)

Перейдем от независимой переменной t к деформации е. Связь определяется кинематикой. В общем случае



Iу) = e(t), l (t) = /0 exp[je(t r)df] = I0 exp(e(t)), l (e) = /0 exp(e).

Уравнения (1) и (2) в переменной e принимают вид

р(£)

e(e) = 42VB dtl (3)

d(e)

dr(z,e) d(e) z+r(r,e), , .

v - w j n(z,e) dz . (4)

z-r (z ,e)

z+r (z ,e)

de 2 p(e)

Обозначим j n(z,e)dz = [z2r(z,e)] - число полос в сечении z при заданной ширине

z-r (z ,e)

r (z,e), т.е. случайная величина со средним

< >= P(e).

d(e)

Тогда в силу (4) среднее по реализациям в момент времени e от r удовлетворяет уравнению

d(r (z,e)) / \ / \

-- = -r(z, e)) или (r(z, e)) = r0 exp(-e).

Т.е. среднее по реализациям совпадает с пространственным средним. Вообще говоря нам необходимо установить условия (или момент остановки в переменной e), при которых случайная реализация поперечного размера образца в некотором сечении настолько сильно отличается от пространственного среднего, что сдвиговое напряжение в этом сечении выходит из интервала сверхпластичности и материал деформируется в условиях классической диффузионной (широкое сечение) или дислокационной (узкое сечение) ползучести. В условиях совпадения среднего по ансамблю и пространственного среднего технически значительно проще следить за разбросом реализаций относительно среднего по ансамблю. При этом z выступает как несущественный параметр и уравнение в независимой переменной e , которую для краткости будем называть временем, принимает окончательный вид

dr(e) d(e)

-7---ТТт ttr (e)]. (5)

de 2 p(e)

Здесь функция d(e) определяется механизмом роста зерен при деформации, p(e) -вероятность формирования полосы КЗГП, зависящая от накопления поврежденности в процессе деформации. Случайная величина устроена следующим образом. В момент времени e =0 формируется некоторое случайное число полос 10, определяемое величинами r(0), d(0), p(0) и в течении времени А 0 сечение уменьшается с постоянной скоростью. В момент времени e = А0 происходит коррелированное (с учетом изменившейся базы r( А 0)) переключение и формируется другая система полос и т.д. Тогда после интегрирования (9) на интервале ee [ek,ek +Аk], где ek= А0+... + Аk-1 и обозначений r(e k)=rk получаем случайный процесс

d,ak - Г 1 . ,~ I . К P. [2rk/dk

rk+1 = rk- -2 pk [rk I ek+1 =ek +А k, P0(pk rk) = / dt ]pltq,

2 pk

с биномиальным распределением pk и очевидной переходной вероятностью

dk А k

[2rt / dk ]

rk) = I P0(l

lk =0

r r I k k P

k+1 k k

k+1 k 2pk k



Характеристическая функция случайной величины rk+1 связана с характеристической функцией rk соотношением

(exp(iuk+1)) = (exp(iukrk )), где ик = ик+1 - -2- ln(k exp(-iuk+1 dkA) + qk ). Отсюда для младших моментов нетрудно получить

+1) = (1 - Ak )(1 - Ak-1 - А0К = Г0 П (1 - Ai),

i=0 2 Pi

(v,) =ц<4 k a

Т.к. r0>>d0, то распределения ri при небольших значениях i достаточно хорошо описываются распределением Гаусса (выполняются известные условия аппроксимации биномиального распределения). Сделаем более сильное предположение и будем считать, что совместная плотность вероятности для набора {r1, r2, ... , rn} задается n-мерным распределением Гаусса:

Р(Г, Г2,..., r,) = exp(-2£ £ -(r))(rk - (rk)))(2n)n det ]

=1k=1

Здесь llk =ХЫ, Kk =T\ ak2,(i a kX [A ik ]=[Xik]~\ Mатрица, обратная

ковариационной оказывается трехдиагональной (алгебраические дополнения всех остальных элементов - нули из-за очевидной линейной зависимости соответствующих строк или столбцов):

A ik = A kki,k + A k ,k+1i,k+1 + A k -1,ki ,k-1 ,

Akk =- k+1 k-1 , ,2, k = 1,2,..,n-1, ( 0 - 0),

( k+1 - k )( k - k-1X rk)

( k - k+1X rk)(rk+1)

( k~k+U\k/\k+1y

=--, a = a ., a, =

(an -an-1 XVk)

Определитель ковариационной матрицы равен

det A = [( r( r2)..{r,) ]2(a, -a,-1 )(a,-1 -a,-2)...(a2 -a1 )a1 .

Показатель экспоненты упрощается

i,k=1 i=1 i - i-1

где для краткости обозначено vk = rk /(rk} (v0 - 1).

Построив совместное распределение реализаций ri при произвольном числе шагов n, определим условия поглощения процесса как условия формирования такой разнотолщинности при которой экстремальные (наиболее узкие или наиболее широкие) сечения выходят из режима СП, что переводит локальные области в режим классической пластичности с быстрым разрушением. Пусть интервал СП в переменной напряжение задан границами т1 <т<т2, т.е. т1 - пороговое напряжение и т2 -напряжение перехода в режим дислокационной ползучести. Напряжение т в сечении rk



связано с макроскопическим напряжением т (вообще говоря т(е)) соотношением

?(rk) = т rk. Если т не попадает в интервал [т1 ,т2], то считаем, что произошло

поглощение. Таким образом, условия продолжения процесса на k-ом шаге сводятся к выполнению неравенств, ограничивающих отличие случайной реализации rk от ее среднего значения

- (rk) < rk <- {rk} = bk

T2 T1

Теперь нетрудно записать вероятность поглощения случайного процесса на k-ом шаге:

> bk -1 b1

Qk = JJ .J P(rk, rt-1r )drv..drk + J J ...J P(rk, rt-1r1 )drv..drk = Pk-1 - Pk

где

Pk = JJ - j P(rk rk-1 r1 )dr1- drk

k ~ J J J Vk>k-1 v,MM-

ak ak-1 a1

Т.к. Qk - нормированная (с учетом P0=1) плотность вероятности дискретной случайной величины со значениями (1,2, ...) , то среднее число шагов до поглощения равно

(k) = X kQk = X k (Pk-1 - Pk) = X Pk = 1 + X Pk,

k=1 k=1 k=0 k=1

где первое равенство является определением, остальные - тождественными преобразованиями. Расчет вероятностей Pk сводится к вычислению интеграла по k-мерному кубу:

1 1

Pk =J ...J exp(-I

(хг -хг-1 )2) dx1...dxi

1 + 2

(аг -at-1) x

т

V(2n)k У1

t2 + t1 -1 -

V -yk T

Очевидная замена переменных позволяет записать Pk в виде интеграла от изотропной функции:

Pk = Jexp(-y12

2, dy1...dyk

Ж

где область интегрирования Qk задана неравенствами

- (1 + Х0) <I[2yyl < 1 - i = 12..., k

Поворотом системы координат {yi} косоугольная призма Qk может быть приведена к виду

1 + x0

V2(y +... + УгУ

У1 + ... + Уг

Ух +...+У j\

У

У1 +... +У

1 + x0

< zk <

+1 1 - x0

У1 + ... + Уг

i z <

1 - x0

У1 + ... + yk л/2(У1 + + Уг )

i = 12..., k -1.

л/2(У1 +... + Ук) k д/2(У1 +... + Yk) Теперь легко найти максимальный параллелепипед, вписанный в Qk (последовательно рассматривая неравенства, начиная со старших номеров):

1 + x0 t1 + t2

2 7207)1

2 л/20Й1



1 + Х0 t1 + t2 < zk < 1 - x0 t1 + t2

2 V2 k

Ч 2 V2 k

Таким образом, отсекая от косоугольной призмы внешние области, где подинтегральная функция мала, мы расщепляем k-кратный интеграл в k независимых одномерных интегралов, после чего легко вычисляется искомая вероятность:

i = 1,2,..., k -1.

с

Pk = 2-k

л

т2 JV20k

П

ri 2 - ri+1

2а2м

ri 2 - ri+1

Хорошую верхнюю оценку <k> для напряжений, совпадающих с границами интервала СП легко получить непосредственно из последнего выражения. Так при т = т1 получаем

/ v, . , . т\ С Г. . гг~Г2 ; гтТ\

2-k erf v

т

т2 л/2а

1 k-/

П

т

ri - ri+

2о-+1

<

откуда следует, что <k> не превышает двух. Аналогично и при т = т2. Т.е. на границах интервала СП в среднем происходит лишь два переключения системы полос КЗГП.

Для вычисления <k> при произвольном т упростим выражение для Pk. Оценим аргументы интегралов вероятности. Если все величины, определяющие случайный процесс, не зависят от номера шага (нет роста зерен и не происходит накопления поврежденности), то легко получить

= pr (1 -A)2i 2а2 qdA 1 -(1 -А)

При малых k все аргументы в силу очевидного неравенства r0/d>>1 велики и величины Pk равны практически единице. С ростом k величины <rk> уменьшаются, а дисперсия увеличивается, что приводит к убыванию Pk до нуля при k, стремящемся к бесконечности. Точку перегиба в зависимости вероятности от номера будем искать как решение уравнения

P - 2P + P = 0

Тогда, если n - решение, то при вычислении <k> с хорошим приближением можно считать, что все Pk с номером k<n равны единице, а все старшие вероятности - нули.

Оценку n найдем, прежде всего, для более простого случая т = 2т1т2 /(т1 +т2) . При этом

( г , . -i\ С Г гг~Г2 ; -~\Л

1 k- с П

2а; 2а2

где t = (т2 -т1 )/(т2 +т1) . Т.к. аргумент множителя, стоящего вне общего произведения много больше, чем аргумент множителя с номером k-1 , то его отличием от единицы можно пренебречь, и уравнение для n принимает вид:

erf (tja-2 -a-+21) +1 /erf (tja-- -a-2) = 2; и в обозначениях S = (a-- - a-2) / 2, T = (a-2 - 2a-2 + a-2) / 2:

erf (t<JS -T) +1 /erf (tVS+Г) = 2 .

т



Для постоянных p, d и А между величинами S и T существует приближенная (все более точная с увеличением n) связь: T= А S (т.е. T<<S). Используя аппроксимацию

erf (x) -yj 1 - exp(-4x2 /к), x>0, находим приближенное решение

( 1 )

S = к L

где L(x) - функция Ламберта, определенная как решение уравнения: Lexp(L)=x. Для больших n (дисперсия в насыщении) величина S представима в виде

S = (А -1 +А )а-г+1

и для постоянных А :

2(1 -А)2п

± (1 -А)г А

1=0 Рг Г0

Таким образом уравнение для n принимает вид

2(1 -А)2п к

±(1 -А)гА = 4t2 Л4АJ

г=0 Рг r0

и может быть решено при задании зависимости pi и закона роста зерен di. Тогда, в силу принятой зависимости вероятности от индекса, <k>=n и задача решена. Заметим, что при заданном числе шагов до разрушения <k>, соответствующая деформация определяется как А <k>. В этом случае можно переписать уравнение (6) сразу для деформации до разрушения, воспользовавшись равенством

(1 - А)n = ((1 - А)1/А ) А - exp(-nA) = exp(-e) и рассматривая сумму в знаменателе левой части уравнения (6) как интегральную сумму соответствующую интегралу

0 p(e ) r0

Далее, введенную выше величину S будем рассматривать в переменной e и задавать выражением

1 (6)

S = 2exp(-2e)/ ] d(j)exp(-e) dj. 0 p(e ) r0

Для построения уравнения, позволяющего определить деформацию до разрушения в случае произвольного значения т, необходимо искать точку перегиба в зависимости Pk, исходя из более сложного уравнения

erf (tа-2 -а-+1)/2 + erf(ta-2 -а-+1)/2 + 2/(erf(tc£x -a-2) + erf (ta-- -a-2)) = 2 где для краткости обозначено t1 = т / т1 -1, t2 = 1 - т / т2. Решение будем искать в виде

S = £l + £l

t2 t2

где константы c1 и c2 построим исходя из известного уже решения, соответствующего условию t1=t2, и оценочных решений для краев интервала СП (t1 стремится к нулю -

S~c1/t1 , t2 стремится к нулю - S~c2/t2 ). В результате получим

c1 =

( -л/2А) + 2а1к/4, c1 + c2 =к ii-1/4.

Уравнение для предельной деформации e f принимает вид



exp(2£f)J

q(£) d(e) p(e)

exp(-e) de

C1 (A)

Г т \

т

+ C2(A)

т1

Здесь т - напряжение при деформации равной e f. Если в эксперименте

поддерживалась постоянная скорость деформации e и упрочнение на стадии стабильного течения пренебрежимо мало, то т можно считать величиной не зависящей от e и определяемой значением e (соответствующая точка на сигмаидальной кривой). Если же эксперимент проведен с постоянной скоростью движения захватов V0

определяется уравнением

exp(2ef)J

q(eQ d(e) J p(ef) r0

exp(-e) de = -

C1 (A)

т(eoe~e) .

+ C2(A)

т( !0e- ) т2

где начальная скорость деформации e0 = V0 / L0, а L0 - начальная длина образца. В этом

случае из-за изменения скорости деформации в процессе нагружения, даже при отсутствии упрочнения на стадии стабильного течения, происходит переход с одной кривой нагружения на другую (движение вдоль сигмаидальной кривой в сторону меньших напряжений), что значительно усложняет построение решения.

Пренебрегая ростом зерен при деформации (d (e) = d0), накоплением

поврежденности (p( ) = p0 ) и рассматривая вариант деформации с постоянной

скоростью, легко получить явное выражение для зависимости предельной деформации от приложенного напряжения

ef= ln R(r) +1 /4 +1 /2), (7)

где

R(r):

2 dr0 qp0

d0 q0

C1 (A)

+ C2(A)

Зависимость (7) внутри интервала сверхпластичности [ т1, т2 ] описывает кривую максимумом при оптимальном напряжении

т0 =т1

С1т2 С2т1

от2 1

02т22 ,

зависящем от границ интервала СП и темпа переключения полос КЗГП (через величины c1 , c2). Зависимость от размера зерен оказывается разной вблизи оптимальных условий деформации и на границе интервала СП. Так в окрестности оптимума предельная деформация растет логарифмически с увеличением размера зерен, а на границах интервала e ~ d0-1 , что совпадает с оценкой, полученной в работе

[5], где предельная пластичность рассматривается как деформация ограниченная накоплением некоторой критической поврежденности - микропор.

Таким образом, ресурс сверхпластичности может быть исследован на основе представлений о деформационном механизме мезоуровня. Флуктуационно

т

с



формируемая при деформации неоднородность пространственного распределения полос КЗГП приводит к локализации течения на макроуровне и не требуется приписывать образцу начальную макронеоднородность.

1. Hart E.W. Theory of tensile test. Acta Metallurgica, v.15, 1961, pp.351-355.

2. Lian J., Baudelet B. Necking Development and Strain to Fracture under Uniaxial Tension. Materials Science and Engineering, v.84, 1986, pp.151-162.

3. Зарипов Н.Г., Кайбышев Р.О. Сверхпластическая деформация В^03-керамики: феноменология и механизмы деформации. Труды международной научной конференции Современное состояние теории и практики сверхпластичности материалов. Уфа, 2000, с. 114-119.

4. Кайбышев О.А., Пшеничнюк А.И. Структурная сверхпластичность: от механизма деформации к определяющим соотношениям. Изв. РАН. Механика твердого тела, 1999, с. 148-164.

5. Ханнанов Ш.Х. Структурно-кинетические аспекты пластичности и сверхпластичности субмикрокристаллических и нанокристаллических материалов. Труды международной научной конференции Современное состояние теории и практики сверхпластичности материалов. Уфа, 2000, с. 1 51-1 61 .



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.