Популярное

Мифы о звукоизоляции



Как построить дом из пеноблоков



Как построить лестницы на садовом участке



Подбираем краску для ремонта



Каркасные дома из дерева


Главная » Спектр нелинейных магнитоупругих

СПЕКТР НЕЛИНЕЙНЫХ МАГНИТОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ В ПЛАСТИНЕ (011) С КОМБИНИРОВАННОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

Вахитов Р.М. (VakhitovRM@bsu.bashedu.ru) (1), Хусаинова В.Р.(2)

(1)Башкирский государственный университет, Россия, 450074 Уфа, ул. Фрунзе, 32 (2)Башкирский государственный педагогический университет Россия, 450000 Уфа, ул. Октябрьской революции, 3А

Известно, что вклад магнитоупругого (МУ) взаимодействия, которое играет заметную роль в некоторых магнитных материалах (например, в кристаллах ферритов-гранатов), может существенно возрасти, если магнетик находится вблизи спин-переориентационного фазового перехода [1,2]. В состоянии, когда жесткость магнитной подсистемы уменьшается, любые слабые внешние возмущения могут привести к большим отклонениям вектора намагниченности от равновесного состояния, что позволяет целенаправленно возбуждать с помощью переменных упругих возмущений нелинейные МУ волны (НМУВ). Распространение НМУВ достаточно хорошо изучено в некоторых легкоплоскостных магнетиках (см. напр. [3,4]) и практически не исследовано в кристаллах с комбинированной анизотропией, к которым относятся и ферриты-гранаты [5]. В них, как правило, имеет место два типа анизотропии различной симметрии: наведенная одноосная (НОА) и естественная кубическая (КА). Такое сочетание анизотропий существенно влияет на ориентацион-ную фазовую диаграмму магнетиков [6,7], которая в зависимости от результирующей симметрии взаимного расположения легких осей НОА и КА имеет характерные особенности, сказывающиеся на его МУ динамике [8,9].

В работе рассмотрено распространение НМУВ в кристалле-пластине (011 ), когда легкая ось НОА совпадает с [011 ]. Такая постановка обусловлена тем, что аналогичные исследования нелинейной МУ динамики были проведены для легкоплоскостных магнетиков с тетрагональной симметрией (к ним относится и пластина (001 ) с комбинированной анизотропией) в [3,4], из которых следует, что в них возможны следующие типы стационарных НМУВ: уединенные, спиральные и периодические нелинейные волны, а также волны с неравномерной прецессией намагниченности. В связи со сказанным представляет интерес изучение влияния симметрии и характера нелинейности потенциала взаимодействия на рассмотренные типы НМУВ. В пластине (011 ), которая описывается группой симметрии D2h, НОА разбивается на две компоненты: перпендикулярную (с константой Ки) и ромбическую (Кр). Плотность энергии такого магнетика с учетом первой (Kj) и второй (К2) констант КА запишем в виде:

=А л--Н\г + Ku sin2 -&+Kp sin2 i!hin2 ф+K1 [sin2i3cos2cp(cos2i3+sin2i3sin2ф)+

4(cos2i3-sin2 i3sin2 ф) +4K2sin2 i3cos2 ф(сх 2 i3-sin2 i3sin2 фУ+Б1[ихх sin2 i3cos2 ф+2(ихх+Uyy )x x(cos2 i3+sin2 i3sin2 ф)+2иуг sinsinфcos}+B2 шЗсхф^, sinn+u cos)+1(uyy -uzz )<

x(sin2 тЪп2 ф-(Х 2 тЗ)]+ )cnuXx + 4(Сц +C12 +2C44 )(u(у )+(Сц -C12 )2yz + 2C44 (uly +ulz У +C12uxx (uyy +uzz )+2(C11 +C12 -2C44 )uyyuzz , (1)



где A , Bi, Cj - константы обменного взаимодействия, МУ связи и упругости; if, ф - полярный и азимутальные углы вектора намагниченности M; uij - тензор деформации; Hdip - размагничивающее поле, определяемое из уравнений магнитостатики:

div (Hdip + 4nM) = 0, rotHdip =0 .(2)

МУ динамика рассматриваемого магнетика описывается уравнениями движения для векторов намагниченности M (уравнения Ландау - Лифшица) и смещения и :

M = -у Mх-

которое необходимо решать с учетом соотношений (1) и (2). Здесь у - гиромагнитное отношение, р - плотность кристалла. Диссипация и явления, связанные с поверхностными эффектами, здесь

не учитываются, а также предполагается, что (M)2 = M 2 = const, где Ms - намагниченность насыщения.

Рассмотрим стационарные МУ волны, распространяющиеся вдоль оси OZ[011]. Тогда if = 1Г(Ъ), ф = ф(Ъ), и = и(Ъ), Ъ = z - vt, v-скорость МУ волны. В этом случае уравнения упругости после интегрирования примут вид:

uX = /2 sin 2ffcos ф, uy = /1 sin 2ff sin ф, uz = /3 sin 2 Г sin 2ф + /4 cos 2 if, (4)

где = Bx/4C2(vV22-l) /2 = Bj2C44(vVs12-i), /3 = fa -BMC2/s2-1), /?4 =((Bi/8C1(v7s32-l),C1 =(C11+ C12+2C44V4,C2 = Cu-C12, si =4CJ~p, s2 = -\JC2/2p, s3 = yjQ/2p, s1,s2,s3 - скорости поперечного и продольного звука. Соответственно, уравнения для намагниченности преобразуются к следующему виду:

vro-1Ms2 sin ifif=-2 A(ф/sin2 if)+Kp sin2 if sn+1 K1 {4sin4 if т4ф+ 2sin3 ф) -

2 1 63 22 1 22

-3sin 2Г^т2ф}+4K2{2sin ifsin фcosф(2cos ф-sin ф)-4sin 2if(cos Г^т2ф--sin2 ifsin4ф)}+2(B1 -B2 sin2 ifsin2 ф+/4 cos2 if)sin2 ifsin2ф+1 ((1 /} -B2/2 )sin2 2if sin2ф , vco-1Ms2 ф'sin f=-2A(f+2sin2iTy)2)+((u - 2nMs2 )sin2if+ Kp sin2 ГГф+1K1 {4sin3 ifcosifx x(sin2 2ф+sin4 ф)+sin4if(2cos2 ф-sin2 ф) - 4cos3 ifsin }}+-(/3 sin2 ifsin2 ф+/4 cos 2 if)x

x{(1 - B2 )sin2 ф-(B1 + B2 )}sin2if+2 (b1 /j sin2 ф+B2 /2 cos2 ф)т41Т. (5)

Считая, что к* >> kp, k1, k2, b1, b2, c1, c2, c44, где k* = Ku -2nms2 <0 (случай легкоплоско-

п

стного магнетика), и принимая во внимание, что ГГ = -- %, %<<1, уравнения Ландау-Лифшица,

записанные в угловых переменных if и ф, после несложных преобразований упростятся и сведутся к следующим:

M2 v

0 Ku

2A 1- v- ф'- D1 sin 2ф- D2 sin 4ф + D3 sin 6ф = 0 , (7)

y J



где Dl =KP - KJ 8-Kj32+(j33 + 24 )B - B2 )/4+((1Д - B2 2 ))4, D2 =\3KX + 3Kj2 - в 3 (B1 - B 2 )]/ 8, D3 = 3K2/32, a>0 = уМs s = 2AMsco0K, - некоторая характерная скорость. Из соотношений (4) и (6) видно, что в принятом приближении основной вклад в упругие колебания рассматриваемой системы дает компонента u z, которая имеет отличное от нуля среднее значение.

Уравнение (7) представляет собой тройное уравнение sin-Гордона, имеющее нетривиальные решения [1 0], и является частным случаем нелинейной консервативной динамической системы [11]. Его первый интеграл, записанный в форме закона сохранения энергии, имеет вид:

1- 4 V)2

D1 sin 2 ф - -D2 sin 2 2ф + -D3 sin 2 3ф = C . (8)

Стационарными точками этого уравнения являются точки: ф1 = 0, ф2 = я/2,

ф3 = ]/2 arccos(D2 +-\В\ + 4D3 (D1 + D3 )4D3), ф4 = ]/2 arccos(D2 -D + 4D3 (D1 + D3 )/4D3). Им на

фазовом портрете уравнения (8) в зависимости от значения константы интегрирования С и соотношений между скоростями v и s, а также между параметрами Djt D2, D3 соответствуют точки типа центр или седло . Этими же соотношениями констант будут определятся и решения уравнений

(4), (6), (7).

Для определенности положим, что v<s, и рассмотрим возможные типы НМУВ в пластине

(011):

1. D3<D2<0, Dj>3D3+2D2. Типичный фазовый портрет уравнения (8), соответствующий этому случаю (Dj=0.2, D2=-0.9, D3=-1.3), представлен на рис.1. Различным траекториям отвечают разные значения константы интегрирования С. В частности при С=-0.001 решения представляют нелинейные периодические волны (рис.2 кривые 1 , 2), с вектором намагниченности, колеблющимся около положения равновесия, которое определяется углами: ф0=-240 и 240, а для случая С=0.233 -ф0=00 и 900 (рис.2 кривые 3, 4, 5).

4.0 и ф


2.0-

0.0-

-2.0-

-4.0

I I I I I

-20.0 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0

Рис. 1. Фазовый портрет тройного sin-Гордона Рис. 2. График нелинейных периодических волн для для случая D3<D2<0, D1>3D3+2D2 случая D3<D2<0, D1>3D3+2D2

Причем решения, отвечающие кривым 1 , 2, 4, описывают спиральные НМУВ, которые характеризуются наличием постоянных составляющих Mz и uz, а решения, отвечающие кривым 3, 5 - нелинейные периодические волны с наличием в них перетяжек . Сепаратрисным траекториям (петли с самопересечением), которым соответствуют значения: С=0 (рис. 3), отвечают уединенные волны типа солитонов, а С=0,234 (рис.4 и 5) - типа кинков [10] или движущихся доменных границ (ДГ), которые могут иметь перетяжку (рис. 5).



0.8-

0.4-

0.0-

-0.4-

-0.8-

-8.0 -4.0

2.4-

2.0-

1.6-

1.2-

1.0н ф

0.0 Н

-0.5

-1.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

Рис. 3. Солитонное решение тройного уравнения sin-Гордона для Рис. 4. График движущейся ДГ для

случая D3<D2<0, D1>3D3+2D2

случая D3<D2<0, D1>3D3+2D2

Рис. 5. График движущейся ДГ с перетяжкой для случая D3<D2<0, D1>3D3+2D2

Известно, что в статическом случае перетяжка в структуре ДГ (наличие трех точек перегиба на графике функции if = ГГ(Ъ)) возникает, если в плоскости вращения спинов имеется метастабильная ось [1 2]. В частности на ориентационной фазовой диаграмме пластины (011 ) для рассматриваемого случая [13] этой оси соответствует состояние с вектором M ][001]. Появление перетяжки с дальнейшим ее разрастанием приводит к тому, что границы становятся неустойчивыми относительно ее разбиения на две ДГ с меньшой амплитудой вектора M, в частности 1 800 ДГ с перетяжкой в ферромагнетике с тетрагональной симметрией могут распадаться на две 900 [14].

1. Для случая Dj>0, D3<0, Dj>3D3+2D2 (Dy=0.4, D2=0.5, D3=-1.7) фазовый портрет представлен на рис.6. На рис.7 также проиллюстрированы решения, отвечающие пространственно-периодическим волнам, которые как и в предыдущем случае могут быть спирального типа (кривые 1, 3) или типа нелинейных периодических волн (кривые 2, 4, 5).


2.0 Н

-2.0 Ч

-4.0

-20.0 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0

Рис. 6. Фазовый портрет тройного уравнения sin-Гордона для случая D1>0, D3<0, D1>3D3+2D2

Рис. 7. График нелинейных периодических волн для случая D1>0, D3<0, D1>3D3+2D2

Непериодическим ограниченным решениям (локализованные решения уравнения (8), случай С=-0.487) отвечают сепаратрисы, соответствующие солитонам (рис.8, кривые 1, 2) и ДГ без перетяжек (рис.8 кривая 3), а для случая С=0 - движущееся ДГ с двумя перетяжками (рис.9). Появление двух перетяжек в структуре ДГ может привести к ее разбиению на три типа стенок.

1. При D2>0, D2>D3 (D=0.3, D2=1.8, D3=0.1) решения уравнения (8) аналогичны решениям двойного уравнения sin-Гордона для случая 2D2>Dj>0 (приложение).

ф

ф

ф



2.04

4.0-,

3.0-

2.0-

1.0-

.....Ъ

0.0-

-4.0

I 1 I I I

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0

Рис. 8. Солитоноподобное решение тройного уравне- Рис. 9. График движущейся ДГ с двумя шфетжюш-ния sin-Гордона для случая D1>0, D3<0, D1>3D3+2D2 ми для случая D1>0, D3<0, D1>3D3+2D2

1. При DJ>D3>0, DJ>3D3+2D2 (Dy=1.1, D2=-0.1, D3=0.2) решения также соответствуют решениям двойного уравнения sin-Гордона для случая D2<0, DJ>-2D2.

В случае v>s решения уравнения (8) будут аналогичны, только при других соотношениях параметров Dj, D2, D3. В частности при D3>D2>0, Dj<3D3+2D2 решения совпадают с решениями случая 1, при Dj<0, D3>0, DJ<3D3+2D2 - 2, при D2<0 - 3, при D3<DJ<0, DJ<3D3+2D2 - 4.

Следует отметить, что при К2=0 уравнение (7) переходит в двойное уравнение sin-Гордона, решения которого приведены в Приложении. В подобной ситуации (т.е. в аналогичном приближении), распространение стационарных НМУВ в пластине (001 ) с комбинированной анизотропией описывается лишь уравнением sin-Гордона [3]. Это объясняется различием в симметрии рассматриваемых кристаллов: ((001 ) - пластина обладает более высокой симметрией), а также наличием ромбической компоненты НОА, которая и в отсутствии КА дает нетривиальную картину нелинейных колебаний в магнетиках [1 5]. Суммируя сказанное, видим, что симметрия нелинейного потенциала взаимодействия существенно влияет на типы возможных НМУВ. В то же время учет К2, вклад которого в потенциал взаимодействия представляет собой более высокий порядок нелинейности, повышает кратность уравнение sin-Гордона и тем самым увеличивает число возможных типов НМУВ. В частности, характерным становятся распространение уединенных волн типа соли-тонов, а также нелинейных периодических волн с наличием перетяжек в их профиле. Причем их число зависит от кратности уравнения sin-Гордона.

Таким образом, можно сказать, что при учете К2, который позволяет более полно учесть кубическую компоненту симметрии рассматриваемой системы, в ней как бы возникает дополнительная степень свободы. Последнее в некоторой степени и объясняет усложнение спектра нелинейных колебаний в пластине (011 ) по сравнению с легкоплоскостными тетрагональными магнетиками.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим случай v < s

1. Пусть D1 > 0, - D1/2< D2 < 0. Соответствующий фазовый портрет двойного уравнения sin-Гордона представлен на рис. П1 . Отметим, что в данном случае имеют место три типа решений:

a) В интервале -D1<C<0 имеем:

ф=arctg

(Л,к )

ф

ф



Ф=arccos<!

уМ:2 A0Jz1 sn (n,k )dn (n,k)

(П.1)

где ti=S/A,0 , A0 =VA(1-v2/s2)/C+


Это решение является спиральной НМУВ, причем ф не превышает л/2. Период данной волны

определяется периодом эллиптических функций Якоби: Tsc =4KC + D11, Td =2KC + , где K=K(k) - полный эллиптический интеграл первого рода, к - модуль эллиптической функции (0<к<1) [16]. В рассматриваемом случае к = J \z 2/( + z 2),

где z12 = - 2C -Dt - 2D2 ±yj(D1 + 2D2)2 + 8CD2 y2(C + D1). 1. При C = 0 :

ф=arctg

VID1 + 2Dd sh

-r>=arccos

vM2D1 + 2D2D! 0K u

ch л

D1 + 2D2sh2 л+l D1

(П.2)

Это решение описывает 180e ДГ, ширина которой равна [12, 14]: A=2(я-ф0 ))ф'0 + 2л0, где =arctg (/ q shnVD1) ф0 =-q2 VD1 chT0VD/(1+ciVi ) Л0 = (/ VD1 )<

1-2q2+V(-2q2)+ q2 1/q2 , q=JD + 2Dd1

2. В области C>0 получаем: Vl cn( n,k)

$=arccos-i

vM2AQ dn(n,k)

cn2 (n,k )+ z1 sn2 (n,k )

(П.3)

zi У zi

Это решение описывает нелинейную периодическую волну.



1. D1 > 0, где D2 > Dxj2. В этом случае фазовый портрет двойного уравнения sin-Гордона представлен на рис. П2. Здесь имеются пять типов решений:


Рис. П2. Фазовый портрет двойного уравнения sin-Гордона для случая D1>0, D2>D1/2

0 л/2 л Ф

1. В интервале - (D1 + 2D2) 2/8D2 < C < -D1: rtln (л,к)

v cn (л,к)

vM2A0 (-к2) sn (n,k)

if=arccos <

z2 А0

;(n,k )+ Z2dn2 (n,k)

(П.4),

где k = -z/jz2\ . Это спиральная НМУВ. 2. При C = -D1:

ф=arctg

2D2 - D1 ff=arccos

.ch (л^ 2D2 - D1 j),

vM2 a0dJ 2D2 - D1 3/2

sh (л

2D2 - D1I)

0K U

D112 ch2 (n2D2-D1 )+ 2D2 - d!J

(П.5)

Данное решение описывает солитон, ширина которого равна: Ас =(п-2ф0 )ф0 + 2Л0, где

= arctg(chn0qD1/q), ф0 = q2DshrD/(q2 + ch2Л0д^1), Л0 = ln 1+q2 W(+q2 )+1

WId1 , q=v2D2 -dd .

c) В области - D1 < C < 0 такое же решение, как и в случае 1 . а.

d) При C = 0 решение аналогично случаю 1.b.

e) При C > 0 решение совпадает со случаем 1.c.

3. D1 < 0, D1/2< D2 < 0. Фазовый портрет для данного случая представлен на рис.П3. При этом имеются три типа решений:




Рис. П3. Фазовый портрет двойного уравнения sin-Гордона для случая D1<0, D1/2<D2<0

1. В интервале Ф = Ф (% ) такое же решение как и в случае 1.a, при этом вместо z1 необходимо подставить z2.

2. При C = -D1 решение описывает уединенную волну, которая представляет собой движущуюся 1 800 ДГ:

ф=arctg

2D2-D1

Ф=arccos

sh 2D2 - D1I),

vM2.! 2D2 - D1 ch 2D2- D11)

0Ku 2D2 - D1+D1 sh2 2D2 - D1I)

где

(П.6)

ф0 = arctg (shn0qVfD1j/q )

A = (n-2ф0 )ф0 + 2лo,

ф0 = chn0JD/ (q2 +sh2 n0VD1), Л0 = lnq2 - 2(q2 -2 .

3. В области C > -D1 решение аналогично случаю 1.с.

4. D1 < 0, D2 >-D1/2. Соответствующий фазовый портрет представлен на рис.П4, из которого видно, что имеется, пять типов решений:


Рис. П4. Фазовый портрет двойного уравнения sin-Гордона для случая D1<0, D2>-D1/2

(D1+2D2 ) 2

1. В интервале - --1-2- < C < 0 решение соответствует случаю 2.а.

2. При С = 0 решение описывает солитон. ф=arctg

D1 + 2D2I

D1 ch D1 + 2Dd )




(П.7)

I. ..... j

Его ширина имеет вид: А с =-2ф0/ ф'0 + 2г|0, где ф0 = arctg (1/ qch0D11),

3. В интервале 0 < С < -Dx решение совпадает со случаем 3.а.

4. При С = -Dx решение аналогично случаю 3.b.

5. В области С > -Dx решение такое же как в случае 1.с.

Рассматривая случай v > s, получаются те же типы решений только при других соотношениях D1 и D2, причем знаки этих констант меняются на противоположные, а значение z1 на z2, случай 1 имеет место при D2 > 0, Dx < -2D2; 2 - 2D2 < Dx < 0; 3- D2 > 0, Dx> 2D2; 4 -D2 < 0, 0 < Dx< -2D2.

1. Белов К.П., Звездин А.К., Кадомцева А.М., Левитин Р.З., Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках, М.: Наука (1979), 320с.

2. Туров Е.А., Шавров В.Г. УФН, Т. 140, №1, 429 (1983).

3. Кабыченков А.Ф., Шавров В.Г. ЖТЭФ, Т.95, В.2, 580 (1989).

4. Зарембо Л.К., Карпачев С.Н., Волков В.В., Яфасов А.М. Письма в ЖТФ, Т.22, №15, 56 (1996).

5. Тикодзуми С. Физика ферромагнетизма. Магнитные характеристики и практические применения М.: Мир (1987) 419с.

6. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. ФТТ, Т.23, №5, 1296 (1981).

7. Гриневич В.В., Вахитов Р.М. ФТТ, Т.38, №11, 3409 (1996).

8. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. ФММ, Т.55, В.5, 892 (1983).

9. Вахитов Р.М., Гриневич В.В. ФММ. Т.80, В.4, 168 (1995).

10. Солитоны/ Под ред. Буллафа Р., Кодри Ф. М.: Мир, (1983) 408с.

11. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебании М.: Наука, (1981) 568с.

12. Сабитов Р.М., Вахитов Р.М. Изв. ВУЗов, Т.31, В.8, 51 (1988).

13. Вахитов Р.М. ФММ, Т.89, В.6, 16 (2000).

14. Филлипов Е.Н., Береснев В.И. ФММ, Т.58, В.6, 1093 (1984).

15. Бучельников В.Д., Шавров В.Г. ФТТ, Т.25, В.1, 90 (1983).

16. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции М.: Наука, (1977), 342с.




СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



© 2017 РубинГудс.
Копирование запрещено.