10 000 ООО 9 ООО ООО 8 ООО ООО 7 ООО ООО 6 ООО ООО 5 ООО ООО 4 ООО ООО 3 ООО ООО 2 ООО ООО 1 ООО ООО

о

1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980

Рис. 5. Численность населения Швеции: фактически и по моделям (I), (II).

I actual Iproj(ll) I proj (I)

-i-i-i-i-i-

-i-i-i-i-

2000

300 000 000 i

250 000 000

200 000 000

150 000 000 4

100 000 000

50 ООО 000

I actual -I proj (II) I proj (I)

-i-i-i-i-

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Рис. 6. Численность населения США: фактически и по моделям (I), (II).

2000

Следует заметить, что прогнозы с использованием предлагаемых агрегированных моделей были основаны на информации о структуре и численности

населения лишь на начальный момент времени, и не корректировались по мере получения прогноза, т.е. ошибки прогнозирования аккумулировались на протяжении многих десятилетий. Обе модели показывают хорошее согласие с эмпирическими данными, хотя модель (II) несколько более адекватна реальным данным.

В целях проведения сравнительного анализа, наряду с предлагаемыми моделями, было опробовано несколько альтернативных наивных методов прогнозирования численности населения с различными горизонтами прогнозирования.

Первый альтернативный метод - линейная экстраполяция тренда численности населения. Использовалось несколько горизонтов прогнозирования - от 1 до 1 0 лет. Поскольку учета миграции в этом случае не проводилось, ошибки были преувеличены, особенно для стран с заметной миграцией и изменениями границ (например, Франция).

Длительность периода, использованного для экстраполяции, равна длине горизонта прогнозирования плюс один год (это же верно и для всех остальных методов, описываемых далее).

Второй метод прогнозирования отличается от (I) и (II) особенностью моделирования динамики коэффициента (5) - линейная экстраполяция использована вместо моделей (8) и (10). Как и в предыдущем методе, использовались разные горизонты прогнозирования.

Третий метод прогнозирования игнорирует процессы изменения возрастно-половой структуры населения. В этом методе темп изменения численности населения принят равным истинному коэффициенту воспроизводства.

Последний альтернативный метод прогнозирования численности в некотором смысле противоположен предыдущему. В этом методе считается, что изменения возрастно-половой структуры населения происходят мгновенно, немедленно отражая изменившиеся показатели воспроизводства. Другими словами, средний демографический потенциал в любой момент времени считается равным своей асимптотической величине (6) (эта величина без особой потери в точности может быть заменена агрегированной аппроксимацией (1 2)).

Использование моделей (I), (II) для получения долгосрочных прогнозов (см. рис. 3-6) ведет к накапливанию ошибок. Для более полного изучения работоспособности моделей, были рассмотрены фиксированные краткосрочные горизонты прогнозирования (1 -1 0 лет), - так же как и для альтернативных моделей. При этом для

каждого момента времени строился свой прогноз с исходными данными, взятыми на период, предшествовавший моменту прогнозирования на необходимое число лет. Например, для того, чтобы получить прогноз на 2000 год с горизонтом 1 0, использовались реальные данные о возрастно-половой структуре и численности населения до 1 990 года.

Таблица 2 суммирует результаты по расчету коэффициентов детерминации в ходе испытания моделей на данных по населению четырех стран, упомянутых ранее (здесь и далее данные по Франции скорректированы с тем, чтобы уменьшить влияние изменений границ на точность методов экстраполяции). Среди представленных моделей наиболее точна инерциальная модель (II), хотя модель (I) также достаточно хороша.

Таблица 2. Коэффициенты детерминации между фактическими и спроецированными численностями населения - для различных моделей.

Хотя коэффициент детерминации обладает прозрачным статистическим смыслом и отражает тесноту корреляции между прогнозами и реальными значениями численности населения, тем не менее, для целей прогнозирования численности населения полезно получить оценки ошибок прогнозирования. Это особенно важно,

ввиду наличия у всех рассмотренных примеров четкого восходящего тренда численности населения. В таблице 3 приведены результаты расчетов средних относительных ошибок различных прогнозов.

Таблица 3. Средние относительные ошибки прогнозов численности населения - для различных моделей

На рис. 7 приведена зависимость средней относительной ошибки прогноза от длины горизонта прогнозирования. Видно, что в среднем по приведенным странам (это в общей сложности около 300 лет прогноза) относительная ошибка для модели (II) составила менее одного процента при горизонтах менее 10 лет. Даже при непрерывном прогнозировании с накоплением ошибок, средняя относительная ошибка этой модели составила лишь немногим более полутора процентов.

Более простая модель (I) приводит к росту ошибок на 0,5% при длительных горизонтах прогнозирования. Модели линейной экстраполяции уже при горизонте 10 лет дают ошибку на 1% выше, чем у модели (I) (т.е. в два раза выше, чем у инерциальной модели (II)). По понятным соображениям, эти модели при более длительных горизонтах прогнозирования дают ошибки гораздо больше, непрерывный прогноз с их помощью получить не удается.

Из двух моделей экстраполяции лучше оказалась более простая, - в которой сразу прогнозируется численность населения, без промежуточной экстраполяции среднего демографического потенциала. Этот довольно удивительный результат -свидетельство того, что необоснованное усложнение может привести к росту ошибок модели.

Наибольшие ошибки среди моделей, представленных на рис. 7, дает модель без учета изменений возрастно-половой структуры (около 5% при горизонте 10 лет, и около 12% при непрерывном прогнозировании). Еще большие ошибки (18%) давала в среднем модель с мгновенными изменениями возрастно-половой структуры.

10% 9% 4 8% 7% 6% 4 5% 4% 3% 2%

1% 0%

Model (II) Model (I)

Linear extrapolation Linear extrapolation of ratio c(t) Without aging

horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon contin. legnth 1 legnth 2 legnth 3 legnth 4 legnth 5 legnth 6 legnth 7 legnth 8 legnth 9 legnth 10 projecting

Рис. 7. Средние относительные ошибки прогноза численности населения (усредненные по всем четырем странам) в зависимости от горизонта прогнозирования и использованной модели (на рисунке указаны: модель (II), модель (I), линейная экстраполяция, линейная экстраполяция среднего потенциала, модель без изменений возрастно-половой структуры населения).

Резюмируя результаты по расчету средних относительных ошибок, можно сказать, что предложенные в работе модели работают в среднем достаточно хорошо. Инерциальная модель (II) лучше всех остальных при всех горизонтах прогноза, в то время как модель (I) уступает простому методу линейной экстраполяции при

2% 4

horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon contin. legnth 1 legnth 2 legnth 3 legnth 4 legnth 5 legnth 6 legnth 7 legnth 8 legnth 9 legnth 10 projecting

Рис. 8. Средние относительные ошибки прогноза численности населения (усредненные по трем странам - Японии, Швеции и США) в зависимости от горизонта прогнозирования и использованной модели (на рисунке указаны: модель (II), модель (I), линейная экстраполяция, линейная экстраполяция среднего потенциала, модель без изменений возрастно-половой структуры населения).

Наряду со средними ошибками прогноза большой интерес представляют максимально возможные относительные ошибки прогноза. Таблица 4 и рисунки 9, 1 0,

краткосрочных (до 2-3 лет) прогнозах, но заметно лучше при долгосрочном прогнозировании.

Этот вывод не меняется, если исключить из рассмотрения Францию, для которой изменения в границах ухудшили показатели методов экстраполяции (проведенные корректировки данных улучшили ситуацию, но не до конца). При анализе данных только по Японии, Швеции и США (около 200 лет прогноза) слегка, где-то на 0,5% при горизонте 1 0 лет, улучшаются показатели методов экстраполяции, и ухудшаются показатели модели (I) - на 0,2% - и модели без изменений возрастно-половой структуры - на 0,5% при горизонте 1 0 лет. В результате, модель (I) оказывается предпочтительней модели линейной экстраполяции численности при горизонтах свыше 5-6 лет (рис 8).

Таблица 4. Максимальные относительные ошибки прогнозов численности населения - для различных моделей

на которых отражены результаты расчета максимальных ошибок по использованным данным, дают некоторое представление об этом.

Максимальная ошибка инерциальной модели (II) даже при непрерывном прогнозировании составила менее 6%, а при горизонте 10 лет - менее 4%. Линейная модель (I), приводила к большим ошибкам (до 8,5% при непрерывном прогнозе и 4,2% - при горизонте 1 0 лет), но оказалась заметно лучше методов линейной экстраполяции. Тем не менее, при коротких горизонтах прогноза (1-3 года) модель (I) уступает в точности методам линейной экстраполяции.

Выводы относительно работоспособности различных моделей, сделанные выше, удобно проиллюстрировать графически. На рис. 11 , 1 2 показаны результаты прогнозирования численности населения Швеции с использованием различных моделей - для горизонта 10 лет и для случая непрерывного прогнозирования с накапливанием ошибок.

Помимо данных по населению США, Франции, Швеции и Японии, работоспособность модели (II) была продемонстрирована на российских данных. К