Статья публикуется по приглашению редакции

Асимптотические формулы для частот осесимметричных колебаний оболочки вращения.

Асланян А.Г.(1), Лидский В.Б. (2)

(1)-Московский институт радиотехники, электроники и автоматики (2)-Московский физико-технический институт

Рассматриваются осесимметричные колебания тонкой упругой оболочки вращения, которые описываются системой уравнений (см.[1,с. 104-136]) - u + a1u + a2 u + a3 w + a4 w = hu

1h2(w(v) + b1 wm + b2w + b3w) + c1u + c2u + c3w = hw ( )

Здесь дифференцирование ведется по длине дуги меридиана оболочки (s1 < s < s2);u(s),w(s) - компоненты вектора перемещения точки срединной

поверхности (u(s) - перемещение вдоль меридиана, w(s) - по нормали); h - спектральный параметр, отличающийся постоянным множителем от квадрата собственной частоты (О, h - толщина оболочки (малый параметр).

Функции (s), bj (s), c}. (s) определяются геометрией оболочки; их явный

вид можно найти, например, в [1 , с. 1 36].

Дифференциальный оператор, порожденный левой частью системы (1), формально самосопряжен. На каждой граничной параллели s = s1 и s = s2 ставятся три условия, каждое из которых совпадает с одним из условий жесткого закрепления, либо свободного края. Подробности см . [1].

Эти граничные условия имеют физический смысл и естественным образом возникают при вариации квадратичного функционала задачи. В дальнейшем эти условия обозначаются для простоты через (i,j,k), i,j,k=1,2. Например, (1 ,1 ,1 ) - условия жесткого защемления, (2,2,2) - условия свободного края и т. д.

Так возникают 64 самосопряженные краевые задачи, порожденные системой (1 ), каждая из которых имеет отрицательный дискретный спектр, а соответствующие собственные функции (с.ф.) образуют ортонормированный базис [1]. Оператор, порожденной системы (1) и одним из вариантов указанных граничных условий, обозначим через lh. Численное определение собственных

значений с.з. и с.ф. оператора lh является не простой задачей, особенно при

малых значениях толщины оболочки h. Дело в том, что спектр оператора lh

образует неоднородное множество со сложной структурой, при этом с уменьшением толщины оболочки h плотность распределения частот возрастает.

Выделяют три области изменения спектрального параметра h, в каждой из которых структура спектра может быть описана (см. [1]): [0,а1) - область 1;

[а1, Д ] - область ll; (Д,+°°) - область lll. Здесь [а1, Д ] - отрезок значений функций

<рх (s)=(1 - о2 R-2 (s) S1 < s < S2, (2)

о - коэффициент Пуассона, R2 (s) - один из главных радиусов кривизны оболочки (он равен расстоянию по нормали от точки срединной поверхности до оси вращения).

В области l с.з., как правило, расположены редко и слабо зависят от h. Однако, могут иметь место и крайние случаи: в указанной области с.з. могут отсутствовать вовсе или их (при малых h) может быть достаточно много [2]. Это определяется геометрией оболочки и свойствами безмоментной задачи, в которую вырождается оператор lh при h - +0 (подробности см. [1,3]).

Безмоментная задача проще, чем исходная моментная: порядок системы на четыре меньше и отсутствует малый параметр при старшей производной. Отметим, что безмоментный оператор l0 также является самосопряженным

(см. [1 ]).

В области l вырождение моментной задачи в безмоментную регулярно в смысле М.И. Вишика - Л.А. Люстерника (см. [4]). Это позволяет написать асимптотические формулы для (h), в которых главные члены суть с.з.

безмоментной задачи.

Сложнее устроен спектр в областях ll и lll. Так, ll - зона непрерывного спектра безмоментного оператора l0 . В ней при малых h наблюдается

наивысшая концентрация частот моментной задачи, соответствующих преимущественно изгибным (квазипоперечным) колебаниям (см. [1, с. 107]). Зона lll содержит бесконечно много с. з. Они отвечают как квазипоперечным, так и квазитангенциальным колебаниям. Последние слабо реагируют на уменьшение h, в то время как квазипоперечные с.з. с уменьшением h движутся налево пропорционально h1 /2, заполняя в пределе зону ll (см. [1, с. 107]). Разумеется, вырождение оператора lh в зонах ll и lll не регулярно. Тем не менее при фиксированном Х > Д удается для функции распределения моментной задачи

nh (Х) = 11 (3)

0<Xj <Х

найти асимптотически точную оценку. Введем следующее обозначение a(s, Х) = ] V Х-91 ((4)

Пусть Л - число удовлетворяющее при фиксированном Х неравенствам Л > Х, Л > Y, где

1 - о2 B (s)

B(s) - расстояние от меридиана до оси вращения. Рассмотрим по аналогии с [6] функцию оф,Х) - характеристический определитель оператора l0, рассматриваемого на отрезке [s1, s\ s1 < s < s2.

Обозначим через p0 (Л) - число s- нулей a(s, Х) на интервале (s1, s2), а через р1 (Х, Л), число Снулей a(s2, t) на интервале (Х, Л).

Для оператора lh определим числа т и v согласно табл.1. В первом столбце и в первой строке таблицы указан тип граничных условий в точках s = s1 и s = s2 соответственно. В каждой клетке таблицы слева дано число т , справа v. Таблица симметрична относительно граничных условий в точках s = s, и s = s2 .

Таблица 1 .

Ниже через [x] и {x} обозначены целая и дробная части x.

Справедлива следующая

Теорема 1 . Пусть

в1 + £<Я<Я0,£> 0

Пусть

a(s 2, Я)>£ (6)

Пусть Я и j всюду таковы, что £<{v + 8(s2,Я)/цк}< 1 - £. Тогда существует такое l0, что при всех 0 < j < j0 справедлива формула

Пк (Я)

т + - 8(s 2, Я) (Л)-Р1 (Я, A)+v

Здесь j4 = h2 /12 - малый параметр, а фазовая поправка т и целое число v,0 <v< 3, определяются путем решения безмоментной задачи на малом отрезке (см. табл. 1 ).

Впервые асимптотическая формула (7) была получена в [5] при условиях жесткого защемления торцов. Впоследствии формула была обобщена на некоторые типы граничных условий [6] .

Как и в цитированных работах, при выводе формулы для nh (Я) существенно используется осцилляционная теорема, основанная на том, что при сужении отрезка [s1, s 2 ] с.з. задачи, расположенные праве некоторого фиксированного Y (см. (5)) возрастают. Последнее утверждение при произвольных граничных условиях требует специального рассмотрения.

Литература.

1. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.; Наука, 1979.

2. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Асимптотические формулы для частот нижней серии в теории оболочек вращения. Изв. АН Фрм. ССз. Сер. Матем. 1971, Т. 6, №2-3, стр. 113-130.

3. Асланян А. Г. Связь моментной задачи с безмоментной в теории колебаний тонких упругих оболочек. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1 977,

№5, стр. 11 8-1 24.

4. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Успехи матем. Наук. 1957, т. 12, вып. 5(77), стр. 3-122.

5. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Формула для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения. Дифференц. Ур-ия. 1977, т. 13, № 8, стр.

1355-1365.

6. Асланян А. Г. Формулы для числа частот осесимметричных колебаний оболочки вращения при различных граничных условиях. Функц. анализ и его прлож. 1 978, т. 1 2, вып. 3, стр. 61 -63.

7. Асланян А.А., Асланян А.Г., Лидский В.Б. Асимптотические формулы для частот осесимметричных колебаний оболочки вращения. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1 998, т. 38, №2, стр.

298-309