ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ И НАПРАВЛЕНИЯ СТРАГИВАНИЯ ТРЕЩИНЫ В ЗОНЕ ПОВЕРХНОСТНОГО КОНЦЕНТРАТОРА НАПРЯЖЕНИЙ

Лебедева М.В. (boris1960@mtu-net.ru)

Московский государственный социальный университет

Разрушение твердых тел обычно начинается в поверхностных слоях. На практике поверхности элементов конструкций всегда имеют те или иные местные искривления, которые обусловлены рядом причин: технологическими (сварные швы), конструктивными (выточки, выступы, ребра жесткости и т.п.), эксплуатационными (кратеры, вмятины, царапины, надрезы и т.п.). Поскольку концентрация напряжений имеет резко выраженный локальный характер, можно находить распределение напряжений в бесконечно протяжённых упругих телах. Это значительно упрощает задачу с математической точки зрения. Особый интерес представляет случай, когда в приповерхностной зоне твердого тела с локальным изменением геометрии поверхности находится трещина. Эта проблема в частных случаях исследовалась в [1], [2]. В обоих случаях решение задачи сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений.

Ниже предлагается более простой метод решения плоской задачи теории упругости для приповерхностной трещины, расположенной в зоне концентрации напряжений. Решение исходной задачи для двусвязной области строится методом суперпозиции решений двух вспомогательных задач для соответствующих односвязных областей. Аппроксимация вводимой неизвестной функции полиномом позволяет избежать интегрального представления краевых условий и получить приближённое решение в замкнутой форме ( в квадратурах). В данной работе расчеты прочности деталей конструкций основаны на линейной механике разрушения.

У п Рассмотрим полубесконечную область

. разрезом L0 = {(х;y): x < 1;y = 0} (рис.1). Граница L области Q удовлетворяет условию lim y1(x1) = 0. Считаем, что область Q

может быть конформно отображена на нижнюю полуплоскость D = {(%;п): % е Я:;п < 0} с помощью функции co(Z):

Z1 =©(С) = b £ + c /(£-г a) (1)

где z = X1 + г y ; £=% + г п ; г = -1 ;, a, b, c - постоянные, причем a, b >0; если c>0, имеем область с выступом , при c<0 - c вырезом , при c<0 должно выполняться условие a2 >-c / b. При £=% равенство (1) представляет собой уравнение границы L, которой соответствует граница области D.

На границе L действуют усилия ацц (£) - г (£) = Qnn - jQ%n = Q(£) , 2 е L , а на поверхности трещины задана самоуравновешенная нагрузка

а±уу (х)-г а±ху (х) = p°yy - г p°y = Л(х); z е Ц, где <7± (х) = Hm oi} (z) , х| < 1 ).

Кроме того, на бесконечности выполняются условия: сг = p°°, о™ = &у1У1 = 0,

lim у = 0 , где у - угол поворота материальной частицы; функция Q(Z) удовлетворяет

z h~

условию Гёльдера почти во всех точках границы L , и lim Q(t) = 0 ,где t - абсцисса

\t ->°

граничной точки полуплоскости.

Решение исходной задачи ищется в виде суммы решений двух вспомогательных : задачи для плоскости с трещиной, на кромках которой действует неизвестная самоуравновешенная нагрузка p(x) , и задачи для полубесконечной области с граничными условиями, равными разности граничных условий исходной задачи и решения первой задачи на границе области.

Предполагается, что неизвестную функцию p(x) можно с достаточной степенью точности аппроксимировать полиномом степени N с комплексными коэффициента-

ми: p(x) = £cnxn , x 1.

Неизвестные коэффициенты cn находятся из граничного условия на трещине p(x) + oy2y)(Z(x)) -i a(x2y(C(x)) = p0(x) , z e L0 которое в итоге принимает вид

£CnRn(Z(x)) + £c-nSn(Z(x)) + SV(Z(x)) = p0(x) , ze L{) , (2)

n=0 n=0

где Rn = Rn + xn ; Rn , Sn представляют собой несобственные сходящиеся интегралы;

SV - слагаемые, не связанные с неизвестными коэффициентами.

Для нахождения неизвестных постоянных используется метод коллокаций, согласно которому граничное условие (2) удовлетворяется в дискретных точках zn e L0 , n = 0, N . В результате исходная задача сводится к решению системы 2N+2

линейных алгебраических уравнений.

Точки на трещине при построении системы алгебраических уравнений выбирались как точки экстремумов полиномов Чебышева. Такой выбор точек дает более быструю сходимость по сравнению с равномерно расположенными узловыми точками.

Поскольку коэффициенты интенсивности напряжений Kj и Кц характеризуют напряженное состояние вблизи концов трещины, в качестве критерия точности полученного решения взята точность вычисления безразмерных величин Kj = Kj /(p -Jl) и Kjj = Kjj /(pflj (l- полудлина трещины) при увеличении числа узловых точек. Вычисления заканчивались, если при увеличении числа узловых точек последующие значения безразмерных коэффициентов K j и Kjj отличались от предыдущих не более, чем на 1%. Решение задачи в частном случае полностью согласуется с отмеченными в [1] результатами, полученными методом сингулярных интегральных уравнений.

В частности, проведены расчёты, когда на трещине действует равномерно распрелелённая нормальная нагрузка p°yy = - p= const, p>0 при отсутствии напряжений

на бесконечности. Основанием для исследования взаимодействия приповерхностной трещины, находящейся под действием внутреннего давления, с криволинейной границей тела служит явление наводораживания. Оно характерно, например, для конструкций из низколегированных сталей низкой и средней прочности, соприкасающихся с сероводородосодержащей средой, поскольку в них часто содержатся исходные расслоения. Один из рассмотренных случаев: трещина параллельна оси о1 x1. Вычисления

подтвердили ожидаемый результат: при одном и том же расстоянии H от трещины до границы чем больше материала над трещиной тем предельная нагрузка выше. При

любых H или h и любой форме выступа или выреза трещина начнёт распространяться к границе области от ближайшей к ней вершины.

Заметив, что при изменении b и c пропорционально одному и тому же параметру и a=const получим области с подобными границами. Это даёт возможность узнать, насколько мал должен быть концентратор напряжения, чтобы его влияние на трещину не было заметным. Так, например, если трещина находится около выреза на расстоянии H=31, то при оценке прочности тела вырез можно не учитывать, если его глубина d<0,1-1 ; а=1,5 l. Если трещина находится около выступа на расстоянии H=31, то при оценке прочности тела выступ можно не учитывать, если его высота d<0,6 l ; а=0,5 l.

Выполнялся сдвиг трещины параллельно оси o1 х1. Произведены расчёты, когда длина трещины соизмерима с глубиной (высотой) концентратора. Вычисления выполнялись при h (H)= 0,25 l. Оказалось, что при g<4 l предельная нагрузка для трещины в области с концентратором напряжений превышает предельную нагрузку для соответствующей трещины в полуплоскости при том же расстоянии до оси o1 х1

более, чем на 10 %, а при g>8 l можно использовать решение задачи для трещины в полуплоскости. Этот результат не зависит от типа рассматриваемых концентраторов.

Другой рассмотренный случай: вершина В (х=+1) трещины зафиксирована на оси симметрии и изменялся угол наклона трещины по отношению к оси o1 х1. В области с вырезом разрушение всегда будет начинаться от вершины В (ближайшей к границе области). Угол страгивания трещины при малых углах её наклона положителен, при больших - отрицателен, но мал по абсолютной величине по сравнению с углом наклона трещины, то есть трещина имеет тенденцию всегда развиваться к границе области. При этом предельная нагрузка меньше всего, если трещина параллельна оси o1 х1. Выше всего предельная нагрузка при а0 = 900. Причём, для любых углов на-

клона трещины чем больше г0 ( наименьший радиус кривизны) при d=const и чем меньше d при r0= const, тем быстрее начнётся разрушение (см. рис.2).

В области с выступом при а0 от 00 до ~ 60° разрушение начнётся от вершины А (х= - 1), а при а0 от ~ 600 до 900 - от вершины В. Другими словами, трещина будет

распространяться с той вершины, которая ближе к границе области. Угол страгива-ния трещины при малых углах её наклона отрицателен, при больших - положителен, то есть трещина развивается всегда по направлению к границе области. Заметим, что чем меньше г0 при d=const и чем меньше d при r0 = const, тем разрушающая нагрузка меньше (см. рис.3).

io* 45° Со 90* Рис.4

В случае, когда середина трещины зафиксирована на оси симметрии концентратора напряжений, при любых углах от 00 до 900 наклона трещины разрушение начнётся с вершины В, так как она является ближайшей к границе области. Это верно и для области с вырезом , и для области с выступом . При а0 от ~ 450 до ~ 700 будет самая низкая разрушающая нагрузка для области с вырезом , а самой высокой она будет при а0 = 900. Чем больше г0 при d=const и чем меньше d при r0 = const, тем меньше предельная нагрузка (см. рис.4).

В области с выступом предельная нагрузка меньше всего, если а0 = 00, а больше всего, если а0 ~ 60°. Чем меньше г0 при d=const и чем меньше d при r0= const,

тем меньше разрушающая нагрузка (см. рис.5).

Сравнивалась величина предельной нагрузки для трещин разной длины. Это можно было сделать, уменьшая или увеличивая все геометрические размеры, кроме длины трещины. Как и следовало ожидать, вычисления показали, что увеличение длины трещины, берега которой подвержены действию нормальных напряжений, где бы она не находилась, ведёт к снижению предельной нагрузки, и, наоборот, уменьшение длины трещины увеличивает предельную нагрузку.

Кроме того, проведены расчёты для случая, когда нагрузка на трещине p=0, а на бесконечности действуют растягивающие усилия. Была зафиксирована середина трещины на оси o1 y1 на расстоянии 1,251 от вершины выреза . Для любого выреза

предельная нагрузка достигает наименьшего значения при а0 ~ 900. В области с вырезом страгивание трещины произойдёт с вершины В. Угол страгивания положи-тельый, наибольшей величины он достигает, когда трещина наклонена под углом 300 <а0 < 450. Независимо от угла наклона трещина начнёт распространяться к границе области. Следует заметить, что в области с острым вырезом (г0=0) разрушение может начаться с вершины выреза, поскольку в этом случае напряжения о%% в ука-

занной точке неограничены. С увеличением глубины d выреза при r0=const уменьшается предельная нагрузка. Если же d=const, то при а0 от 00 до ~ 35 опаснее для трещины будет тот контур, у которого меньше r0, а при а0 от ~ 35 до 90 предельная нагрузка, наоборот, падает с увеличением параметра r0 (см. рис.6).

Этот частный случай расположения трещины у выреза с серединой трещины на оси симметрии проанализирован в работе [1]. Приведённые в ней результаты полностью согласуются с выводами в настоящей работе.

Если зафиксировать вершину В трещины на оси o1 y1 на расстоянии 0,251 от

вершины выреза , то при углах наклона трещины а0 от 00 до = 10 большему значению параметра r0 (d=const) соответствует б 0 льшая предельная нагрузка, а при а0 от

~10 до 90 картина меняется на противоположную. С уменьшением глубины d выреза при r0=const разрушающая нагрузка увеличивается. Оказалось, что при малых

углах наклона трещины (при а0 от 00 до ~ 35, когда зафиксирована вершина В трещины на оси o1 y1) чем короче трещина, тем меньше предельная нагрузка, и, наоборот, при б 0 льших углах ориентации трещины чем короче трещина, тем больше предельная нагрузка.

Рассматривалась также трещина около выступа , когда нагрузка на трещине p=0, а на бесконечности действуют растягивающие усилия. Если зафиксировать середину трещины на оси o1 y1 на расстоянии 1,251 от оси o1 x1, то для любого выступа

предельная нагрузка достигает наименьшего значения при а0 ~90. Страгивание

трещины произойдёт с вершины А. Это легко объясняется распределением напряжений в области с выступом при растяжении на бесконечности. Угол страгивания положительный, максимальная его величина достигается при а0 = 00. В области с выступом трещина начнёт распространяться вглубь материала. С уменьшением r0 при d=const или с уменьшением d при r0= const предельная нагрузка уменьшается.

Это верно для любого угла наклона трещины.

Наконец, было исследовано совместное действие усилий на трещине и на бесконечности. При сравнимых по величине нагрузках на трещине p и на бесконечности

p °° (расчёты производились при p = p °°) преимущественное влияние одной из них на поведение трещины около выреза зависит от остроты концентратора и положения вершины трещины. Если вершина трещины находится в зоне максимальной концентрации напряжений , то для более гладких и мелких вырезов ведущую роль играет давление, действующее на трещину. При этом наиболее опасной с позиций теории хрупкого разрушения является трещина, параллельная оси o1 x1. Для острых вырезов (r0=0) преимущественное значение имеет усилие на бесконечности (даже при p = p °°), что проявляется в падении предельной нагрузки при изменении угла а0 наклона трещины от 00 до 90. С уменьшением отношения p / p °° роль нагрузки p °°,

как и следовало ожидать, возрастает для всех видов вырезов .

Если в зоне максимальной концентрации напряжений у выреза находится середина трещины, то на предельную нагрузку, прежде всего, оказывает влияние величина напряжения p °° и расстояние от границы до ближайшей к ней вершины трещины. Вследствие этого предельная нагрузка минимальна при а0 = 900 для всех видов выреза и любом из рассмотренных отношений p / p°°. Вместе с тем при p°° =0 ми-

нимальной предельной нагрузке отвечают различные углы наклона трещины, которые в зависимости от геометрических параметров выреза приблизительно в диапазоне от 450 до 700.

Заметим, что при p = p00, когда вершина трещины находится в зоне максимальной концентрации напряжений, увеличение длины трещины для любых а0, как и в случае p00 =0, снижает предельную нагрузку. Причём, с изменением длины трещины меняется угол а0, при котором предельная нагрузка минимальна. Так, для трещины длины l такой угол а0 = 900 , а для трещины длины 4 l такой угол а0 = 00, то есть на короткую трещину преимущественное влияние оказывает усилие p00, а на длинную -усилие p. На рис. 7 сплошная линия показывает, что начиная с некоторого угла а0 разрушение будет происходить в вершине В.

Для трещины около выступа при фиксированной вершине на оси симметрии

наиболее существенное влияние на предельное состояние оказывает давление p. Уже при p = 0,1 p00 для малых углов наклона трещина имеет тенденцию распространяться

от вершины А к границе области (начиная с некоторого угла а0 разрушение будет

происходить в вершине В).

При увеличении угла наклона трещины всё большее влияние оказывает величина p00, вследствие чего с увеличением а0 предельная нагрузка уменьшается. Положительное значение угла страгивания указывает на стремление трещины к росту вглубь материала от вершины А (начиная с некоторого угла а0 разрушение будет происходить в вершине В). При этом уменьшение одного из параметров выступа г0 или d приводит к уменьшению величины предельной нагрузки.

В то же время следует отметить, что если на поверхности трещины действует давление p, то при больших углах наклона (а0 более приблизительно 500) наиболее опасной вершиной трещины становится В. При совместном действии нагрузок p и p00 этот эффект проявляется с уменьшением размеров выступа или с увеличением длины трещины, что объясняется относительной близостью границы выступа к вершине В.

Увеличение длины трещины снижает предельную нагрузку. Угол а0, при котором предельная нагрузка минимальна, зависит от длины трещины. Для короткой тре-

щины а0 = 900 (значительно влияние p°°), для более длинной а0 = 00 (существенно влияние p).

Для трещины, середина которой расположена на оси симметрии выступа , в случае сравнимых по величине нагрузок (p = p °°) при малых углах наклона (а0 менее

~ 300 -н 450) преимущественное влияние на предельное состояние оказывает давление p. Это влияние проявляется в том, что при таких углах наклона трещина имеет тенденцию развиваться от вершины В по направлению к границе. Важно отметить при этом, что действие усилия p °° увеличивает предельную нагрузку для горизонтальной трещины (а0 = 00).

При увеличении угла а0 всё большее значение приобретает величина p °°, что выражается в снижении предельной нагрузки для обеих вершин трещины. При а0 более ~ 300 -н 450 наиболее опасной становится вершина А, причём разрушение будет происходить вглубь материала. В частном случае может быть исключение : например, для выступа с параметрами r0 =0,21 , d= l вершина В трещины остаётся

более опасной при всех значениях а0, если p = p °°.

При малом значении давления p( или при p=0) предельное состояние определяется в большей степени величиной p00, в связи с чем наименьшая предельная нагрузка достигается при а0 = 900 , а трещина при всех а0 имеет тенденцию распространяться вглубь материала от вершины А. При этом с уменьшением одного из параметров r0 или d предельная нагрузка снижается.

Таким образом, в данной работе определены величины критических нагрузок, вызывающих самопроизвольный рост макроскопических трещин, расположенных в окрестности выступов ( или вырезов ). Найдены величины углов страгивания стационарных трещин, находящихся в области с выступом ( или вырезом ). Исследовано влияние длины трещины на несущую способность упругого тела с искривлённой поверхностью. Проанализировано влияние формы концентратора и ориентации трещины на разрушающую нагрузку при различном соотношении усилий, действующих на поверхности трещины и на бесконечности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Борщук Е.М., Панасюк В.В. Задачи теории трещин для полубесконечных областей, ограниченных криволинейным контуром Физ.-хим. мех. матер. 1980, №1, 58-63.

2. Chen Y.Z., Lin W.Z. Stress intensification at crack tips near parabolic notch Theor. and Appl. Fract. Mech. 1991. V.16., №3 , 243-254.